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角的推广和弧度制以及诱导公式


4.1 角的推广与弧度制 1. 角的推广的方式:旋转(顺负逆正) 例 1:在直角坐标系中画出下列各角的终边。

30 0

60 0

90 0

1350

1800

2250

3000

?450

/>?3600

y

O

x

例 2:已知 ? 的终边如下图所示,请在图中画出 ?? ,180 ? ? ,180 ? ? , 360 ? k ? ?
0 0 0

的终边。

?

2.终边相同的角的关系

? 与 ? 的终边相同,则 ? ?
0 0 0 例 3:请在区间 ? ? ?720 , 720 ? ? 内找出与 ? ? 30 的终边相同的所有角

例 4:下列哪个角的终边与 ? ? 135 的终边相同
0



) D. 1000
0

A. 300

0

B. ?300

0

C. ?585

0

3.角的范围 (1)终边落在第一象限的角 ? (2)终边落在第二象限的角 ? (3)终边落在第三象限的角 ? (4)终边落在第四象限的角 ?

的集合: 的集合: 的集合: 的集合:

1

(5)终边落在 x 轴的正半轴的角 ? (6)终边落在 x 轴的正半轴的角 ? (7)终边落在 x 轴的正半轴的角 ? (8)终边落在 x 轴的正半轴的角 ? 例 5:已知 ? 为第三象限角,则

的集合: 的集合: 的集合: 的集合:

? 为第几象限角? 2

例 6:已知 ? 为第一象限角,则 ?? ,180 ? ? ,180 ? ? , 360 ? k ? ? 为第几象限角?
0 0 0

4.弧度与角度的转化

1rad ?
例 7:单位转化 (1)0 ?
0



? rad ?



2? rad ?



10 ?

rad

rad

(2) 45 ?
0

rad

(3)60 ?
0

rad

(4)90 ?
0

rad

(5) ? ? 5.特殊角三角函数

3 4

(6) ? ?

5 6

(7) ? ?

7 6

(8) ?

?
3

?

sin 00 ? cos 00 ? tan 00 ?

s i n 30 0 ? c o s 30 0 ? t a n 30 0 ?

s i n 40 5 ? c o s 40 5 ? t a n 40 5 ?

s i n 60 0 ? c o s 60 0 ? t a n 60 0 ?

s i n 90 0 ? c o s 90 0 ? t a n 90 0 ?

6.三角函数的定义

sin ? ?
① 135
0

cos? ?
② 225
0

tan ? ?
③ ?60
0

例 8:利用三角函数的定义求下列各角的三角函数

例 9:已知 ? 的终边上的一点 p(6,8) ,求 ? 的三角函数。

例 10:已知 ? 的终边上的一点 p (2, x) ,且 sin ? ?

1 ,求 x 5

2

7.同角三角函数关系式 ① =1 ② tan ? ?

例 11:已知 ? ? ? ?

5 ? ? ? ,0 ? ,且 cos ? ? ,求 sin ? 与 tan ? 。 13 ? 2 ?

例 12:已知 ? 为第三象限角,

sin ? ? cos ? ? 3 ,求 sin ? 、 cos? 与 tan ? 。 sin ? ? cos ?

8.诱导公式 ①当 k 为偶数时

sin(

k? ??) ? 2 k? ??) ? 2

k? c o s ( ?? ? ) 2 k? c o s ( ?? ? ) 2

k? t a n ( ?? ? ) 2 k? t a n ( ?? ? ) 2

②当 k 为奇数时

sin(

总结: 例 11.利用诱导公式求值

sin1500 ?
① cos1500 ?

sin1800 ?
② cos1800 ?

tan1500 ?
5 sin( ? ? ) ? 3 5 ③ cos( ? ? ) ? 3 5 tan( ? ? ) ? 3
例 12:已知 sin(? ? ? ) ?

tan1800 ?
11 ?? 2 ④ 11 cos ? ? 2 sin
3 , ? 为第三象限角,求 sin ? 、 cos ? 与 tan ? 5

3

课后练习 1.请在区间 ? ?5? ,5? ? 内找出与 ? ? 2.已知 ? 为第三象限角,则

?
3

的终边相同的所有角: 象限角。

3.若 ? 为第一象限角,则下列各角中为第四象限角的是 ( ) A. 90 ? ?
0

? 为第 2

B. 90 ? ?
0

C. 360 ? ?
0

D. 180 ? ?
0

3.单位转化 (1)?30 ?
0

rad

135 ? (2)
0

rad

(3)210 ?
0

rad

(4)?300 ?
0

rad

3 5 (6) ? ? 2 3 4.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 ,则 ? 为第
(5) ? ? ?

(7) ? ? ? 象限角。 。

5 4

(8)

7? ? 3

5. 已知 ? 的终边上的一点 p(?1, 2) ,则 cos? ? 6. 已知 ? 的终边上的一点 p( x, ?6) ,且 tan ? ? ? 7. 已知 ? ? ? ? , 8. 已知 9.求值 (1) sin

3 ,则 x= 5
, cos? ?



? ?

3 ? ? ? ,且 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? 2 ?




sin ? ? cos ? ? 2 ,则 tan ? = sin ? ? cos ? 3 ?? 4
5 3
(2) cos ? ? ? ? ? (5) sin( ? ? ) ? (8) cos ?

? 4 ? ? 3 ?
3 2

(3) tan ? ? (6) tan( ? ? ) ? (9) sin ?

(4) tan ? ? (7) sin

3 4

7 ?? 2

? 13 ? ??? ?2 ?

? 13 ? ??? ?2 ?

10.(1) sin

4 5 4 ? ? cos ? ? tan( ? ? ) ? 3 6 3

(2)

sin ?? ? ? ? ? cos(? ? ? ) ?? ? sin( ? ? ) ? cos ? ? ? ? 2 ?2 ?

?

?

11. :已知 cos(? ? ? ) ? ?

5 , ? 为第四象限角,求 sin ? 、 cos ? 与 tan ? 13

4


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