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重庆市数学(文)卷文档版(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试


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2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(文史类)
数学试题卷(文史类)共 4 页。满分 150 分。考试时间 l20 分钟。

注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的. (1) ( x ? 1)4 的展开式中 x2 的系数为
(A)4 (C)10 (B)6 (D)20

(2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为 (A)5 (C)8 (B)6 (D)10

b (3)若向量 a ? (3, m) , b ? (2, ?1) , a? ? 0 ,则实数 m 的值为
(A) ? (C)2 (4)函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 (A) [0, ??) (C) [0, 4) (B) [0, 4] (D) (0, 4)

3 2

(B)

3 2

(D)6

(5)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为 了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 (A)7 (B)15 (C)25 (D)3 5 (6)下列函数中,周期为 ? ,且在 [

? ?

, ] 上为减函数的是 4 2

(A) y ? sin(2 x ? (C) y ? sin( x ?

?
2 )

)

(B) y ? cos(2 x ? (D) y ? cos( x ?

?
2 )

)

?

?
2

2

? x ? 0, ? (7)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)0 (C)4 (8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? (B)2 (D)6

? x ? 2 ? cos ? , ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同的公共点,则实数 ? y ? sin ?
(B) [2 ? 2, 2 ? 2] (D) (2 ? 2, 2 ? 2)

b 的取值范围为
(A) (2 ? 2,1) (C) (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??)

(9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (B)恰有 3 个 (C)恰有 4 个 (D)有无穷多个 (10)某单位拟安排 6 位员工 在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班,每天安排 2 人,每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法共有 (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在 答题卡相应位置上.
(11)设 A ? ?x | x ? 1 ? 0? , B ? ?x | x ? 0? ,则 A ? B =____________ . (12)已知 t ? 0 ,则函数 y ?

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为___________ _ . t

(13)已知过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点, AF ? 2 ,则

BF ? ____________ .
(14)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品 率分别为

1 1 1 、 、 ,且各道工序互不影响,则加工出来的零件 70 69 68

的次品率为____________ . (15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭 曲线 C ,各段弧所在的圆经过同一点 P (点 P 不在 C 上)且半径相



.





i



















?i (i ? 1 , , , 则 3 ) 2

cos

?1
3

cos

?2 ? ?
3

?3sin

?1
3

sin

? ?? 2
3

3 ? ____________ .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.
(16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排 在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,??,6) ,求: (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率; (Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

(19) (本小题满 分 12 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分.) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx (其中常数 a,b∈R), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数. (Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 如题(20)图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩 形, PA ? 底面 ABCD , PA ? AB ? 2 ,点 E 是棱 PB 的中 点. (Ⅰ)证明: AE ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 AD ? 1 ,求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦
[来源:Zxxk.Com]

值.

[来源:学§科§网]

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ) 小问 5 分, (Ⅱ) 小问 7 分. ) 已知以原点 O 为中心, F ( 5,0) 为右焦点的双曲线

C 的离心率 e ?

5 . 2

(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ)如题(21)图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 :

x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ( x2 , y2 )(其中 x2 ? x1 )的直线 l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲
OH 的值. 线的两条渐近线分别交于 G 、 H 两点,求 OG? ???? ????

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[来源:Zx

xk.Com]

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题(文史类)答案

(17) (本题 13 分) 解: 考虑甲、乙两个单位的排列.
2 甲、 乙两单位可能排列在 6 个位置中的任两个,有 A6 ? 30 种等可能的结果.

(Ⅰ)设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,
2 则 A 包含的结果有 A3 ? 6 种,

故所求概率为 P ? A ? ?

6 1 ? . 30 5

(Ⅱ)设 B 表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”, 则 B 表示甲、乙两单位序号相邻, B 包含的结果有 5 ? 2! ? 10 种. 从而

?

?

? 10 2 P ? B? ? 1? P B ? 1? ? . 30 3

? ?

(18) (本题 13 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2 2 , ? 2bc 3
1 . 3

2 又 0 ? A ? ? ,故 sin A ? 1 ? cos A ?

(19) (本题 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3ax ? 2 x ? b.
2

因 此 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? ax ? (3a ? 1) x ? (b ? 2) x ? b . 因 为 函 数
3 2

g ( x) 是奇函数,所 以 g (? x) ? ? g ( x), 即对任意实数 x,有

a(? x)3 ? (3a ? 1)(? x)2 ? (b ? 2)(? x) ? b ? ?[ax3 ? (3a ? 1) x2 ? (b ? 2) x ? b],
从而 3a ? 1 ? 0, b ? 0, 解得 a ? ? ,b=0,因此 f ( x ) 的解析表达式为 f ( x) ? ?

1 3

1 3 x ? x2. 3

2 ) 0 解得 x1 ? ? 2 , (Ⅱ) (Ⅰ) g (x) ?? x ? 2x , 由 知 所以 g ?( x) ? ? x ? 2 , g ?( x ? , 令
3

1 3

则当 x ? ? 2 或 x ? 2 时,g ?( x) ? 0 , 从而 g ( x) 在区间 (??, ? 2] , 2, ??) x2 ? 2 , [ 上是减函数;当 ? 2 ? x ?

2 时, g ?( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在区间 [? 2, 2] 上是增函数.

由前面讨论知, g ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值与最小值只能在 x ? 1, 2, 2 时取得,而

g (1) ?

5 4 4 2 4 2 ,g ( 2) ? ,g (2) ? .因此 g ( x) 在区间 [1, 2] 上的最大值为 g ( 2) ? , 3 3 3 3

最小值为 g (2) ?

4 . 3

(20)本题 12 分) 解法一: (Ⅰ) 证明: (20) 1, PA ? 底面A C , P 如答 图 由 B D 得 A? A B . 又 PA ? AB ,故 ?PAB 为等腰直角三角形,而点 E 是棱 PB 的中 点,所以 AE ? PB . 由题意知 BC ? AB ,又 AB 是 PB 在面 ABCD 内的射影, 由 三垂线定理得 BC ? PB ,从而 BC ? 平面 PAB,故 BC ? AE , 因 AE ? PB, AE ? BC , 所以 AE ? 平面PBC . ( Ⅱ ) 解 : 由 ( Ⅰ ) 知 B C ? 平面 P A B 又 AD / / BC , 得 ,

AD ? 平面PAB ,故 AD ? AE .

[来源:学科网]

解法二: ( Ⅰ ) 证 明 : 如 答 ( 20 ) 图 2 , 以 A 为 坐 标 原 点 , 射 线 AB, AD, AP 分 别 为

x轴, y轴, z轴正半轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz .

所以 x2 ? 0,z2 ? 2 y2 . 可取 y2 ? 1 ,则 n2 ? (0,1, 2) . 从而 cos ? n1 , n2 ??

n1 ?n2 3 . ?? n1 ?n2 3
3 . 3

所以二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值为 ? (21) (本题 12 分) 解: (Ⅰ )设 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) ,则 a 2 b2

由题意 c ? 5, 又e ?

c 5 ? , a 2

因此 a ? 2, b ? c 2 ? a 2 ? 1 ,

C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4
1 x, 即x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0 . 2

C 的渐近线方程为 y ? ?

(Ⅱ)解法一:如答(21)图,由题意点 E( xE , yE ) 在直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 和

解法二:设 E( xE , yE ) ,由方程组 ?

? x1 x ? 4 y1 y ? 4, ? x2 x ? 4 y2 y ? 4,

解得 xE ?

4( y2 ? y1 ) x1 ? x2 . , yE ? x1 y2 ? x2 y1 x1 y2 ? x2 y1 y2 ? y1 x ?? E . x2 ? x1 4yE

因 x2 ? x1 ,则直线 MN 的斜率 k ?

故直线 MN 的方程为 y ? y1 ? ?

xE ( x ? x1 ) , 4yE

注意到 x1 xE ? 4 y1 yE ? 4 ,因此直线 MN 的方程为 xE x ? 4 yE y ? 4 .

下同解法一.


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