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抽象代数电子教案


《抽象代数》课程教案

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第一章 基本概念
教学目的与教学要求:掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念; 掌握映射的定义及应注意的几点问题, 原象的定义; 象, 理解映射的相同的定义; 掌握代数运算的应用;掌握代数运算的一般结合运算,理解几个元素作代数运算 的特点;理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用;掌 握满射,单射,一一映射及逆映射的定义。理解满射,单射,一一映射及逆映射 的定义; 掌握同态映射、 同态满射的定义及应用; 掌握同构映射与自同构的定义; 掌握等价关系的定义,理解模 n 的剩余类。 教学重点:映射的定义及象与原象的定义,映射相同的定义;代数运算的应用, 对代数运算的理解;代数运算的结合律;对定理的理解与证明;同态映射,同态 映射的定义;同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模 n 的剩余 类。 教学难点:元素与集合的关系(属于) ,集合与集合的关系(包含) ;映射定义, 应用该定义应注意几点;代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推 满射, 广及满足结合律的代数运算的定义; 两种分配律与 ⊕ 的结合律的综合应用; 单射,一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果;模 n 的剩 ; 余类。 教学措施:黑板板书与口授教学法。 教学时数:12 学时。 教学过程:

§1 集合
定义: 集合(简称集) 。集 定义:若干个(有限或无限多个)固定事物的全体叫做一个集合 集合 合中的每个事物叫做这个集合的元素 元素(简称元) 。 元素 定义: 空集,记为 ? ,且 ? 是任一集合的子集。 定义:一个没有元素的集合叫做空集 空集 (1)集合的要素:确定性、相异性、无序性。 (2)集合表示: 习惯上用大写拉丁字母 A,B,C…表示集合, 习惯上用小写拉丁字母 a,b,c…表示集合中的元素。 若 a 是集合 A 中的元素,则记为 a ∈ A, 否则记为a ? A 。 表示集合通常有三种方法: 1、枚举法(列举法) : 例:A={1,2,3,4} B={1,2,3,…,100} , 。 2、描述法: A = {x p( x)}, p( x) —元素 x 具有的性质。 例: A = {a a ∈ Z且1 ≤ a ≤ 4}。显然例 6 中的 A 就是例 5 的 A。 3、绘图法:用文氏图( Venn Diagram )可形象地表现出集合的特征及集合之

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间的关系。 (3)集合的蕴含(包含) 定义:若集 B 中每个元素都属于集 A,则称 B 是 A 的子集 子集,记为 B ? A ,否则说 定义 子集 B 是 A 的子集,记为 B ? A . 定义:设 B ? A ,且存在 a ∈ A但a ? B ,那么称 B 是 A 的真子集 真子集,否则称 B 不是 定义 真子集

A 的真子集。 定义:若集合 A 和 B 含有完全一样的元素,那么称 A 与 B 相等,记为 A=B. 定义
结论:显然, A = B ? A ? B且B ? A . 结论 (4)集合的运算 ①集合的并: A U B = {x x ∈ A或x ∈ B} ②集合的交: A I B = {x x ∈ A且x ∈ B} ③集合的差: A ? B = {x x ∈ A且x ? B} ④集合在全集内的补: A = {x x ∈ E且x ? A} ⑤集合的布尔和(对称差) :

A ⊕ B = {x x ∈ A或x ∈ B但 x ? A I B} = ( A ? B) U ( B ? A) = ( A U B) ? ( A I B)
⑥集合的卡氏积: A × B = {(a, b) a ∈ A且b ∈ B} 注: A × B 中的元素可看成由 A 和 B 坐标轴所张成的平面上的点。 卡氏积的推广: 令A1 , A2 , L , Am 是m个集合,那么由它们做成的卡氏积为:
m

∏A
i =1

i

= A1 × A2 × L × Am = {(a1 , a 2 , L , a m ) ai ∈ Ai , i = 1,2, L , m}

对上述集合运算,可以得到一批基本公式:

(1) A U B = B U A; A I B = B I A. ( 2) A U ( B U C ) = ( A U B ) U C ; A I ( B I C ) = ( A I B ) I C (3) A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ); A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) (4) A U φ = A; A I E = A; A U A = E; A I A = φ . (5) A U E = E; A I φ = φ ; A U A = A; A I A = A (6)吸收律:A U ( A I B) = A; A I ( A U B) = A
例题: 例1 A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B={2} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么 A∩B=空集合. A={1.2.3} B={2.4.6} 那么 A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么 A∪B={1.2.3.4.5.6}
2

例2

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§2 映射
定义: 定义: 设 φ 是集合 A 到 B 的一个对应法则:对于任何一个 A1 × A2 × L × An 的元 (a1 × a2 × L × an )(ai ∈ Ai ) ,都能够得到一个唯一的 D 的元 d,那么这个法则 φ 叫做集合 A1 × A2 × L × An 到集合 D 的一个映射。 其中,元 d 是 (a1 × a2 × L × an ) 在映射 φ 的象,a 是 b 在 φ 下的逆象 逆象。 象 逆象

例 1:A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合. φ: 1,a2,……,an)→ a12+a22+……+an2=φ(a1,a2,…,an)是一个 (a A1×A2×…×AN 到 D 的映射. 例 2 :A1={东,西},A2={南},D={高,低} (西,南)→高=φ1(西,南)不是一个 A1×A2 到 D 的映射. φ 1: φ2:(西,南)→高, (东,南)→低,则φ2 是一个 A1×A2 到 D 的映射. 例 3:A1=D=所有实数所成的集合. φ:a→a 若 a ≠1 1→b 这里 b2=1 不是一个 A1 到 D 的映射. 例 4:A1=D=所有实数所成的集合. φ:a→a-1 不是一个 A1 到 D 的映射. 定义: 定义:我们说, A1 × A2 × L × An 到集合 D 的两个映射φ1 与φ2 是相同的,假如对任 何一个元 (a1 × a2 × L × an ) 来说,φ1 (a1 × a2 × L × an ) =φ2 (a1 × a2 × L × an ) 。 例 5:A=D=所有正整数的集合. φ1:a→1=φ1(a) φ2: a→ a 0 =φ2(a) 则φ1 与φ2 是相同的.

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§3 代数运算
设给定 A1 × A2 × L × Am到D的映射f : A1 × A2 × L × Am → D , 如果 n=2 时,f 就叫做代数运算。一般地有 定义: 代数运算。 定义:任一个 A × B到D 的映射都叫做 A × B到D 的一个代数运算 代数运算
例 1:A={所有整数},B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数} a 0: (a.b) a =a o b 是一个 A×B 到 D 的代数运算,即普通的除法. b 例 2:令 V 是数域 F 上一个向量空间,那么 F 的数与 V 的向量空间的乘法是一个 F×V 到 V 的代数运算. 例 3:A={1},B={2},D={奇,偶} 0: (1.2)→奇=1 o 2 是一个 A×B 到 D 的代数运算. 例 4 A={1.2},B={1.2},D={奇,偶} 0: (1.1)→奇 (2.2)→奇 (1.2)→奇 (2.1)→偶 是一个 A×B 到 D 的代数运算. 代数运算表:当 A, B 都是有限集时,那么 A × B到D 的每一个代数运算都可以用 代数运算表 运算表表示。 设 A = {a1 , a 2 , L , a n }, B = {b1 , b2 , L , bm } ,则运算表为:

o
a1 a2


b1

b2



bm

a1 o b1 a1 o b2

… a1 o bm

a 2 o b1 a 2 o b2 … a 2 o bm
… … … … … …

an

a n o b1 a n o b2 … a n o bm

注:对于代数运算 B × A → D 的运算表,要求 A与B 中元素在上表中的位置互换。 在实际工作中,更多的是 A = B = D 的情形,这时,有如下定义:
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定义: 代数运算或二元运算 定义:若 o 是A × A到A 的代数运算,则可称 o 是 A 的代数运算 二元运算。 代数运算

§4 结合律
例题:A={所有整数},代数运算是普通减法 那么(a-b)-c≠a-(b-c) 除非 c=0. 定义: 定义:设 o 是集合 A 的一个代数运算,如果 ?a, b, c ∈ A 都有 (a o b) o c = a o (b o c) , 则称 o 满足结合律 结合律。 结合律 定义: 定义: 设 A 中的代数运算为 o ,任取 n(n > 2) 个元素 a1 , a2 , L , an ,如果所有加括 号的步骤最后算出的结果是一样的,那么这个结果就用 a1 o a2 o L o a n 来表 示。 定理:如果 A 的代数运算 o 满足结合律,那么对于 A 的任意 n(n ≥ 2) 个元素 定理

a1 , a2 , L , an 来说,所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的,因此,这一唯一的
结果就可用 a1 o a2 o L o a n 来表示。 [论证思路] 论证思路] 因 n 是有限数,所以加括号的步骤必是有限的。
? ?

? 任取一种加括号的步骤 π (a1 o a 2 o L o a n ) ,往证:

π (a1 o a2 o L o an ) = a1 o (a2 o L o an )
对 n 用数学归纳法。 ① π (a1 o a2 o L o an ) = b1 o b2 ② b1 和 b2 分别是 i 和 n ? i 个元素经加括号而运算的结果. ③ i ≤ n ? 1, n ? i ≤ n ? 1 ,由归纳假设释之.

§5 交换律
定义: 定义:设 o 是集合 A 的一个代数运算,如果 ?a, b ∈ A 都有 a o b = b o a ,则称 o 满足 交换律。 交换律 定理: 定理:设 A 的代数运算 o 同时满足结合律和交换律,那么 a1 o a2 o L o a n 中的元的 次序可以任意掉换。 论证思路] [论证思路]
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采用数学归纳法,归纳假设 n ? 1 时命题成立.

§6 分配律
代数运算 ? 与 ⊕ 的第一分配律和第二分配律的定义,以及 ⊕ 的结合律与这 两种分配律的综合运用 定义: 定义:设 A, B 都是集合,而 ? 是 B × A → A 的代数运算,而 ⊕ 是 A 的代数运算, 如果 ?b ∈ B, ?a1 , a 2 ∈ A ,都有

例. 假如 B 与 A 都是全体实数的集合, ? 和 ⊕ 就是普通的乘法和加法,则 b ? (a1 ⊕ a2)=(b ? a1) ⊕ (b ? a2)就变为 b(a1+a2)=(ba1)+(ba2) 定理 1:设 A, B 和 ?,⊕ 如上,如果 ⊕ 满足结合律,且 ?,⊕ 满足第一分配律,那么
?b ∈ B, ?a1 , a 2 , L, a n ∈ A ,都有 b ? (a1 ⊕ a 2 ⊕ L ⊕ a n ) = (b ? a1 ) ⊕ (b ? a 2 ) ⊕ L ⊕ (b ? a n )

[论证思路] 论证思路] 采用数学归纳法,归纳假设 n ? 1 时命题成立。 先后利用:结合律—— n = 2 的归纳假设—— n ? 1 的归纳假设直至完成证明。 定 义 : 设 A, B 和 ?,⊕ 同 上 , 若 ?b ∈ B, ?a1 , a 2 ∈ A , 若 有
? ?

定理 2:设 A, B 和 ?,⊕ 同上,若 ⊕ 适合结合律,而 ?,⊕ 适合第二分配律。那么
?b ∈ B, ?a1 , a 2 , L , a n ∈ A, 都有(a1 ⊕ L ⊕ a n ) ? b = (a1 ? b) ⊕ L ⊕ (a n ? b) 。

§7 一一映射、变换
在第 1 讲中,已对各类映射作了系列性的介绍,这里只对重要的一一映射
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? ? ?

? 对 n 的情形,任掉换 ai 的位置,使之成为 ai1 o ai2 o L o ain . 注意 i1 , i2 ,L, in 是 1,2,L, n 的一个排列. 令 ik = n . 用结合律和归纳法假设证明之.

b ? (a1 ⊕ a 2 ) = (b ? a1 ) ⊕ (b ? a 2 )
那么称 ?,⊕ 适合第一分配律 第一分配律 第一分配律。

(a1 ⊕ a 2 ) ? b = (a1 ? b) ⊕ (a 2 ? b) ,那么称 ?,⊕ 满足第二分配律 第二分配律 第二分配律.

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作重点的讨论。 例 1:A={1,2,3,4,5}
A ={2,4,6,8}

则 φ:1 → 2,2 → 4,3 → 6,4 → 2,5 → 2。是一个 A 到 A 的映射. 例 2:A={1,2,3,…}
A ={奇,偶} 则

φ:1,3,5,… → 奇,2,4,6… → 偶

是一个 A 到 A 的映射.

定义: 定义:若是在一个集合 A 到 A 的映射 ? 下, A 的每一个元都至少是 A 中某一个元 的象,那么 ? 叫做一个 A 到 A 的满射 满射。 满射 定义: 定义:一个 A 到 A 的映射,

? : a → a 叫做一个 A 到 A 单射,假如
a ≠ b ? a ≠ b。
定义: 一一映 定义:设 ? 是集合 A 到 A 的映射,且 ? 既是单的又是满的,则称 ? 是一个一一映 。 射(双射) 例 3: ? : Z = {1, 2,3, L} → 2 Z = {2, 4, 6, L} , 其中 ? (n) = 2n, ?n ∈ Z ,可知 ? 显然是一个双射。 注意: 这表明:Z 与它的一个真子集 2Z 一样 “大” 。 注意 Z 与偶数集 2Z 之间存在双射, 思考题:从例 1 中得知:一个无限集与其的某个真子集一样“大” 。这是否可作 思考题 为无限集都有的特性?即我们是否有如下的结论:A 为无限集的充要条件是 A 与 其某个真子集之间存在双射。 定理: 定理 一个 A 到 A 的一一映射 ? 带来一个通常用 ? ?1 表示的 A 到 A 间的一一映射。 证明:由于 ? 是 A 到 A 的双射,那么就 A 中任一个元素 a ,它在 A 中都有逆象 a , 并且这个逆象 a 是唯一的。利用 ? 的这一特点,则可确定由 A 到 A 的映射 ? ?1 :

? ?1 : A → A, ?a ∈ A, ? ?1 (a) = a ,如果 ? (a) = a ,由上述说明,易知 ? ?1 是映
射。

? ?1 是满射: ?a ∈ A ,因 ? 是映射 ? ?a ∈ A, 使? (a ) = a ,再由 ? ?1 的定义知 ? ?1 (a ) = a ,这恰说明, a 是 a 在 ? ?1 下的逆象。由 a 的任意性,知 ? ?1 是满射。 ? ?1 是 单 射 : ?a1 , a 2 ∈ A, 若a1 ≠ a 2 由 ? 是 满 射 ? a1及a 2 的 逆 象 分 别 是
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a1及a 2 , 即? ?1 (a1 ) = a1 , ? ?1 (a 2 ) = a 2 ,又 ? 是单射 ? a1 ≠ a 2 ,

这说明 ? ?1 (a1 ) ≠ ? ?1 (a 2 ) ,所以 ? ?1 是单射。 综合上述讨论知: ? ?1 是 A 到 A 的一个双射。 结论:设 ? : A → A 是映射,那么: 结论 (1) ? 是双射 ? ? 可唯一的确定一个逆映射 ? ?1 : A → A ,使得: ? ? ?1 是双射; ? ?? ?1 = 1A , ? ?1? = 1 A ; ? ? 也是 ? ?1 的逆映射,且 (? ?1 ) ?1 = ? ; (2) ? 是双射 ? A与 A 同时是有限集或同时是无限集。 定义: 变换。 定义:一个 A 到 A 的映射叫做 A 的一个变换 变换 一个 A 到 A 的一一映射(单射,满射)时,也称为 A 的一个一一变换(单射 变换,满射变换) 例 4:A={所有实数}。 例 5:A={所有整数}。 τ:X → e 是 A 的一个单射变换.
x

a 假如 a 是偶数 2 a +1 a→ 假如 a 是奇数 2 是 A 的一个满射变换.

τ:a →

例 6:A={1,2,3} τ1:1 → 1,2 → 2,3 → 3 τ2:1 → 2,2 → 3,3 → 1 都是 A 的一一变换.

§8 同态
定义:一个 A 到 A 的映射 ? 叫做一个对于代数运算 o, 和o 来说的, A 到 A 的同态 定义 同态 映射,假如,在 ? 之下,不管 a 和 b 是 A 的那两个元,只要 映射
a → a, b → b

就有

a o b → aob 。

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例 1: φ: → 1 (a 是 A 的任一元)是一个 A 到 A 的同态映射, 1 是一个 A 到 A a φ 的映射,显然对于的任意两个整数 a 和 b 来说,有 a → 1, b → 1,a+b → 1=1×1 例 2:φ2 :a → 1 若 a 是偶数 a → -1 若 a 是奇数 φ2 是一个 A 到 A 的满射的同态映射 例 3:φ3 :a → -1(a 是 A 的任一元) 固然是一个 A 到 A 的映射,但不是同态 映射 定义: 定义:假如对于代数运算 o, 和o 来说,有一个 A 到 A 的满射的同态映射存在,则 称这个映射是一个是同态满射 同态满射。 同态满射 在近世代数中,同态满射是尤其重要的。 定理 1:假设对于代数运算 o 和 o 来说,A 与 A 同态,那么 Ⅰ)若 o 适合结合律, o 也适合结合律 Ⅱ)若 o 适合交换律, o 也适合交换律。 证明: (1)任取 a, b, c ∈ A,因? 是满射 ? ?a, b, c ∈ A, 使? (a ) = a, ? (b) = b ,又因为
A 中 o 的满足结合律 ? a o (b o c) = (a o b) o c 即 ? (a o (b o c)) = ? ((a o b) o c) ,但是 ? 是同态映射。

? (a o (b o c)) = ? (a)o? (b o c) = ? (a )o[? (b)o? (c)] = ao(boc) ? ((a o b) o c)) = ? (a o b)o? (c) = [? (a)o? (b)]o? (c) = (aob)oc
所以 ao(boc) = (aob)oc 同理可以证明(2) 定理 2:假定, ? , ⊕ 都是集合 A 的代数运算, ? , ⊕ 都是集合 A 的代数运算, 并且存在一个 A 到 A 的满射φ,使得 A 与 A 对于代数运算 ? ,? 来说同态。 对于代数运算 ⊕ , ⊕ 来说也是同态,那么 Ⅰ)若 ? , ⊕ 适合第一分配律, ? , ⊕ 也适合第一分配律 Ⅱ)若 ? , ⊕ 适合第一交换律, ? , ⊕ 也适合第一交换律 证明: (1) ?a, b, c ∈ A,因? 是满射 ? ?a, b, c ∈ A, 使? (a ) = a, ? (b) = b, ? (c) = c .
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又因为 ? 是关于 ?,⊕ 及 ?, ⊕ 的同态映射 ?
a ?(b⊕c) = ? (a )?(? (b)⊕? (c)) = ? [a ? (b ⊕ c)] = ? [(a ? b) ⊕ (a ? c)] =

? (a ? b)⊕? (a ? c) = [? (a )?? (b)]⊕[? (a)?? (c)] = (a?b)⊕(a?c)
即 a ?(b⊕c) = (a ?b)⊕(a ?c) . 同理可证明(2) 。

§9 同构、自同构
定义: 定义:一个 A 到 A 的一一映射 ? 是一个对于代数运算 o, 和o 来说的, A 到 A 的同 同 构映射,假如,在 ? 之下,不管 a 和 b 是 A 的那两个元,只要 构映射
a → a, b → b

就有

a o b → aob 。

假如在一个 A 与 A 之间,对于代数运算 o, 和o 来说,存在一个 A 到 A 的同构 同构 映射,则称对于代数运算 o, 和o 来说, A 与 A 同构,记为 A ? A 。 同构, 映射 例 1:A={1,2,3} . A ={4,5,6}. 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 4 5 6 6 6 6 4 6 6 6 5 6 6 6 6

各是 A 与 A 的代数运算 o 与 o 的表,那么 1 → 4,2 → 5,3 → 6,是一个 A 与 A 之间的同构映射。 定义: 定义:对于代数运算 o和 o 来说的一个 A 到 A 的一个同构映射叫做 A 的一个对于 o 来说的 A 的自同构 自同构。 自同构 例 2:A={1,2,3} 代数运算由下表给定: 1 2 3 1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 那么φ:1 → 2,2 → 1,3 → 3 是一个对于 o 来说的 A 的自同构。

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§10 等价关系与集合的分类
定义: 定义:设 A 为集合, D = {对,错},那么一个 A × A 到 D 的映射 R 就叫做 A 的一 个关系 关系.(也称为二元关系) 关系 若 R : (a, b) → 对 ,就称 a 与 b 符合关系 R ,记为 aRb 若 R : (a, b) → 错 ,就称 a 与 b 不符合关系 R ,记为 a Rb 由上述定义知, A 中任一对元 a, b ,都可以判定 a 与 b 是否符合这个关系。 例 1:A={所有实数} : R:(a,b) → 对,若是 b-a 是正的 (a,b) → 错,若是 b-a 不是正的 是 A 的元间的一个关系。 等价关系, 定义: 设是集合 A 的元间的一个关系~叫做一个等价关系 如果~满足以下规律: 等价关系 定义: (1) 反射律(反身性) ?a,∈ A, a ~ a : (2) 对称律(对称性) ?a, b ∈ A, 当 a ~ b 时必有 b ~ a ; : (3) 推移律(传递性) ?a, b, c ∈ A, 当 a ~ b 且 b ~ c 时, : 必有 a ~ c 。 当 a ~ b 时,习惯称 a 与 b 等价。 定义: 定义:若把一个集合 A 分成若干个叫做类的子集,使得 A 的每一个元属于而且只 属于一个类,那么这些类的全体叫做集合 A 的一个分类。 定理 1:集合 A 的每个分类都决定了 A 的元间的一个等价关系。 证明:设 ? = { Ai ? A i ∈ I } 是 A 的一个分类,用 ? 我们可以规定 A 上的一个二元 关系: a ~ b ? a与b 在同一类里,显然~是 A 的一个关系,须证~是等价关系。
(1) 反身性: ?a ∈ A, 则有i ∈ I使a ∈ Ai , 故a与a同在Ai中∴ a ~ a 。 (2) 对称性: ?a, b ∈ A, 若 a ~ b, 则有i ∈ I , 使a与b同在Ai中, 当然b与a在Ai中∴ b ~ a . (3)传递性: ?a, b, c ∈ A, 若 a ~ b, b ~ c , 故存在i, j ∈ I , 使a与b同在Ai中, b与c同在A j ? b ∈ Ai I A j ,

由分类的特性知Ai = A j ? a与c同在Ai ,∴ a ~ c 。 定理 2:集合 A 的一个等价关系~决定 A 的一个分类。 证明: ?a ∈ A, ,令 [a] = {x ∈ A x ~ a} ,如此确定的这些子集具有:
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(1) [a ] ≠ ? :由 a ~ a ? a ∈ [a ] ; (2) [a ] I [b] = ? ,当 a 与 b 不等价时:若 x ∈ [a ] I [b] ? x ~ a, x ~ b ,由~的 对称性和传递性知 a ~ b ,推出矛盾,所以 [a ] I [b] = ? 。 (3) A =
?a∈ A

U[a] :Q ?a ∈ A ? a ∈ [a] ? U[a] 。
a∈ A

∴ ? = {[ a] ?a ∈ A}是A 的一个分类。
注意: 注意 (1) a ~ b ? [a ] = [b] “ ? ”Q a ~ b ? a ∈ [b]

?x ∈ [a ] ? x~a,由~“传递性” ? x~b,∴ x ∈ [b]∴ [a] ? [b], 又
Q b ~ a ? b ∈ [a ] ? [b] ? [a ] ,∴ [a ] = [b]

“ ? ” a ∈ [a ] = [b] ? a ∈ [b] ∴ a ~ b (2)若 [a ] I [b] ≠ ? ? [a ] = [b] 因为设 x ∈ [a] I [b] ? x ∈ [a ]即x ~ a, 又x ∈ [b]即x ~ b ,由传递性推出 a ~ b 再 由(1)知 [a ] = [b] 。 定义: 定义:假定我们有一个集合的分类,那么,一个类里的任何一个元叫做这个类的 一个代表 代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个全体代表团 全体代表团。 代表 全体代表团 注:由于 ?b ∈ [a ] ,那么 b ~ a ,这表明对等价类 [a ] 来说,[a ] 中任何元素 b 均可 作为 [a ] 的代表,即等价类与其代表元素的选取无关。 一种重要的等价关系——同余关系 定义. 定义. 任取 0 < n ∈ Z ,可以在 Z 中确定一种等价关系

R : ?a, b ∈ Z , aRb ? n a ? b
则称 R 为模 n 的同余关系 模 的同余关系,并将 aRb 记为

a ≡ b( n)

(a同余b模n)

由同余关系确定的分类中的等价关系为模 n 的剩余类。 而由同余关系引导出来的商集 Z 的同余关系为: 模 n 的同余关系
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R

习惯上记为 Z n .

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Z 4 = {[0],[1],[2], L ,[n]} ,其中
[0] = {L , ?2n, ? n, 0, n, 2n, L} [1] = {L , ?2n + 1, ? n + 1,1, n + 1, 2n + 1, L} LLLLLLL [n ? 1] = {L ? n ? 1, ?1, n ? 1, 2n ? 1, L}

第二章 群论
教学目的与教学要求:理解群的定义,掌握群定义中的四个等价条件,和群的判 定方法;理解单位元、逆元、元的阶的定义,初步地掌握利用单位元、逆元、元 阶的定义证明有关的性质和定理;理解群同态思想,理解若群 G 同态 G'则群 G 的 许多代数性质可以传递给它的同态象;理解变换群的定义应用几何上的实际问 题,并且理解变换群在群论上的重要性,同群论中具有的普遍性,弄清楚变换群 和变换群的区别;理解置换群,n 次对称群,循环置换的定义,搞清楚置换乘法 的先后顺序是从右到左,并且搞清楚置换的循环分解,多做练习;理解循环群的 思想,理解循环群结构中的主要的结果(i)数量问题,(ii)构造问题, (iii) 循环群的生成元;理解子群的判定方法和构造群的子群的方法;理解左(右)陪集 的思想,理解陪集定义的最基本的两种出发点; 教学重点:群的定义,基本特点,群的思想方法,群的判定常用的方法;单位元、 逆元、消去律、元的阶,并且利用这些概念;有限群的定义,利用有限群的思想, 利用定义证明有关定理和例子;群的同态定义,利用群的同态定义证明由 G 是群 可以推出 G'也是群(G~G'条件下);变换群的定义,Cayley 定理,变换群的判定 常用的方法;置换,转换群,n 次对称群,循环置换的定义,利用这些概念的定 义证明每一个有限群都一个置换群同构;G=<a>的定义,利用 G=<a>的定义,证明 有关的定理和命题, (如:循环群,乘余类加群);子群定义,利用子群定义证明 有关的问题,群的一个非空集组成子群的充要条件;左、右陪集的定义,群 G 的 子群 H 的阶,H 在 G 里的指数;任两个左(右)陪集间存在双射的概念; 教学难点:群的定义,群的判定常用的方法,利用群的定义证明性质和判定;群 的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明;掌 握群同态定义中的同态映射的要求;变换群的定义,利用变换群在几何上的实际 应用和群的理论上的重要性;置换群中元素是 n 次置换非常具体, 所以 n 次置换, 及置换乘积是本节中较难的概念;G=(a)的构选问题,利用 G=(a)的定义证明 <i>若 a 为无限阶的,则<a>≌{Z,+};<ii>若 a 的阶为 n,则<a>≌{Zn,+};作成 子群的充分必要条件的证明过程,子群的判定方法;左(右)陪集的定义,利用 左(右)陪集的定义掌握左(右)陪集的判别条件; 教学措施:黑板板书与口授教学法。 教学时数:20 学时. 教学过程:

§1 群的定义
群的第一定义: 群的第一定义:一个非空集合 G 对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群,假 如:

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Ⅰ。G 对于这个乘法来说是闭的; Ⅱ。结合律成立:a(bc)=(ab)c 对 G 的任意三个元都对; Ⅲ。对于 G 的任意两个元 a,b 来说,方程 ax=b 和 ya=b 在 G 中都有解,是 一个有限整数。 例 1:证明若 G 包含一个元 g,且乘法是 gg=g,则 G 对于这个第六法来说 作成一个群。 例 2:设 G 是一个全体整数的集合,证明 G 对于普通加法来说作成一个群。 例 3:设 G 是所有不等于零的整数集合,证明 G 对于普通乘法来说不作成一 个群。 群 G 有以下性质: Ⅳ。G 里至少有一个元 e,叫做 G 的一个左单位元,能让 ea=a 对于 G 的任何元 a 都成立。 Ⅴ。 对于 G 的每一个元 a,在 G 里至少存在一个元 a ?1 , 叫做 a 的一个左逆元, 能让
a ?1 a=e

成立。这里 e 是一个固定的左单位元。 证明:略。 群的第二定义: 群的第二定义:一个非空集合 G 对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群,假 如: Ⅰ。G 对于这个乘法来说是闭的; Ⅱ。结合律成立:a(bc)=(ab)c 对 G 的任意三个元都对 Ⅳ。G 里至少有一个元 e,叫做 G 的一个左单位元,能让 ea=a 对于 G 的任何元 a 都成立; Ⅴ。对于 G 的每一个元 a,在 G 里至少存在一个左逆元,能让
a ?1 a=e。

证明思路:1。一个左逆元也一定是一个右逆元; 2.一个左单位元也一定是一个右单位元; 3.最终结论。 定义: 有限群,假如这个群的元的个数是一个有限整数。否则这个群 定义:一个群叫做有限群 有限群 叫做无限群 无限群。一个有限群元的个数叫做这个群的阶 群的阶。 无限群 群的阶 定义: 交换群,假如 定义:一个群叫做交换群 交换群 ab=ba 对于 G 的任何两个元 a,b 都成立。

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§2 单位元、逆元、消去律
定理 1:在一群 G 里存在一个并且只存在一个元 e,能使 ea-ae=a 对于 G 的任意元 a 都对。 提示:只须用反证法证唯一性。 定义: 定义:一个群 G 的唯一的能使 ea=ae=a(a 是 G 的任一元) 的元 e 叫做群 G 的单位元 单位元。 单位元 定理 2:对于群 G 的每一个元 a 来说,在 G 里存在一个而且只存在一个元 a ?1 , 能使
a ?1 a=a a ?1 =e

提示:只须用反证法证唯一性。 定义:唯一的能使 定义
a ?1 a=a a ?1 =e

的元 a ?1 叫做元 a 的逆元 逆元(有时简称逆) 逆元 例 1:全体不等于 0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单 位元是零,元 a 的逆元是-a。 例 2.全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零,a 的 逆元是-a. 定义: 定义:群 G 的一个元 a,能够使得
a m =e

的最小的正整数 m 叫做 a 的阶。若是这样一个 m 不存在,我们说,a 是无限阶 阶 的。 例 3:G 刚好包含 x3 =1 的三个根: 1, ε 1 =
?1 + ?3 ?1 ? ?3 ,ε2 = 2 2

对于普通乘法来说成一个群。 Ⅰ,Ⅱ显然; Ⅳ。1 是 G 的单位元; Ⅴ。1 的逆元是 1, ε 1 的逆元是 ε 2 , ε 2 的逆元是 ε 1 。 定理 3:一个群的乘法适合 III'消去律:若 ax=ax' , 那么 x=x';
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若 ya=y'a ,那么 y=y' 证明:略。 推论: 推论:在一个群里,方程 ax=b 和 ya=b 各有唯一的解。

§3 有限群的另一定义
若 G 是群,则 G 必满足(1)封闭性(2)结合律(3)消去律。但如果代数 体系 {G ,o} 能满足(1) (2)和(3) ,是否可断定 G 就是群呢?先看下面的例子: 例:G={所有不等于零的整数} 对于普通乘法来说这个 G 适合 I,II,III',可是不适合 III。 如果是有限集,那情形就不一样了。 定理:一个有乘法的有限集合 G,若是适合 I,II 和 III',那么它也适合 III。 定理 有限群的另一定义: 有限群的另一定义:一个有乘法的有限不空集合 G 作成一个群,假如 I,III, III'能被满足。 证明: 证明 (只需证明 ax = b 方程 ya = b 和在 G 中有解) 先证 ax = b 在 G 中有解, ?a, b ∈ G . 因为 G 是有限集,不妨设 G = n ,即 G = {a1 , a 2 , L , a n } ,现用 a 左乘 G 中的每个 元素,得到 G ′ = {aa1 , aa 2 , L , aa n } . 由(1) ? G ′ 中每个 aa i ∈ G (i = 1,2, L , n) ,所以 G ′ ? G 又由于(3) ? 只要 i ≠ j ,则 aa i ≠ aa j ? G ′ 中也含有 n 个元素,于是 G ′ = G 又由于 b ∈ G ,即 b ∈ G ′ ? ?k (1 ≤ k ≤ n) 使 aa k = b,∴ a k 是ax = b 的解. 同理可以证明 ya = b 有解.

§4 群的同态

? (a o b ) = ? (a )o? (b ) ,则称 ? 是群同构态映射;如果 ? 是满射,则必 ? 为群满
同态映射,(注:这是重要的一种同态,要特别关注)简称 G 与 G 同态,并 记为 G ~ G ,此时也称 G 是 G 的同态像. 我们已多次谈到 “满同态”的重要性质--------具有 “传递”作用.那么 在群的满同态映射里,它能传递一些什么呢?
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设 {G ,o}和 G, 都是群,如果存在映射 ?:G → G 使 ?a , b ∈ G , 都有 o

{ }

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定理 1:假设 G 与 G 对于它们的乘法来说同态,那么 G 也是一个群。 证明:对 {G, 而言,“ o ”满足封闭性是显而易见的,而由于 {G, o} o} 中的 “ o ”

o 满足集合律. " o " 也满足结合律.下面须证 G, 有单位元和 ?a ∈ G, a 有逆元.

{ }

<i> Q {G, o} 是群,设 e 是单位元并设 ? (e ) = e 实 上 , ?a ∈ G ,

,须证 e 是 G, 的单元.事 o

{ }

? 是 满 射 ? ?a ∈ G , 使 a = ? (a ) , 那 么

eoa = ? (e )o? (a ) = ? (e o a ) = ? (a ) = a , 同 理 ea = a e = a , 由 a 的 任 意 性
?
<ii>

e 是单位元.
?a ∈ G , ? 为满射,则 ?a ∈ G 使 a = ? (a ) , {G, o} 是群,故 a 有逆元 而

a ?1 ,设 ? a ?1 = a ?1 ,须证 a ?1 是 a 的逆元。
事实上, a oa = ? a 同理 aoa
?1 ?1

( )

( )o? (a ) = ? (a
?1

?1

o a = ? (e ) = e,

)

= e,∴ a ?1 是的逆元,即 a = a ?1 .
o {G,}

?1

由上可知,

是个群.

例 1:设 A={a,b,c},A 的乘法由下表夫定: a a b c a b c b b c a c c a b

的集合,G 是全体整数对普加法来说作成的一个群,找出它们之间的一个同态映 射?且判断 A 是不是一个群。 例 2: G ={所有奇数}。 G 对于普通乘法不是一个群。G={e},G 对于乘法 ee=e 显然作成群。但

φ :a →e
显然是 G 到 G 的一个同态满射。 由定理 1 的证明可以直接得出 定理 2:假定 G 和 G 是两个群,在 G 到 G 的一个同态满射之下,G 的单位元 e 的 象是 G 的单位元,G 的元 a 的逆元 a ?1 的象是 a 的象的逆元。

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§5 变换群
本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变: τ : x a x = τ ( x) 将改 成: τ : x a x = xτ . 也就是说,过去我们的记法 “ τ (x) ”将变为“ xτ ”于是要当心: (τλ )( x) = τ (λ ( x)) → x λτ = ( x λ )τ “ τ (a ) ”. 例1. 用教材的话是说:当 τ : A → B 是映射时,用 当 τ : A → A 是变换时,使用“ aτ ” .现取出 A 的几个变换 设 A = {1,2} (即 (即 (即 (即
1τ1 = 1,  1 = 1 ) 2τ 1τ 2 = 2,2τ 2 = 2 ) 1τ 3 = 1,2τ 3 = 2 ) 1τ 4 = 2,2τ 4 = 1 )

τ 1 : 1 a 2,2 a 1
τ 2 : 1 a 2,2 a 2 τ 3 : 1 a 1,2 a 2

τ 4 : 1 a 2,2 a 1

可以看出. 1 ,τ 2 ,τ 3 ,τ 4 是 A 的全部变换. τ 其中 τ 3 和 τ 4 是双射. 并且 τ 3 是恒等变换. 习 惯上记

τ3 = ε.

(或

τ 3 = 1A ) 。

把 A 的全体变换作成一个集合 S= {τ , λ , ? , L} 例 2. 利用例1.可以换算一下它们的合成(乘积)

τ 1τ 2 : 1 a 2;2 a 2.
即 这表明
1
τ τ2

= 1τ 2 = 2;2τ 1τ 2 = 1τ 2 = 2.

τ 1τ 2 = τ 2 .

·同理知 τ 2τ 4 = τ 4 .利用 τ 3 是恒等变换.则 τ 3τ i = τ iτ 3 = τ i

( i = 1,2,3,4) .这是因为
1τ 3τ i = (1τ 3 )τ i = 1τ i ? ? ? τ 3τ i = τ i τ 3τ i τ3 τi τi ? 2 = (2 ) = 2 ? ?

并且又有

? 1τ iτ 3 = (1τ i )τ 3 = 1τ i ? ? τ iτ 3 = τ i . τ iτ 3 τi τ3 τi ? 2 = (2 ) = 2 ? ?

定义. 定义.对于这个乘法,S 有一个单位元,就是 A 的恒等映射 恒等映射

ε :a → a
对 A 的任一个变换 τ ,都有 ετ = τε = τ .

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例 3.事实上, τ 1 就没有逆元.因为如果 τ 1 有逆元 τ .那么必有 τ 1τ = ε 且

ττ 1 = ε .但我们会发现:
1ττ 1 = 1τ

( )

τ1

=1



2ττ 1 = 2τ

( )

τ1

=1

这说明 ττ 1 ≠ ε 即 S 不能成为群。 (同理可知, τ 2 也没有逆元)
上面的 S 所以不能成为群,主要是 τ 1 和 τ 2 不是双射(∴ 它们没有逆元)因此,我们有:

定理 1:假定 G 是集合 A 的若干个变换所作成的集合,并且 G 包含恒等变换ε, 若是对于变换的乘法来说作成一个群,则 G 只包含 A 的--变换。 证明:任取 τ ∈ G .经证 τ 是满射又是单射.首先,因为 ε ∈ G .由于群 G 中的 : 单位元唯一.由定义 2 ? ε 必是 G 中的单位元.

τ 是满射:

?a ∈ A.     τ ∈ G ? τ ?1 ∈ G    a τ ∈ A Q ∴
?1

?1

于是

(a )
τ ?1

τ

= aτ

?1

τ

= a ε = ε .这说明 a τ 是 a 的原象.

∴  τ 是满射.

τ 是单射:设 a, b ∈ A. .如果, a τ = bτ . .
那么

(a )

?1 τ τ

= bτ

( )

τ ?1

? aε = bε ? a = b

∴ τ 是单射

由上分析知. τ 是个双射. 定义 1:一个集合 A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做 A 的一个变换群。 定理 2:一个集合 A 的所有的--变换成一个变换群。 证明:设 G = {A的一切一一变换} ,须证 G 满足群第 0 定义. (1)

?τ 1 ,τ 2 ∈ G. .因为 τ 1 ,τ 2 都是双射.由第一章知 τ 1τ 2 必是也是双射.即

τ 1τ 2 ∈ G .(封闭性)
(2) 凡是映射都满足结合律 ? G 中的元素必也满足结合律. (3) 因为恒等变换 ε ∈ G ? ε 就是 G 的单位元.(由结论) (4) ?τ ∈ G.
∴ τ 是双射,由第一章知 τ 必有逆映射 τ ?1 使 ττ ?1 = τ ?1τ = ε .

故逆映射 τ ?1 就是 τ 在群 G 中的逆元. 由(1)-(4) ? G 是一个变换群. 定理 3:任何一个群都同一个变换群同构。 证明:设 G = {a, b, c L} 是任意一个群, ?x ∈ G ,利用 x ,我们规定 G
19

的一

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个变换 τ x : G → G ,其中 g τ x = gx, ?g ∈ G ,这种变换是一个一一变换,事 实上: ?   若?g ∈ G,  令g = gx ?1 , 那么
∴ τ x 是满射.
τ ? 若 、y 1 , y 2 ∈ G 且 g1 x = g τ x ? g 1 x = g 2 x ? g 1 = g 2 2

g τ x = gx = yx ?1 x = y

(

)

∴ τ x 是单射.

综合上述知.我们得到由 G 中元素确定的 G 的变换集合

G = { a ,τ b ,τ c L}其中每个这种变换都为一一变换. τ
其次作 ? : G → G ,其中 ? ( x ) = τ x ?x ∈ G 现须证 ? 是同构映射.
? ? 是满射: ?τ x ∈ G, 则 ? ( x ) = τ x ,∴ x 是 τ x 的原象 ? ? 是满射. ?

? 是单射:

?x, y ∈ G 如果 ? ( x ) = ? ( y ) ? τ x = τ y ,
τy

那么 ?g ∈ G 有 g τ x = g
∴ ? 是单射

? gx = gy ,

由消去律知 x = y

? ? 保运算:由于 ?g ∈ G .我们有: g
τ xy

= g ( xy ) = ( gx ) y = ( gx ) y = g τ x
τ

( )

τy

=g

τ xτ y

这说明 ? ( xy ) = τ xy = τ xτ y = ? ( x )? ( y ) 于是知 G ? G ,而 G 是群 ? G 必是群.
?

∴ ? 保运算

§6 置换群
定义: 置换。 定义:一个有限集合的一个--变换叫做一个置换 置换 一个有限集合的若干个置换作成的群叫做置换群 置换群。 置换群 定义:一个包含 n 个元的集合的全部置换作成的群叫做 n 次对称群,记作 Sn。 定义 定理 1:n 次对称群 Sn 的阶是 n!

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由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证

A = { , 2 , 3}.故此. π : 1 a 2 , 2 a 3 , 3 a 1 .稍做修改: 1 

π :↓

1

2 3 ?

↓ ↓ 2 3 1

π =? ?

2    2    ?1   3 ? ?1   3 ? ? .用 π = ? ? ? 2    1? 来描述 A 的一个置换的方便之处是显而易见的. ? 3   3   ? 2    1? ? ?

1   1   ? 2    3 ? ? 3   2 ? 当然,上述的置换可记为 ? ? 3   1? , ?1   3 ? …,但习惯上都将第一行按自然 ? ? ? 2    ? 2    ? ? ? 序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了. 例1. 计算下列置换的乘积: (1) 解:

π τ , (2) π 2 , (3) πτ 2 .
πτ = ? ? 3   2 ?? 2    1? = ?1   3 ? ? ? ? 1  ? 3   ? 2    ? ?? ? ? ? π2 =? ? ?1   3 ??1   3 ? = ? 3   2 ? ? ? 2   ? 2    ? 1   ? ? ?? ? ?
2    2    ?1   3 ??1   3 ? 2    2    ?1   3 ??1   3 ? 2    ?1   3 ? 2    2    ?1   3 ??1   3 ? 2    ?1   3 ?

πτ 2 = (πτ )τ = ? ? 3   2 ??1   3 ? = ? 3   2 ? = τ ? ? ? 1  ? 2    ? 1   ? ?? ? ? ?
注意: 注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的. 例2. 设 A = { , 2 , 3},那么 A 的全部一一变换构成的三次对称群为 1  S 3 = {π 0  1 , π 2 , π 3 , π 4 , π 5 }.其中 ,π

2    ?1   3 ?

π0 = ? ?1   3 ? , π 1 = ?1   2 ? , π 2 = ? 2    3 ? ? ? ? ? ? 2    3   1   ? ? ? ? ? ? π3 = ? ? 2    1? , π 4 = ?   1   , π 5 = ? 3   1? ? ? 3   2 ? ? ? ? 3   2    ? ? ? ? ? ?
所以 S 3 = 3!= b .其中 π 0 是恒等变换.即 π 0 是 S 3 的单位元. 由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征. 譬如,不可交换性: 2    2    2    2    2    2    ?1   3 ??1   3 ? ?1   3 ? ?1   3 ? ?1   3 ??1   3 ? ? ?1   2 ?? 2    3 ? = ? 2    1? ≠ ? 3   2 ? = ? 2    3 ??1   2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3  ? 1   ? 3   ? 1   ? 1  ? 3   ? ? ? ? ? ? ? 定义:Sn 的一个把 ai1 变到 ai2,ai2 变到 ai3,....aiκ变到 ai1,而使得其余 定义 的元,假如还有的话,不变的置换,叫做一个κ-循环置换,用符号: κ 循环置换
21

2    ?1   3 ?

2    ?1   3 ?

2    ?1   3 ?

2    ?1   3 ?

2    ?1   3 ?

2    ?1   3 ?

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(i1i2.....iκ),(i2i3....iκi1),.....或(iκi1....iκ-1) 来表示。 注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的变化次序为 注意: 序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的数目可能反 映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8 元置换 π = (1   2   5) ” 4   3   ②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.

π = (1   2   5) = (2   5   4) = (5   4   3) = L 4   3   3   1   1   2  
这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:

所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环置换 的表达形式也就确定了. 例 3.在 S 5 中. 2    4    ?1   3   5 ? ? 2    ? 2    1   5 ? = (1   3) 叫作 3—循环置换. ? 3   4    ? ? 2    4    ?1   3   5  ? ? 2    4    ? 2    4    1 ? = (1   3   5) ? 3   5   ? ? 2    4    ?1   3   5 ? ? ?1   3   5 ? = (1) ? 2    4    ? ? 叫作 5—循环置换.

叫作 1—循环置换

定理 2:每一个 n 个元的置换π都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连 的)循环置换的乘积。 证明:设 π 是 S n 中任一个 n 元置换,下面对 π 中改变文字的个数用数学归纳法。 如果 π 使 { ,2,3,L, n}中每个文字都不发生改变,则 π 是恒等置换.即 π = (1) , 1 定理 2 成立. 假设 π 最多变动 r ? 1(r ≤ n) 个文字时,定理成立。现考察 π 变动了 r 个元的情 形: 首先在被 π 变动的文字中随意取一个文字 i1 ,从 i1 出发找到 i1 在 π 下的象 i 2 , 再 找 i 2 的 象 i3 , … , 直 到 找 到 i k , 其 中 : ik ?π i1 . 于 是 ?→
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i1 ?π i2 ?π i3 ?π L ?π ik ?π i1 ?→ ?→ ?→ ?→ ?→
因为 π 只变动了 r 个文字,故 k ≤ r .如果 k = r ,则 π 本身就是一个 r —循环置
r

换: π = (i1 , i2 , L , ik ) 定理证毕。如果 k < r ,模仿 (*) 的做法。
? π =? ? i  i L i  i ' L i '  i L i ? ? 2 3 1 k +1 r r +1 n ? ? i1  i2 L ik  ik +1 L i r  i r +1 L in ?

? i1  i 2 L ik  ik +1 L i r  ir +1 L in ?? i1 L ik  ik +1 L ir  ir +1 L in ? =? ? i  i L i  i L i  i L i ?? i L i  i ' L i '  i L i ? ?? ? ? 2 3 1 k +1 r r +1 n ?? 1 k k +1 r r +1 n ? ? i1 L ik  i k +1 L i ir +1 L i n ? ? = (i1  i2 L i n )? ? i L i  i ' L i '  i L i ? ? 1 k k +1 r r +1 n ? = (i1  i2 L i k )π 1
由于 π 中只变动了 r 个文字, π 1 中只能变动 r ? k < r 个文字.由归纳假设,π 1 必 ∴ 可以写成若干个不相连的循环置换之积: π 1 = η1η 2 Lη m 还 需 特 别 说 明 : π 1 中 的 所 有 循 环 置 换 η1 ,η 2 , L ,η m 中 不 可 能 再 出 现 i1 , i2 , L , ik ,否则, 当

η t = (L i p i g L)  p ≤ k

因为 η1 ,η 2 , L ,η m 是互不相连, ?  i p 只在 η t 中出现. ?  π 1 将 i p → i g ,但前面已有 π 1 = ? 1 2 k k' +1 r' r +1 n ? ? i  i L i   i L i   i L i ? k k +1 r r +1 n? ?1 2 即 π 1 将使 i p 保持不动,这样就导出了矛盾. 这恰说明:
? i  i L i   i L i  i Li ?

π = (i1  i 2 L i k )η1η 2η m 是互不相连的循环置换之积.
定理 3:每一个有限群都有与一个置换群同构。

§7 循环群
例 1 整数加群 Z = {n | n ∈ 2} = {L ,?3,?2,?1,0,1,2,3,L} 中,每个元素都是 1 的 倍数 (因为此群是加法运算, 所以用 “倍数” 这个词) 事实上, 是 1 的零倍: = 0 ? 1 ; 0 0 正数 m 是 1 的 m 的倍: m = m ? 1 ,负数 ? m 是 1 的 ? m 倍: ? m = (? m) ? 1

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《抽象代数》课程教案

定义:若一个群 G 的每一个元都是 G 的某一个固定元 a 的乘方,我们就把 G 叫做 定义 循环群;G 由元 a 所生成的,且用符号 G=(a)来表示,a 叫做 G 的一个生 生 成元。 成元 例2 模 n 剩余类加群 Z n = {[0], [1], [2],L , [n ? 1]} .中的运算是“钟表加法”, 易知 Z n 中每个元素 [m] 都是 [1] 的倍数

[m] = [1] 4 1] + L3 = m ? [1] [ 2 [1 1 +4 44 ]
m 定理:假定 G 是一个由元 a 所生成的循环群,那么 G 的构造完全可以由 a 的阶来 定理

决定。 a 的阶若是无限,那么 G 与整数加群同构; a 的阶若是一个有限整数 n,那么 G 与模 n 乘余类加群同构。 证明:(1)当时 | a |= ∞ ,作 ? 1 : G → Z , ?1 (a i ) = i .由上述的对应关系易知, ?1 是双 射.而 ? 1 (a i a j ) = ? 1 (a i + j ) = i + j = ?1 (a i ) + ? 2 (a j )
∴ ?1 (a i a j ) = ?1 (a i ) + ? 1 ( a j ) ? G ? Z
?

(2)当 | a |= n 时,作 ? 2 : G → Z n , ? 2 (a i ) = [i ] 由上述对应关系也易知, ? 2 是双射 . 而且

? 2 (a i a j ) = ? 2 (a i + j ) = [i + j ] = [i ] + [ j ] = ? 2 (a i ) + ? 2 (a j )


? (a i a j ) = ? 2 (a i ) + ? 2 (a j ) . 即 G ? Z n

§8 子群
定义:一个群 G 的一个集 H 叫做 G 的一个子群,假如 H 对于 G 的乘法来说作成一 定义 个群,记作:H≤G。 例1 设 G 为任意一个群,那么由 G 的单位元组成子集 {e} ,自然有
{e} ≤ G ,另外 G 本身也有 G ≤ G ,所以 G 一般有两个子群,统称它

们为的 G 平凡子群。如果 G 除了平凡子群外还有其他子群,那就称 为 G 的真子群,记为 H < G 。 例2 设 S 3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} 为三次对称群,令
H = {(1), (12)} 和三次交错群 A3 = {(1), (123), (132)} 。易知 H ≤ S 3 ,   A3 ≤ S 3

24

《抽象代数》课程教案

定理 1:一个群 G 的一个不空集 H 作成 G 的一个子群的充分且必要条件是 (i) (ii) 证明:
(?) 若 H ≤ G , (1)显然成立,而上述性质 2 恰说明(2)成立. (?)

a,b∈H=>ab∈H a∈H=> a ?1 ∈H。

? 因为(1)成立 ? H 中元素乘法封闭。 ? 结合律在 G 中成立,自然在 H 中也成立。

? Q ? ≠ H ,∴ ?a ∈ H . 由(2) ? a ?1 ∈ H ,再由(1)知 e = aa ?1 ∈ H ,∴ e ∈ H 。
? 由(2) ? ?a ∈ H ,.a ?1 ∈ H 于是可知 H ≤ G 推论:假定 H 是群 G 的一个子群,那么 H 的单位元就是 G 的单位元,H 的任一元 推论 a 在 H 里的逆元就是 a 在 G 里的元。 定理 2:一个群 G 的一个不空子集 H 作成 G 的子群的充分必要条件是: (iii)a,b∈H=>ab-1∈H。 证明: (?)    H ≤ G . 由定理 1 中(2) ? b ?1 ∈ H ,再由(1)知 ab ?1 ∈ H . Q (?) (往证(1)和(2)成立) ?x ∈ H .由条件知 xx ?1 ∈ H ,即 l ∈ H ,那么 ?a, b ∈ H , lb ?1 = b ?1 ∈ H ,并且 ab = a (b ?1 ) ?1 ∈ H ,所以(1)和(2)都成立,由定理 1 ? H ≤ G 。
一个群 G 的一个非空有限子集 H 作成 G 的一个子集的充要条件是: a,b 定理 3: ∈H=>ab∈H。 证明:必要性:显然。 充分性: (1)条件表明 H 满足封闭. (2) G 中满足结合律 ? H 也满足结合律. (3)因为 G 中满足消去律 ? H 中也满足消去律. 由(1)、(2)和(3) ? H ≤ G (注 H 是有限集) 定义: 生成的子群的定义结构过程教材上 P64 页中。 定义:S 生成的子群

§9 子群的陪集
子群的陪集思想是: 实质上是用子群对群进行分类的问题, 关于陪集的定义, 有两种最基本的出发点,一种是利用子集的乘积的概念,另一种是等价关系的概 念。
25

《抽象代数》课程教案

记群 G 和 G 的一个子群 H。规定一个 G 的元中的关系~: a~b,当且仅当 ab ?1 ∈ H 的时候。 因为: 1. aa ?1 = e ∈ H ,所以 a~b 2. ab ∈ H ? (ab ) = ba ?1 ∈ H ,所以 a~b ? b~a 3. ab ?1 ∈ H , ? (ab ?1 )(bc ?1 ) = ac ?1 ∈ H ,所以 a~b,b~c ? a~c 所以~是一个等价关系。 定义:由上面的等价关系~所决定的类叫做子群 H 的右陪集 右陪集,包含元 a 的右陪集 定义 右陪集 用符号 Ha 来表示。 例1. G= S3 = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)} ,H= {(1), (12)} 。 那么 H(1)= {(1), (12)} H(13)= {(13), (123)} H(23)= {(23), (132)} 右陪集是从等价关系~: a~b,当且仅当 ab ?1 ∈ H 的时候 出发得到的。假如规定一个 G 的元中的关系~’: a~’b,当且仅当 b ?1a ∈ H 的时候 同理可证~’是一个等价关系。 定义:由等价关系~’所决定的类叫做子群 H 的左陪集 定义 左陪集,包含元 a 的左陪集用符 左陪集 号 aH 来表示。 例 2. 例 1 里 H 的左陪集是 (1)H= {(1), (12)} (13)H= {(13), (132)} (23)H= {(23), (123)} 这和 H 的右陪集并不相同。 定理 1:一个子群 H 的右、左陪集的个数相等。它们或者都为无限大,或者都有 限并且相等。 证明: 设 S R = {Ha a ∈ G}, S L = {cH c ∈ G}. 作 ? : S R → S L ,其中
?1 ?1 ?1

? (Ha ) = a ?1 H .
26

《抽象代数》课程教案

(ⅰ)( ? 必是映射)

?Ha, Hb ∈ S R ,如果 Ha = Hb ? ab ?1 ∈ H ,利用明示 4 的对称性得
b ?1 ∈ a ?1 H ,故有 a ?1 H = b ?1 H ,即 ? (Ha ) = ? (Hb ) ,这说明 ? 是个映射.

(ⅱ)( ? 必是满射)

?cH ∈ S L ,则存在 Hc ?1 ∈ R 使 ? (Hc ?1 ) = (c ?1 ) H = cH ∴ ? 是满射.
?1

(ⅲ)( ? 是单射) 设 ? (Ha ) = a ?1 H , ? (Hb ) = b ?1 H ,.如果 a ?1 H = b ?1 H ? ab ?1 H = H ,即
Ha = Hb (由明示 4) ∴ ? 是单射.

由(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知, ? 必是一一映射,命题得证. 定义:一个群 G 的一个子群 H 的右陪集(左陪集)的个数叫做 H 在 G 里的指数 指数。 定义 指数 引理: 引理:一个子群 H 与 H 的每一个右陪集 Ha 之间都存在一个映射。 证明: 设 ? : H → Ha ,其中 ? (h ) = ha. ?h ∈ H . (ⅰ) ?h ∈ H ,作为 h 在 ? 下的象 ha 是唯一确定的, ∴ ? 是映射. (ⅱ) ?ha ∈ Ha. ,则显然 ha 有原象 h ,∴ ? 是满射. (ⅲ) 设 ? (h1 ) = h1 a, ? (h2 ) = h2 a , 如果 h1 a = h2 a, 则 必有(群的消去
∴ ? 必是单射.

律)

由(ⅰ),(ⅱ)和(ⅲ)知 ? 是双射. 定理 2:设 H 是一个有限群 G 的子群,那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整 除 G 的阶 N,并且 N=nj 证明: Q [G : H ] = j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只有 j 个,从而有 G 的右陪集分 解:
G = Ha1 U Ha 2 U Ha3 U L Ha j

(其中 Ha1 = H )

由引理知, Ha1 = Ha 2 = L = Ha j = n 所以 G = Ha1 j ? N = nj .

27

《抽象代数》课程教案

由上等式“ N = nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 N 阶的因子,于是可得到下面 定理 3:一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶。 证明:由元素 a 生成 G 的一个循环子群 H = (a ) . 由 Lagrange 定理知 H G ,但 H = m. 故m G . 例 3:设置换群 S3,其子群为 H={(1),(12)},分析 H 的右(左)倍集。

§10 不变子群
定义:设 H ≤ G ,如果对于 G 中任一个元 a ,都有 Ha = aH ,那么称 H 为 G 的一 定义 个不变子群 不变子群,记为 H△G .如果 H 是不变子群,那么 N 的左(右)陪集统一 不变子群 叫做 N 的一个陪集 一个陪集 一个陪集。
例1 群 G 的平凡子群 G 和 {e} 都是不变子群。

G < G,
例2

{e} < G

设 G 为群,而 C (G ) = {x ∈ G | ?a ∈ G.xa = ax} 叫做 G 的中心 中心

(centre of G),不仅 C (G ) ≤ G ,而且有 C (G ) < G 例3 如果 G 是一个交换群,那么 G 的任一个子群 H 都是不变子群。

因为 Ha = {e, h1 , h2 ,L}a = {a, h1 a, h2 a,L} = {a, ah1 , ah2 ,L} = a{e, h1 , h2 ,L} = aH .

例4

设 H ≤ S 3 ,其中 H = ((123)) = {(1), (123), (132)} ,易知 H < S 3 .

定义. 定义.假定 S1 , S 2 , L , S m 是一个群 G 的 m 个子集。那么由所有可以写成

s1s2 L sm ( si ∈ Si )
形式的 G 的集合叫做 S1 , S 2 , L , S m 的乘积 的乘积。这个乘积用 S1S 2 L S m 表示。 定理 1:一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充要条件是:

aNa ?1 = N
对于 G 的任意一个元 a 都成立。

证明:假若 N 是不变子群,则对于 G 的任意一个元 a 来说,
aN=Na
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《抽象代数》课程教案

这样 aNa ?1 = (aN )a ?1 = N (a ?1a ) = N (a ?1a ) = Ne = N 假若对于 G 的任意一个元 a 来说
aNa ?1 = N

那么
Na = (aNa ?1 )a = (aN )(a ?1a ) = (aN )(a ?1a ) = aN

故 N 是 G 的一个不变子群。 定理 2:一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子群的充要条件是:
a ∈ G , n ∈ N ? ana ?1 ∈ N

证明:必要性由定理 1 显然。 下证充分性:假定这个条件成立,那么对于 G 的任意一个元 a 来说

aNa ?1 ? N
这样,因为 a ?1 也是 G 的元,故有
aNa ?1 ? N , a (a ?1 Na )a ?1 ? aNa ?1

N ? aNa ?1
故 aNa ?1 = N 由定理 1,N 是 G 的一个不变子群。证完。 设 H < G ,规定其陪集的运算法则:
( Hx)( Hy ) = Hxy

欲使 S R = {Ha | a ∈ G} 成为一个群, 我们还需对它的代数运算进一步核实— —子集之积是否与代表元有关。 设 H < G ,那么 S R = {Ha | a ∈ G} 中定义的运算 ( Hx)( Hy ) = Hxy 是一个代数 运算。 证明:?Hx, Hy ∈ S R 且 HxHy = Hxy .如果又有 ?Ha, Hb ∈ S R 使 Hx = Ha, Hy = Hb . 且 HaHb = Hab . 须证 Hxy = Hab . 事实上,Q Ha = Hx ? a ∈ Hx ,即 a = h1 x, ?h1 ∈ H .
Q Hb = Hy ? b ∈ Hy ,即 b = h2 y, ?h2 ∈ H
29

《抽象代数》课程教案

Q xH = Hx

∴ xh2 ∈ xH = Hx ? xh2 = h3 x, ?h3 ∈ H .

∴ ab = (h1 x)(h2 y ) = h1 ( xh2 ) y = h1 (h3 x) y = (h1 h3 )( xy ) . 即 ab = (h1 h3 )( xy ) ∈ Hxy ? Hab = Hxy 这 说 明 , 尽 管 可 能 x ≠ a , 或 y = b , 但 只 要 Hx = Ha 且
Hy = Hb ? HxHy = HaHb ,即运算与代表元的选择无关。

定理 3:设 H < G ,那么 S R = {Ha | a ∈ G} 关于运算 " HaHb = Hab" 做成一个群。 证明:Q H = He ∈ S R . ? S R ≠ ? . 由明示 1 和引理知 S R 满足封闭性和结合律.而
HeHa = H (ea ) = Ha ? He = H 是单位元,

最后 Ha ?1 Ha = H (a ?1 a ) = He = H ? Ha 有逆元 Ha ?1 。 定义: 商群。并记为 定义:一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所作成的群叫做一个商群 商群
G=G H


|= |G| = [G : H ] |H |

若 | G |< +∞ ,那当 H < G 时,则 | G

H

§11 同态于不变子群
定理 1:一个群 G 同它的每一个商群 G N 同态. 证明:显然 ?x ∈ G.? ( x) = xN (这里与教材一致,用左陪集的形式出现)是一个 映射, (因为以 x 为代表元的做陪集的唯一确定的) 又因为Q ?aN ∈ G
N

,那么 ? (a) = aN ? ? 是满射

最后, ?x, y ∈ G , ? ( xy ) = ( xy ) N = xNyN = ? ( x)? ( y ) ∴ ? ( xy ) = ? ( x)? ( y ) 即? : G → G 及G 与G
N N

一个群同态满射,即 G~G

N

,或者说,G

N

是 G 的同态象,

同态。

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《抽象代数》课程教案

定义: 那么 G 的单位元 e 的全部原逆象作成的 G 定义 设 ? : G → G 是一个群同态满射, 的子集叫做同态满射 ? 的核,记为 Ker (? ) 。即 Ker (? ) = {x ∈ G | ? ( x) = e} .

定理 2:设 G 与 G 是两个群,并且 G 与 G 同态,那么这个同态满射的 核 N 是群 G 的一个不变子群,并且 G N ? G 。
证明:设 ? : G → G 是群同态映射,那么 Ker (? ) < G . 设 N = Ker (? ) .Q ? (e) = e ? e ∈ N .∴ N ≠ ? .
( N ≤ G ) : ?x, y ∈ N .故 ? ( xy ) = ? ( x)? ( y ) = ee = e .

∴ xy ∈ N .
?x ∈ N . ? ( x ?1 ) = (? ( x)) ?1 = e
?1

= e .∴ x ?1 ∈ N .

由上知 N ≤ G . ( N < G )     ?x ∈ N , g ∈ G .

? ( gxg ?1 ) = ? ( g )? ( x)? ( g ?1 ) = ? ( g )e? ( g ?1 ) = ? ( g )? ( g ?1 ) = e
∴ gxg ?1 ∈ N 由上知 N < G G 现定义 φ: N
→ G ,其中 φ (aN ) = ? (a ) = a

(ⅰ) φ 是映射:如果 aN , bN ∈ G

N

且 aN = bN . ? a ?1b ∈ N .

∴ ? (a ?1b) = e .

但 ? (a ?1b) = ? (a ?1 )? (b) = ? (a ) ?1 ? (b) .即

? (a) ?1 ? (b) = e    ? (a) = ? (b) ?
∴ φ 的对应关系与陪集的代表元选取无关 ? φ 是映射. (ⅱ) φ 是满射:

? x ∈ G ,Q ? 是满射. ? ?x ∈ G 使 ? ( x) = x .故取 xN ∈ G

G

,

有 φ ( xN ) = ? ( x) = x . ∴ φ 是满射. (ⅲ) φ 是单射,若 φ (aN ) = φ (bN ) ? ? (a ) = ? (b) ? ? (a ?1b) = e

31

《抽象代数》课程教案

? a ?1b ∈ N ? aN = bN

∴ φ 是单射.

(ⅳ)?aN , bN ∈ G

N

. φ (aNbN ) = φ (abN ) = ? (ab) = ? (a )? (b) = φ (aN )φ (bN ) ,∴

φ (aNbN ) = φ (aN )φ (bN ) 即 φ 为群同态映射
由(ⅰ)——(ⅳ)知, φ 是群同构映射,即 G N ?G。

定义. 定义.设 ? : G → G 是群同态映射,若 H ≤ G ,那么由子群 H 中的元素在 G 内的 全部逆象构成的集合叫做 H 的完全原象‘ 定理 3:设 G 与 G 是两个群,并且 G 与 G 同态,那么在这个同态满射之下 的 (1)若 H ≤ G ,那么 ? (H ) ≤ G ; (2)若 H < G ,那么 ? (H ) < G . 证明:(1) Q ? (H ) = g ∈ G ?g ∈ H使? ( g ) = g 表示 H 在 ? 下的象.于是

?   y ∈ ? (H ) ? ?x, y ∈ H 使 x = ? ( x ), y = ? ( y ) ,进而 , x,

x y = ? ( x )? ( y ) = ? ( xy ) ,因为 H ≤ G ? xy ∈ H

∴x

?1

= ? (H ) .

由上知 ? (H ) ≤ G . (2) Q H ≤ G , 由(1) ? ? (H ) ≤ G , 另外,
? x ∈ ? (H ), ? g ∈ G ,
?1 ?1

∴ ?x ∈ H和?g ∈ G使 = ? ( x ), g = ? ( g ) x

于是 g x g

= ? ( g )? ( x )? ( g ) = ? gxg ?1 ,因为 H < G ? gxg ?1 ∈ H
?1

(

)

∴ ? gxg ?1 ∈ ? (H ) ? g x g ∈ ? (H )

(

)



? (H ) < G

定理 4:设 G 与 G 是两个群,并且 G 与 G 同态,那么在这个同态满射之下 的 (1)若 H ≤ G ? ? ?1 H ≤ G ,并 ker (? ) ≤ ? ?1 H ; (2)若 H < G ? ? ?1 H < G 。 证明:(3) ?x, y ∈ ? ?1 H ,那么 ? ( x ) = x ∈ H , ? ( y ) = y ∈ H .

( )

( )

( )

( )

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《抽象代数》课程教案

于是 ? ( xy ) = ? ( x )? ( y ) = x y ∈ H 另外, ? (x ?1 ) = ? ( x ) = x ?1 ∈ H
?1

(Q H ≤ G ) ? xy ∈ ? (H )
?1

(Q H < G )

∴ x ?1 ∈ ? ?1 H

( ) ( )

由上知

? ?1 H ≤ G , ?a ∈ ker (? ) ? ? (a ) = e ∈ H ? ? ?1 H ? ker (? ) ≤ ? ?1 H 且

( )

( )

(4) Q H ≤ G, 由 (3) ? ? ?1 (H ) ≤ G ?x ∈ ? ?1 H , ?g ∈ G . 则 ? gxg ?1 = ? ( g )? ( x )? g ?1 = ? ( g )x? g
?1

( )

(

)

( )

()

?1

= g xg

∈ H , Q H < G ? gxg ?1 ∈ ? ?1 H , ∴ ? ?1 H < G .

(

)

( )

( )

第三章 环与域
教学目的与教学要求:理解环的概念及相关性质;掌握交换环,有单位元的环, 没有零因子的环和整环的概念; 掌握整环与除环的区别和联系, 整环的几种判定, 域的运算规则和域的判定法则; 理解环的特征的定义及特性; 掌握子环等的定义, 理解环同态的相关性质;明确未定元一元多项式的定义及性质;掌握理想和主理 想的定义及表示;理解剩余类环的定义及环同态的相关性质;掌握极大理想的概 念和判断极大理想的方法,理解极大理想而获得域的方法;理解商域的概念及属 性。 教学重点:理解环这种代数体系中二种运算中的谐调关系;零因子的概念;除环 的判定,域的运算法则的证明;无零因子环的特征的定义及特性;环与子环之间 的性质“变异”问题,环同态的保性质问题;存在性定理;了解理想的基本概念 和性质,还有理想的各种表现形式;环的同态定理,性质与剩余类的联系;极大 理想的概念,极大理想与域关系;商域的构造。 教学难点:零因子与消去律的关系;无零因子环的特征的定义及特性;环与子环 之间的性质“变异”问题,环同态的保性质问题;区别高等代数中多项式环的多 项式新内容;了解生成理想的结构问题和传递问题;环的同态定理;由极大理想 构造域;商域的结构及性质。 教学措施:黑板板书与口授教学法。 教学时数:18 学时。 教学过程:

§1 加群,环的定义
定义: 加群, 定义:一个交换群叫做一个加群,假如把这个群的代数运算叫做加法,并用符号 加群 “+”来表示。 一个加群唯一的单位元用“0”表示,并把它叫做零元。 1. 0+a=a+0=a 元 a 的唯一逆元用-a 表示,并把它叫做 a 的负元。 2. –a+a=a-a=0 3. –(-a)=a
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《抽象代数》课程教案

4. a+c=b ? c=b-a 5. –(a+b)=-a-b -(a-b)=-a+b 定义: 定义 一个集合 R 叫做一个环,假如 环 (1) {R;+} 是一个加群; (2) {R;?} 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的; (3)这个乘法适合结合律; (4) R 的乘法”·”对加法”+”满足左右分配律, 即 a (b + c) = ab + ac 且 (b + c)a = ba + ca. ?a, b, c ∈ R . 例 1. {R;+,?} 中设 Z 为整数集,”+”和”·”为 Z 中通常的整数加法和乘法.易 知 {R;+,?} 是一个环.——习惯上称它为整数环,记为 Z . 同理还有有理数环,实数环,复数环。 上述的四个环都是由数组成。故称为数环. 例 2. 偶数集 2 Z = {L ,?6,?4,?2,0,2,4,6, L} 对于整数通常的加法和乘法也是一个环. 例 3.设 Z [i ] = {a + bi | ?a, b ∈ Z } , 按数的通常的加法也构成一个环,叫做高斯数环. 例 4.任取定一个数域 F .由 F 上一切一付元多项式组成的集 合 F [ x] = {a n x n + a n ?1 x n ?1 + L + a1 x + a 0 | a i ∈ F , n ∈ N ?1 } 关于多项式 通常的加法与乘法.也可构成一个环.这个环 {F [ x];+;?} 称为 关于 x 的多项式,或一元多项式环. 设 R 是一个环,那么有如下性质. ?a, b, c ∈ R. n, m ∈ N * 性质 1: 性质 2: 性质 3: 性质 4: c(a ? b) = ca ? cb
0a = a 0 = 0 (? a )b = a (?b) = ? ab (?a )(?b) = ab



(a ? b)c = ac ? ab

性质 5: 若 a1 , a 2 , L , a m ∈ R ,那么

∑a
i =1

m

i

= a1 + a 2 + L + a m

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《抽象代数》课程教案
m n

性质 6:

(∑ ai )(∑ b j ) = (a1 + L + a m )(b1 + L + bn )
i =1 j =1

= a1b1 + a1b2 + L + a1bn + L + a m b1

= ∑∑ ai b j ,
i =1 j =1 m n

m

n

也就是说
m n

(∑ ai )(∑ b j ) = ∑∑ ai b j
i =1 j =1 i =1 j =1

性质 7:

(na )b = (a + 4+ L 4a )b = ab4ab + L 3 = n(ab) a 14 24+ 3 1 +4 44 2 ab
n n

a (nb) = a (b + 4+ L 4b) = ab442443 = n(ab) b + 14243 1 + ab + L + ab
n n


∴ (na )b = a (nb) = n(ab) = nab 性质 8: a m = aa2 a   1L , 3
m

a m a n = a m+n ,

(a m ) n = a mn
n(a + b) = na + nb

性质 9: (? n)a = (? a ) + (? a ) + L + (? a ) , 1444 24444 4 3
n

(n + m)a = na + ma ,

(nm)a = n(ma )   ,     = 0 0a

§2 交换律,单位元,零因子,整环
一. 交换环 设 {R;+,?} 为环,已知 R 关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘 法”·”, R 也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有 定义: 交换环,假如 ab = ba ,不管 a,b 是 R 的那两个元. 定义:一个环 R 叫做一个交换环 交换环 易知,在§1 中所介绍的所有数环,一元多项式 F [ x] ,和剩余类环 Z m 都分别 是交换环.但 n 价矩阵环 M n ( F ) 不是交换环. 二.有单元元的环 有单元元 设 {R;+,?} 为环,就加法”+”而言.加法群 {R,+} 中自然有单位元,习惯上换 为群 {R,+} 的零元,并记为 0. 对乘法”·”而言, {R,?} 中是会有单位元呢? 定义:一个环 R 的一个元 e 叫做一个单位元 单位元,假如对于 R 的任意元 a 来说,都有 定义 单位元 ea = ae = a 。
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《抽象代数》课程教案

例1. 偶数环没有单位元。 定义: 逆元,假如 ab = ba = 1 。 定义:一个有单位元环的一个元 b 叫做元 a 的一个逆元 逆元 ①因为偶数环 2 Z 中没有单位元,故 2 Z 中没有谈论逆元的“资格”. ②整数环 Z 中有单位元 1R (整数 1 ).但除了 ± 1 外,,其余元都不可逆. ③在 M n (F ) 中.单位元是 E .而 A ∈ M n (F ) 可逆 ?| A |≠ 0 . 三.无零因子环 在§1 中已知: a = 0或b = 0    ab = 0 ”但反之, “ ?

? “ ab = 0    a = 0或b = 0 ”这样一条普通的计算规则,在一般的环中未
必成立 譬如,在剩余类环 Z 6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]}中. [2] ≠ [0], [3] ≠ [0] 但 [2][3] = [6] = [0]
0? 0? ?1   ? 0    ? ? 譬如在二阶 M 2 ( F ) 中, A = ? ? 0    ≠ 0 , B = ?1   ≠ 0 , ? ? 1? 0? ? ? ? 0? ? 0    ? 但 AB = ? ? 0    = 0 ,为什么会发生这种现象? 0? ? ?

定义. 左零因子, 定义.若是在一个环里 a ≠ 0, b ≠ 0 ,但 ab = 0 ,那么称 a 是 R 的一个左零因子 b 是 左零因子
R 的一个右零因子 右零因子.(∴上例中[2], A 都是左零因子,[3], B 都是右零因子) 右零因子 在环 R 中,关于零因子的概念要做如下解释:


若 a 是 R 的左零因子,一般 a 未必同时是 R 的右零因子.(比如,在 M ( F ) 2
0 ?1  ? ? 中, ? ? 0    只是右零因子,不是左零因子,其中, 0? ? ?


? M 2 ( F ) = ?? 0   | a, b ∈ F ? ). ? 0? ?? ? ?
显然,若环 R 是变换环时, R 的每个左(右)零因子都是零因子.( Z 6 中 [2] , 和 [3] 都是零因子) 一个环是否为无零因子环,与环中乘法的一个重要运算规则—消去律有着 密切的联系.
36

?? a b ?

?

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复习消去律的概念:设 a, b, c ∈ R . 左消去律: ab = ac且a ≠ 0 ? b = c 右消去律: ba = ca且a ≠ 0 ? b = c 定理:在一个没有零因子的环里两个消去律都成立: 定理 (1)a ≠ 0, ab = ac ? b = c . (2)a ≠ 0,ba = ca ? b = c . 反过来,在一个环里如果有一个消去律成立,则这个环没有零因子。 证明: (1) (?)   ?a, b, c ∈ R ,如果 ab = ac 且 a ≠ 0 那么 a (b ? c) = 0 .因为 a ≠ 0
且 R 中没有左零因子. ? b ? c = 0 (否则 a 就成了左零因子)即 b = c 由 a, b, c 的任意性 ? R 中满足左消去律.
(?)

设 0 ≠ a ∈ R ,如果 ab = 0

显然 ab = a 0 ,∵ a ≠ 0 由左消去律 ? b = 0 ,这说明 a 不是左零因子.由 a 的任意性
? R 中没有左零因子.

推论: 推论:在一个环里如果有一个消去律成立,则另一个消去律也成立。 四. 整环 定义. 整环,假如 定义.一个 R 叫作整环 整环 (1) R 是交换环,(2) R 有单位元,(3) R 是无零因子环. 整数环 Z 是整环. 而不是整环的有:偶数环(无 1R ).矩阵环 M n ( F ) (不变换且有零因子), Z m ( m 为合数,有零因子)。

§3 除环,域
例1. R 只包含一个元 a,加法和乘法是:a+a=a,aa=a. R 唯一的元有一个逆元。 例2. 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说是环,这个环的任意元 1 a ≠ 0 ,有逆元 。 a 定义: 除环,假如 定义:一个环 R 叫做一个除环 除环 ①

R 至少包括一个非零元( R 至少含有两个元);
37

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② R 有一个单位元; ; ③ R 中每个不等于零的元都有一个逆元. 定义: 定义:一个交换除环叫做一个域。 域 性质 a:除环没有零因子。 性质 b: 对除环 R 而言,一切非零元构成的集合 R * 是一个乘法群. 设 R = {(α , β )α = a + ib, β = c + id   C }是所有的复数对(事实上, R = C 2 ) ∈
?
??

在 R 中定义加法和乘法:

(α1 , β1 ) + (α 2 + β 2 ) = (α1 + α 2 ) + (β1 + β 2 )
(α 1 , β1 )(α 2 , β ) = (α 1α 2 ? β1 β 2 , α 1 β 2 + α 2 β1 )
其中 β 2 和 α 2 表示 β 2 和 α 2 的共轭复数. 可以证明: R 是一个环.(略) 又易知

(1,0) 是 R 的单位元 ? R 是一个幺环.

任取 R 的一个非零元 (α , β ) = (a + ib, c + id ) 由于 α , β 不全为零 ? α α + β β = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≠ 0 (∴ a, b, c, d 不全为零)

? ?β α 于是有 ? ? αα + β β , αα + β β ?

? ? ∈ R ,使 ? ?

(α , β ) (

?β )= (1,0 ) = l R . αα + β β αα + β β ,

α

由 (α , β ) 的任意性 ? R 中每个零元都可逆 ? R 是一个除环. 另外,显然 (i,0 ) , (0,1) ∈ R 而

(i,0 ) (0,1) = (0, i ) ,
这说明

(0,1)(i,0) = (0,?i )
即 R 不是域.

(i,0)(0,1) ≠ (0,1)(i,0)

所以 R 是一个非域的除环。 我们将上述除环称为哈米尔顿(Hamiltom)四元数除环 四元数除环,也简称为四元数除 四元数除环 环。

38

《抽象代数》课程教案

§4 无零因子环的特征
例1. 我们看一个模 p(p 是素数)的剩余类环 F。我们说,F 是一个域。 证明:利用群的第三定义。 例 2.设 G1 = (b ), G2 = (c ) 是两个循环加群,又设 b = ∞, 而 c = n . 所以

G1 = {hb ?h ∈ Z }, 且  hb = 0 ? h = 0. G2 = {kc ?k ∈ Z }, 且  kc = 0 ? n k .
现令 R = G1 × G2 = {(hb, kc ) ?h, k ∈ Z }并规定 R 中加法“+”:

(h1b, k1c ) + (h2 b, k 2 c ) = (h1b + h2 b, k1c + k 2 c )
乘法“·: (h1b, k1c )(h2 b, k 2 c ) = (0,0) 。 ” 可以验证

{R,+,?}是一个环,但在加群 {R,+}中,

(b,0) = ∞, 而 (0, c ) = n .
在一个没有零因子的环 R 里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。 定理 1: 证明:说明: ?0 ≠ a,0 ≠ b ∈ R.且设R ≠ {0}
(ⅰ)若每个非零元的阶都是无限 ? 它的阶都相同. (ⅱ)若 | a |= n, ? na = a + 4+ L 4a = 0 a 14 24+ 3
n

∴ 0 = (na )b = a (nb) ,Q a ≠ 0. 且 R 中无零因子.

? nb = 0 ?| b |≤ n. 若 | b |= m 则 m ≤ n ,重复上述的证明,同理 ? n ≤ m
∴ n = m .即 | b |= n .

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《抽象代数》课程教案

由 a, b 的任意性 ? 它们的阶都相同. 定义. 定义. 一个无零因子的环 R 的非零元的相同的(对加法来说的)阶叫做环 R 的特 特 征。 定理 2:如果无零因子环 R 的特征是有限整数 n,那么 n 是一个素数. 证明:若 R 中每个非零元的阶都是 n .如果 n 是合数。 记 n = n1 n2 其中 1 < n1 , n2 < n .
∴ 0 = n(ab) = (n1 a)(n2 b) ,但由于 0 < n1 , n2 < n ? n1 a ≠ 0 且 n2 b ≠ 0 ,

进而知 n1a 是左零因子,而 n2 b 是右零因子.这与 R 无零因子矛盾。
∴ n 不是合数,又Q R ≠ {0} ? n ≠ 1 即 n 为素数.

推论: 推论:整环,除环和域的特征或是无限大,或是一个素数 p . 若 R 环的特征为素数 p ,且 R 可变换,则有

(a + b ) p

= a p + bb ,

?a, b ∈ R .

§5 子环。环的同态
定义: 子环,假如 S 本身对于 R 的代数运算 定义:一个环 R 的一个子集 S 叫做 R 的一个子环 子环 来说做成一个环。 一个环 R 的一个子集 S 叫做 R 的一个子除环 子除环,假如 S 本身对于 R 的代数运算 子除环 来说做成一个除环。 设 ? ≠ S ≤ R ,也可以定义 R 的子整环 子域 子整环,子域 子整环 子域: 1、 S 是 R 的子整环 ? (ⅰ) ?a, b ∈ S , a ? b ∈ S , ab ∈ S . (ⅱ) {S ,+,?}是可变换的 且 1S ∈ S (ⅲ) {S ,+,?}中没有零因子. 2、 S 是 R 的子除环 ? (ⅰ) ?a, b ∈ S , a ? b ∈ S , ab ?1 ∈ S .
?? ? (ⅱ) S ≠ {0},且 1S ∈ S (或说 ?S ,??是个乘群 ) ? ? 3、 S 是 R 的子域 ? S 既是 R 的子整环也是 R 的子除环 例 1. 对于环 R 而言,零环 {0} 和 R 必是 R 的子环—— R 的平凡子环 例 2.设 R 为任意环,令 C (R ) = a ∈ R ?x ∈ R, ax = xa 则 C (R ) 必是一个子环,

40

《抽象代数》课程教案

叫做环 R 的中心。 定理 1.若存在一个 R 到 R 的满射,使得 R 与 R 对于一对加法和乘法来说都同态, 那么 R 也必是一个环. 2.设 定理 2. R ~ R 是环同态满射,那么: ① 若 OR 是 R 中的零元 ? ? (OR ) 必是 R 的零元. 即
?

? (OR ) = OR .

② 若 1R 是 R 的单位元 ? ? (1R ) 必是 R 的单位元 即 . ? (1R ) = 1R , ③ 一个负元的象必是象的负元,即 ? (? a ) = ?? (a ). ④ 若 R 可变换 ? R 也可变换. 例 3.设 ? : Z → Z n 是环同态满射,其中: ? (n ) = [n] . 显然 Z 是整环. ∴ Z 中没有零因子,但在 n 不是素数时, Z n 有零因子。 这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子. 例 4.设 R = (a, b ) ?a, b ∈ Z .在 R 中定义运算:

(a1 , b1 ) + (a 2 , b2 ) = (a1 + a 2 , b1 + b2 ). (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1a 2 , b1b2 ).
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:

? : R → Z ,其中, ? (a, b ) = a 可以验证, ? 是一个环同态满射.由于 (0,0) 是 R 中的
零元,当 a ≠ 0 且 b ≠ 0 时.有 (a,0)(0, b ) = (0,0) ? R 中有零因子.而显然 Z 中没有 零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子. 由上知,环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质.如果 ? 是环同构时, 其结果则不同了. 3.假定 R 和 R 都是环,且 R ? R ,那么 R 是整环(除环,域)当且仅当 R 是整环 定理 3. (除环,域). 引理: 假定在集合 A 与 A 之间存在一个一一映射 ? ,并且 A 有加法和乘法,那么我 引理:
41
?

《抽象代数》课程教案

们可以替规定加法和乘法,使得 A 与 A 对于一对加法和乘法都同构。

证明:

任取 a1 , a 2 ∈ A .定义:

a1 ? a 2 = ? ( xy ) a1 m a 2 = ? ( x + y ),
其中 所以

? ( x ) = a1 , ? ( y ) = a 2 ? ( x + y ) = a1 m a 2 = ? ( x ) m ? ( y ) ? ( xy ) = a1 ? a 2 = ? ( x ) ? ? ( y )

又已知 ? 是双射.由 a1 , a 2 的任意性 ? R ? A. .因 R 为环,由 定理 1 ? A 也是环
∴ ? 成了环同构.

?

定理 4:设 S 是环 R 的一个子环,S 在 R 里的补足集合与另一环 S 没有共同元,并 且 S ? S ,那么必存在另一个与 R 同构的环 R ,而且 S 是 R 的子环. 证明:为了方便,令 S = {a S , bS , c S L}.而 S = a S , bS , c S L . 因 S ? S ,则设 ? ( x S ) = x S
?

{

}

.

又令 B = {a, b, c L} ? R = a S , bS , c S ,L a, b, c L 今令 R = a S , bS , c S L a, b, c L ,显然 R ≠ R 作
f :R→R
42

《抽象代数》课程教案

其中 x S → x S

x→x

(也就是说,对于 B 中的元, f 是恒等映射,对于 S 中元, f 是 ? ) 显然, f 是满 射. 另一方 面, ?x, y ∈ R ,可 分为 三 种情形 逐一 考虑 (其 中, x ≠ y ). (ⅰ) 若 x, y ∈ B ? 那么 f ( x ) = x ≠ y = f ( y ) (ⅱ) 若 x, y ∈ S ? f ( x ) = ? ( x ), f ( y ) = ? ( y )
∴ 当 x ≠ y 时必有 ? ( x ) ≠ ? ( y ) Q ? 是同构映射.

∴ ? (x ) ≠ ? ( y )

(ⅲ) 若 x ∈ B ,而 y ∈ S 时 ? f ( x ) = x ,但 f ( y ) = ? ( y ) .因为
B I S = ?,而x ∈ B, ? ( y ) ∈ S ? x ≠ ? ( y ) ∴ f (x ) ≠ f ( y ) . 总之,当 x ≠ y 时, ? f ( x ) ≠ f ( y ) , ∴ f 是单射. 综合上述 ? f : R → R 为双射.由引理,因为 R 为环,则必可为 R 定义加法 和乘法,使 R 为环且 R ? R . ∴ ①成立. 下面得证②也成立,(即 S 是 R 的子环) 现设 R 中的加法和乘法分别记为“ m ”和“ ? ”,又 S 设与 S 中的加法和乘 法分别记为“+”和“· ”.以下将证明若局限在 S 内,“ m ”与“+”, ? 与·是一 致的
43
f

《抽象代数》课程教案
?

? x S , y S ∈ S 于是 x S + y S = Z S ∈ S , ∴ S ? S . 则有 x S , y S 和 Z S 使 ? ( x S ) = x S , ? ( y S ) = y S , ? ( z S ) = z S 于是, x S m y S = ? ( x S ) m ? ( y S ) = f ( x S ) m f ( y S ) = f (x S + y S )
= f ( z S ) = ? (z S ) = z S
∴ xS + yS = z S 。 这表明在 S 中, “ m ” 加法

与“+”是一致的。 ”也是一致的。 同理可证在 S 中“ ? ”与“· 所以 S 是 R 的子环,②成立。

§6 多项式环
一、多项式环的定义。 多项式环的定义。

设 R0 是一个含有单位元 1R0 的可变换环。 又设 R 是 R0 的子环且 1R0 ∈ R ,现考察 R0 中含 R 及 任取定元素 α ∈ R0 的最小子环:
? ? R[α ] = ? f (a ) = ∑ a iα i a i ∈ R, n是非负整数? ? ? 显然每个 f (α ) = ∑ a iα i = a 0 + a1α + L + a nα n ∈ R0 .
i =0 n

定义.一个可以写成 a0 + a1α + L + anα n , (ai ∈ R, n 是≥0 的整数)形式的 R0 的元都 定义. 叫做 R 上 α 的一个多项式 a i 叫做该多项式 f (α ) 的系数 多项式, 系数. 多项式 系数 下面我们希望能将 R[α ] 做成一个环.事实上( R[α ] 是 R0 的一个
44

《抽象代数》课程教案

子环)

?f (α ) = ∑ aiα i , g (α ) = ∑ b j α j , 定义规则如下:(当 m p n )
i =0 j =0

m

n

f (α ) + g (α ) = ∑ (a j + b j )α j , 必定假设 a m+1 = a m+ 2 = L = a n = 0 .
n j =0

? n+m ? m ?? n f (α ) ? g (α ) = ? ∑ aiα i ?? ∑ b j α j ? = ∑ C k α k , 其中 ? ? ? i =0 ?? j =0 ? k =0
Ck =
i + j =k

∑a b
i

j

又 可知

? f (α ) = ?∑ a iα i = ∑ (? a i )α i
i =0 i =0

m

m

f (α ) + g (α ),? f (α ), f (α ) ? g (α ) ∈ R[α ]
∴ R[α ] 确定是一个环. (是含 R 和 α 的最小的子环)
?

定义. 的多项式环. 定义. 如果上方得到的环 R[α ] 叫做 R 上的 α 的多项式环 显然 R[α ] 是 R0 的一个子环,但 R 中每个多项式 f (α ) 的表达形式未必唯一. 譬如,设 R = Z ,而 α = 2 ∈ R0 = R . 那么 Z 2 中的零元
0 = 0 +α

[ ]

( 2)

2

= ?2 +

( 2) .
2

∴ 0 的表达式不唯一.

换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:
f (α ) = a 0 + a1α + a 2α 2 + L + a nα n = 0 ,但系数 a 0 , a1 , a 2 , L , a n 不全为零.这

显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对 α ∈ R0 做如下的讨论。 定义. 未定元(超越元),假如在 R 中找不到不全为零 定义 R0 的一个元 x 叫做 R 的一个未定元 未定元 的元素 a 0 , a1 , L , a n 使

a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n = 0,    n ∈ N ? ) (? ( 即

∑a x
i =0 i

n

i

= 0 ? a0 = a1 = a2 = L = an = 0 )

.

否则称 α 为 R 上的代数元.
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《抽象代数》课程教案

习惯上,记 R 上的未定元为 x . 有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式 f ( x ) 的问题. 一元多项式.那么 一元多项式 定义 . 令 f (α ) = a 0 + a1 x + a 2 x + L + a n x n (a n ≠ 0 ) 为环 R 上的一元多项式 非负整数 n 叫做多项式 f (a ) 的次数 次数.若 f ( x ) = 0 ,记为没有 f (α ) 没有次数。 次数 由上, 我们已看到未定元的重要性, 但对给定的环里未定元是否一定存在? 例: 设 R0 = {a + ib a, b ∈ Z }, R = Z ,则知 R0 是可换的幺环,而 R 为 R0 的子环,但 R 的未定元不存在。 事实上,若 α = a + ib 是未定元,则发现有

(a

2

+ b 2 + (? 2a )α + α 2 = 0

)

这与 α 是未定元矛盾。由 α 的任意性 ? Rs 没有 R 的未定元。 定理 1: 给了一个有单位元的交换环 R ,一定有 R 上的未定元 x 存在,因此也 就有 R 上的多项式 R{x}存在。 证明: (1) 利用题设的 R 构造一个表示环 P . 设 P = (a 0 , a1 , a 2 , L) a i ∈ R, 只有有限个ai ≠ 0 . 规定:

(a0 , a1 , a 2 ,L) = (b0 , b1 , b2 ,L) ? ai

= bi , i = 0,1,2, L

现在 P 中定义加法和乘法: 加法: 乘法:

(a0 , a1 , a 2 ,L) + (b0 , b1 , b2 ,L) = (a0 + b0 , a1 + b1 ,L) (a0 , a1 , a 2 ,L)(b0 , b1 , b2 , L) = (c0 , c1 , c2 ,L), 其中
Ck =
k =i + j

(k ∑ a b    = 0,1,2,L)
i i

可以验证:

{R,+,?}做成一个环,其中.
P 是变换环 (Q R 是可换的)

(ⅰ) P 中的零元为 (0,0,0,L), (这理 0 ∈ R ) (ⅱ) (ⅲ) (2)

P 中有单位元 (0,0,0,L), ( 1 = 1R ) 利用 p ,构造一个能包含 R 的扩环 R0 .

设 R = (a,0,0,L) ?a ∈ R = ? , 显然

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《抽象代数》课程教案

?(a,0,0, L), (b,0,0, L) ∈ R,

(a,0,0,L) ? (b,0,0,L) = (a ? b,0,0,L) ∈ R.

(a,0,0,L)(b,0,0,L) = (ab,0,0,L)

∈ R ? R 是 P 的一个子环.

现令 ? : R → R, 其中 ? (a ) = (a,0,0,L) ?a ∈ R 可知, ? 是一个环同构,即 R ? R0 显然. P ? R I R = ? 由“挖补定理”知,我们可得到一个新的环 R0 ,其中 R ? R0 且 R0 ? P , R0 中的单位元就是 R 中单位元 1R . (3) 须证 R0 含有 R 上的未定元 令 x = (0,1,0,0,L). .因为 x ∈ R ? x ∈ P ? R ? R0
? ? 又注意到, x k = ? (0,0, L ,0, )1,0,0 L? 4 3 ? 1 24 ? k个 ? ? 下面证明: x 就是 R 的未定元.
?

?

(

)

(证略)

令 a 0 , a1 x, a 2 x 2 + L + a n x n = 0 在环同构中之下: R0 → P
a 0 → (a 0 ,0,0, L)

(ai ∈ R )

…… (*)

a1 → (a1 ,0,0,L)
M
a n → (a n ,0,0, L)

0 → (0,0,0,L)
由(*) ?

(a0 ,0,0,L) + (a1 ,0,0,L)x + L + (a n ,0,0,L)x n = (0,0, L)
利用 P 中元素乘法的 x 定义和的特点上式变为:

(a0 , a1 , a 2 ,L) = (0,0,0, L)
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《抽象代数》课程教案

∴ a 0 = a1 = a 2 = L = a n = 0

∴ x 是的 R 上的未定义。 三、多元多项式环 设 R0 是可变换的幺环,而 R 是 R0 的子环且 1R0 ∈ R . 现任取 R0 中 n 个元素 α 1 , α 2 , L , α n ,我们可以依次做如下工作: 首先作上的 α 1 的多项式环 R[α 1 ] . 再作 R[α 1 ] 上的 α 2 的多项式环 R[α 1 ][α 2 ] 最后作上 R[α 1 ][α 2 ]L[α n ?1 ] 的 α n 的多项式环 R[α 1 ]L[α n ]. 其中, ?f (α 1 , α 2 , Lα n ) ∈ R[α 1 ][α 2 ]L[α N ] ?
i i = ∑ ai1i2 Lin α 1i1 α 22 Lα nn

其中, a i1i2 Lin ∈ R, 系数只有有限个 ≠ 0 . 多元多项式, 定义. 多元多项式 定义 . 上述描述的每个 f (α 1 , α 2 , L , α n ) 称为 R 上的 α 1 , α 2 , L , α n 的多元多项式 而每个 a i1i2 Lin 叫作 f (α 1 , α 2 , L , α n ) 的系数. 习惯上, R 上的 α 1 , α 2 , L , α n 的多项式环 R[α 1 ]L[α n ]. 写成 R [ a1 Lα n ] . 对于多元多环中加法和乘法的运算为: ? ? i ( ∑ ai1i2 Lin α 1i1 Lα nn ) + ? ∑ b j1 j2L jn α1j1 Lα njn ? ?j ? i1Lin ? 1L jn ?

= =

∑ (a

i1Lin

i i + bi1Lin α 1i1 Lα nn ( ∑ ai1i2 Lin α 1i1 Lα nn )( i1Lin

)

∑b
j1L j n

j1L jn

α 1j Lα nj )
1 n

i1Lin

∑C
k1Lk n

k1Lk n

α Lα
k1 1

kn n

其中,

C k1Lk n =

i1Lin im + jm = k m

∑a

b j1L jn

同样,上多元多项式环中元素仍存在着表示不唯一的问题. 所以与一元多项式环一样,要定义无关未定元. 定义 . R0 中 n 个元 x1 , x 2 , L x n 叫做 R 上的 无关未定元,假如任何一个 R 上的 无关未定元
x1 , x 2 , L x n 的多项式都不会等于零,除非这个多项式的系数全为零.

定理 2:给了一个有单位元的交换环 R 同一个正整数 n,一定有 R 上的未定元
x1 , x 2 , L x n 存在,因此也就有 R 上的多项式 R[x1 , x 2 , L x n ]存在。

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《抽象代数》课程教案

证明: (数学归纳法) 当 n = 1 ,由定理直接可得, 假设时 n ? 1 定理成立,即有可变换环 R[x1 , L x n ?1 ] 其中 x1 , x 2 , L , x n?1 为 R 上的无关未定元. 对 n 的情形:首先可知,由定理 1 ? 有环 R[x1 , L x n ?1 ] 上的未定元 x n , 使 R[x1 , L x n ?1 ][x n ] 为环. 下面说明: x1 , x 2 , L , x n 是 R 上的无关未定元. ?f ( x1 L x n ) =

∑a
i1Lin

i1Lin

i x111 L x nn = 0 ? i

∑ (a
i1Lin

i1Lin

i 1 i x L x nn??1 x nn = 0 ? i1 1

)

∑? ∑a ?
in

?

? i1Lin ?1

i1Lin

? i i 1 x1i1 L x nn??1 ?x nn = 0 ? ?

Q x n 是 R[x1 L x n ] 上的未定元 ?

∑a
i1Lin ?1

i1Linn

i 1 x1i1 L x nn??1 = 0

∴ 但 x1 L x n ?1 又是 R 上的无关未定元 ? ai1Lin = 0.

∴ x1 L x n 是 R 上的无关未定元.

定理 3: 假定 R[x1 , x 2 , L , x n ] 和 R[α 1 , α 2 , L , α n ] 都是有单位元的交换环 R 上的多 项式环, x1 , x 2 , L , x n 是 R 上的无关未定元,而 α 1 , α 2 , L , α n 是上的任意元, 那么
R[x1 , x 2 , L , x n ] 与 R[α 1 , α 2 , L , α n ]同态。

证明(略) 由上结论可知:在 R[x ] 中若干个多项式通过加法和乘法做成的某等式.当用

x 换成 R0 中任一个元素 α 后,该等式仍成立.于是有相应的

§7 理想
定义. 理想子环 理想,假如 定义. 环 R 的一个非空子集 ? 叫做一个理想子环 理想子环,简称理想 理想 ① ?a, b ∈ N , a ? b ∈ N , ② ?r ∈ R, ?n ∈ N , rn ∈ N且nr ∈ N .
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《抽象代数》课程教案

任一个环至少都有如下二个理想: {0} —零理想, R —单位理想.而习惯上将 零理想和单位理想统称为平凡理想,而其它理想(若存在)叫作真理想。 定理 1:一个除环 R 只有两个理想,就是零理想和单位理想。 证明:设 N 是除环的 R 非零理想,那么 ?0 ≠ n ∈ R ∵ n 必可逆 ? ??1 ∈ R ,由理想的定义 ? 1R = n ?1 n ∈ N .
∴ 1R ∈ N .于是 ?r ∈ R, r = r1R ∈ N ,由 r 的任意性 ? R ? N ,∴ R = N .这表明 R 只有平凡理想。

例1.

整数环的任意非零整数 n 的所有倍数 rn(r∈R)是整数环
Z 的理想。

例2.

无常数项的所有多项式是多项式环 R[x]的一个理想。

利用环 R 中一个元素 a 作以下集合:

? = {∑ xi ayi + sa + at + na | xi , yi , s, t ∈ R, n ' ∈ N , n ∈ Z }
i =1

n'

由于 (a)<R .那么 xi ay i , sa, at 和 na = a + 4+ L 4a 都应在 ? 中,(∵吸收律和 a 14 24+ 3
n

加法封闭性).再用加法封闭性

∑ x ay + sa + at + nt ∈ ?
i =1 i i

n'

∴ ? = {∑ xi ayi + sa + at + na | xi , yi , s, t ∈ R, n ' ∈ N , n ∈ Z } ? ?
i =1

n'

(其中 ∑ xi ay i 为有限个 xi ay i 之和).
i =1

n'

另一方面,设 ?x, y ∈ ? ,那么 x 和 y 都应是 ? 中元素的形式:
x = ∑ xi ay i + sa + at + na
i =1
m'

n'

y = ∑ x j ay j + ua + av + ma
j =1 n ' + m' k =1

那么

x? y =

∑ x ay
k

k

+ ( s + u )a + a (t ? v) + (n + m)a ∈ ?

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《抽象代数》课程教案

?r ∈ R.

rx = ∑ (rxi )ay i + (rs )a + rat + nra
i =1

n'

   ∑ x h ay h + (rs + nr )a =
h =1

n ' +1

   ∑ x h ay h + wa ∈ ?     其中x h , y h, w ∈ R =
h =1

n ' +1

xr = ∑ xi a ( yi r ) + sar + a (tr ) + n(ar )
i =1 n'

n'

   ∑ xi a ( y i r ) + sar + a (tr + nr ) =
i =1

   ∑ xl ay l + ap ∈ ?, 其中xl , y l , p ∈ R =
l =1

n ' +1

∴ ? 是 R 的理想,且显然 a ∈ ? .由 (a ) 的最小性 ? ? = ? .

定义. 主理想. 定义. 由环 R 中一个元素 a 生成的理想 (a ) 叫做主理想 主理想 由上可知,一般情况下,环 R 中一个元素 a 生成的理想 (a ) 中元素是比较复杂 的,但当 R 具有某些特殊性质时,那么 (a ) 便得到相应的简化.例如原来
(a ) = {∑ xi ay i + sa + at + na | L}
i =1 m

①当环 R 可交换时,
(a ) = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z } ;

②当环 R 中有单位元 1R 时,
(a ) = {∑ xi ay i + sa1R + 1R at + (n1R )a1R | L}
i =1 m

   {∑ x j ay j | x j , y j ∈ R} =
j =1

m +1

③当 R 有单位元且 R 可交换 (a ) = {ra | r ∈ R} (3)有限个元素生成的理想 设 S = {a1 , a 2 ,L , a n } ? R ,那么由子集 S 生成的理想 ? 中的结构是怎样的呢? 事实上,

? = (a1 ) + (a2 ) + L + (a11 ) = {s1 + s2 + L + sn | si ∈ (ai ), i = 1, 2,L, n} .
51

《抽象代数》课程教案

可知 ∑ (ai ) 是 R 的理想.且每个生成元 a i ∈ ∑ (a i ) 但 ? 是含 a1 , a 2 ,L , a n 中
i =1 i =1

n

n

最小的理想 ? ? = ∑ (ai ) .
i =1

n

例 3.设 R 为整数环,而 R[x] 自然也是整环.取 2, x ∈ R 那由 2 与 x 生成的理想为
(2, x) = {2 f ( x) + xg ( x) | ?f ( x), g ( x) ∈ R[ x]} = {a n x n + L + a1 x + a 0 2 | a i ∈ R} .下面

证明 (2, x) 不是理想. 如果是 (2, x) 主理想,则
(2, x) = ( f ( x)), f ( x) ∈ R[ x]. ? 2 ∈ ( f ( x)) ? 2 = g ( x) f ( x), 又x ∈ ( f ( x)) ? x = h( x) f ( x)
但 2 是零次多项式 ? g (x) 和 f (x) 都是零次多项式(是非零常数) 即 f ( x) = a ≠ 0 .∴ x = h( x)a ? a = ±1 .∴ ± 1 ∈ ( f ( x)) = (2, x) 可是 ± 1 不可能表成 a n x n + L + a1 x + 2a 0 的形式 ? 矛盾

§8 剩余类环
在前一讲中已知,当 I 是环 R 的理想时,仅加法而言知 I < R ,得到加法商群

R = {[a ] |∈ R} ,其中群 R 中运算为 [a ] + [b] = [a + b] 且 [a ] = [b] ? a ? b ∈ I . I I
今将说明商加群 R 中可以合理地引入一个乘法并使 {R ,+,?} 做成一环.这 I I 个乘法定义为

[a ] ? [b] = [ab]

(或 (a + I )(b + I ) = ab + I )

定义的合理性:设 [a ] = [a ' ] 且 [b] = [b ' ]. ? a ? a ' ∈ I 且 b ? b ' ∈ I ,

∴ ab ? a ' b = (a ? a ' )b ∈ I ,
且 a ' b ? a ' b ' = a ' (b ? b ' ) ∈ I , (Q I<R ) ? ab ? a ' b ' ∈ I ? [ab] = [a ' b ' ] ∴定义是合理的. 很容易验证 {R ,?} 是一个半群. I 同时可以验证 {R ,?} 乘法对加法的左右分配律.故此, {R ,?} 是一个环. I I
52

《抽象代数》课程教案

定理 1.设假定 R 是一个环, ? 是它的一个理想, R 是所有模 ? 的剩余类作成的集 合。则 R 本身也是一个环,并且 R 与 R 同态。 证明:略。 定义: 剩余类环。记做 R 定义: R 叫做环 R 的模 ? 的剩余类环 剩余类环 例 设
R=Z

?。
I = 6 Z = {6n | ?n ∈ Z } 那 么

为 整 数 环 , 而 使

R = Z 6 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5]} ,就是我们已经熟悉的“模 6 剩余类环”—这是 I 整数的剩余类环. 定理 2.假定 R 同 R 是两个环,并且 R 与 R 同态,那么这个同态满射的核 ? 是 R 的 一个理想,并且 R

? ? R。

证明:(ⅰ)对加法而言,显然是一个加群满同态,由第二章知 I < R . (即 I 是 R 的 不变子群). ?k ∈ I , ?r ∈ R. 那么 ? (rk ) = ? (r )? (k ) = ? (r )0 = 0 ? rk ∈ I . 同理 kr ∈ I .核 ? 是 R 的一个理想 (ⅱ)由第二章知,存在 Φ : R

? ? R .作为群同构,其中 ?[a] ∈ ? .
R

Φ ([a ]) = ? (a ), 下面只需证明: ?[a],[b] ∈ R , Φ ([a ][b]) = Φ ([a ])Φ ([b])

?

Φ ([a ][b]) = Φ[ab] = ? (ab) = ? (a )? (b) = Φ[a ]Φ[b] .

∴ Φ:R

?

→ R 是环同构.即 R

? ?R .

Φ

与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果. 3.在环 R 到环 R 的一个是同态满射之下, 定理 3. (ⅰ)若 S 是 R 的子环 ? ? (S ) 是 R 的子环 (ⅱ)若 I 是 R 的理想且 ? 为满射 ? ? (I ) 是 R 的理想 (ⅲ)若 S 是 R 的子环 ? ? ?1 ( S ) 是 R 的子环 (ⅳ)若 S 是 R 的理想 ? ? ?1 ( S ) 是 R 的理想 证 明 : ( ⅰ ) ?a, b ∈ ? ( S ) ? ?a, b ∈ S 使 a = ? (a ), b = ? (b). 所 以 a ? b ∈ S , 于 是
a ? b = ? (a ) ? ? (b) = ? (a ? b) ∈ ? ( S ) ? ? ( S ) ≤ R .(子群)

53

《抽象代数》课程教案

另外 a = ? (a )? (b) = ? (ab) ∈ ? ( S )   (Q ab ∈ S)  b
∴ ? (S ) 是 R 的子环.

(ⅱ)Q I < R ,∴ I 是 R 的子环 ? ? ( I ) 是 R 的子环.
Q ? 是满射

(i )

? ? ? ?a ∈ R ? ?a ∈ R , 使 a = ? ( a ) ? ? ? Q IR ? ia ∈ I , ai ∈ I ? ?
i a = ? (i )? (a ) = ? (ia ) ∈ ? ( I ) ? ? ? ? ? ( I ) ???? R ai = ? (a )? (i ) = ? (ai ) ∈ ? ( I )? ?
(ⅲ) ?a, b ∈ ? ?1 ( s ) ∴ ? (a ), ? (b) ∈ S , 而知

? i ∈ ? ( I ) ? i ∈ I使 i = ? ( i )

? (a) ? ? (b), ? (a)? (b) ∈ S
∴ ? ? (a ? b) = ? (a) ? ? (b) ∈ S ? a ? b ∈ ? ?1 ( s)? ?? ? ?

? (ab) = ? (a)? (b) ∈ S ? ab ∈ ? ?1 ( s)

? ?1 ( s) 是 R 的一个子环.
(ⅳ) ?a ∈ ? ?1 ( s ). ? ? (a ) ∈ S , ?r ∈ R. ∴ ? (r ) ∈ R
Q S < R ,∴ ? (a )? (r ) ∈ S , ? (r )? (a ) ∈ S .

于是

? (ar ) = ? (a )? (r ) ∈ S ? ar ∈ ? ?1 ( s ) ? ? ? (ra) = ? (r )? (a ) ∈ S ? ra ∈ ? ?1 ( s) ? ?
?

又由(ⅲ) ? ? ?1 ( s ) 是 R 的子环.于是 ? ?1 ( s )<R . 注意 2.从定理 3 的证明中可知:除了(ⅱ)需要 ? 是满环同态外,其余情况都不需 要 ? 是满射这个条件.

§9 最大理想
定义. 极大理想.,假如除了 R 和 ? 定义 一个环 R 的一个不等于 R 的理想 ? 叫做一个极大理想 极大理想 以外,没有能包含 ? 的理想。

54

《抽象代数》课程教案

例 1. 设素数 p ∈ Z ,那么由 p 生成的理想 I = ( p ) 必是极大理想. ① ② 因为 ( p ) = {np ?n ∈ Z } ? 1 ? ( p ) ( p 不整除 1) ∴ p ≠ Z

设 J < Z ,且 I ? J ,那么说明存在 g ∈ J 但 g ? ( p ) 换句话说 p 不整除 g ,由 p 的性质 ? ( p, g ) = 1. ? ?s, t ∈ Z 使

sp + tg = 1 .

Q p ∈ I ? J ,且 g ∈ J ? 1 = sp + tg ∈ J ? J = R = Z

引理 1:假定 ? ≠ R 是环 R 的理想。剩余类环 R 在有理想,当且只当 ? 是 R 的极大理想.

? 除了零理想同单位理想以外不

证明: ( ? ) 已知 ? 是 R 的极大理想,须证 R = R
R 的一个理想,而

? 只有平凡理想.设 {(0)} ≠ J 是

π : R → R = R ? 为自然同态映射,Q J < R . 那么由§8 知
J = π ?1 J 也是的理想,即 J < R .

()

又注意到, ?a ∈ I ,则 π (a ) = [a ][0] (∴ I = ker π )
Q [0] ∈ J ? a ∈ J ? I ? J ,但 J ≠ {(0 )} ? ?b ∈ J 且 [b] ≠ [0 ? b ∈ J ] ,

使 π (b ) = [b] ≠ [0],∴ b ? I

,这说明 I ? J
?J =R , 于 是 利 用 π 是 满 同 态 映 射

但 I 是 极 大 理 想
? J = π (J ) = π R = R ∴ R=R

(

)



J = R.

? 是个单环. ? 是单环,(即 R 只有平凡理想) 今设 J <R ,且, ? ? J ? ,且由§8 定理 3 ? π ( J ) = J < R .

(? )

已知 R = R

须证 J = R : 做同态: π :→ R = R

由 ? ? J ? ?b ∈ J 且 b ? ? , ∴ π (b ) = [b] ≠ [0] (Q ? = ker π ) 而仅且

π (b ) = [b] ∈ J ? 这说明 J 中有非零元 [b] ? J ≠ {(0 )},但 R 是单环 ? J = R .
∴ ?r ∈ R. π (r ) = [r ] ∈ R = J ? ?j ∈ J 使 π ( j ) = [r ] = π (r )
55

《抽象代数》课程教案

∴ π ( r ? j ) = [ 0] ? r ? j ∈ ker π = ? ∈ J ∴ r = (r ? j ) + j ∈ J , 由 r 的任意性 ? R = J
∴ ? 是极大理想.

2.若有单位元的交换环 R ≠ {0} 除了零理想同单位理想以外不在有其他理 引理 2. 想,那么 R 一定为域。 证明: 显然需要证明 R 是除环即可,也就是说:只要证 明 R 中每个元都可逆.
?a ∈ R ∴ a ≠ 0 , 由 a 生成的一个主理想 (a ≠ {0}) ,但 R 是单
? ?

环 ? (a ) = R,∴1R ∈ R = (a ) 又Q R 为可换幺环 ? (a ) = {ra ?a ∈ R} ? 1R = ra
∴ a ?1 = r ? a 可逆, 由 a 的任意性 ? R 是除环即 R 是域。

定理. 定理.设假定 R 是一个有单位元的交换环, ? 是环 R 的一个理想。 R ? 为域当且 仅当 ? 是 R 的一个极大理想. 证明: (? ) R 想.

? 为域 ?

R

? 为只有零理想同单位理想,则 ? 为 R 的极大理
引理1

(?)

Q ? 为 R 的极大理想 ? R

? 为单环……(1)
(2)

又 Q

? 为极大理想 ? ? ≠ R ? R ? ≠ {0}LL

Q R 可变换且 1R ∈ R ? R

? 可变换且单位元为 [1R ]… (3)

由(1),(2),(3) ? R

引理 2

? 为域.

例3. 设 p 是一个素数,则 ( p ) = I 是 Z 的一个理想。

§10 商域
定理 1. 每一个没有零因子的交换环 R 都是一个喻域 Q ,使 R 成为 Q 的子环。 证: 情形 1.若 R 是零环,则任取一个域 Q 且令 R = {0} 是 Q 的零理想,那么必有
56

《抽象代数》课程教案

R ? R ,由挖补定理知必存在 Q 为环使 R ? Q 且 Q ? Q

∴ Q 为域.

情形 2.若 R ≠ {0} . ? 构造一个集合 A = {(a, b ) a, b ∈ R且b ≠ 0} = R × R ,
?

Q R ≠ {0} ? A ≠ ? .

: 在 A 中定义关系“~” (a, b ) ~ (c, d ) ? ad = bc 可以验证“~”是的一个等价关系,事实上, (ⅰ) ?(a, b ) ∈ A,Q ab = ba ( Q R 可变换) ? (a, b ) ~ (a, b ) (ⅱ) 若 (a, b ) ~ (c, d ) ? ad = bc ? cb = da ? (c, d ) ~ (a, b ) . ( ⅲ ) 若

(a, b)



(c, d )



(c, d )



(e, f ) ? afd = bed



cf = de ? adf = bcf , bcf = bde ? afe = bed . 但 d ≠ 0, R 中无零因子 ? 有消去律

? af = be ? (a, b ) ~ (c, f ) ,
由(ⅰ)、(ⅱ)和(ⅲ)知“~”是一个等价关系. ? 利用 A 上的等价关系“~”,可在 A 中进行分类
?a? ?(a, b ) ∈ A, 则 (a, b ) 所在的类记为 ? ? .(仅是记号) ?b ? ?? a ? ? 则可作集合 Q0 = ?? ? | ?a, b ∈ A? ,现在 Q0 中定义运算 ?? b ? ?

加法:

? a ? ? c ? ? ad + bc ? ? b ? + ? d ? = ? bd ? , ? ? ? ? ? ? ? a ? ? c ? ? ac ? ? b ? ? d ? = ? bd ? , ? ?? ? ? ?

乘法:

须证上述定义的合理性: (ⅰ) 当 (a, b ) , (c, d ) ∈ A ? b ≠ 0 且 d ≠ 0 ,而 R 无零因子 ? bd ≠ 0 ,
∴ (ad + bc, bd ) ∈ A 且 (ac, bd ) ∈ A ,于是 ? ad + bc ? ? ac ? ? bd ? ∈ Q0 且 ? bd ? ∈ Q0 ? ? ? ?

(ⅱ) 运算与类的代表元无关. 事实上,
57

《抽象代数》课程教案
' ' ?a? ?a ? ? c ? ? c ? 若 ? ? = ? ' ? , ? ? = ? ' ? ? ab ' = ba ' 且 cd ' = dc ' ?b ? ?b ? ?d ? ?d ?

首先,

ab ' dd ' = ba ' dd ' 且 cd ' bb ' = dc ' bb ' ? adb ' d ' + cbb ' d ' = bda ' d ' + bdc ' b ' ?

(ad + cb )b ' d ' = (a ' d ' + c 'b ' )bd ?

(ad + cb, bd ) ~ (a ' d ' + c 'b ' , b ' d ' ) ?
' ' ' ' ? ad + cb ? ? a d + c b ? =? ? ' ' ? bd ? ? ? ? bd ? ' ' ?a ? ? c ? ?a ? ? c ? 即 ? ?+? ?=? '?+? '? ?b ? ?d ? ?b ? ?d ?

其次,

ab ' cd ' = ba ' cd ' ,

ba ' cd ' = ba ' dc ' ? ac ' b ' d ' = bda ' c '

' ' ? ac ? ? a c ? 即 (ac, bd ) ~ a ' c ' , b ' d ' ? ? ? = ? ' ' ? . ? bd ? ? b d ?

(

)

所以
' ' ? a ?? c ? ? a ?? c ? = ? ' ?? ' ? ? b ?? d ? ? ?? ? ? b ?? d ?

由上分析知,其定义的加法和乘法是合理的.所以得到一个代数系统 {Q0 ,+,?} ?

{Q0 ,+,?} 构成一个域,事实上,

首先, {Q0 ,+}构成一个加法变换群
?a? ? c ? ? c ? ?a? ① 由上(ⅰ) ? Q0 对“+”封闭 且 ? ? + ? ? = ? ? + ? ? ?b ? ?d ? ?d ? ?b ?

? a ? ? ? c ? ? e ? ? ? a ? ? cf + de ? ? adf + bcf + bde ? ② ? ? + ?? ? + ? ?? = ? ? + ? ?=? ? bdf ? b ? ? ? d ? ? f ? ? ? b ? ? df ? ? ? ? ?
? ad + bc ? ? e ? ? ? a ? ? c ? ? ? e ? =? ? ? ? + ? ? = ?? ? + ? ?? + ? ? ? bd ? ? f ? ? ? b ? ? d ? ? ? f ? ?0? ③ {Q0 ,+}中的零元为 ? ? , ?a?

58

《抽象代数》课程教案

? 0 ? ? c ? ? 0d + ac ? ? ac ? ? c ? ? a ? + ? d ? = ? ad ? = ? ad ? = ? d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

注意:

?0 ? ?0? ?(0, a ), (0, b ) ∈ A 则 (0, a ) ~ (0, b ) , ∴ ? ? = ? ? ? a ? ?b ?

这说明 {Q0 ,+}中零元只有一个,但代表元不唯一. ④
?a? ? a ? ? ? a ? ? ab ? ba ? ? 0 ? ? 0 ? ?? ? ∈ Q0 ,那么 ? ? + ? ? = ? 2 ? = ?b 2 ? = ?b ? ?b? ?b ? ? b ? ? b ? ? ? ? ? ?a? ?? a? ∴ ? ? 有负元 ? ? . ?b ? ? b ?

其次, {Q0, 构成一个半群. ?} ① {Q0 ,+,?} 关于“· ”封闭可由知(ⅰ). ②

? a ?? ? c ? ? e ? ? ? a ? ? ce ? ? a(ce ) ? ? (ac )e ? ? ac ? ? e ? ? ? ? b ?? ? d ? ? f ? ? = ? b ? ? df ? = ? b(df ) ? = ? (bd ) f ? = ? bd ? ? f ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? a ? ? c ? ?? e ? = ? ? ? ? ? ?? ? ? b d ? f ? ? ? ? ? ?? ?

再其次, ①

{Q0 ,+,?} 中满足“· ”对“+”的分配律.
? a ?? ? c ? ? e ? ? ? a ? ? cf + de ? ? a(cf + de ) ? ? acf + ade ? ? ? ? = ? bdf ? ? b ?? ? d ? + ? f ? ? = ? b ? ? df ? = ? bdf ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
* ? acfb + adeb ? ? ac ? ? ae ? ? a ? ? c ? ? a ? ? e ? =? ? = ? bd ? + ? bf ? = ? b ? ? d ? = ? b ? ? f ? ? bbdf ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?

注意 2.

在“*”处,用到了性质: Q ? a ? ? ab ? ∴ ? ?=? ? ? c ? ? cb ?

(a, c ) ~ (ab, cb )

由上可知 {Q0 ,+,?} 构成了一个环.

最后, {Q0 ,+,?} 是一个域,即 {Q0 ,+,?} 作成一个变换群,事实上 ?a? ? c ? ① {Q0 ,+,?} 已是半群. ?? ?, ? ? ∈ Q0 ? a ≠ 0, c ≠ 0 , ?b? ?d ?

59

《抽象代数》课程教案

? a ?? c ? ? 0 ? 若 ? ?? ? = ? ? , ? b ?? d ? ? f ?

Q f ≠ 0 且 acf = 0 ?↑

? a ?? c ? ? 0 ? ∴ ? ?? ? ≠ ? ? ? b ?? d ? ? f ?

由此知, {Q0 ,+,?} 是半群.
?a? ? a ? ? c ? ? ac ? ? c ? ② ?a ∈ R, a ≠ 0, 则 ? ? 是单位元: ? ? ? ? = ? ? = ? ? ?a? ? a ? ? d ? ? ad ? ? d ?



?a? ? a ? ? b ? ? ab ? ? a ? ?? ? ∈ Q0 ,则 ? ? ? ? ? ? ?,∴ ? ? ? b ? ? a ? ? ab ? ? b ? ?b?

?1

?b? =? ? ?a?

所以 {Q0 ,+,?} 是一个群. 综合上述四个方面讨论知 {Q0 ,+,?} 构成一个域.

?

?g0? 0 任取定 0 ≠ g ∈ R, 那么 ? ? ∈Q , 现作一个 Q0 的子集: ?g?
?? ga ? ? R0 = ?? ? | ?a ∈ R ? , 并构成对应关系: ?? g ? ?
? ga ? 其中 ? (a ) = ? ? ?g ?

显然 ? 是映射,且 ? 是满射.
? ga ? ? gb ? 如果 ? (a ) = ? (b ) , 则 ? ? = ? ? ? ( ga, g ) ~ ( gb, g ) ? g 2 b = g 2 a ?g ? ?g ?
?a=b

( R 中有消去律)

∴ ? 是单射.

∴ ? 是双射,且 ? 是同态映射.事实上

? (ab ) = ?

? gab ? ? ggab ? ? ga ? ? gb ? ?=? ? = ? ? ? ? = ? (a )? (b ) ? g ? ? gg ? ? g ? ? g ?

? (a + b ) = ?

? g (a + b ) ? ? ga + gb ? ? g 2 a + g 2 b ? ? ga ? ? gb ? ? = ? ? + ? ? = ? (a ) + ? (b ) ?=? ?=? g2 ? g ? ? g ? ? ? ?g? ?g?

∴ ? : R → R0 是环同构,即 R ? R0 , 显然 R I Q0 ≠ ? .

?

利用挖补定理,必存在域 Q ,有 Q ? Q0 且 R ? Q0
60

φ

《抽象代数》课程教案

明示: 事实上,有理数域就是通过上述方法,由 Z 而做出的. 由上定理的证明过程可知, Q 中元素的形式较为复杂,即
? ? ? ?a? ? c ? ? e ? ? Q = ?a, b, c, d ,L ? ?, ? ?, ? ?,L? = R U (Q0 ? R0 ) , ? ?b ? ?d ? ? f ? ? ? ? Q 其是如此复杂吗?

上述讨论恰好证明了下列定理 2.包含环 R 的域 Q , 恰好是所有形如 定理 2. ?a ? Q = ? a ,0 ≠ b ∈ R ? ?b ? 证明: ?0 ≠ b ∈ R ? Q , 则 b 在 Q 必有逆元 b ?1 ( b ?1 未必在 R 中)
a b

(a, b ∈ R, b ≠ 0) 的元组成,即

? a a 若 a ∈ R ,那么 ab ?1 = b ?1 a = ∈ Q ,这表明: Q 有可能是由 “ ” 的形式组成 b b

的..事实上, ?a ∈ R, a =

ga , g ≠ 0, g ∈ R . g

61

《抽象代数》课程教案

?a ? 设 ? = ? ∈ Q a, b ∈ R且b ≠ 0? , 显然 ? ? Q, R ? ? , 现 ?x ∈ Q , ?b ?
Q φ : Q0 → Q 其中, ?x 0 ∈ Q0

? ?a? ?a   当x0 ∈ R0 , 则x0 = ? b ? ? ? ? φ : x0 → ? ?? a ?     当x ∈ Q ? R , 则x = ? a ? 0 0 0 ?b? ?? b ? ? ? ?? ?
Q

φ 必是满射对于 x ∈ Q , 则 ?? ? ∈ Q0 使 φ ? ? ? ? = x ? b ? ?b ? ?? ??
?1

?a?

??a??

? a ? ? gq ? ? g ? ? gq ? ? gb ? 然而, ? ? = ? ? ? ? = ? ? ? ? ? b ? ? g ? ? gb ? ? g ? ? g ?


?1 ? ? gq ? ? gb ? ?1 ? ? ? gq ? ? ? ? gb ? ? ??a?? x = Φ ? ? ? ? = Φ ? ? ? ? ? ? = Φ ? ? ? ?Φ ? ? ? ? ? b ? ? g ? ? g ? ? g ?? g ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?

? ? gq ? ? ? ? gb ? ? = ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? g ? ? g ? ?? ?? ?? ?? a ∴ x = ∈ ?, b
由 x 的任意性 ? Q ? ? .

?1

= ab ?1 =

a b

?a ? ∴ Q = ? = ? a , b ∈ R , b ≠ 0? ?b ?

?? a ? ? 定义:设 R 为环而 Q 是包含 R 的一个域,如果 Q = ?? ? a, b ∈ R, b ≠ 0? ,则称 Q 为 定义 ?? b ? ?
R 的商域 商域. 商域 定理 3:假定 R 是一个有两个元的环, F 为包含 R 的域。那么 F 包含 R 的一个商 域. a 证明:设 R ? F , 则 ?0 ≠ b ∈ R, b ?1 ∈ F ,用一切 这样的元素 b

构成一个集:

?a ? a Q = ? a, b ∈ R, b ≠ 0? (其中 ab ?1 = b ?1 a = ) b ?b ?

∴ Q ≠ φ 且知 Q 为 R 的商域. ∴Q ? F .

又 Q a, b ?1 ∈ F ? ab ?1 =

a ∈F b

定理 4:同构的环的商域也同构。 证明:略。
62


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