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【S】上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列


有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

上海市重点中学高中讲义汇编
专题:数列
一、填空、选择题: 1、 (2016 年上海高考)无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成, Sn 为 ?an ?的前 n 项和.若对任意 n ? N ? , Sn ??2,3?, 则 k 的最大值为______

__.

2、 (2015 年上海高考)记方程①:x +a1x+1=0,方程②:x +a2x+2=0,方程③:x +a3x+4=0,其中 a1,a2,a3 是正实数.当 a1,a2,a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( A.方程①有实根,且②有实根 C.方程①无实根,且②有实根 B. 方程①有实根,且②无实根 D.方程①无实根,且②无实根 )

2

2

2

3、 (2014 年上海高考)设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim ? a3 ? a4 ? ? ? an ? ,
n ??

则q ?

.

a a ? 4, a3 ? a4 ? 3, 4、 (虹口区 2016 届高三三模)若等比数列 ?an ? 的公比 q 满足 q ? 1 ,且 2 4

a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ___________. 则 lim( n ??

5、 (浦东新区 2016 届高三三模)已知公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若

S5 a ? 3 ,则 5 ? S3 a3

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 6、 (杨浦区 2016 届高三三模)若两整数 a 、 b 除以同一个整数 m ,所得余数相同,即

a ?b ? k (k ? Z ) , m

则称 a 、 b 对模 m 同余,用符号 a ? b(mod m) 表示,若 a ? 10(mod 6) (a ? 10) , 满足条件的 a 由小到大依次记为 a1 , a2 , ???, an , ??? ,则数列 {an } 的前 16 项和为

7、 (黄浦区 2016 届高三二模)已知数列 {an } 中,若 a1 ? 0 , ai ? k 2 (i ? N * , 2k ? i ? 2k ?1, k ? 1, 2,3,?) , 则满足 ai ? a2i ? 100 的 i 的最小值为

8、 (静安区 2016 届高三二模) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 81 ,an ? ? 的前 n 项和 Sn 的最大值为 .

??1 ? log3 an?1 , n ? 2k ,
an?1 ? 3 ,

n ? 2k ? 1

则数列 ?a n ? (k ? N *) ,

9、 (闵行区 2016 届高三二模) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,Sn = n2 + 2a | n - 2016 |( a ? 0 ) , 则使得 an ? an?1 ( n ? N )恒成立的 a 的最大值为
*

.

10、 (浦东新区 2016 届高三二模) 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (?1)n ? n ? 2n ,n ? N , 则这个数列的前 n 项
*

和 Sn ? ___________.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 11、 (徐汇、金山、松江区 2016 届高三二模)在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3, 公差 d ? 2, 若某学生对其中连续 10 项进行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下 9 项的和为 185, 则此连续 10 项的和为__________________.

??? ,则 12、 (宝山区 2016 届高三上学期期末)数列 1, , ,, ,, , , , ,

1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 1 3 2 1 4 3 2 1

8 是该数列的第 9

项.

13、 (崇明县2016届高三上学期期末)已知数列

的各项均为正整数,对于





其中k为使 an ?1 为奇数的正整数. 若存在



当n>m且 an 为奇数时, an 恒为常数p,则p的值为

14、 (奉贤区 2016 届高三上学期期末)数列 {an } 是等差数列, a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数
2

列 {an } 的前 2015 项的和为__________.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 15、 (虹口区 2016 届高三上学期期末)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? a5 ? 9, a2 ? a4 ? a6 ? 15, 则数列 ?an ? 的前 10 项的和等于_ ____.

二、解答题 1、 (2016 年上海高考)若无穷数列 {an } 满足:只要 a p ? aq ( p, q ? N * ) ,必有 a p?1 ? aq?1 ,则称 {an } 具有性质 P . (1)若 {an } 具有性质 P ,且 a1 ? 1, a2 ? 2, a4 ? 3, a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,求 a3 ; (2) 若无穷数列 {bn } 是等差数列, 无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 , b5 ? c1 ? 81 , an ? bn ? cn 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由; (3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an?1 ? bn ? sin an (n ? N ) .求证:“对任意 a1 ,{an } 都具有性质 P ”的充要条件为
*

“ {bn } 是常数列”.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 2、 (2015 年上海高考)已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,n∈N . (1)若 bn=3n+5,且 a1=1,求数列{an}的通项公式; (2)设{an}的第 n0 项是最大项,即 an0 ≥an(n∈N ) ,求证:数列{bn}的第 n0 项是最大项; (3)设 a1=λ<0,bn=λ (n∈N ) ,求 λ 的取值范围,使得{an}有最大值 M 与最小值 m,且 ∈(﹣2,2) .
n * * *

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 3、 (2014 年上海高考)已知数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N , a1 ? 1 .
*

1 3

(1) 若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 若 Sn ? S n ?1 ? 3S n , n ? N ,求 q 的取值范围;
*

1 3

(3) 若 a1 , a2 , ? , ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最大值时相应数 列 a1 , a2 , ? , ak 的公差.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 4、 (虹口区 2016 届高三三模)
? 若数列 An : a1 , a2 ,?, an (n ? N , n ? 2) 满足 a1 ? 0,

ak ?1 ? ak ? 1 (k ? 1, 2, ?, n ?1),

则称 An 为 L 数列.记 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ? ? an . (1)若 A5 为 L 数列,且 a5 ? 0, 试写出 S ( A5 ) 的所有可能值; (2)若 An 为 L 数列,且 an ? 0, 求 S ( An ) 的最大值; (3)对任意给定的正整数 n (n ? 2) , 是否存在 L 数列 An , 使得 S ( An ) ? 0? 若存在,写出满足条件的一个 L 数列 An ;若不存在,请说明理由.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!
? 5、 (静安区 2016 届高三二模)已知数列 ?an ? 满足 an ? 3an?1 ? 3n ( n ? 2, n ? N ) ,首项 a1 ? 3 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)数列 ?bn ? 满足 bn ? log3

an ? 1 ? ,记数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn , A 是△ ABC 的内角, n ? bn ? bn?1 ?

若 sin A cos A ?

3 Tn 对于任意 n ? N ? 恒成立,求角 A 的取值范围. 4

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!
* 6、 (闵行区 2016 届高三二模)已知 n ? N ,数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足: an?1 ? an ? 1 , bn ?1 ? bn ?

1 an , 2

记 cn ? an 2 ? 4bn . (1)若 a1 ? 1 , b1 ? 0 ,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:数列 ?cn ? 是等差数列; (3)定义 fn ( x) ? x2 ? an x ? bn ,证明:若存在 k ? N ,使得 ak 、 bk 为整数,且 fk ( x) 有两个整数零点,
*

则必有无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 7、 (闸北区 2016 届高三二模)已知数列 {an } , Sn 为其前 n 项的和,满足 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

n(n ? 1) . 2

1 } 的前 n 项和为 Tn ,数列 {Tn } 的前 n 项和为 Rn ,求证:当 n ? 2, n ? N * 时 Rn?1 ? n(Tn ?1) ; an
m n 1 ) ? ( ) m ,其中 m ? 1, 2,?, n , n?3 2
a

(3)已知当 n ? N * ,且 n ? 6 时有 (1 ?

求满足 3n ? 4n ? ?? (n ? 2)n ? (an ? 3) n 的所有 n 的值.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 8、 (长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届高三二模)已知正项数列 {an } , {bn } 满足:对任意 n ? N ,
*

都有 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15. (1)求证:数列

? b ?是等差数列;
n

(2)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (3)设 Sn ?

1 1 1 b ? ? L ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2aSn ? 2 ? n 恒成立,求实数 a 的取值范围. an a1 a2 an

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 9、 (宝山区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? logk x ( k 为常数, k ? 0 且 k ? 1 ) , 且数列 ? f (an )? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 k ?

1 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 的最小值; 2

(3)若 cn ? an lg an ,问是否存在实数 k ,使得 ?cn ? 是递增数列?若存在,求出 k 的范围; 若不存在,说明理由.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 10、 (奉贤区 2016 届高三上学期期末)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得
Sn ? am ,则称 ?an ? 是“H 数列”.

(1)、若数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ,判断 ?an ? 是否为“H 数列”; (2) 、等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 ? 2d ,求证: ?an ? 是“H 数列”; (3) 、设点 ? Sn , an?1 ? 在直线 ?1 ? q ? x ? y ? r 上,其中 a1 ? 2t ? 0 , q ? 0 . 若 ?an ? 是“H 数列”,求 q , r 满足的条件.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 11、 (虹口区 2016 届高三上学期期末)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 0, (1) 计算 a1 , a2 , a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ?? (2n ?1)bn ? 2n ? an ? 3, 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (3)由数列 ?an ? 的项组成一个新数列 ?cn ? : c1 ? a1 , c2 ? a2 ? a3 ,

2Sn ? n ? nan (n ? N ? ).

c3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 , ? ,
n ??

的值. cn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ?1 ? a2 n?1 ?2 ? ? ? a2 n ?1 , ? . 设 Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求 lim Tn n

4

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 12、 (黄浦区 2016 届高三上学期期末)已知 a1 , a2 ,…, an 是由 n ( n ? N* )个整数 1 , 2 ,…, n 按任意次序 排列而成的数列,数列 {bn } 满足 bk ? n ? 1 ? ak ( k ? 1, 2,?, n ) , c1 , c 2 ,…, c n 是 1 , 2 ,…, n 按从大到小的 顺序排列而成的数列,记 Sn ? c1 ? 2c2 ? ? ? ncn . (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n )的数列 {an } . (2)写出 c k ( k ? 1, 2,?, n ) ,并用含 n 的式子表示 Sn . (3)利用 (1 ? b1 )2 ? (2 ? b2 )2 ? ? ? (n ? bn )2 ≥ 0 , 证明: b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) 及 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ Sn . (参考: 12 ? 22 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) . )

1 6

1 6

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 13、 (静安区 2016 届高三上学期期末)李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月 底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余款全部 投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款?

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