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新课标I版01期 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编 专题03 导数


一.基础题组
1. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度高三上学期二调高三数学试卷】 如果 f ?(x) 是二次函数, 且 f ?(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3 ), 那么曲线 y ? f (x) 上任一点的切线的倾斜 角 ? 的取值范围是 A. (0, ( B. [ )

?
3

]

? ?

, ) 3 2

C. (

? 2?
2 , 3

]

D. [

?
3

,? )

2. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】过坐标原点与曲线 y ? ln x 相切的直线方 程为 .

3. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考) 】若 是 【答案】 2
1

?

a

0

xdx ? 1 ,则实数 a 的值

.

4. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】由曲线 y ?

1 , x ?1

y ? e x ,直线 x ? 1 所围成的区域的面积为___________

5. 【河南省南阳市第一中学 2014 届高三 10 月月考】

? (2? | 1 ? x |)dx =
0

2



6. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】(本小题 满分 12 分)设函数 f ( x) ? x (e ? 1) ? ax
2 x 3

(1) 当 a ? ? 时,求 f (x) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时, f (x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (1)单调递增区间为 (?2 , 0) , (0 , ? ?) ,单调递减区间为 (?? , ? 2) ; (2) a 的取

1 3

2

值范围为 [?1,??) .

考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求函数的最值;3.一元二次不等式的解法. 7. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考)(本小题满分 12 分) 】 若 f ( x) ? ?

? x 2 ? a (ln x ? 1), (0 ? x ? e)
2 ? x ? a (ln x ? 1), ( x ? e)

,其中 a ? R .

(1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [e, e ] 上的最大值;
2

3

(2)当 a ? 0 时,若 x ? [1, ??), f ( x) ?

3 a 恒成立,求 a 的取值范围. 2

2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ( x) ? 2 x ?

'

a 2 a a ? (x ? )( x ? ), x x 2 2

(ⅰ)当

a ? 1 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在区间 [1, e] 上为增函数, 2
2

当 x ? 1 时, f ( x)min ? f (1) ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e ;

4

8. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1.
(1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (2)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围; 【答案】(1) f ( x)max ? f (2) ? 0 ; (2) k ? (1, ??) . 【解析】 试题分析:(1)通过对函数求导,判函数的单调性,可求解函数的最大值,需注意解题时要先 写出函数的定义域,切记“定义域优先”原则;(2) 将

f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1的零点

问题转化为 y ? k ( x ? 1) ? 1 与 y ? ln( x ? 1) 图象交点个数问题,注意函数 y ? k (x ? 1) ? 1 的图象 恒过定点

5

二.能力题组
1. 【河南省南阳市第一中学 2014 届高三 10 月月考】设函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,若
2

?

3

0

f ( x)dx ? 3 f ( x0 ) ,则 x0 ? (
B. 2

) D.2

A. ?1 【答案】C 【解析】

C. ? 3

试题分析:因为

?

3

0

3 3 1 f ( x)dx ? ? (ax 2 ? b)dx ? ax 3 ? bx ? 9a ? 3b , 3 f ( x0 ) ? 3ax0 2 ? 3b , 0 0 3

6

2 2 所以 9a ? 3b ? 3ax0 ? 3b ,所以 x0 ? 3 , x0 ? ? 3 ,选 C.

考点:微积分基本定理. 2. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】设函数

f ( x) ? g ( x) ? x 2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为(
A.2 B. ?

) D. ?

1 4

C.4

1 2

3. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y=

1 围成的封闭图形的面积为( 2
A. 3 B. 2 - 3

) C. 2 -

?
3

D. 3 -

?
3

4. 【河南省南阳市第一中学 2014 届高三 10 月月考】若曲线 f ( x) ? 线中,只有一条与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 m 的值等于(

1 3 x ? x 2 ? mx 的所有切 3


A.0

B.2

C.0 或 2

D.3

7

5. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】曲线 y ? ln(2 x ?1) 上的点到直线

2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是
A. 5 B. 2 5



) C. 3 5 D.0

6. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度高三上学期二调高三数学试卷】已知函数

f ( x) ? x n ?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P, 若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横
坐标为 xn ,则 log 2013 x1 + log 2013 x2 +?+ log 2013 x2012 的值为( A.-1 【答案】A 【解析】
' n 试题分析:函数的导数为 f ( x) ? (n ? 1) x ,所以在 x ? 1 处的切线斜率为 k ? f '(1)=n ? 1 ,

) D.1

B. 1 ? log 2013 2012

C. ? log 2013 2012

8

所以切

7. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度高三上学期二调高三数学试卷】由曲线

y ? sin x, y ? cos x 与直线
.

x ? 0, x ?

? 所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是
2

8. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】曲线 y = cos x (0 ? x ? 所围成的图形面积是 ________________. 【答案】3 【解析】

3? )与坐标轴 2

9

试题分析: S ? 3

?

?

?

2 0

cos x ? 3sin x 2 ? (3sin ) ? (3sin 0) ? 3 . 2 0

?

考点:积分求面积. 9. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 2ln x ? ax ? a(a ? R) .
(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,证明:当 0 ? x1 ? x2 时,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? 2( ? 1) . x2 ? x1 x1

若 a ? 0 , f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上递增;
'

若 a ? 0 ,当 x ? (0, ) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;
'

2 a

当 x ? ( , ??) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减.
'

2 a

??????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 a ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上递增, 又 f (1) ? 0 ,故 f ( x) ? 0 不恒成立.

10

10. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? x ln x ?

a 2 x ,a ? R 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在(0, ? ? )单调递减,求 a 的最小值 (Ⅱ)若 f ( x ) 有两个极值点,求 a 的取值范围.

f ( x) 单调递减当且仅当 f ' ( x) ? 0 ,即 ?x ? (0, ??) , a ?

ln x ? 1 . x



11

11. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度高三上学期二调高三数学试卷】 (本题 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1). (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取
12

值范围.

⑶因为存在 x1 , x2 ?[?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ?[?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min , 所以只要 f ( x)max ? f ( x)min ≥ e ? 1 即可. 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:

x
f ?( x)

(??,0)
?

0 0

(0, +?)

+

13

f ( x)

减函数

极小值

增函数

所以 f ( x) 在 [?1,0] 上是减函数,在 [0,1] 上是增函数,所以当 x ?[?1,1] 时, f ? x ? 的最小值

12. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】 (本小题满分12分)已知函数

f ( x) ? ax 2 ?

1 x ? 2 ln( x ? 1) . 2

(1)求函数 f ( x) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程;

? x?0 ? (2) 当 x ? ? 0, ?? ? 时, 函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区 1 y? x?0 ? ? 2
域内,求实数 a 的取值范围.

14

(i) 当 a ? 0 时, g ?( x) ?

?x , x ?1

当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. ????8 分

15

13. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】 (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x ? ?1且x ? 0) . ( x ? 1) ln( x ? 1)

⑴求函数 f ( x) 的单调区间; ⑵求函数 f ( x) 的值域; ⑶已知 2
1 x ?1 m ? ?x ? 1? 对 ?x ? ?? 1,0? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

【答案】 (1)详见解析; (2) ?? ?,?e? ? ?0,?? ? ; (3) m ? ?e ln 2 . 【解析】 试题分析: (1)判断函数的单调区间,一般利用其导数的符号判断,使导函数为正的区间是 增区间,使函数为负的区间是减区间; (2)函数的值域则可利用(1)中得到的函数的单调性 进行求解; (3)恒成立问题则常用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题,而求函数的 最值则仍可利用导数去判断函数的单调性. 试题解析:⑴? f ? ? x ? ? ?

ln ? x ? 1? ? 1

? x ? 1?

2

ln

2

? x ? 1?

,由 f ? ? x ? ? 0 解得 ?1 ? x ?

1 ?1 , e

16

三.拔高题组
1. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】已知函数

y ? f (x) 定义域为 (?? , ? ) ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,当
(其中 f ?(x) 是 f (x) 的导函数) ,若 x ? (0, ? ) 时, f ( x) ? ? f ?( ) sin x ? ? ln x , 2 1 ) a ? f (30.3 ), b ? f (log ? 3), c ? f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是( 9 A. a ? b ? c 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 y ? f ( x ? 1) 是将 y ? f ( x) 的图象向左平移1 个单位得到,而其图象关于直线 B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b

?

x ? ?1 对称,故 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,可见 y ? f ( x) 为偶函数,又

17

2. 【河南省南阳市第一中学 2014 届高三 10 月月考】 已知曲线方程 f ( x) ? sin x ? 2ax(a ? R) ,
2

若对任意实数 m ,直线 l : x ? y ? m ? 0 都不是曲线 y ? f ( x) )的切线,则 m 的取值范围是 ( ) B. (??, ?1) ? (0, ??) C. (?1,0) ? (0, ??) D. a ? R 且

A. (??, ?1) ? (?1,0)

a ? 0, a ? ?1

3. 【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】已知函数

f ? x ? ? x n ? an?1x n?1 ? an?2 x n?2 ? ? ? a1x ? a0 ? n ? 2, n ? N * ? ,设 x0 是函数 f ? x ? 的零点的
最大值,则下述论断一定错误的是( ) A. f ' ? x0 ? ? 0 B. f ' ? x0 ? ? 0 C. f ' ? x0 ? ? 0 D. f ' ? x0 ? ? 0

4. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为

18

f ' ( x) ,当 x ? 0 时, f ' ( x) ?

f ( x) 1 1 1 ? 0 ,若 a ? f ( ), b ? ?2 f (?2), c ? ln f (ln 2) ,则下 x 2 2 2
) D. b>a>c C. c>b>a

列关于 a,b,c 的大小关系正确的是( A. a>b>c B. a>c>b

5. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】 已知 函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y ?
x

1 x 垂直的切线,则 2

实数 m 的取值范围是( A. m ? 2

) C. m ? ?

B. m ? 2

1 2

D. m ? ?

1 2

6. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】已知函数 f(x) (x∈R)满 足 f ?( x) >f(x) ,则 A.f(2)< e f(0)
2



) B.f(2)≤ e f(0)
2

19

C.f(2)= e f(0)

2

D.f(2)> e f(0)

2

7. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】曲线 y =x 与 y= x 围成 的图形的面积为______________.

2

2

8. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】 (本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ? 2a ln( x ? 1) ? x ? 2 x
2

(1)当 a ? 0 时,讨论函数 g (x) 的单调性: (2) 若函数 f (x) 的图像上存在不同两点 A, B , 设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) , 使得 f (x) 在 点 Q( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与直线 AB 平行或重合,则说函数 f (x) 是“中值平衡函数” ,切线

l 叫做函数 f (x) 的“中值平衡切线” 。试判断函数 g (x) 是否是“中值平衡函数”?若是,判
20

断函数 g (x) 的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由.

(2)若函数 g ( x) 是“中值平衡函数” ,则存在 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) ( ?1 ? x1 ? x2 )使 得

g '( x0 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即 x1 ? x2

2a ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 1? 2

2a ln

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2

21

考点:1.求切线的斜率;2.用导数求函数的单调性;3.分类讨论思想. 9. 【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】 (本小题 12 分) 已知函数 f ? ? e 对 (e 1 为 数 x? ? 然. ) a 0 x ,自 ) ( a 数 的 底
x

(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x?R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明: (n(n?? ) (n ) ) ?( n ) ?? ? ? ? (中 其) n* ? N

1 2 n n

n ? n e 1 n ne ? 1

试题解析: (1)由题意 a 0 ?x e a , ? f() ? , ?
x

22

10. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】(本小题满分 12 分)
设函 数

f ( x) ? x 2 ? a ln( x ? 1)

(I)若函数 y ? f ( x) 在区间[1, ??) 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围;
23

(II)若 函 数 y ? f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,求证: 0 ?

f ( x2 ) 1 ? ? ? ln 2 . x1 2

24

【证法 2】 x 2 为方程 2 x2 ? 2 x ? a ? 0 的解,所以 a ? ?2 x 2 ? 2 x 2 ,
2

1 1 1 ? 2a 1 , x1 ? x2 ? 0 , x2 ? ? ? ,∴ ? ? x2 ? 0 , 2 2 2 2 f ( x2 ) 先证 ? 0 ,即证 f ( x2 ) ? 0 ( x1 ? x2 ? 0 ), x1

∵0? a ?

在区间 ( x1 , x2 ) 内, f ?( x) ? 0 , ( x2 , 0) 内 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x2 ) 为极小值, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 ,

25

11. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a , a ? 1
x 2

⑴求证函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的单调递增; ⑵函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; ⑶对 ?x1 , x2 ? [?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围。 【答案】 (1)详见解析; (2) t ? 2 ; (3) 1 ? a ? e . 【解析】 试题分析: (1)证明函数在某区间单调递增,判断其导函数在此区间上的符号即可; (2)判 断函数零点的个数一般可从方程或图象两个角度考察,但当函数较为复杂,难以画出它的图 象时,可以将
26

⑶由⑵可知 f ? x ? 在区间 ?? 1,0? 单调递减,在区间 ?0,1? 单调递增,

? f ?x ?min ? f ?0? ? 1, f ?x ?max ? max? f ?? 1?, f ?1?? ,
又 f ?? 1? ?

1 1 ? 1 ? ln a, f ?1? ? a ? 1 ? ln a,? f ?1? ? f ?? 1? ? a ? ? 2 ln a , a a
2

1 2 ?1 ? 1 ' 设 g ?a ? ? a ? ? 2 ln a, a ? 1 ,则 g ?a ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1? ? 0 a a ?a ? a

? g ?a ? 在 ?1,??? 上单调递增,? g ?a ? ? g ?1? ? 0 ,即 f ?1? ? f ?? 1? ? 0 ,
? f ?x ?max ? f ?1? ? a ? 1 ? ln a ,
所以,对于 ?x1 , x2 ? ? ?1,1? , f ? x1 ? ? f ? x2 ? max ? f ?1? ? f ? 0 ? ? a ? ln a ,

? a ? ln a ? e ? 1,?1 ? a ? e .????????????12 分
27

考点:函数的单调性、函数的零点、不等式恒成立问题. 12. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】 (本小题满分 12 分) 对于函数 f(x) (x∈D) ,若 x∈D 时,恒有 f ?( x) > f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 J 函 数. (Ⅰ)当函数 f(x)=m e lnx 是 J 函数时,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g(x)为(0,+∞)上的 J 函数, ① 试比较 g(a)与 e
a ?1 x

g(1)的大小;

② 求证:对于任意大于 1 的实数 x1,x2,x3,?,xn,均有 g(ln(x1+x2+?+xn) ) >g(lnx1)+g(lnx2)+?+g(lnxn) .

? ex ? ? ? x ? ? m ? e x ln x ? ? , 试题解析: (Ⅰ)由 f ? x ? ? me ln x ,可得 f x? ?
x

28

13. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题】 (本题满分 14 分)设 f ( x) ? 曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直. (1)求 a 的值; (2) 若 ?x ?[1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的范围. (3)求证: ln 4 2n ? 1 ?

( x ? a) ln x , x ?1

? 4i
i ?1

n

i
2

?1

.(n ? N * ).

29

1 1 ? ? ln 3 ? ln1? ? 2 ? 4 4 ?1 ? 1 ? 1 2 ? ? ln 5 ? ln 3? ? ? 4 4 ? 22 ? 1 ? ? ??????? ? n ? 1 ln 2n ? 1 ? ln 2n ? 1 ? , ? ? ?? ?4 ? ? 4 ? n2 ? 1 ?
30

累加可得.

(3) 由(2)知,当 x ? 1 时, m ?

1? 1? 1 时, ln x ? ? x ? ? 成立. 2? x? 2

31

14. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】已

x f ( x) ? ? ax 知函数 ln x
(I)若函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数,求实数 a 的最小值; (2)若 ?x1 , x2 ? ?e, e ? 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (I)函数在 (1, ??) 上是减函数,即导函数在 (1, ??) 恒大于等于 0 ,转化为函数的 最值问题,求得 a 的最小值。 (II)存在性问题,仍转化为函数的最值问题,即 f ( x) 的最小 值小于等于
32
2

? ,使 f ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? a ( a ? 0 )成立,求实数 a 的取值范围. ?
1 1 . ? 2 4e2

1 4

; (II) a ?

考点: 1、利用导数判断函数单调性的逆用;2、利用导数求函数最值的综合应用. 15. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln

1 2 -a x +x(a>0) . x

(Ⅰ)若 f ?(1) = f ?(2) ,求 f(x)图像在 x=1 处的切线的方程;

33

(Ⅱ)若 f ( x) 的极大值和极小值分别为 m,n,证明: m ? n ? 3 ? 2ln 2 .

1 2 ? ? ln x1 x2 ? a ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ln a ? ? ln 2 ? 1 ,令 ? ? 4a g ? a ? ? ln a ? 1 4a - 1 1 , 0 < a < 时, g ? a ) < 0, g (a ) 是减函数, ? ln 2 ? 1 ,则 g ?(a) = ( 2 4a 8 4a

1 则 g (a ) > g ? ÷= 3 - 2 ln 2 ? ÷ ? ÷
即 m ? n ? 3 ? 2ln 2 . 考点:本题考查函数与导数,导数与函数的单调性、导数与函数的极值,曲线的切线方程, 导数与不等式的综合应用,考查学生的基本推理能力,考查学生的基本运算能力以及转化与 化归的能力.
34

骣 桫 8

35


...试题分省分项汇编 专题03 导数 Word版含解析]

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