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B04--1.4 三角函数的图象与性质(4课时)


高中数学新课标必修④课时计划

东升高中高一备课组 授课时间: 2006 年 月

日(星期

)第

节 总第

课时

第一课时 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教学要求:熟练把握正弦、余弦函数图象的形状特征. 教学重点:正弦、余弦函数的图象作法及其形状特征. 教学难点:正弦函数图象的作法、正弦函数和余弦函数图象间的关系. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系,而一个确定的角又对应着唯一确定的 正弦(余弦)值. 由这个对应法则所确定的函数 y ? sin x (或 y ? cos x )叫做正弦函数(或余 弦函数) ,其定义域是 R . 2. 提问:如何作出正弦函数的图象?(利用正弦线可以画出较精确的正弦函数图象) 二、讲授新课: 1. 教学正弦函数图象的画法: ① 提问:正弦线的意义?(正弦线是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段,它是正弦函数 的几何表示) ② 用正弦线画出正弦函数的图象(边讲边画) : 第一步:先作单位圆,把⊙O1 十二等分(当然分得越细,图象越精确) ; 第二步:十二等分后得 0,
?
6

,

?
3

,

?
2

,?2?等角,作出相应的正弦线;

第三步: x 轴上从 0 到 2?一段分成 12 等份(2?≈6.28), 将 若变动比例, 今后图象将相应 “变形” ; 第四步:取点,平移正弦线,使起点与 x 轴上的点重合; 第五步:用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来,得 y=sinx,x?[0,2?]的图象; 第六步:由终边相同的三角函数性质知 y=sinx , x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k?0 的图象与函数 y=sinx, x?[0,2?]图象相同,只是位置不同——每次向左(右)平移 2?单位长. ③ 用 “五点 (画图) 作正弦函数图象时, 法” 要抓住关键的五个点: (0,0) (
?
2

,1) (?,0) (

3? 2

,-1)

(2?,0). (通过学生观察正弦函数的图象,找出体现图象形状特征的点,再来讲“五点法”.) “五点法”的优点是方便,但精确度不高,熟练后才使用. 2. 教学余弦函数图象的画法: 由于 y ? c o s x ? s in ( 的图象向左平移
?
2

?
2

? x ) ,而 y ? s in (

?
2

? x ), x ? R 的图象可以通过将正弦函数 y ? sin x , x ? R

个单位长度得到,因此只需将函数 y ? sin x , x ? R 的图象向左平移

?
2

个单位

长度就可以得到函数 y ? cos x , x ? R 的图象. 思考:如果用“五点法”作余弦函数的图象,则应抓住哪五个关键点? 3. 例题讲解: 例、画出下列函数的简图: (1) y ? ? sin x , x ? [0, 2? ] ; (2) y ? 1 ? cos x , x ? [0, 2? ] . (教师引导→学生板书) 4、小结:正弦曲线、余弦曲线的几何画法、 “五点法”画法及正弦、余弦函数图象的形状特征. 三、巩固练习: 1. 在同一直角坐标系中,分别作出函数 y ? co s x , x ? [ ? 2. 讨论如何用“五点法”画 y ? sin ( 2 x ? 3. 作业:教材 P52
教学后记:

? 3?
, 2 2

] 、 y ? sin ( x ?

3? 2

), x ? R 的草图. 3? 2 , 2? )

?
6

) 的图象?(方法:取 2 x ?

?
6

? 0,

?
2

,? ,

第1题
板书设计:

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课时

第二课时 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 教学要求:掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性和最大值、最小值,会求形如 y ? A sin(? x ? ? ), x ? R (或 y ? A c o s (? x ? ? ), x ? R )的函数的最小正周期,并会利用正弦、 余弦函数的最大值、最小值求相关函数的值域. 教学重点:正弦函数、余弦函数的性质(包括周期性、奇偶性和最大值、最小值). 教学难点:正弦函数、余弦函数性质的应用. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:①函数 y ? s in ( x ?
?
2 ), x ? R 的图象与函数 y ? sin x , x ? R 的图象有什么关系?(学生

经思考后回答)②如何作出函数 y ? ? cos x , x ? R 的图象?(学生板书→教师总结方法) 2. 讨论:由正弦、余弦函数的图象有哪些特征? 二、讲授新课: 1. 教学正弦、余弦函数的周期性: ① 正弦函数值具有“周而复始”的变化规律,这一点可以从正弦线的变化规律中看出,还可以 从诱导公式 sin( x ? 2 k ? ) ? sin x ( k ? Z ) 中得到反映,即当自变量 x 的值增加 2? 的整数倍时,函 数值重复出现. ②周期函数的定义:对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个 值时, 都有 f ( x ? T ) ? f ( x ) , 那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数, 非零常数 T 叫做这个函数的周期. (周期函数 f ( x ) 的周期不唯一, kT , k ? Z 都是它的周期,所有周期中最小的正数就叫做它的 最小正周期) ③正弦函数、余弦函数都是周期函数, 2 k ? ( k ? Z 且 k ? 0) 都是它们的周期,最小正周期是 2? . 例 1:求下列函数的周期: (1) y ? 3 sin x , x ? R ; (2) y ? cos 2 x , x ? R ; (3) y ? 2 sin ( x ?
2 1

?
6

), x ? R .

(师生共析→教师板书→学生观察→总结规律:这些函数的周期与解析式中哪些量有关?) ④结论: 形如 y ? A sin( ? x ? ? ), x ? R(或 y ? A cos(? x ? ? ), x ? R ) 的函数的最小正周期 T ?
2?

?

.

2. 教学正弦函数、余弦函数的奇偶性: 由图象观察,结合诱导公式 sin( ? x ) ? ? sin x , cos( ? x ) ? cos x 知,正弦函数是奇函数,余弦函数 是偶函数. 3. 教学正弦函数、余弦函数的最大值、最小值: 观察图象发现,正弦曲线、余弦曲线均有最高点和最低点,即函数值都有最大值、最小值. 例 2:下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合, 并说出最大值、最小值分别是什么? (1) y ? sin x ? 1, x ? R ; (2) y ? ? 2 cos 3 x , x ? R . (教师引导→学生分析→教师总结并板书) 练习:教材 P45 第 3 题 4、小结:正弦、余弦函数的周期性、奇偶性、最大值、最小值,数形结合思想. 三、巩固练习: 1.作出函数 y ? sin x 的图象,1)解不等式: sin x ? 2.作业:教材 P52
教学后记:
3 2 ( x ? R ) ;2)求 x ? (

? 1 3?
, 6 6

) 时 y 的值域.

第2题
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第三课时 1.4.3 正弦函数、余弦函数的性质(二) 教学要求:掌握正弦函数、余弦函数的单调性,并会运用单调性,比较三角函数值的大小,求 三角型函数的单调区间. 教学重点:正弦函数、余弦函数的单调性. 教学难点:正弦函数、余弦函数单调性的应用. 教学过程: 一、复习准备: 1. 练习:求出下列函数的最小正周期,并说明下列函数是否有最大值、最小值,如果有,请写 出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合. (1) y ? ? sin ( 2 x ?
2 1

?
3

); (2) y ? 3 co s(

1 2

x?

?
6

).

2. 提问:如何比较 sin 2 0 ? 与 sin 3 0 ? 的大小? 二、讲授新课: 1. 教学正弦、余弦函数的单调性: 先在正弦函数的一个周期的区间上(如 [ ? 单调性扩展到整个定义域. 观察图象可得,①正弦函数在每一个闭区间 [ ? 值从-1 增大到 1;在每一个闭区间 [
?
? 2 k? ,

? 3?
, 2 2

] )讨论它的单调性,再利用它的周期性,将

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2 k ? ] ( k ? Z )上都是增函数,其

? 2 k ? ] ( k ? Z )上都是减函数,其值从 1 减 2 到-1.②余弦函数在每一个闭区间 [ ? ? ? 2 k ? , 2 k ? ] ( k ? Z )上都是增函数,其值从-1 增大到 2

3?

1;在每一个闭区间 [2 k ? , ? ? 2 k ? ] ( k ? Z )上都是减函数,其值从 1 减到-1. 2. 教学正弦、余弦函数的应用: 例 1:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1) sin 2 0 ? 与 sin 3 0 ? ; (2) sin ( ?
?
15 ) 与 sin ( ?

?
10

); (3) co s( ?

2 3? 5

) 与 co s( ?

2 5? 4

).

(学生口答第 1 小题→学生板书第 2 小题→师生共析第 3 小题→教师板书第 3 小题) 练习:教材 P45 第 5 题 例 2:求函数 y ? co s( x ?
2 1

?
3

), x ? [ ? 2 ? , 2 ? ] 的递增区间.

(师生共析→教师板书→小结:整体代入,解不等式→变式:解不等式 y ? 0 ) 练习:①求出上例中函数的单调递减区间. ②教材 P45 第 6 题 例 3:求函数 y ? 1 ? sin ( x ?
2 1

?
3

), x ? [ ? 2 ? , 2 ? ] 的递增区间.

(师生共析→学生板书) 3. 小结:正弦、余弦函数的单调性;整体代入法求单调区间. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P52 第 1(2)题 2. 已知函数 y ? f ( x ) 的图象如图所示,试回答下列问题: (1)求函数的周期性; (2)画出函数 y ? f ( x ? 1) 的图象; (3)你能写出函数 y ? f ( x ) 的解析式吗? 3. 作业:教材 P52 第 5 题
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第四课时 1.4.4 正切函数的性质和图象 教学要求:掌握正切函数的性质,学会画正切函数的图象,深化研究函数性质的思想方法. 教学重点:正切函数的性质和图象. 教学难点:正切函数性质的应用. 教学过程: 一、复习准备: 1. 复习:正弦、余弦函数的图象和性质;研究正弦、余弦函数性质的方法? 2. 提问:能否依照研究正弦、余弦函数性质的方法来研究正切函数的性质和图象? 二、讲授新课: 1. 教学正切函数的性质: ? ① 定义域: x ? k ? ? ? k ? z ? ;
2

② 周期性:由诱导公式 tan ? x ? ? ? ? tan x ? x ? R 且 x ? k ? ?
?

?

?

? , k ? z ? 可知,正切函数是周期函 2 ?

数,最小正周期是 ? . ③ 奇偶性: 由诱导公式 tan ? ? x ? ? ? tan x ? x ? R 且 x ? k ? ?
? ?

?

? , k ? z ? 可知, 正切函数是奇函数. 2 ?

④ 单调性:由正切线的变化规律可以看出,正切函数在 ? ?
?

?

? ? ?
, 2

? 内是增函数,又由正切函数 2?

的周期性可知,正切函数在开区间 ? ?
?

?

?
2

? k? ,

?
2

? ? k ? ? , k ? z 内都是增函数. ?

⑤ 值域:正切函数的值域是实数集 R. 2. 教学正切函数图象的画法: ① 利用正切线画出函数 y ? tan x , x ? ( ?
? ?
, 2 2 ) 的图象,再根据正切函数的周期性,把上述图象

向左、向右扩展,就可以得到正切函数 y ? tan x , x ? R 且 x ? 叫做正切曲线. y
?
2

?
2

? k ? ? k ? z ? 的图象,我们把它

y
?? ? ? 2

?

?x
2

?

3 2

?

0 ?
2

?

3 x

?

2

② 分析正切函数的图象特征. ③由图象分析正切函数的性质. 例 1:求函数 y ? tan (
?
2 x?

?
3

) 的定义域、周期和单调区间. (练→方法→变式:解 y ? 1 )

例 2:利用正切函数的单调性比较下列各组数中两个正切值的大小: (1) tan 1 2 1? 与 tan 1 3 7 ? ; (2) tan ( ?
1 3? 4 ) 与 tan ( ? 1 7? 5 )

3. 小结:正切函数的图象和性质,整体思想求定义域与单调区间,正切线分析思路. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P50 第 2、4 题 2. 作业:教材 P52 第 6、7、8 题
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