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江西省南昌三中12-13学年高一下学期期中考试数学试题


命题: 刘红坤 审题:陈学昇

一、选择题:每小题 3 分,在每小题的四个选项中只有一个是正确的。
1.

1 1 1 ? ?? ? n ? 2 4 2 1 A. 2 ? n?1 2

( B. 2 ?



1 2n

C. 1 ?
<

br />2、在边长为 1 的正六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 , A1 A3 ? A3 A5 的值为( A. ?

????? ?????

1 2 n?1

D. 1 ? )

1 2n

3 2

B.

3 2

C. ?

3 3 2

D.

3 3 2


3、设 a , b 是两个非零向量,下列说法正确的是

? ?



A.若 a + b = a - b ,则 a ⊥ b B.若 a ⊥ b ,则 a + b = a - b C.若 a + b = a - b ,则存在实数 λ ,使得 a =λ b D.若存在实数 λ ,使得 a =λ b ,则 a + b = a - b 4、在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 )

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

D 等腰三角形 )

5、数列{an}的通项公式 an

?

1 n? ? cos 4 2

,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于(

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6、若 a ,b ,c 均为单位向量, a ·b =0,(a - c)? b - c) ≤0, a + b - c 的最大值为( 且 则 (
A. 2 ? 1 B.1 C. 2 D.2 )

A.1006

B.2012

C.503

D.0



7. 已知 Sn 是等差数列{an}(n?N*)的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题,假命题的是( ... A.公差 d<0 C.满足 Sn>0 的 n 的个数有 11 个 B.在所有 Sn<0 中,S13 最大 D.a6>a7

8.如图在矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若 AB ? AF ? 3 , 则 AE ? BF 的值是( )
D F C

??? ??? ? ?

E

A

B

A. ?5 ? 3

B. 5 ? 3

C. 4 ? 3

D. 5 ? 3 )

9、在等比数列{an}中, S 4 =1, S 8 =3,则 a17 ? a18 ? a19 ? a 20 的值是( A、14 B、16 C、18 D、20

??? ??? ???? ? ? ???? 10、 已知△ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P,Q 满足 AP =? AB , AQ =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若
??? ??? ? ? 3 BQ ? CP = ? ,则 ? = 2 1? 2 1 ? 10 ?3 ? 2 2 1 A. B. C. D. 2 2 2 2
二、填空题: (每小题 4 分) 11、若向量 a , b 的夹角为 120 ? , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ? 12、正项等比数列 {an }中, 13.设 a1 ? 2, an ?1 ?
( )

? ?

?

?

? ?

1 2 1 1 1 + 2+ = 81 ,则 + = a2 a4 a4 a4 a6 a3 a5

a ?2 2 , bn ? n , n ? N ? , 那么数列 ?bn ? 的通项公式 b n ? ______ an ? 1 an ? 1

→ → → → 14、在△ABC 所在的平面内有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC 与△ABC 的面积之比是 ________. 15、 如图所示, 由若干个点组成形如三角形的图形, 每条边 (包括两个端点) n(n > 1, n 有 个点,每个图形总的点数记为 an ,则

N)
.

9 9 9 9 + + + ?+ = a2 a3 a3 a4 a4 a5 a2010 a2011

三、解答题(共 50 分)
→ → → 16(本小题满分 8 分) .已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m)). (1)若点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值.

17(本小题满分 10 分) .成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; 5 (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列{Sn+ }是等比数列. 4

18(本小题满分 10 分).设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

19(本小题满分 10 分) .已知数列 {an } 的通项为 an ,前 n 项的和为 S n ,且有 S n ? 2 ? 3an . (1)求 an ; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和. 20(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1 n ? N ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 4 (Ⅲ)证明:
b1 ?1

?

?

4 b2 ?1 4 b3 ?1 ? 4 bn ?1 ? (a n ? 1) bn ,证明: ?bn ? 是等差数列;

1 1 1 2 ? ?? ? ? ?n ? N ? ? a2 a3 an ?1 3

1 3 ? ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? .由 △ ABC 为锐角三角形知, 0 ? A ? , 2 2 2 3? ?

?
2

?A?

?
6

? ? .解得

?
3

?A?

?
2

所以

2? ? 5? , ?A? ? 3 3 6

所以

1 ?? 3 3 ?? 3 ? ? .由此有 ? sin ? A ? ? ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 2 3? 2 ? ?

S?

2 1 2 1 2 ? ? ? ? a 2 a n ?1 3 a n ?1 3


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