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第5讲 简单几何体的面积与体积(A卷)


第 5 讲 简单几何体的面积与体积之基础巩固题组 一、选择题 1.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ). 解析 由三视图可知该三棱锥的底面是边长为 1 的等腰直角三角形, 高为 2.由锥体的体 积公式可知 V=××1×1×2=. 答案 B 2.已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,左视图是一个面积为的矩 形,则该正方体的主视图的面积等于( ). A. B.1 C. D. 解析 易知正方体是水平放置的, 又左视图是面积为的矩形. ∴正方体的对角面平行于投 影面,此时主视图和左视图相同,面积为. 答案 D 3. 如图所示, 一个简单几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( ). A.4π B.π C.3π D.2π 解析 由三视图可知,该几何体是一个圆柱,S 表=2×π ×2+π ×1×1=. 答案 B 4. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE,△BCF 均 为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ). 解析 如图,分别过点 A,B 作 EF 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 DG,CH,容易求 得 EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,∴S△AGD=S△BHC=××1=,∴V=VE-ADG +VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=×××2+×1=.故选 A. 答案 A 5.平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为,则此球的体积为 ( ). A.π B.4π C.4π D.6π 解析 如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点,则 OO′=,O′M=1,∴OM= =,即球的半径为,∴V=π ()3=4π . 答案 B 二、填空题 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________. 解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为 2, 高为 4,故体积为 16π ;正四棱柱底面边长为 2,高为 4,故体积为 16,所以几何体的体积 为 16π -16. 答案 16π -16 7.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为________. 解析 设正方体的棱长为 a,外接球的半径为 R,由题意知π R3=,∴R3=,而 R=. 由于 3a2=4R2,∴a2=R2=×2=3,∴a=. 答案 8.若圆锥的侧面积为 2π ,底面面积为π ,则该圆锥的体积为________.

解析 设圆锥的底面圆半径为 r,高为 h,母线长为 l,则∴ ∴h===. ∴圆锥的体积 V=π ·12·=π . 答案 π 三、解答题 9.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm): (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积. 解 (1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= cm,A1D1=AD=2 cm,可得 PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积 S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2), 体积 V=23+×()2×2=10(cm3). 10. 有一个倒圆锥形容器, 它的轴截面是一个正三角形, 在容器内放一个半径为 r 的铁球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度. 解 如图所示,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水 的深度为 3r,水面半径 BC 的长为 r,则容器内水的体积为 V=V 圆锥-V 球=π (r)2·3r- π r3=π r3, 将球取出后,设容器中水的深度为 h, 则水面圆的半径为 h,从而容器内水的体积为 V′=π 2h=π h3,由 V=V′,得 h=r.


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