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上海市华师大二附中高三数学综合练习3


上海市华师大二附中高三综合练习[3]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分。 ﹡ 1.已知集合 M ? {x || x |? 2, x ?R } , N ? {x | x ? N } ,那么 M ? N ? . 2.在 ?ABC 中, “A?
x

2 3.若函数 y ? a 在 [?1, 0] 上的的最大值与最小值的和为 3 ,则 a ? .

? ”是“ 3 ”的条件. sin A ?
3

4.设函数 f ( x) ?

2? x 1 1? x 的反函数为 f ?1 ( x) ,则函数 y ? f ?1 ( x) 的图象 ? ( ) x ? log 2 2? x 2 1? x

与 x 轴的交点坐标是. 5. 设数列 {an } 是等比数列, Sn 是 {an } 的前 n 项和,且 Sn ? t ? 3 ? 2n ,那么 t ? . 6.若 sin(? x ? ? ) ? 2 , x ? (?2, 2) ,则 x ? . 2 4 2 ? 1, x ? 0 7.若函数 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? f ( x) ? x ? 2 的解集是. ??1, x ? 0 8.现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏.小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作:第一 步:分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同;第二步:从左 边一堆拿出两张,放入中间一堆;第三步:从右边一堆拿出一张,放入中间一堆;第四 步:左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆.这时,小明准确地说 出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌的张数是. 9.若无穷等比数列 {an } 的所有项的和是 2,则数列 {an } 的一个通项公式是 an ? . 10.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 ;当 x ?[?3, ?1 ] 时,记 f ( x) 的 x 最大值为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? . 11.已知函数 f ( x) ? sin x , g ( x) ? sin( ? ? x) ,直线 x ? m 与 f ( x) 、 g ( x) 的图象分别交 2 于 M 、 N 点,则 | MN | 的最大值是. 12. 已知函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 1) ?
x 3

a?b 1 其中 a 、 abx 为偶函数,g ( x) ? 2 x ? x 为奇函数, 2 2

b 为常数,则 (a ? b) ? (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 ) ? ?? (a100 ? b100 ) ? .
二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个 结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号, 选对得 4 分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律 得零分。 13.若集合 S ? {a, b, c}( a 、b、 c ? R )中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形 一定不可能 是 ( ) ... A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 14. 函数 f ( x ) 对任意实数 x 都有 f ( x) ? f ( x ? 1) , 那么 f ( x) 在实数集 R 上是 ( ) A.增函数 B.没有单调减区间 C.可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间 15. 已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成. 2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元,其他收入为 1350 元) ,预计该地区自 2004 年起的 5 年内,农民的工资性收入将以 6%的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元.根据以 上数据,2008 年该地区农民人均收入介于( ) A.4200 元~4400 元 B.4400 元~4600 元

C.4600 元~4800 元

D.4800 元~5000 元

16.已知函数 y ? f ( x) 的图象如右图,则函数 y ? f (

?
2

? x) ? sin x 在 [0, ? ] 上的大致图象为
( )
y

f ( x)
1

?

π 2

O
?1

π 2

x

三.解答题(本大题满分 86 分,共有 6 道大题,解答下列各题必须写出必要的步骤) 17. (本题满分 12 分) 解关于 x 的不等式 loga [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 loga ( x ? 2) ,其中 a ? ( 0 , 1 ) .

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x (? ? 0) 的最小正周期 T ? (Ⅰ) 求实数 ? 的值; (Ⅱ) 若 x 是 ?ABC 的最小内角,求函数 f ( x) 的值域.

? .
2

19. (本题满分 14 分) 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米, 按交通法规限制 50 ? x ? 100(单 x2 位:千米/小时) .假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油 (2 ? ) 升,司机的工 360 资是每小时 14 元. (Ⅰ)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ) 当 x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值. (精确小数点后两位)

20. (本题满分 14 分) 集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x) 组成的: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 [0, ??) ; (2) 函数 f ( x) 的值域是 [?2, 4) ; (3) 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题: 1 (Ⅰ)判断函数 f1 ( x) ? x ? 2( x ? 0) ,及 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 是否属于集合 A?并简 2 要说明理由. (Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f ( x) ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) , 是否对于任意的 x ? 0 总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

21. (本题满分 16 分)
2 * * 已知: x ? N , y ? N* ,且 1 ? n ? 1 ( n ? N ) . x y (Ⅰ)当 n ? 3 时,求 x ? y 的最小值及此时的 x 、 y 的值;

? (Ⅱ)若 n ? N ,当 x ? y 取最小值时,记 an ? x , bn ? y ,求 an , bn ;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,试求 lim 值. 注: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

Tn 的 n ?? n ? S n

1 n(n ? 1)(2n ? 1) . 6

22. (本题满分 18 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ( a ? R, a ? 0) . 1 (Ⅰ)当0< a < 时, f (sin x) ( x ? R)的最大值为 5 ,求 f ( x) 的最小值. 2 4 (Ⅱ)如果 x ?[0,1]时,总有| f ( x) | ? 1 .试求 a 的取值范围.
2 ? (Ⅲ)令 a ? 1 ,当 x ?[n, n ?1] ( n ? N ) 时, f ( x) 的所有整数值的个数为 g (n) ,求数列

{

g (n) } 的前 n 项的和 Tn . 2n

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3] 参考答案
1. {1, 2} 2.充分不必要 3. 7. (??,1] 8. 5 .9. ( ) 13.D14.C 17 . 解 : ∵ 15.B

1 4. (2, 0) . 5. 3 . 2

6. 0,1 .

1 2

n ?1

.10. 1 .11. 2 .12. ?1 .

16.A

loga [4 ? ( x ? 4)a] ? 2 loga ( x ? 2)



? 4 ? ( x ? 4) a ? 0 ? x?2?0 ? ? 4 ? ( x ? 4) a ? ( x ? 2) 2 ?

( 0 ? a ? 1 ), 4a ? 4 ? x? ∴ ? ∴不等式的解集为 {x 2 ? x ? 4} 。 a ? ? ? x?2 18. 解: (Ⅰ) 因为 f ( x) ? 所以 T ?

2? ? ? , ? ? ?2. 2? 2

3 1 ? 1 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? sin(2? x ? ) ? , 6 2 2 2

(Ⅱ) 因 为 x 是 ?ABC 的 最 小 内 角 , 所 以 x ? (0,

?

? 1 ] , 又 f ( x) ? sin(4 x ? ) ? , 所 以 3 6 2

1 f ( x )? [? 1, . ] 2
130 x2 14 ?130 19.解: (Ⅰ)设行车所用时间为 t ? 130 (h) , y ? ? 2 ? (2 ? )? , x ? [50.100]. x x 360 x 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y ? 130 ?18 ? 2 ?130 x, x ? [50.100].
x 360

(或: y ? 2340 ? 13 x, x 18 ( Ⅱ )
y?

x ? [50.100 ] )

130 ? 18 2 ? 130 ? x, 即x ? 18 10 ? 56.88 时,上述不等式中等号成立 x 360

130 ? 18 2 ? 130 ? x ? 26 10 ? 82.16 x 360







答:当 x 约为 56.88km/h 时,这次行车的总费用最低,最低费用的值约为 82.16 元. 20. 解: (1)函数 f1 ( x) ?

x ? 2 不属于集合 A. 因为 f1 ( x) 的值域是 [?2, ??) ,所以函数

f1 ( x) ? x ? 2 不属于集合 A.(或?当x ? 49 ? 0时, f1 (49) ? 5 ? 4 ,不满足条件.) 1 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 在集合 A 中, 因为:① 函数 f 2 ( x) 的定义域是 [0, ??) ;② 函 2 数 f 2 ( x) 的值域是 [?2, 4) ;③ 函数 f 2 ( x) 在 [0, ??) 上是增函数. 1 x 1 (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 6 ? ( ) (? ) ? 0 , 2 4 ?不等式f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意的 x ? 0 总成立.
21.解: (Ⅰ)? 当且仅当 (Ⅱ)?

1 9 ? ?1, x y

? x ? y ? ( x ? y )(

1 9 y 9x ? ) ? 10 ? ? ? 16 , x y x y

? x?4 ? x?4 y 9x ? ,即 ? 时,取等号. 所以,当 ? 时, x ? y 的最小值为 16 . x y ? y ? 12 ? y ? 12
1 n2 y n2 x 1 n2 ? (n ? 1)2 , ? ? 1 , ? x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? n2 ? 1 ? ? x y x y x y

? x ? n ?1 y n2 x 当且仅当 ? ,即 ? 时,取等号. 所以, an ? n ? 1 , bn ? n(n ? 1) . x y ? y ? n(n ? 1) 1 (Ⅲ)因为 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? n(n ? 3) , 2 2 2 2 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (1 ? 1 ) ? (2 ? 2 ) ? (3 ? 3 ) ? ?? (n ? n2 ) n(n ? 1) 1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? (1 ? 2 ? 3 ? ?? n) ? (12 ? 22 ? ?? n2 ) ? 2 6 1 T 2 ? n(n ? 1)(n ? 2) 所以 lim n ? . n ?? 3 n ? Sn 3 1 1 5 ? ?1 故当 sin x ? 1 时 f ( x) 取得最大值为 , 22.解:⑴ 由 0 ? a ? 知 ? 2 2a 4 5 1 1 2 1 2 即 f ?1? ? a ? 1 ? ? a ? ? f ? x ? ? x ? x ? ? x ? 2? ? 1 ,所以 f ( x) 的最小值为 ? 1 ; 4 4 4 4 2 2 ⑵ 由 f ?x ? ? 1得 ax ? x ? 1, ? 1 ? ax ? x ? 1 对于任意 x ? ?0,1? 恒成立,
当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 使 f ?x ? ? 1成立;
2 ? 1 1 ?1 1? 1 ? a? 2 ? ?? ? ? ? x ? x 2? 4 x 当 x ? 0 时,有 ? ? 2 1 1? 1 ?a ? ? 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? 2 ? x x 2 4 x ? ? ?

① ②
2

? x ? ?0,1?? 对于任意的 x ? ?0,1? 恒成立;

1 ?1 1? 1 ?1, 则 ? ? ? ? ? 0 ,故要使①式成立, x 4 ? x 2?

1 ?2? a ? 0; 则有 a ? ?2 , 综上所述: ? ?2 , 4 1 2 ⑶ 当 a ? 1 时, f ?x? ? ax ? x ,则此二次函数的对称轴为 x ? ? ,开口向上, 2 故 f ?x ? 在 ?n, n ? 1?上为单调递增函数,且当 x ? n, n ? 1 时, f ?n?, f ?n ? 1? 均为整数,
则有 a ? 0 , 又 a ? 0?a ? 0 ; 又?? ? ? ?

?1 1? ? x 2?

2

g ? n ? 2n ? 3 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? g ?n ?? ? n ,故 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 的通项公式为 ? n n 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 1 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? n ?1 又 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② 2 2 2 2 2n 2 1 5 1 1 ? 2n ? 3 7 2n ? 7 ? 1 由①—②得 Tn ? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? ? n?1 . 2 2 ?2 2 2 2 ? 2 2 2n ? 7 ?Tn ? 7 ? 2n
则数列 ?

故 g ?n? ? f ?n ? 1? ? f ?n? ? 1 ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n 2 ? n ? 1 ? 2n ? 3
2

?n ? N ? ,
?




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