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山东省武城县第二中学2015-2016学年高二数学上学期第三次月考试题 理


高二数学上学期(理科)月考试题
2016.1 .16 一、选择题 1.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c ,则“ A ? B ”是 sin A ? sin B 的( ) A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.不充 分不必要条件

2.已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是

( ) A.若 m / /? , n / /? ,则 m / / n B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ? 3. A, B, C 三点不共线, 面 ABC 外的任一点 O , 下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的 是( ) A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ?

???? ?

??? ? ??? ? ??? ?
??? ?

? 1 ???? ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? OB ? OC D. OM ? OA ? OB ? OC 2 3 3 3 3 ? 4.已知向量 a ? (3, 4, ?3) , b ? (5, ?3,1) ,则它们的夹角是( )
A.0° ( ) A.5 或 B.45° C.90° D.135° 5.已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则该双曲线的离心率为

???? ?

B. OM ? 2OA ? OB ? OC

???? ?

??? ? ??? ? ??? ?

5 5 3 C. 3 或 D.5 或 3 2 2 ? x ? y ? 2 ? 0, ? 6.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是( ) ? x ? 2. ?
B. 5 或 A. 4 2 B.4 C. 2 2 D.2 O ABCD 的中心, M 为 DD1 的中点, P 为棱 A1B1 的 7.在正方体 ABCD ? A 中, 为正方形 B C D 1 1 1 1 中点,则异面直线 OP 与 MA 所成的角为( ) A.30°
2

5 4

B.4 5 °

C.60°

D.90°

8.设抛物线 x ? 12 y 的焦点为 F ,经过点 P(2,1) 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,又知点 P 恰 为 AB 的中点,则 | AF | ? | BF |? ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9.在四面体 ABCD 中 , AB ? 1 , AD ? 2 3 , BC ? 3 , CD ? 2 , ?ABC ? ?DCB

?

?

? 5? 5? C. D. 3 6 3 2 2 x y 10.已知椭 圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F , 短轴的一个端点 为 M , 直线 l : 3x ? 4 y ? 0 交 a b
A.

2

,则二面角 A ? BC ? D 的大小为( )

? 6

B.

1

椭圆 E 于 A, B 两点,若 | AF | ? | BF |? 4 ,点 M 到直线 l 距离不小于 范围是( ) A. (0, 二、填空题

4 ,则椭圆 E 的离心率的取值 5

3 ] 2

B. (0, ]

3 4

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

3 4

11.命题“若 xy ? 0 ,则 x2 ? y 2 ? 0 ”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 . 12.已知 向量 m, n 分别是直线 l 和平面 ? 的方向向量、法向量,若 cos ? m, n ?? ? 的角为 . .
2 2

?? ?

?? ?

1 ,则 l 与 ? 所成 2

13.以 (1, ?1) 为中点的抛物线 y 2 ? 8x 的弦所在直线方程为

14.已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ( x ?1) ? ( y ? a) ? 4 相交于 A, B 两 点, 且 ?ABC 为等 边三角形,则实数 a ? . 15.已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点, 过点 F2 的直线 交双曲线 C 的一支于 A, B 两点, 若 ?ABF1 为等边三角形,则双曲线 C 的离心率为 . 三、解答题 16.已知两条直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 确定 m, n 的值使 (1) l1 / / l2 ; (2) l1 ? l2 ,且 l1 在 y 轴上的截距为-1.

17.设命题 P : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 x ? 2 x ? 8 ? 0 且 ? p
2 2 2

是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

ABC 中,?C ? 90? ,D, E 分别为 AC, AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点, 18.如图(1)在 Rt ?
将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图(2).
2

(1)求证: DE / / 平面 A1CB ; (2)求证: A1F ? BE ;

19.已知定点 F (0,1) 和直线 l1 : y ? ?1 ,过定点 F 且与直线 l1 相切的动圆的圆心为点 C . (1)求动点 C 的轨迹方程; 直线 l2 的方程. (2)过点 F 的直线 l2 交轨迹于两点 P, Q ,交直线 l1 于点 R ,求 RP ? RQ 最小值,并求此时的

??? ?

20.如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC ? BC ,且

AC ? BC
(1)求直线 AB 与平面 EBC 所成的角的大小; (2)求二面角 A ? EB ? C 的大小.

x2 y 2 2 21.如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 1 、 F2 为其左、右焦点,过 F 1 的直线 a b 2
3

l 交椭圆于 A 、 B 两点, ?F1 AF2 的周长为 2( 2 ?1) .
(1)求椭圆的标准方程; (2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) ; C 、D 两点,且 l ? m ,设线段 AB 、CD 的中点分别为 M 、 (3)直线 m 也过 F 1 且与椭圆交于

N 两点,试问:直线 MN 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

高二数学上学期(理科)月考试题 2016.1.16 一、选择题 1-5 A 二、填空题 11、2 个 14、 4 ? 15 三、解答题 16、解: (1) m ? 0 时易得 l1 ? l2 , m ? 0 时,若 l1 / / l2 ,则 12、30° 15、 3 13、 4 x ? y ? 3 ? 0 B D C B 6-10 B D C B A

m 8 n ? ? 2 m ?1

?????????????????(3 分)

?m ? 4 ?m ? ?4 或? ????????????????? ?????(6 分) ?? ?n ? ?2 ?n ? 2 l ? l2 ? 2m ? 8m ? 0 (2) 1 ????????????????????(9 分)     ? m=0 n l : y ? ? ? ?1 此时 1 8    ?n?8 ∴ m ? 0, n ? 8 ?????????????????????????(12 分) (a ? 0) ??????(3 分) 17、解: p : ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,即 p : 3a ? x ? a   q : ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,即 q : x ? 2 或 x ? ?4 ?????????????(6 分) ∵ ? p 是 ? q 的必要不充分条件,即 q 是 p 的必要不充分条件。????(9 分)
3a

a

-4

2

∴ a ? ?4 ???????????????? ??? ????????(12 分)
4

18、证明: (1)易知 DE//CB

DE ? 平面 A1CB

CB ? 平面 A1CB

∴DE//平面 A1CB???????????????????????(5 分) (2)易知 DE ? A 1D, DE ? DC, A 1D ? DC ? D ∴DE⊥平面 A1CD,????????????????????(8 分) 又∵A1F ? 平面 A1CD ∴DE⊥A1F, 又∵A1F⊥CD 且 CD ? DE=D ∴A1F⊥平面 DCBE,?? ??????????????????(10 分) 又∵BE ? 平面 DCBE ∴A1F⊥BE????????????? ???????????(12 分) 19、解: (1)易知 C 的轨迹为以 F 为焦点 l1 为准线的抛物线。

p ? 1 ? 2 p ? 2 ? 2 ? 4 ,∴方程为 x2 ? 4 y ????????????(5 分) 2 2 (2)设 l2 : y ? kx ? 1, p ( x1, y1 ), Q( x 2 , y 2 ) R( ? , ?1) k ? y ? kx ? 1 ? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 , ? 2 ?x ? 4 y x 2 x 2 ( x x )2 y1 y2 ? 1 ? 2 ? 1 2 ? 1, y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 4k 2 ? 2 ?????(8 分) 4 4 16 ??? ? ??? ? 2 2 1 2 ∴ RP ? RQ ? ( x1 ? , y1 ? 1) ? ( x2 ? , y2 ? 1) ? ? ? 8 ? 4( k ? 2 ) ? 16 (10 分) k k k ??? ? ??? ? 2 当 k ? 1 即 k ? ?1 时, RP ? RQ 取最小值,此时 l2 : y ? ? x ? 1 ????(12 分)
20、解: (1)可证得 AM⊥平面 BEC ∴∠ABM 为 AB 与平面 EBC 所成的角,??????????????(3 分) 设 AC=BC=1,可得 AM ? ∴ sin ?ABM ?

2 , AB ? 2 , 2

AM 1 ? ,??ABM ? 30? ?????????????(6 分) AB 2

(2)作 CG⊥AB 于 G,GF⊥BE 于 F,连接 CF,可证得 CF⊥BE, ∴∠GFC 为所求二面角的平面角,且△CGF 为 Rt△。????????(10 分)

2 CG ? 2 ? 3 ,∠GFC=60°,即二面角大小为 60°(13 分) ∴ tan ?GFC ? GF 6 6 ?c 2 ?a ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 ?? 21、解: (1) ? a ,∴ a ? 2, b ? a ? c ? 1 , 2 ?c ? 1 ?2a ? 2c ? 2( 2 ? 1) ? ?
∴方程为

x2 ? y 2 ? 1???????????????????????(4 分) 2

5

? x ? ky ? 1 ? (2)可设 l : x ? ky ? 1 , ? x 2 ? (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

2k ? 8k 2 ? 8 2k ? 8k 2 ? 8 ??????????(6 分) ? y1 ? , y2 ? 2(k 2 ? 1) 2(k 2 ? 1)
∴S△AOB= S?AOF1 ? S?BOF1 ?

1 1 8k 2 ? 8 k 2 ?1 | OF1 | ? | y1 ? y2 |? ? 2 , 2 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 = 2 ? 2 ? 2 (k 2 ? 2)2 [(k 2 ? 1) ? 1]2 (k 2 ? 1) 2 ? 2(k 2 ? 1) ? 1
1 (k 2 ? 1) ?
2

1 ?2 k ?1 1 2 ( 当 且 仅 当 k ?1 ? 2 ,即 k ? 0 时等号成立) , 所 以 △ AOB 面 积 的 最 大 值 为 k ?1 2 ??????????????????????????(10 分) 2 2 (3)过定点 (? , 0) 可通过特殊情形猜想,若有定点,则在 x 轴上。在 k ? 0, k ? ?1 的情况下, 3 1 设直线 l 的方程为: x ? ky ? 1 ,直线 m 的方程为: x ? ? y ? 1 。 k y1 ? y2 k ? 2 由(Ⅱ)得, yM ? , 2 k ?2 k ?2 ?2 k ?1 ? 2 ,即M( 2 , 2 ), 故 xM ? k 2 k ?2 k ?2 k ?2 k ?2 ?2k 2 ?k , 2 ) ??????????????????????(12 分) 则 N( 2 2k ? 1 2k ? 1 k ?k ? 2 2 k 2k 2 k ? 2 2 k ? 1 可得直线 MN 的方程: y ? ? ( x ? 2 ), ?2 ?2k 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 ? 2 2 k ? 2 2k ? 1 2 k 3k 2k 3k 2k 2 k 即 y? 2 ? ( x ? 2 ) ,则 y ? (x ? 2 ) ? 2 2 2 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2k ? 1 2 2 3k 2 3k 2k k 2(k ? 1) (x ? ) , y? [x ? 2 ? 2 ? ] ,即 y ? 2 2 2(k ? 1) 3 2(k ? 1) 2k ? 1 2k ? 1 3k 2 2 故直线 MN 过定点 (? , 0) (或令 y ? 0 ,即得 x ? ? ) 3 3 易验证当 k ? 0, k ? ?1时,结论仍成立。 2 综上,直线 MN 过定点 (? , 0) ??????????????????(14 分) 3

= 2

? 2

1 2 ? 2?2 2

6


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