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6[1].2 算术平均数与几何平均数 例题


典型例题一
例 1 已知 a, b, c ? R ,求证 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca.
2 2 2

证明:∵

a 2 ? b2 ? 2ab , b2 ? c 2 ? 2bc , c 2 ? a 2 ? 2ca , 三式相加,得

2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca) ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca.
说明:这是一个重要的不等式,要熟练掌握.

典型例题二
例 2 已知 a、b、c 是互不相等的正数, 求证: a(b ? c ) ? b(a ? c ) ? c(a ? b ) ? 6abc
2 2 2 2 2 2

证明:∵ b ? c ? 2bc,a ? 0 ,
2 2

∴ a(b ? c ) ? 2abc
2 2

同理可得: b(a ? c ) ? 2abc,c(a ? b ) ? 2abc .
2 2 2 2

三个同向不等式相加,得

a(b 2 ? c 2 ) ? b(a 2 ? c 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc



说明:此题中 a、b、c 互不相等,故应用基本不等式时,等号不成立.特别地,a ? b , b ? c 时,所得不等式①仍不取等号.

典型例题三
例 3 求证 a ? b ? b ? c ? c ? a ?
2 2 2 2 2 2

2 (a ? b ? c) .

2 2 分析: 此问题的关键是 “灵活运用重要基本不等式 a ? b ? 2ab , 并能由 2 (a ? b ? c)

这一特征,思索如何将 a ? b ? 2ab 进行变形,进行创造” .
2 2

证明:∵ a ? b ? 2ab ,
2 2

两边同加 a ? b 得 2(a ? b ) ? (a ? b) .
2 2
2 2 2

即a ?b ?
2 2

( a ? b) 2 . 2

∴ a ?b ?
2 2

1 2 a?b ? ( a ? b) . 2 2
2 2

同理可得: b ? c ?

2 (b ? c) , 2

c2 ? a2 ?
2 2

2 (c ? a ) . 2
2 2 2 2

三式相加即得 a ? b ? b ? c ? c ? a ?

2 (a ? b ? c) .

典型例题四
例 4 若正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是
? 解:∵ a, b ? R , ∴ ab ? a ? b ? 3 ? 2 ab ? 3 ,令 y ?



ab ,得 y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ,

∴ y ? 3 ,或 y ? ?1 (舍去) . ∴ y ? ab ? 9 ,∴
2

ab 的取值范围是 ?9,???.

说明: 本题的常见错误有二. 一是没有舍去 y ? ?1 ; 二是忘了还原, 得出 ab ? ?3,?? ? . 前
2 者和后者的问题根源都是对 ab 的理解, 前者忽视了 ab ? 0. 后者错误地将 y 视为 ab .

因此,解题过程中若用换元法,一定要对所设“元”的取值范围有所了解,并注意还原 之.

典型例题五
6 x2 ?1 例 5 (1)求 y ? 的最大值. x2 ? 4
(2)求函数 y ? x ?
2

4 的最小值,并求出取得最小值时的 x 值. x ?1
2
2 2

(3)若 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,求 x ? y 的最小值.

6 x2 ?1 6 x2 ?1 ? 2 ? 解: (1) y ? ( x ? 1) ? 3 x2 ? 4

6 x2 ?1 ? 3 x2 ?1

?

6 2 3

? 3.

即 y 的最大值为 3.

当且仅当 x ? 1 ?
2

3 x ?1
2

时,即 x ? 2
2

x ? ? 2 时,取得此最大值.

(2) y ? x 2 ? ∴

4 4 ? x2 ?1? 2 ?1 ? 2 ? 4 ?1 ? 3 x ?1 x ?1 4 ? x 2 ? 1 ,即 ( x 2 ? 1) 2 ? 4 , x 2 ? 1 ? 2 , x ? ?1 y 的最小值为 3,当且仅当 2 x ?1
2

时取得此最小值. (3)∴

x ? y ? 2 xy
2 2 2 2

( x ? y)2 ∴ 2( x ? y ) ? ( x ? y ) 即 x ? y ? 2
2 2 2

2

2

∵x? y ?2

∴x ? y ?2

即 x ? y 的最小值为 2.
2 2

当且仅当 x ? y ? 4 时取得此最小值. 说明:解这类最值,要选好常用不等式,特别注意等号成立的条件.

典型例题六
例 6 求函数 y ? 1 ? 2 x ?

3 的最值. x

分析:本例的各小题都可用最值定理求函数的最值,但是应注意满足相应条件.如:

x ? 0 ,应分别对 x ? 0, x ? 0 两种情况讨论,如果忽视 x ? R ? 的条件,就会发生如下错误:


y ? 1? 2x ?

3 3 3 ? 1 ? (2 x ? ) ? 1 ? 2 2 x ? ? 1 ? 2 6 , ymax ? 1 ? 2 6 . x x x

解:当 x ? 0 时, 2 x ? 0, 当且仅当 2 x ? ∴

3 3 ? 0 ,又 2 x ? ? 6 , x x

6 3 3 ,即 x ? 时,函数 2 x ? 有最小值 2 6 . 2 x x

ymax ? 1 ? 2 6 .

当 x ? 0 时, ? 2 x ? 0,? 当且仅当 ? 2 x ? ?

3 3 ? 0 ,又 (?2 x) ? (? ) ? 6 , x x

6 3 3 ,即 x ? ? 时,函数 ? (2 x ? ) 最小值 2 6 . 2 x x



ymin ? 1 ? 2 6 .

典型例题七
x 2 ? 10 x2 ? 9

例 7 求函数 y ?

的最值.

分析: y ?

( x 2 ? 9) ? 1 x2 ? 9
2

? x2 ? 9 ?

1 x2 ? 9

?2.

但等号成立时 x ? ?8 ,这是矛盾的!于是我们运用函数 y ? x ? 这一性质,求函数 y ? t ? (t ? 3) 的最值. 解:设 t ? ∴y?

1 在 x ? 1时单调递增 x

1 t

x2 ? 9 ? 3,

x 2 ? 10

1 ?t? . t x2 ? 9

1 t 1 10 故原函数的最小值为 3 ? ? ,无最大值. 3 3 典型例题八
当 t ? 3 时,函数 y ? t ? 递增.

例8

求函数 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值.

分析:用换元法,设 t ?

1 x 2 ? 4 ? 2 ,原函数变形为 y ? t ? (t ? 2) ,再利用函数 t

1 y ? t ? (t ? 2) 的单调性可得结果.或用函数方程思想求解. t
解:解法一: 设t ?

x 2 ? 4 ? 2 ,故 y ?

x2 ? 5

1 ? t ? (t ? 2). t x2 ? 4

t t ?1 1 1 设 t 2 ? t1 ? 2, 1 ? y 2 ? (t1 ? t 2 ) ? ( ? ) ? (t1 ? t 2 ) 1 2 y . t1 t 2 t1t 2

t1 由 t1 ? t 2 ? 0,t 2 ? 2 ,得: t1t 2 ? 1 ? 0 ,故: y1 ? y2 .
∴函数 y ? t ? (t ? 2) 为增函数,从而 y ? 2 ? 解法二: 设

1 t

1 5 ? . 2 2

1 x 2 ? 4 ? t ? 2 ,知 y ? t ? (t ? 2) ,可得关于 t 的二次方程 t 2 ? yt ? 1 ? 0 ,由根 t

与系数的关系,得: t1t 2 ? 1 . 又 t ? 2 ,故有一个根大于或等于 2, 设函数 f (t ) ? t ? yt ? 1 ,则 f (2) ? 0 ,即 4 ? 2 y ? 1 ? 0 ,故 y ?
2

5 . 2

说明:本题易出现如下错解: y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

? 2 .要知道,

x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

无实数解,即 y ? 2 ,所以原函数的最小值不是 2.错误原因是忽视了

等号成立的条件. 当 a 、 b 为常数,且 ab 为定值, a ? b 时, 以利用恒等变形 a ? b ? 值.

a?b ? ab ,不能直接求最大(小)值,可 2

(a ? b) 2 ? 4ab ,当 a ? b 之差最小时,再求原函数的最大(小)

典型例题九
? a ? 0, b ? 0, a ? b ? 4, 求 ? a ? ? 1? ? 1? ? ? ? b ? ? 的最小值. a? ? b?
2 2

例9

分析:此题出现加的形式和平方,考虑利用重要不等式求最小值. 解:由 a ? b ? 4, ,得 a ? b ? (a ? b) ? 2ab ? 16 ? 2ab.
2 2 2

又 a ? b ? 2ab, 得 16 ? 2ab ? 2ab ,即 ab ? 4 .
2 2

4 ? 4? 1 1? ? ? ? ?4 ? ? ?4 ? ? ?a ? ? b ? ? 2 2 1? ? 1? 25 ab ? 4? a b? ? ?? a ? ? ? ?b ? ? ? ? ?? ?? ? . a? ? b? 2 4 2 2 ?
1? ? 1? 25 ? 故 ? a ? ? ? ? b ? ? 的最小值是 . a? ? b? 2 ?
说明:本题易出现如下错解:
2 ? ? 1? ? 1? 1? 1? 1? ? ? ? ? 2 a ? ? ? ? 2 b ? ? ? 4 ? 4 ? 8 ,故 ? a ? ? ? ? b ? ? ? ? b? a? b? a? ? b? ? ? ? ? ? 2 2

2

2

2

2

2

1? ? ? ?? a ? ? ? ? b ? a? ? ?

2

2

2

的最小值是 8. 错误的原因是,在两次用到重要不等式当等号成立时,有 a ? 1 和 b ? 1 ,但在 a ? b ? 4 的

时,b ? 3 ) 条件下,这两个式子不会同时取等号( a ? 1 .排除错误的办法是看都取等号时,
与题设是否有矛盾.

典型例题十
例 10 已知: a, b, c ? R ,求证:
?

bc ac ab ? ? ? a?b?c. a b c

分析:根据题设,可想到利用重要不等式进行证明.

bc ac abc2 bc ac ? ?2 ? 2c , 即 ? ? 2c. 证明: a b ab a b
同理:

bc ab ac ab ? ? 2b, ? ? 2a a c b c

? bc ac ab ? ? 2? ? ? ? ? 2(a ? b ? c). b c ? ? a

?

bc ac ab ? ? ? a ? b ? c. a b c a?b ? ab 的变式;(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法.因此,在 2

说明:证明本题易出现的思维障碍是:(1)想利用三元重要不等式解决问题;(2)不会利 用重要不等式

证明不等式时,应根据求证式两边的结构,合理地选择重要不等式.另外,本题的证明方法 在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性.

典型例题十一
例 11 设 a、b、c、d、e ? R , a ? b ? c ? d ? e ? 8 , ? b ? c ? d ? e ? 16 , 且 a
2 2 2 2 2

求 e 的最大值. 分析:如何将 a ? b 与 a ? b 用不等式的形式联系起来,是本题获解的关键.算术平
2 2

均数与几何平均数定理 a ? b ? 2ab 两边同加 a ? b 之后得 a ? b ?
2 2 2 2

2

2

1 ( a ? b) 2 . 2

1 (a ? b) 2 ,则有 2 1 1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? [( a ? b) 2 ? (c ? d ) 2 ] ? (a ? b ? c ? d ) 2 , 2 4 1 16 ?16 ? e 2 ? (8 ? e) 2 ? 0 ? e ? . 4 5 6 16 当a ? b ? c ? d ? 时,e最大值= . 5 5
解:由 a ? b ?
2 2

说明:常有以下错解:

16 ? e 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 2(ab ? cd ) ? 4 abcd ,

8 ? e ? a ? b ? c ? d ? 44 abcd .


(16 ? e 2 ) 2 8?e 4 ? abcd, ( ) ? abcd . 2 4 4
16 ? e 2 16 ?1? 0 ? e ? . 2 5 (8 ? e) 4

两式相除且开方得

错因是两不等式相除,如 2 ? 1, 1 ? 不等式 a 2 ? b 2 ?

1 ,相除则有 2 ? 2 . 2

1 (a ? b) 2 是解决从“和”到“积”的形式.从“和”到“积”怎么办呢? 2
a2 ? b2 1 1 ? ( a ? b) . ( a ? b) 2 或 2 2 2

有以下变形: a 2 ? b 2 ?

典型例题十二
x2 ? y2 ? 2 2 ,并且求等号成立的条 x? y

例 12 件.

已知: x>y ? 0 ,且: xy ? 1 ,求证:

分析:由已知条件 x,y ? R ? ,可以考虑使用均值不等式,但所求证的式子中有 x ? y , 无法利用 x ? y ? 2 xy ,故猜想先将所求证的式子进行变形,看能否出现 ( x ? y ) ? 型,再行论证. 证明:? x ? y ? 0, ? x ? y ? 0.

1 ( x ? y)

又? xy ? 1,

?

x 2 ? y 2 ( x ? y ) 2 ? 2 xy ? x? y x? y

? ( x ? y) ?

2 x? y
2 ? 2 2. ( x ? y)

? 2 ( x ? y) ?

等号成立,当且仅当 ( x ? y ) ?

2 时. ( x ? y)

? ( x ? y) 2 ? 2 , x ? y ? 2 , x 2 ? y 2 ? 4.

? xy ? 1, ? ( x ? y) 2 ? 6,
? x ? y ? 6.
由以上得 x ?

6? 2 6? 2 , y? 2 2

即当 x ?

6? 2 6? 2 , y? 时等号成立. 2 2

说明:本题是基本题型的变形题.在基本题型中,大量的是整式中直接使用的均值不等式, 这容易形成思维定式. 本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式. 要 注意灵活运用均值不等式.

典型例题十三
例 13 已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? 2 y ? xy ? 30 ,求 xy 的最大值. 分析:由 x ? 2 y ? xy ? 30 ,可得, y ?

30 ? x ,  ? x ? 30) (0 2? x

30 x ? x 2 30 x ? x 2 故 xy ? .   ? x ? 30) ,令 t ? (0 2? x 2? x
利用判别式法可求得 t (即 xy )的最大值,但因为 x 有范围 0 ? x ? 30 的限制,还必须 综合韦达定理展开讨论.仅用判别式是不够的,因而有一定的麻烦,下面转用基本不等式求 解. 解法一:由 x ? 2 y ? xy ? 30 ,可得, y ?

30 ? x   ? x ? 30) . (0 2? x

30 x ? x 2 ? (2 ? x) 2 ? 34(2 ? x) ? 64 xy ? ? 2? x 2? x
64 ? ? ? 34 ? ?( x ? 2) ? x ? 2? ? ?
注意到 ( x ? 2) ? 可得, xy ? 18 . 当且仅当 x ? 2 ? 的最大值为 18.
? 解法二:? x, y ? R ,? x ? 2 y ? 2 2 xy ? 2 2 ?

64 64 ? 2 ( x ? 2) ? ? 16 . x?2 x?2

64 , x ? 6 时等号成立, 即 代入 x ? 2 y ? xy ? 30 中得 y ? 3 , xy 故 x?2
xy ,

代入 x ? 2 y ? xy ? 30 中得: 2 2 ?

xy ? xy ? 30

解此不等式得 0 ? xy ? 18 .下面解法见解法一,下略. 说明:解法一的变形是具有通用效能的方法,值得注意:而解法二则是抓住了问题的本 质,所以解得更为简捷.

典型例题十四
? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 例 14 若 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1,求证: ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 . ? a ?? b ?? c ?

分析:不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式 所得三个“2”连乘而来,而

1 1 ? a b ? c 2 bc . ?1? ? ? a a a a

证明:?

1 1? a b ? c ,又 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 , ?1? ? a a a

?

b ? c 2 bc 1 ? a 2 bc ,即 . ? ? a a a a 2 ab 1 2 ca 1 , ?1? , ?1 ? b b c c

同理

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 . ? a ?? b ?? c ?

1 时,等号成立. 3 说明:本题巧妙利用 a ? b ? c ? 1 的条件,同时要注意此不等式是关于 a、b、c 的轮换式. 典型例题十五
当且仅当 a ? b ? c ?
? 例 15 设 a、b、c ? R ,求证: a ? b ? b ? c ?
2 2 2 2

c 2 ? a 2 ? 2 (a ? b ? c) .

2 2 分析:本题的难点在于 a ? b 、 b ? c 、 c ? a 不易处理,如能找出 a ? b 与
2 2 2 2 2 2

a ? b 之间的关系,问题可得到解决,注意到:
a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2(a 2 ? b 2 ) ? (a ? b) 2 ? 2(a 2 ? b 2 ) ? a ? b ,
则容易得到证明. 证明:? a ? b ? 2ab, ? 2(a ? b ) ? a ? b ? 2ab ? (a ? b) ,
2 2 2 2 2 2 2

于是 a ? b ?
2 2

2 2 a?b ? (a ? b). 2 2

同理: b ? c ?
2 2

2 2 (c ? a ) . (b ? c) , c 2 ? a 2 ? 2 2
2 2 2 2

三式相加即得: a ? b ? b ? c ?

c 2 ? a 2 ? 2 (a ? b ? c) .

说明:注意观察所给不等式的结构,此不等式是关于 a、b、c 的轮换式.因此只需抓 住一个根号进行研究,其余同理可得,然后利用同向不等式的可加性.

典型例题十六
例 16 已知: a、b ? R (其中 R 表示正实数)
?

?

a2 ? b2 a ? b ? a ? b ? 2 ? ? ab ? ? ?? . 求证: ? ? 1 1 2 2 2 ? ? ? a b
分析:要证明的这一串不等式非常重要,

2

a2 ? b2 a?b 称为平方根, 称为算术平均 2 2

数, ab 称为几何平均数,

2 1 1 ? a b

称为调和平均数.

? a2 ? b2 证明: ? ? 2 ? ? a2 ? b2 ?? ? 2 ?
? a、b ? R ?
2

? ? a ? b ?2 1 2 ? ?? ? ? ?a ? b ? ? 0. ? ? 2 ? 4 ?

2

2 ? ? ? ?a ?b? . ? ? ? ? 2 ? ?

a2 ? b2 a ? b ? ∴ ,当且仅当“ a ? b ”时等号成立. 2 2

a?b ? a ? b? 1 ? ? ( a ? b ) 2 ? 0. ? ?? ? ? 2 2 4 ? ? a?b ? a ? b? ? ,等号成立条件是“ a ? b ” ∴ ?? ? ? 2 2 ? ? ? a ? b? 1 ? ? ab ? ( a ? b ) 2 ? 0, ?? ? ? 2 4 ? ? ? a ? b? ? ? ab ,等号成立条件是“ a ? b ” ∴? . ? ? 2 ? ?
? ab ? 2 1 1 ? a b ? ab ? 2ab (a ? b) ab ? 2ab ? a?b a?b
2 2 2

2

?

ab (a ? b ? 2 ab ) ab ( a ? b ) 2 ? ? 0. a?b a?b

∴ ab ?

2 1 1 ? a b

,等号成立条件是“ a ? b ” .

说明: 本题可以作为均值不等式推论, 熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明 问题.本例证明过程说明,不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法.

典型例题十七
例 17 设实数 a1 , b1 , c1 , a 2 , b2 , c 2 满足 a1 a 2 ? 0 , a1c1 ? b1 , a 2 c2 ? b2 ,
2 2

求证 (a1 ? a 2 )(c1 ? c 2 ) ? (b1 ? b2 ) .
2

分析:由条件可得到 a1 , a 2 , c1 , c 2 同号.为方便,不妨都设为正.将求证式子的 左边展开后可看出有交叉项 a1 c 2 和 a 2 c1 无法利用条件,但使用均值不等式变成乘积后,重 新搭配,可利用条件求证. 证明:? a1 a 2 ? 0 , ? a1 , a 2同号. 同理,由 a1c1 ? b1 ,a 2 c 2 ? b2 知 a1 与 c1 同号, a 2 与 c 2 同号
2 2

∴ a1 , c1 , a 2 , c 2 同号.不妨都设为正.

? (a1 ? a2 )(c1 ? c2 ) ? a1c1 ? a2 c2 ? a1c2 ? a2 c1
? b1 ? b2 ? 2 a1c 2 ? a 2 c1
2 2

? b1 ? b2 ? 2 a1c1 ? a 2 c 2
2 2

? b1 ? b2 ? 2 b1 ? b2
2 2 2

2

? b1 ? b2 ? 2 | b1b2 |
2 2

? b1 ? b2 ? 2b1b2 ? (b1 ? b2 ) 2 ,
2 2

即 (a1 ? a 2 )(c1 ? c 2 ) ? (b1 ? b2 ) .
2

说明: 本题是根据题意分析得 a1 ,c1 ,a 2 ,c 2 同号, 然后利用均值不等式变形得证. 换 一个角度,由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式,可能会有另一类证法.

a c a c 实际上, 由条件可知 a1 , 1 , 2 , 2 为同号, 不妨设同为正. 又∵ a1c1 ? b1 , 2 c2 ? b2 ,
2 2

∴ 4a1c1 ? 4b1 , 4a 2 c 2 ? 4b2 .
2 2

不等式 a1 x ? 2b1 x ? c1 ? 0 , a 2 x ? 2b2 x ? c 2 ? 0 对任意实数 x 恒成立(根据二次三
2 2

项式恒为正的充要条件) ,两式相加得 (a1 ? a 2 ) x ? 2(b1 ? b2 ) x ? (c1 ? c2 ) ? 0 ,它对任意
2

实数 x 恒成立.同上可得: (a1 ? a 2 )(c1 ? c 2 ) ? (b1 ? b2 ) .
2

典型例题十八
例 18 如下图所示,某畜牧基地要围成相同面积的羊圈 4 间,一面可利用原有的墙壁, 其余各面用篱笆围成,篱笆总长为 36m.问每间羊圈的长和宽各为多少时,羊圈面积最大?

分析: 可先设出羊圈的长和宽分别为 x ,y , 即求 xy 的最大值. 注意条件 4 x ? 6 y ? 36 的利用. 解: 设每间羊圈的长、 宽分别为 x ,y , 则有 4 x ? 6 y ? 36 , 2 x ? 3 y ? 18 . S ? xy 即 设

?18 ? 2 x ? 3 y ? 2 2 x ? 3 y ? 2 6 xy ,

? xy ?

27 27 , 即S ? 2 2

上式当且仅当 2 x ? 3 y 时取“=” .

?2 x ? 3 y , 此时 ? ?2 x ? 3 y ? 18 ,
∴羊圈长、宽分别为

9 ? ?x ? , ?? 2 ? y ? 3. ?

9 m,3m 时面积最大. 2

说明:(1)首先应设出变量(此处是长和宽) ,将题中条件数学化(即建立数学模型)才 能利用数学知识求解;(2)注意在条件 2 x ? 3 y ? 18 之下求积 xy 的最大值的方法:直接用不 等式 18 ? 2 x ? 3 y ? 2 2 x ? 3 y ,即可出现积 xy .当然,也可用“减少变量”的方法:

1 1 1 1 ? 2 x ? 18 ? 2 x ? y ? (18 ? 2 x) ? S ? xy ? x ? (18 ? 2 x) ? ? 2 x ? (18 ? 2 x) ? ? ? ? ,当 3 3 6 6 ? 2 ?
且仅当 2 x ? 18 ? 2 x 时取“=” .

2

典型例题十九
例 19 某单位建造一间地面面积为 12m 的背面靠墙的矩形小房, 房屋正面的造价为 1200 2 2 元/m ,房屋侧面的造价为 800 元/m ,屋顶的造价为 5800 元.如果墙高为 3m,且不计房屋 背面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:这是一个求函数最小值的问题,关键的问题是设未知数,建立函数关系.从已知
2

条件看,矩形地面面积为 12m ,但长和宽不知道,故考虑设宽为 x m,则长为 造价为 y .由题意就可以建立函数关系了. 解:设矩形地面的正面宽为 x m,则长为

2

12 m,再设总 x

12 m;设房屋的总造价为 y .根据题意,可得: x

y ? 3x ? 1200 ? 3 ?

12 ? 800 ? 2 ? 5800 x 57600 ? 3600 x ? ? 5800 x
? 3600 ( x ? 16 16 ) ? 5800 ? 3600 ? 2 x ? ? 5800 x x

? 28800 ? 5800 ? 34600 (元)
当x?

16 ,即 x ? 4 时, y 有最小值 34600 元. x

因此,当矩形地面宽为 4m 时,房屋的总造价最低,最低总造价是 34600 元. 说明:本题是函数最小值的应用题,这类题在我们的日常生活中经常遇到,有求最小值 的问题,也有求最大值的问题,这类题都是利用函数式搭桥,用均值不等式解决,解决的关 键是等号是否成立,因此,在解这类题时,要注意验证等号的成立.

典型例题二十
例 20 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状) ,高度恒定,它的后墙利用旧墙 2 不花钱,正面用铁栅,每 1m 长造价 40 元,两侧墙砌砖,每 1m 长造价 45 元,顶部每 1m 造 价 20 元.计算: (1)仓库底面积S的最大允许值是多少? (2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? 分析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长,再由题意翻译数量关系. 解:设铁栅长为 x m,一堵砖墙长为 y m,则有 S ? xy . 由题意得 40 x ? 2 ? 45 y ? 20 xy ? 3200 . 应用算术平均数与几何平均数定理,得

(*)

3200 ? 2 40 x ? 90 y ? 20 xy ? 120 xy ? 20 xy ? 120 S ? 20 S ,
? S ? 6 S ? 160 ,
即: ( S ? 10)( S ? 10) ? 0.

? S ? 16 ? 0, ? S ? 10 ? 0,
从而: S ? 100 .

因此 S 的最大允许值是 100m ,取得此最大值的条件是 40 x ? 90 y ,而 xy ? 100 ,由
2

此求得 x ? 15 ,即铁栅的长应是 15 m . 说明:本题也可将 y ?

S 代入(*)式,导出关于 x 的二次方程,利用判别式法求解. x

典型例题二十一
例 21 甲、乙两地相距 s km ,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过 c km/h ,已 知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 ........

v km/h 的平方成正比,且比例系数为 b ;固定部分为 a 元.
(1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v km/h 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析:这是 1997 年的全国高考试题,主要考查建立函数关系式、不等式性质(公式) 的应用.也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题. 解: (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 h ,全程运输成本为

s v

s s a y ? a ? ? bv2 ? ? s( ? bv) . v v v a 故所求函数为 y ? s( ? bv) ,定义域为 v ? (0,c) . b (2)由于 s、a、b、v 都为正数,
故有 s ( ? bv) ? s ? 2

a v

a ? bv , b

即 s( ? bv) ? 2s ab .

a v

当且仅当

a ? bv ,即 v ? v

a 时上式中等号成立. b



a ? c 时,则 v ? b

a 时,全程运输成本 y 最小; b



a a ? c , 易 证 0 ? v ? c , 函 数 y ? f (v) ? s( ? bv) 单 调 递 减 , 即 v ? c 时 , b v

a ymi n ? s( ? bc) . c
综上可知,为使全程运输成本 y 最小,



a ? c 时,行驶速度应为 v ? b

a ; b



a ? c 时,行驶速度应为 v ? c . b


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