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上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编5:数列


上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 5: 数列 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 错误!未指定书签。 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )数列 {an } 前 n 项和

为 Sn ,已知 a

1 ?

1 ,且对任意正整数 m, n ,都有 am?n ? am ? an ,若 Sn ? a 恒成立,则实数 5
( )

a 的最小值为
1 A. 4 3 B. 4 4 C. 3
D.4

错误!未指定书签。(上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)设等比数 .

列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
二、填空题





B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

错误!未指定书签。 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) 给 )

5 ? 1 ? 10 ? 5 ? 9 15 出 30 行 30 列的数表 A : ? ? 13 20 ?? ? ? ?117 150 ?

9 15 21 27 ?

13 20 27 34 ?

? ? ? ? ?

183 216 ?

117 ? ? 150 ? 183 ? ? ,其特点是每行每列都构 216 ? ? ? ? 1074? ?

成等差数列,记数表主对角线上的数 1, , , , , 10 21 34 ? 1074按顺序构成数列 ?bn ? ,存在正 整数 s、t (1 ? s ? t ) 使 b1 , bs , bt 成等差数列,试写出一组 ( s, t ) 的值_____________.
错误! 未指定书签。 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学 (理) 试题 ) 已知数列

?an ?

满足 3an?1 ? an ? 4 (n∈N*)且 a1 =9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn―n―6|< 最小整数 n 是 A.5 B.6 ( ) C.7

1 的 125

D.8

错误!未指定书签。 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )对于自然

数 i ? N ? ,设 ai,k ? i ? 3(k ? 1) (k ? 1, 2,3, ???) ,如 a3,4 ? 3 ? 3(4 ? 1) ? ?6 ,对于自然数 n, m , 当 n ? 2, m ? 2 时,设 b(i, n) ?a i,1 ?ai,2 ? ai,3 ? ? ? ? ? ai,n , S (m, n) ? b(1, n) ? b(2, n) ?
b(3, n) ? ? ? ? ? b(m, n) ,则 S (10,6) ? ____________.
错误!未指定书签。 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )设 S n 为等

差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 5 ? 10, S10 ? ?5 ,则公差为____.
错误!未指定书签。 . (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)等差数列

?an ? 的前 10

项和为 30,则 a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? ___________.
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . 上 海 市 虹 口 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 (

an ? logn?1 (n ? 2) (n ? N ? ) , 称 a1a2 a3 ?ak 为 整 数 的 k 为 “ 希 望 数 ”, 则 在
内所有“希望数”的个数为___________. (1, 2 0 1)3
错误!未指定书签。 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )数列

?an ? 的通项 ?an ? 的前

a n ? n ? sin

n? ,前 n 项和为 S n ,则 S13 ? ____________. 2

错误!未指定书签。(上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )设正项数列 .

n 项和是 S n ,若 ?an ? 和{ S n }都是等差数列,且公差相等,
则 a1 ? d ? ________

错误!未指定书签。(上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(理)设 S n 为数 .

列 ?a n ? 的前 n 项和,若不等式 a n ?
2

2 Sn ? ma12 对任意等差数列 ?a n ? 及任意正整数 n 都 2 n

成立,则实数 m 的最大值为 _______ .
错误!未指定书签。(上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)设等差数 .

列 ?an ? 满足:公差 d ? N , an ? N * ,且 ?an ? 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若
*

a1 ? 35 ,则 d 的所有可能取值之和为_______.
错误!未指定书签。(上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)已知 {an } .

为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d =_____.
错误!未指定书签。 (2013 年上海市高三七校联考(理) 设等差数列 {an } 的公差为正,若 . )

a2 ? 1 a1a2a3 ? ?3 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ____. ,
错误!未指定书签。(2013 届浦东二模卷理科题)数列 {an } 满足 a n?1 .

?

4an ? 2 ? ( n ? N ). an ? 1

①存在 a1 可以生成的数列 {an } 是常数数列;

②“数列 {an } 中存在某一项 a k ?

49 ”是“数列 {an } 为有穷数列”的充要条件; 65

③若 {an } 为单调递增数列,则 a1 的取值范围是 (??,?1) ? (1,2) ; ④只要 a1 ?

3k ? 2k ?1 ? ,其中 k ? N ,则 lim an 一定存在; n?? 3k ? 2k

其中正确命题的序号为____________.
错误!未指定书签。(2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)公差为 d ,各项均为正整 .

数的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1, an ? 73 ,则 n ? d 的最小值等于_________________.
三、解答题 错误!未指定书签。 (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 已知数列 .

?an? (n ? N * ) 的前 n 项和为 Sn ,数列 ? ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 Sn ? ? 是首项为 0 ,公差为 的等差数列. 2 ?n?

4 a ? ? ?2 ? n (n ? N * ) ,对任意的正整数 k ,将集合 ?b2k ?1, b2k , b2k ?1? 中的三个 15

元素排成一个递增的等差数列,其公差为 dk ,求证:数列 ?dk ? 为等比数列; (3)对(2)题中的 dk ,求集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数.

?

?

错误!未指定书签。(四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) 本题 . )

共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已 知 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 为 S n , 且 满 足 a1 ? a (

a ? 3 ),

an?1 ? S n ? 3n , 设

bn ? S n ? 3n , n ? N ? .
(1)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)若 a n ?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3)当 a ? 4 时,给出一个新数列 ?en ? ,其中 en ? ? 项和为 C n ,若 C n 可以写成 t
p

?3 , n ? 1 ,设这个新数列的前 n ?bn , n ? 2

( t, p ? N 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型

?

和”.问 ?C n ? 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在, 请说明理由.

错误!未指定书签。(上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷)本题满分 16 .

分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分
?

设数列 ?an ? 与 {bn } 满足:对任意 n ? N ,都有 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn , bn ? an ? n ? 2 n?1 .
n

其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.

(1)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 与 {bn } 的通项公式; (2)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .
错误!未指定书签。(上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )(本题满分 .

18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 如果存在常数 a 使得数列 ?an ? 满足:若 x 是数列 ?an ? 中的一项,则 a ? x 也是数列 ?an ? 中的一项,称数列 ?an ? 是关于常数 a 的“兑换数列”. (1) 若数列: 1, 2, 4, m (m ? 4) 是关于 a 的“兑换数列”,求 m 和 a 的值; (2) 已知项数为 n0 ( n0 ? 3 )有限等差数列 ?bn ? ,其所有项的和是 B ,求证:数列 ?bn ? 是 ..

关于常数

2B 的“兑换数列”. n0

(3) 对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增等比数列 ?cn ? ,是否是“兑换数 列”?若是,请求出常数 a 的值;否则请说明理由.
错误!未指定书签。(上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题) .

本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 对于任意的 n ? N ,若数列 {an } 同时满足下列两个条件,则称数列 {an } 具有“性质
*

m ”:①

an ? an ? 2 ? a n ?1 ; 2

②存在实数 M ,使得 an ? M 成立.

(1)数列 {an } 、 {bn } 中, an ? n 、 bn ? 2 sin 具有“性质 m ”;

n? ( n ? 1,2,3,4,5 ),判断 {an } 、 {bn } 是否 6
1 7 , S 3 ? ,证明:数列 4 4

(2)若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn ,且 c3 ?

{S n } 具有“性质 m ”,并指出 M 的取值范围;

(3) 若 数 列 {dn } 的 通 项 公 式 d n ?

t (3 ? 2 n ? n) ? 1 * ( n ? N ). 对 于 任 意 的 n 2

n ? 3 ( n ? N * ),数列 {dn } 具有“性质 m ”,且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ? 9 ,求
整数 t 的值
错误!未指定书签。(上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)本题共有 3 个小题,第 1 .

小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 具有性质:① a1 为整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时,

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m?N),数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 2m?1 ? 3 ; (3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 ( n?N)时,都有 an ? 0 .
错误! 未指定书签。 上海市虹口区 2013 年高考二模数学 ( . (理) 试题 ) 已知复数 z n
?

? an ? bn ? i ,

其中 a n ? R , bn ? R , n ? N , i 是虚数单位,且 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 和:① a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ;② b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bn bn?1 . 求

错误!未指定书签。(上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知数列{an}中,a2=1, .

前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1,a3;

n(an ? a1 ) . 2

(2)求证:数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在, 3n

求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

错误!未指定书签。(上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(本题满分 18 .

分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分)

(理)已知三个互不相等的正数 a , b , c 成等比数列,公比为 q .在 a , b 之间和 b , c 之间 共插入 n 个数,使这 n ? 3 个数构成等差数列. (1)若 a ? 1 ,在 b , c 之间插入一个数,求 q 的值; (2)设 a ? b ? c , n ? 4 ,问在 a , b 之间和 b , c 之间各插入几个数,请说明理由; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a , b 之间,个位于 b , c 之间,试比较 s 与的大小.

错误!未指定书签。(上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题) .

(本题满

分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 对于数列 A : a1, a2 , a3 (ai ? N, i ? 1, 2,3) ,定义“ T 变换”: T 将数列 A 变换成数列 , B : b1 , b2 , b3 , 其 中 bi ? | ai ? a?1 | ( i ? 1, 2) 且 b3 ? | a3 ? a1 | . 这 种 “ T 变 换 ” 记 作 i B ? T ( A) .继续对数列 B 进行“ T 变换”,得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此类推,当得到的 数列各项均为 0 时变换结束.

(1)试问 A : 2, 6, 4经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换” 得到的各数列;若不能,说明理由; (2) 设 A : a1, a2 , a3 , B ? T ( A) . 若 B : b, 2, a (a ? b) , 且 B 的 各 项 之 和 为 2012 . 求

a,b ;
(3)在(2)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的 最小值,并说明理由.

错误!未指定书签。(2013 年上海市高三七校联考(理) 本题共有 3 小题,第(1)小题 4 分, . )

第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. y … A4 A2 A0 A1 O x
第 23 题图

A3

一青蛙从点 A0 ( x0, 0 ) 开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是 y

y Ai ( xi,i )(i ? N ? ) ,(如图所示, A0 ( x0, 0 ) 坐标以已知条件为准), Sn 表示青蛙从点 A0 y 到点 An 所经过的路程.
2 (1)若点 A0 ( x0,0 ) 为抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 准线上一点,点 A 、 2 均在该抛物线上, y 1 A

并且直线 A A2 经过该抛物线的焦点,证明 S2 ? 3 p . 1
2 (2)若点 An ( xn, n ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,要么落在 y ? x 所表示的曲线上, y

1 1 n ??? 2 2 (3)若点 An ( xn, n ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,要么落在 y ? 2 x 所表示的曲线上, y 1 1) 并且 A0 ( , ,求 Sn 的表达式. 2
并且 A0 ( , ) ,试写出 lim S n (请简要说明理由);
错误!未指定书签。(2013 届浦东二模卷理科题)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第 .

(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分. 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c

(1)在 a, b 之间插入 2011 个数,使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? ,且它们 的和为 2013 ,求 c 的最小值; (2)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大 排 成 一 列 S1, S2 , S3 ,?, Sn , 且 Tn ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? (?1)n Sn , 求 满 足 不 等 式

T2n ? 6 ? 2n ?1 的所有 n 的值;
c a (3)已知 a, b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,证明:数 ? ? ? ? ?a? ? c?

n n

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且 X n 是正整数.

?

错误!未指定书签。(2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)本题共有 3 个小题,第(1) .

小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 如图,过坐标原点 O 作倾斜角为 60 的直线交抛物线 ? : y 2 ? x 于 P1 点,过 P1 点作倾斜
?

角为 120 的直线交 x 轴于 Q1 点,交 ? 于 P 点;过 P 点作倾斜角为 60 的直线交 x 轴于 2 2
? ?

Q2 点,交 ? 于 P 点;过 P 点作倾斜角为 120? 的直线,交 x 轴于 Q3 点,交 ? 于 P4 点;如此 3 3
下 去 . 又 设 线 段

OQ1 , Q ,Q Q ,2 ,Qn? Qn, Q 1 2 L L 3

的 长 分 别 为 1

a1 , a2 , a3 ,L , an ,L , ?OPQ1 ,Q1P2Q2, Q2 PQ3 , ,?Qn?1PnQn, 的 面 积 分 别 为 ? ? 3 L L 1 G1 , G2 , G3 ,L , Gn ,L , 数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn .
(1)求 a1 , a2 ; (2)求 an , lim

Gn ; n ?? S n

a (3)设 bn ? a n (a ? 0且a ? 1) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,对于正整数 p, q, r , s ,若

p ? q ? r ? s ,且 p ? s ? q ? r ,试比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小.

y P1

P3 x

O

Q1 P2

Q2

Q3

P4

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 5:数列参考答案 一、选择题

A 错误!未找到引用源。 C
错误!未找到引用源。 二、填空题 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

(17,25) .
C

? 120 ?1

12 错误!未找到引用源。 9; 错误!未找到引用源。 7;
错误!未找到引用源。

3 4

错误!未找到引用源。

1 5

错误!未找到引用源。 364 错误!未找到引用源。 2 错误!未找到引用源。 21 错误!未找到引用源。 ①④ 错误!未找到引用源。 18 ; 三、解答题 错误!未找到引用源。本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)

小题满分 6 分. 解:(1)由条件得

Sn 1 n ? 0 ? (n ? 1) ,即 Sn ? (n ? 1) , n 2 2

所以, an ? n ?1(n ? N * )

4 ? (?2) n ?1 (n ? N * ) 15 4 4 4 4 (?2) 2 k ? 2 ? ? 22 k ? 2 , b2 k ? (?2) 2 k ?1 ? ? ? 22 k ?1 , 所以, b2 k ?1 ? 15 15 15 15 4 4 b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? ? 22 k , 15 15
(2) 由(1)可知 bn ? 由 2b2k ?1 ? b2k ? b2k ?1 及 b2k ? b2k ?1 ? b2k ?1 得

b2k , b2k ?1 , b2k ?1 依次成递增的等差数列,
所以 d k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ?

4 2 k 4 2 k ? 2 4k ?2 ? ?2 ? , 15 15 5

满足

d k ?1 ? 4 为常数,所以数列 ?dk ? 为等比数列 dk

(3)①当 k 为奇数时,
1 4k (5 ? 1) k 5k ? Ck 5k ?1 ? Ck2 5k ? 2 ? ? ? (?1) k ? ? 5 5 5 , 1 k ?1 1 k ?2 2 k ?3 k ?1 0 k ?1 ? 5 ? Ck 5 ? Ck 5 ? ? ? Ck 5 (?1) ? 5

dk ?

4k ?1 (5 ? 1)k ?1 1 1 ? ? 5k ? Ck ?1 5k ?1 ? Ck2?1 5k ?2 ? ? ? Ckk?1 50 (?1)k ? , 同样,可得 d k ?1 ? 5 5 5
所以,集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为 (d k ?1 ? ) ? ( d k ? ) ? 1

?

?

1 5

1 5

? d k ?1 ? d k ?

3 3(4k ? 1) ? ; 5 5

②当 k 为偶数时,同理可得集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为

?

?

3 ? (4k ? 1) 5

错误!未找到引用源。本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满

分 8 分. 解:(1) an?1 ? S n ? 3n ? S n?1 ? 2S n ? 3n , bn ? S n ? 3n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,

bn?1 Sn?1 ? 3n?1 2Sn ? 3n ? 3n?1 =2,所以 ?bn ? 为等比数列. ? ? bn Sn ? 3n Sn ? 3n

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 .
(2) 由(1)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1

an ? S n ? S n?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? ; an ? ? n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2

? a ? a1 an?1 ?a n , ? 2 ?a n ?1 ? a n n ? 2
(3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1

, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为

n 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1 . 由 t p ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.

p

p

①当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n ,
p p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数, 所以存在正整数 g, h ,使得 t
p 2

?1 ? 2 , t ? 1 ? 2h ,
g

p 2

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 , 所 以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 , 相 应 的

n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”;
2 p ?1 p 2 p ?1 ②当 p 为奇数时, t ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t ? ? ? t ) ,由于 1 ? t ? t ? ? ? t 是 p

个奇数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数,所以 (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ? 2 n 不成 立,此时没有“指数型和”.

错误!未找到引用源。解:由题意知 a1

? 2 ,且

ban ? 2n ? ?b ?1? Sn ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(1)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ?1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

?

?

故知, bn ? 2

n ?1

,
n?1

再由 bn ? an ? n ? 2 另解:

,得 an ? ? n ? 1? 2

n?1

.

an ?1 an 1 ? ? 2n ?1 2n 2
a 1 ?a ? ? ? n ? 是首项为 1 ? 1 ,公差为 的等差数列, 1 n 2 2 ?2 ?

?

an n ?1 n ?1 ? 1? ? n 2 2 2

?an ? ? n ?1? ? 2n?1 bn ? ? n ?1? ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2n?1
(2)当 b ? 2 时,由①得

an ?1 ?

1 1 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b ? ?

若 b ? 0 , Sn ? 2n 若 b ? 1 , an ? 2 n , S n ? 2 n?1 ? 2

1 若 b ? 0、,数列 ?a n ?

? ?

2(1 ? b) 1 ? 为首项,以 b 为公比的等比数列,故 ? 2 n ? 是以 2?b 2?b ?

an ?

1 2(1 ? b) n ?1 ? 2n ? ?b , 2?b 2?b 1 an ? 2 n ? ?2 ? 2b ?b n ?1 2?b 1 2(1 ? b) Sn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?1 2?b 2?b

?

?

?

?

?

?

2(2n ? b n ) Sn ? 2?b
b ? 1 时, Sn ? 2n?1 ? 2 符合上式
所以,当 b ? 0 时, Sn ?
n 当 b ? 0 时, S n ? 2

2(2n ? b n ) 2?b

另解: 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 当 n ? 2 时,?ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n

?b ? Sn ? Sn?1 ? ? 2n ? ?b ?1? Sn
?Sn ? bSn?1 ? 2n
若 b ? 0 , Sn ? 2n 若 b ? 0 ,两边同除以 2 得
n

S n b S n ?1 ? ? ?1 2 n 2 2 n ?1



Sn Sn b Sn? b S n ? 2 ? 2m ? m ? ? n ?1 ? 1 ? m ,即 n ? m ? ? ( n ?1 ? ) n 1 2 2 2 2 2 2 1 b 2 ? 2m 2 得m ? b b?2

由m ?

?{

Sn b 2 b ? } 是以 为首项, 为公比的等比数列 n 2 2 b?2 b?2

?

Sn 2 b b ? ? ? ( ) n ?1 , n 2 b?2 b?2 2

所以,当 b ? 0 时, Sn ?

2(2n ? b n ) 2?b

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 解:(1)在数列 {an } 中,取 n ? 1 ,则

a1 ? a3 ? 2 ? a 2 ,不满足条件①, 2

所以数列 {an } 不具有“ m 性质”; 在 数 列 {bn } 中 , b1 ? 1 , b2 ? 3 , b3 ? 2 , b4 ? 3 , b5 ? 1 , 则

b1 ? b3 ? 3 ? 2 3 ? 2b2 , b2 ? b4 ? 2 3 ? 4 ? 2b3 , b3 ? b5 ? 3 ? 2 3 ? 2b4 ,所以满
足条件①; bn ? 2 sin

n? ? 2 ( n ? 1,2,3,4,5 )满足条件②,所以数列 {bn} 具有“性质 6

m”
(2)因为数列 {cn } 是各项为正数的等比数列,则公比 q ? 0 , 将 c3 ?

c c 1 7 2 代入 S 3 ? 3 ? 3 ? c3 ? 得, 6q ? q ? 1 ? 0 , 2 4 q 4 q

1 1 或 q ? ? (舍去), 2 3 1 1 所以 c1 ? 1 , c n ? n ?1 , S n ? 2 ? n ?1 2 2
解得 q ?

对于任意的 n ? N ,
*

S n ? S n?2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ?1 ,且 S n ? 2 2 2 2 2

所以数列数列 {S n } 具有“ m 性质”

M ?2
(3)由于 d n ? 3t ?

tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 2) ? 1 ,则 d n ?1 ? 3t ? , d n ? 2 ? 3t ? n n ?1 2 2 2 n?2
*

由于任意 n ? [3, ? ?] 且 n ? N ,数列 {dn } 具有“性质 m ”,所以 d n ? d n?2 ? 2d n?1

tn ? 1 t (n ? 2) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 ? ? 2? ,化简得, t (n ? 2) ? 1 n n?2 2 2 2 n ?1 1 * 即t ? 对于任意 n ?[3, ? ?) 且 n ? N 恒成立,所以 t ? 1 ① n?2 tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 d n ?1 ? d n ? n ? = 由于 n ? 3 及①,所以 d n?1 ? d n 2 2 n ?1 2 n ?1 tn ? 1 即 n ? 3 时,数列 {dn } 是单调递增数列,且 lim d n ? lim(3t ? n ) ? 3t n?? n?? 2 只需 3t ? 9 ,解得 t ? 3 ② 由① ②得 1 ? t ? 3 ,所以满足条件的整数 t 的值为 2 和 3. 经检验 t ? 2 不合题意,舍去,满足条件的整数只有 t ? 3

错误!未找到引用源。 【解析】⑴设 a1

? 2k , a2 ? k ,则: 2k ? a3 ? 2k , a3 ? 0

分两种情况: k 是奇数,则 a3 ? 若 k 是偶数,则 a3 ?

a2 ? 1 k ? 1 ? ? 0 , k ? 1 , a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? 0 2 2

a2 k ? ? 0 , k ? 0 , a1 ? 0, a2 ? 0, a3 ? 0 2 2

⑵当 m ? 3 时, a1 ? 2m ? 3, a2 ? 2m?1 ? 1, a3 ? 2m?2 , a4 ? 2m?3 ,

a5 ? 2m?4 ,?, am ? 2, am?1 ? 1, am?2 ? ? ? an ? 0
∴ Sn ? Sm?1 ? 1 ? 2 ? ? ? 2m ? 4 ? 2m ? 3 ⑶∵ n ? 1 ? log2 a1 ,∴ n ?1 ? log2 a1 ,∴ 2n?1 ? a1

? an ? 2 , an是偶数 a ? an ?1 ? ? ? n 由定义可知: ? an ? 1 , a 是奇数 2 n ? 2 ?


an ?1 1 ? an 2

∴ an ? ∴ an ?

an an ?1 a 1 ? ?? ? 2 ? a1 ? n?1 a1 an ?1 an ?2 a1 2
1 ? 2n ?1 ? 1 2n ?1

∵ an ? N ,∴ an ? 0 , 综上可知:当 n ? 1 ? log2 a1 (n ? N ) 时,都有 an ? 0

错误!未找到引用源。 (14 分)解:(1)? z1

? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 .




z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i

?a ? 3a n an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,? ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2

? 数列 ?an ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差
数列,? an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1 (2)①由(1)知 an ? 3n?1 ,?

ak a k ?1 ? 32 ,? 数列 ?an an?1 ?是以 3 为首项,公比为 32 的等 a k ?1a k
3(1 ? 32 n ) 32 n?1 3 ? ? 1? 9 8 8

比数列. ? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ?
? ②当 n ? 2k , k ? N 时,

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bn bn?1 ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 )
? ?4b2 ? 4b4 ? ? ? 4b2 k ? ?4(b2 ? b4 ? ? ? b2 k ) ? ?4 ? k (b2 ? b2 k ) ? ?8k 2 ? 4k ? ?2n 2 ? 2n 2

? 当 n ? 2k ? 1 , k ? N 时, b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ?? (?1)n?1bnbn?1

? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 ) ? b2k ?1b2k ? 2 ? ?8k 2 ? 4k ? (4k ? 1)(4k ? 3) ? 2n 2 ? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式
? 2 ? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1 ? ?2n ? 2n ? 1 当n为奇数时 ? 2 ?? 2n ? 2n 当n为偶数时 ?

错误!未找到引用源。解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

1(a1 ? a1 ) =0 ; 2

a3=2;
(n ? 1) an?1 . 2

(2)由 Sn ? ②-①,得

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2
(n ? 1)an ?1 ? nan .





Sn ?1 ?



③ ④

于是, nan? 2 ? (n ? 1)an?1 .

③+④,得 nan? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1 法二②-①,得
(n ? 1)an ?1 ? nan .



于是,

a n ?1 a a a a ? n ,? n ? n ?1 ? ? ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 2 1
所以,an=n-1.

?

an ?1 n ?1

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列, 则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是,

2p 1 q ? ? 3p 3 3q 2p 1 ? ) (☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 3p 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p ? p ? p ?1 <0, 3 p ?1 3 3

所以, q ? 3q (

当 p≥3,且 p∈N*时, 故数列{ 于是

2p }(p≥3)为递减数列 3p

2p 1 2?3 1 ? ≤ 3 ? <0,所以此时方程(☆)无正整数解 3 3 3p 3 综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列 错误!未找到引用源。 (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分)
解:(1)因为 a , b , c 是互不相等的正数,所以 q ? 0 且 q ? 1 . 由已知, a , b , c 是首项为,公比为 q 的等比数列,则 b ? q , c ? q ,
2

当插入的一个数位于 b , c 之间, 设由 4 个数构成的等差数列的公差为 d ,则

?q ? 1 ? d 2 ,消去 d 得 2q ? 3q ? 2 ? 0 , ? 2 ?q ? 1 ? 3d

因为 q ? 1 ,所以 q ? 2 (2)设所构成的等差数列的公差为 d ,由题意, d ? 0 ,共插入 4 个数.

若在 a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数,则 ? 于是

?b ? a ? 2d , ?c ? b ? 4d

b?a c?b 2 , 2b ? 2a ? c ? b , q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 ? 2 4

若在 a , b 之间插入 3 个数,在 b , c 之间插入个数,则 ? 于是

?b ? a ? 4d , ?c ? b ? 2d

b?a c?b 1 , 2c ? 2b ? b ? a 解得 q ? (不合题意,舍去) ? 4 2 2

若 a , b 之间和 b , c 之间各插入 2 个数,则 ? 解得 q ? 1 (不合题意,舍去)

?b ? a ? 3d ,b ? a ? c ? b, ?c ? b ? 3d

综上, a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数 (3)设所构成的等差数列的公差为 d ,

b?a b?c ,又 c ? b ? (t ? 1)d , d ? , s ?1 t ?1 b?a c?b q ? 1 q (q ? 1) t ?1 所以 ,即 ,因为 q ? 1 ,所以 ? ? ?q s ?1 t ?1 s ?1 t ?1 s ?1
由题意, b ? a ? ( s ? 1)d , d ? 所以,当 q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t ;当 0 ? q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t .

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。解:(1)设 A0 ( ?

p , 0 ) ,由于青蛙依次向右向上跳动, y 2

y 所以 A1 ( , 0 ) , A2 ( ,? y0 ) ,由抛物线定义知: S2 ? 3 p
(2) 依题意, x2 n ?1 ?
n ??

p 2

p 2

x2 n ?1,2 n ? x2 n ?1,2 n ? y2 n ?1 ? x2 n ?1 (n ? N * ) x y

lim S n ?| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ? ? ? | A2 n ?2 A2 n ?1 | ? | A2 n ?1 A2 n | ? ?

? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( y2n ? y2n?1 ) ? ? ? 2( x1 ? x0 ) ? 2( x3 ? x2 ) ? 2( x5 ? x4 ) ? ?? 2( x2n?1 ? x2n ) ? ?
, 随着 n 的增大,点 An 无限接近点 (1 1)

横向路程之和无限接近 1 ? 所以 lim S n =
n ???

1 1 1 1 ? ,纵向路程之和无限接近 1 ? ? 2 2 2 2

1 1 ? ?1 2 2

(注:只要能说明横纵坐标的变化趋势,用文字表达也行) (3)设点 A2k ( x2k,2k ), 2k ?1 ( x2 k ?1,2 k ?1 ) ,由题意, An 的坐标满足如下递推关系: y A y

1 x0 ? , 0 ? 1 ,且 y2k ?1 ? y2k (k ? 0,,,, ),2k ?1 ? x2k ?2 (k ? 0,,,, ) y 1 2 3 ? x 1 2 3 ? 2
其中 y2k ?1 ? x2k ?1,2k ? 2x2k ,∴ x2k ?1 ? x2k ?2 ? 2x2k , y (方法一)∴ {x2 k } 是以 x0 ? 即当 n 为偶数时, xn ?

1 1 k 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ x2 k ? ? 2 , y2k ? 2k 2 2

n 1 n ? 2 2 , yn ? 2 2 2 n ?1 2 n ?1 2

又 x2k ?1 ? x2k ?2 ? 2 , y2k ?1 ? x2k ?1 ? 2 ,∴当 n 为奇数时, xn ? 2
k k

,n ? 2 y

于是,当 n 为偶数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k ?1 A2k | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( x2k ?1 ? x2k ?2 ) ? ( y2k ? y2k ?1 ) ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y0 ) ? ( x3 ? x1 ) ? ( y4 ? y2 ) ? ( x5 ? x3 ) ? ?? ( x2k ?1 ? x2k ?3 ) ? ( y2k ? y2k ?2 )
3 3 ? ( x2 k ? y2 k ) ? ( x0 ? y0 ) ? ? 2k ? 2 2 当 n 为奇数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k A2k ?1 | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( y2k ? y2k ?1 ) ? ( x2k ?1 ? x2k ) ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y0 ) ? ( x3 ? x1 ) ? ( y4 ? y2 ) ? ( x5 ? x3 ) ? ?? ( y2k ?1 ? y2k ) ? ( x2k ?1 ? x2k ?1 )
? ( x2 k ?1 ? y2 k ?1 ) ? ( x0 ? y0 ) ? 2 ? 2k ?
? ? n2 1 3 2 ? ? 2 ∴ Sn ? ? 3 n 2 ? (2 ? 1) ?2

3 2

n为奇数 n为偶数
1 1 k k 为首项, 2 为公比的等差数列,∴ x2 k ? ? 2 , y2k ? 2 2 2

(方法二)∴ {x2 k } 是以 x0 ?

又 x2k ?1 ? x2k ?2 ? 2k , y2k ?1 ? x2k ?1 ? 2k ∴ x2 k ?1 ? x2 k ? 2 ?
k

1 k 1 k ? 2 ? ? 2 , y2k ?2 ? y2k ?1 ? 2k ?1 ? 2k ? 2k 2 2

于是,当 n 为偶数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k ?1 A2k | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( x2k ?1 ? x2k ?2 ) ? ( y2k ? y2k ?1 )
1 1 3 3 ? ( ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2k ?1 ) ? (1 ? 2 ? ? ? 2k ?1 ) ? ? 2k ? 2 2 2 2 当 n 为奇数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k A2k ?1 | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( y2k ? y2k ?1 ) ? ( x2k ?1 ? x2k )
1 1 3 ? ( ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2k ) ? (1 ? 2 ? ? ? 2k ?1 ) ? 2 ? 2k ? 2 2 2 n ?1 ? 2 3 n为奇数 ?2 ? 2 ∴ Sn ? ? . 3 n 2 ? (2 ? 1) n为偶数 ?2
(注:本小题若没有写出递推关系,直接归纳得到正确结论而没有证明,扣 4 分)

错误!未找到引用源。解:(1) ?an ? 是等差数列,∴
2 2 2

2013 ? (a ? b) ? 2013 ,即 a ? b ? 2 2

所以 c ? a ? b ? ? ? 2 , c 的最小值为 2 ; (2)设 a , b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a2 ? (a ? d )2 ? (a ? 2d )2 ? a ? 3d 设 三 角 形 的 三 边 长 为
3d , 4d ,5d

,



积 ,

Sd ?

1 3 ? d 4 ?2 d 2

6? d (

d? , Z )

Sn ? 6n2

T2n ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S2n ? 6[?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2n)2 ]
? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?2n) ? 12n2 ? 6n
1 n ? 2n , 2 n(n ? 1) 1 n ? ? ? 2 ? 2n ? ( n 2 ? n) ? n 2 ? n , 当 n ? 5 时, 2 ? 1 ? n ? 2 2
由 T2n ? 6 ? 2
n ?1

得n ?
2

经检验当 n ? 2,3,4 时, n ?
2

1 1 n ? 2n ,当 n ? 1 时, n 2 ? n ? 2n 2 2

综上所述,满足不等式 T2n ? 6 ? 2n ?1 的所有 n 的值为 2、3、4 (3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .
2

由于 a , b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 , ? a 2
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c a ? ? ? 又 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,得 5 X n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? , ?a? ? c? ? ? ? ?

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n?2

? 5 X n?2

? X n +X n ?1 ? X n ? 2 ,则有?
故数列

?

Xn

? +?
2

X n ?1

? ??
2

X n?2

?.
2

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形

?

1 1 2 2 ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 因为 X 1 ? 5 ?? 5 ? 1 ? ? ? 1 ? 5 ? ? =1 , X 2 ? 5 ?? 5 ? 1 ? ? ? 1 ? 5 ? ? =1 ? ? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??

? X 3 ? X1 ? X 2 ? 2 ? N ? ,
由 X n ? X n ?1 ? X n ? 2 ,同理可得 X n ? N ? , X n ?1 ? N ? ? X n ? 2 ? N ? , 故对于任意的 n ? N 都有 X n 是正整数
错误!未找到引用源。
?

[解] (1)如图,由 ?OQ1P 是边长为 a1 的等边三角形,得点 P1 的坐标 1

为(

2 3a 2 a a1 3a1 a 3a1 , ) ,又 P1 ( 1 , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,所以 1 ? 1 ,得 a1 ? 3 4 2 2 2 2 2

同理 P ( ? 2

2 3

4 a2 3a2 ,? ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 a2 ? 3 2 2
1: 点 Qn?1 的 坐 标 为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an?1 ,0) , 即 点

(2) 如 图 , 法

(Sn?1 , 点) Q0 0 ( 与原点重合,

S0 , 所 以 直)线 Qn?1Pn 的 方 程 为 y ? 3 ( x ? S ?1 )或 = 0 n

? y2 ? x ? y ? ? 3( x ? Sn?1 ) ,因此,点 Pn 的坐标满足 ? ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ?
消去 x 得 3 y 2 ? y ? 3Sn?1 ? 0 , 所以 y ?

1 ? 1 ? 12 Sn?1 2 3

又 y ? an ? sin 60 ?
?

3 an ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12Sn?1 2
① ②

2 从而 3an ? 2an ? 4Sn?1

2 由①有 3an?1 ? 2an?1 ? 4Sn

2 2 ②-①得 3(an?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ? 4an

即 (an?1 ? an )(3an?1 ? 3an ? 2) ? 0 ,又 an ? 0 ,于是 an ?1 ? an ? 所以 {an } 是以

2 3

2 2 2 为首项、 为公差的等差数, an ? a1 ? (n ? 1)d ? n 3 3 3 (a1 ? an )n 1 Sn ? ? n(n ? 1) 2 3

Gn ?


3 2 3 2 G 3n2 3 an ? n , lim n ? lim ? n?? S n ?? 3n(n ? 1) 4 9 3 n
2: 点

理2分

Qn?1









(a1 ? = 0

a2 ? )

a3 ? n? ? , ? a ,?1 即 0 )?



(Sn?1

, 点0 与原点重合, Q0 ( )

S, 0

所以直线 Qn?1P 的方程为 y ? 3( x ? Sn?1 ) 或 y ? ? 3( x ? Sn?1 ) n

? y2 ? x ? 因此,点 P ( x, y) 的坐标满足 ? 消去 y 得 3( x ? Sn?1 )2 ? x , n ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ? a a 2 a 2 又 x ? Sn ?1 ? n ,所以 3( n ) ? Sn ?1 ? n ,从而 3an ? 2an ? 4Sn?1 ① 2 2 2
以下各步同法 1 法 3: 点 Qn?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an?1 ,0) , 即点 (Sn?1 ,0)(点Q0与原点重合,S0 =0) ,所以 Pn ( Sn ?1 ?

an 3an , ), 2 2

又 Pn ( Sn ?1 ?

a 3 2 an 3an , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 an ? S n ?1 ? n 4 2 2 2

2 即 3an ? 2an ? 4Sn?1

以下各步同法 1

b a (3)(理)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3 2n

? a3 ,
2 3 2 3

2

a3

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a ? 1,首项 b1 ? a ? q0 , 则 Tp ?
q r s b1 (1 ? q0p ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) , Tq ? 1 , Tr ? 1 , Ts ? 1 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

b12 s q r q ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0 ) ? (1 ? q0 )(1 ? q0 ) ? (注意 q0p? s ? q0 ?r ) ? (1 ? q0 )2 ?

b12 r s ? ? ?(q q ? q0 ) ? (q0p ? q0 ) ? 2 ? 0 ? (1 ? q0 )
q r p s q p s r 而 (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) q r s q r ? q0p (q0 ? p ?1) ? q0 (q0?r ?1) ? (q0 ? p ?1)(q0p ? q0 ) (注意 q ? p ? s ? r ) q r q r ? (q0 ? p ?1)q0p (1 ? q0 ? p ) ? ?q0p (q0 ? p ?1)(q0 ? p ?1)
2

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a 3 ? 0且q0 ? 1
q r 又 q ? p, r ? p 均为正整数,所以 (q0 ? p ?1) 与 (q0 ? p ? 1) 同号,
p q r 故 ?q0 (q0 ? p ?1)(q0 ? p ?1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr

(第(3)问只写出正确结论的,给 1 分)


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