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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 第8节 函数与方程课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 2 篇 第 8 节 函 数与方程课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 函数零点(个数) 确定函数零点所在区间 利用函数零点个数确定参数的取值(范围) 函数零点的综合问题 基础过关 一、选择题 1.(2014 广州模拟)在下列区间中,函数 f(x)=3 -x-3 的一个零点所在的区间为( B (A)(0,1) (B)(1,2)
0 x

题号 2、3、4、7、9 1、6 5、10、14、16 8、11、12、13、15

)

(C)(2,3)

(D)(3,4)

解析:由已知得 f(0)=3 -0-3=-2<0, f(1)=3-1-3=-1<0, f(2)=3 -2-3=4>0, 所以 f(1)·f(2)<0, 所以零点所在区间为(1,2). 2.函数 f(x)=e +3x 的零点个数是( (A)0 (B)1 (C)2
x x 2

B )

(D)3

解析:易知 f(x)=e +3x 在 R 上单调递增, 又∵f(-1)=e -3<0,f(1)=e+3>0, ∴函数只有一个零点,故选 B. 3.(2014 荆门调研)已知函数 y=f(x)的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值: x y 1 124.4 2 35 3 -74 4 14.5 ) 5 -56.7 6 -123.6
-1

则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( B (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个

1

解析:依题意,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0, 故函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 3 个. 4.已知关于 x 的方程 xln x=ax+1(a∈R),下列说法正确的是( (A)有两不等根 (B)只有一正根 (C)无实数根 (D)不能确定 解析: B )

由 xln x=ax+1(a∈R)知 x>0, ∴ln x=a+ ,作出函数 y1=ln x 与 y2=a+ 的图象,易知选 B.

5.已知 x>0,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= -a(x≠0)有且仅有 3 个零点, 则 a 的取值范围是( A ) (A)( , ] (B)[ , ]

(C)( , ] (D)[ , ]

解析:当 0<x<1 时,f(x)= -a=-a;

1≤x<2 时,f(x)= -a= -a;

2≤x<3 时,f(x)= -a= -a,?,

2

f(x)= -a 的图象是把 y= 的图象进行纵向平移而得到的,画出 y= 的图象,通过数形结合

可知 a∈( , ].

6.(2014 郑州模拟)已知 x0 是函数 f(x)= ( D ) (A)f(x1)<0,f(x2)<0 (C)f(x1)>0,f(x2)<0 解析:令 f(x)=

+ln x 的一个零点,若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则

(B)f(x1)>0,f(x2)>0 (D)f(x1)<0,f(x2)>0

+ln x=0.

从而有 ln x=

,

此方程的解即为函数 f(x)的零点. 在同一坐标系中作出函数 y=ln x 与 y= 的图象如图所示.

由图象易知,

>ln x1,

从而 ln x1-

<0,

故 ln x1+ 即 f(x1)<0.

<0,

同理 f(x2)>0. 二、填空题 7.(2014 烟台模拟)函数 f(x)=cos x-log8x 的零点个数为 .

3

解析:由 f(x)=0 得 cos x=log8x, 设 y=cos x,y=log8x,作出函数 y=cos x,y=log8x 的图象,由图象可知,函数的零点个数为 3.

答案:3 8.(2014 安徽安庆三模)若 x1,x2 是函数 f(x)=x +mx-2(m∈R)的两个零点,且 x1<x2,则 x2-x1 的 最小值是
2 2

.

解析:由于Δ =m +8>0,故函数 f(x)一定有两个不同的零点,且两个零点异号, 故 x2>0,x1<0,

所以 x2-x1=

=

≥2

.

答案:2

9.(2014 浙江协作体模拟)函数 f(x)= 集合为 .

则函数 y=f[f(x)]+1 的所有零点所构成的

解析:由 f[f(x)]+1=0,得 f[f(x)]=-1, 由 f(x)=-1 得 x=-2 或 x= ,

则函数 y=f[f(x)]+1 的零点就是使 f(x)=-2 或 f(x)= 的 x 值,

解 f(x)=-2 得 x=-3 或 x= ;

解 f(x)= 得 x=- 或 x=

,

从而函数 y=f[f(x)]+1 的零点构成的集合为{-3,- , ,

}.

答案:{-3,- , ,

}

4

10.(2014 河北邯郸一模)已知 f(x)= 点,则实数 a 的取值范围是
2

且函数 y=f(x)+ax 恰有 3 个不同的零

.

解析:当 x<0 时,f(x)=(x+1) - ,把函数 f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数 y=f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数 f(x)在[0,+∞)上的图象.如果函数 y=f(x)+ax 恰有 3 个不同的零点,即函数 y=f(x),y=-ax 的图象有三个不同的公共点,实数 a 应满足-a<-

或 ≤-a< ,即 a> 或- <a≤- .

答案:(- ,- ]∪( ,+∞) 三、解答题 11.(1)m 为何值时,函数 f(x)=x +2mx+3m+4 有两个零点且均比-1 大; (2)若函数φ (x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2, 则 x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. 由题意,知
2 2

?

? ∴-5<m<-1. 故 m 的取值范围为(-5,-1).
5

法二 由题意,知

即 ∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 ? (x)=0, 得|4x-x |+a=0, 即|4x-x |=-a. 令 g(x)=|4x-x |, h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象.
2 2 2

由图象可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时, g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点, 即φ (x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0). 12.已知函数 f(x)=-x +2ex+t-1,g(x)=x+ (x>0,其中 e 表示自然对数的底数). (1)若 g(x)=m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 t 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解:(1)法一 g(x)=x+ ≥2 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,
6
2

=2e,等号成立的条件是 x=e.

则 g(x)=m 就有零点. 法二 解方程 g(x)=m, 得 x -mx+e =0. 此方程有大于零的根,故
2 2

等价于 故 m≥2e. 即 m 的取值范围为[2e,+∞). (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异的实根, 即函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点,作出 g(x)、f(x)的图象.

∵f(x)=-x +2ex+t-1 =-(x-e) +t-1+e . ∴其对称轴为 x=e,开口向下,最大值为 t-1+e . 故当 t-1+e >2e, 即 t>-e +2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴t 的取值范围是(-e +2e+1,+∞). 能力提升 13.若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原 点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对 “友好点对” (点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对 “友 好点对”).已知函数 f(x)= (A)0 对 (B)1 对 (C)2 对 (D)3 对 则此函数的“友好点对”有( C )
2 2 2 2 2 2

2

7

解析:函数 f(x)= 所示,

的图象及函数 f(x)=-x -4x(x≤0)的关于原点对称的图象如图

2

则 A,B 两点关于原点的对称点一定在函数 f(x)=-x -4x(x≤0)的图象上,故函数 f(x)的“友 好点对”有 2 对,故选 C.

2

14.若方程

=k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值范围是

.

解析:作出函数 y1=

和 y2=k(x-2)+3 的图象如图所示,函数 y1 的图象是圆心在原点,半径

为 2 的圆在 x 轴上方的部分(包括端点),函数 y2 的图象是过定点 P(2,3)的直线,点 A(-2,0),kPA= = .

直线 PB 是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径得,

=2,

得 kPB= . 由图可知当 kPB<k≤kPA 时,两函数图象有两个交点, 即原方程有两个不等实根. 所以 <k≤ .

答案:( , ] 15.设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:
2

8

(1)a>0 且-2< <-1; (2)函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点. 证明:(1)因为 f(0)>0,f(1)>0, 所以 c>0,3a+2b+c>0. 由条件 a+b+c=0,消去 b,得 a>c>0; 由条件 a+b+c=0,消去 c,得 a+b<0, 2a+b>0,故-2< <-1.

(2)抛物线 f(x)=3ax +2bx+c 的对称轴为 x=- ,

2

在-2< <-1 的两边乘以- ,

得 <- < . 又因为 f(0)>0,f(1)>0, 又 f(- )=

=

=-

=-

<0,

所以方程 f(x)=0 在区间(0,- )与(- ,1)内分别有一实根. 故函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点. 探究创新

9

16.(2014 北京模拟)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x).当 x∈[0,1] 时,f(x)=2x.若在区间[-2,2]上方程 ax+a-f(x)=0 恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值 范围是 .

解析:由 f(x+2)=f(x)得函数的周期是 2. 由 ax+a-f(x)=0 得 f(x)=ax+a, 设 y=f(x),y=ax+a,作出函数 y=f(x),y=ax+a 的图象. 如图,要使方程 ax+a-f(x)=0 恰有三个不相等的实数根,

则直线 y=ax+a=a(x+1)的斜率满足 0≤a<kAB, 由题意可知,A(-1,0),B(1,2), 所以 kAB= =1, 所以 0≤a<1, 即 a∈[0,1). 答案:[0,1)

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