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2.2.3二项分布及其应用--独立重复试验(高中数学人教A版选修2-3)


2.2.3《二项分布及其应用 --独立重复试验》

复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便 . ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P(

AB) ? P( A) P( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

独立重复试验的定义: 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称 为n次独立重复实验
在n次独立重复试验中,“在相同的条件下”等价于 各次试验的结果不会受其他试验的影响,即

P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An ) 其中Ai (i ? 1,2,?, n)是第i次试验的结果

掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖向下的概 率是q=1-p,连续掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖向上 的概率是多少?

用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件,则
B1 ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A3 ) ? ( A1 A2 A3 )
由于事件A1 A2 A3, A1 A2 A3和 A1 A2 A3彼此互斥, A1 , A2 , A3 , A4相互独立 由概率加法公式和乘法公式得

P( B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

? q 2 p ? q 2 p ? q 2 p ? 3q 2 p

类似可以得到:

P( B0 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q3 P( B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3q p
2

P( B2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3qp 2

P( B3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? p3
可以发现

P( Bk ) ? C p q ,k=0, 1, 2, 3
k 3 k

3?k

独立重复试验定义: 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n 次独立重复试验 在n次独立重复试验中,“在相同条件下”等价 于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响 独立重复试验的基本特征: 1、每次试验是在同样条件下进行; 2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生; 3、各次试验中的事件是相互独立的; 4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。

判断下列试验是不是独立重复试验: 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; 不是
2).某射击手每次击中目标的概率是0.9,他进行了4 次射击,只命中一次; 是 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5 个球,恰好抽出4个白球; 不是 4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球



独立重复试验的实际原型是有放回的抽样试验

二项分布: 一般地,在n次独立重复试验中, 用X表示事件A发 生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则:
k Pn ( X ? k ) ? C n P k (1 ? P ) n? k(k=0,1,2,…,n)

此时称随机变量X服从二项分布, 记作X~B(n,p),并称p为成功概率。
k k n? k Cn pq 恰好是二项展开式
0 0 n 1 1 n?1 k k n? k n n 0 (q ? p)n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn pq

中的各项的值,所以这个发布称为二项分布;

一次试验中事件 A 发 生的概率

一次试验中事件A 发生的概率

P ( X ? k ) ? C ? p ? (1 ? p)
k n k

n?k

(其中k = 0,1,2,· · · ,n ) 试验总次数 事件 A 发生的次数
二项分布与两点分布有什么联系? 二点分布是一种特殊的二项分布, 即为n=1时的二项分布

3、 二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量? 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ 0
0 n 0 n 1 n

1
1 n ?1

?

k
C pq
k n k n? k

?

n
n n 0 Cn pq

p

C pq C pq

?

?

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 其中n,p为参数

x ~ B(n, p,)

例 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10次射击中, (1)恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率。 解:设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8) (1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为

P( X ? 8) ? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
8 10 8

10?8

? 0.30

(2)在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为

P( X ? 8) ? P( X ? 8) ? P( X ? 9) ? P( X ? 10) 8 8 10?8 9 9 10?9 ? C10 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? C10 ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
? C ? 0.8 ? (1 ? 0.8)
10 10 10 10?10

? 0.68

1 设一射手平均每射击10次中靶4次,求在五次射击中① 击中一次,②第二次击中,③击中两次,④第二、三两 次击中,⑤至少击中一次的概率. 由题设,此射手射击1次,中靶的概率为0.4.
① n=5,k=1,应用公式得

② 事件“第二次击中”表示第一、三、四、五次击中或 击不中都可,它不同于“击中一次”,也不同于“第二次 击中,其他各次都不中”,不能用公式.它的概率就是 0.4. ③n=5,k=2,

1 设一射手平均每射击10次中靶4次,求在五次射击中① 击中一次,②第二次击中,③击中两次,④第二、三两 次击中,⑤至少击中一次的概率. ④“第二、三两次击中”表示第一次、第四次及第五 次可中可不中,所以概率为0.4×0.4=0.16.

⑤设“至少击中一次”为事件B,则B包括“击中一次”, “击中两次”,“击中三次”,“击中四次”,“击中 五次”,所以概率为 P(B)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) =0.2592+0.3456+0.2304+0.0768+0.01024 =0.92224. 1-P(0)

练习 某射手射击1次,击中目标的概率是0.8,现连 续射击3次. ⑴第一次命中,后面两次不中的概率; ⑵恰有一次命中的概率; ⑶恰有两次命中的概率. 解: 记事件 “第 i 次击中目标” 为 Ai ,则 A1、A2、A3 相 互独立 .且 P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 0.8 .

⑴第一次命中,后面两次不中的事件即 A1 A2 A3
∴ P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) ? ?1 ? P ( A2 )?? ??1 ? P ( A3 )? ? =0.032
⑵恰有一次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

∴恰有一次命中的事件的概率 P2 ? 3 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.096
⑶恰有两次命中的事件即 A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3

∴恰有两次命中的事件的概率 P3 ? 3 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.384

3.甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,甲队与乙队实力之比为3:2,若 比赛时均能正常发挥技术水平,则 在5局3胜制中,打完4局才能取胜 的概率为( A )
3 2 2 3 AC ?( ) ? ? 5 5 5
2 3

C

3 3 2 C ?( ) ? 5 5
3 4

3 2 2 B C ?( ) ? 5 3 D C3 ? ( 2 )3 ? 1 4 3 3
2 3

4.一批产品共有100个,次品率为 3% ,从中有放回抽取3个恰有1个 次品的概率是( A )
A C3 ? 0.03 ? (1 ? 0.03)
1 1 2 2

B C3 ? (0.03) ? (1 ? 0.03)
C
C3 ? (0.03)
1 3

D C 3 C 97
1 2

C

3 100

无放回抽取

例2.甲、乙两个篮球运动员投篮 命中率为0.7及0.6,若每人各投3次, 试求甲至少胜乙2个进球的概率

P(甲胜3个球) ? ( 0.7 ) ( 1 ? 0.6 ) ? 0.021952
3 3

P(甲胜2个球) ? ( 0.7 ) ? C 3 0.6 ( ? 1 ? 0.6 )
3 1 2

? C 3 0.7 (1 ? 0.7) ? (1 ? 0.6)
2 2

3

? 0.099884 ? 0.025664 ? 0.125548

例题3.实力相当的甲、乙两队 参加乒乓球团队比赛, 规定5局3胜制. ( 1 )试分别求甲打完 3局、 4局、 5局才取胜的概率; ( 2 )求按比赛规则甲获胜 的概率.
1 3 1 解:( 1 )甲打完3局就取得胜利的概率为 :C 3 ? ( )? 2 8 1 1 1 3 2 2 甲打完4局就取得胜利的概率为 :C 3 ? ( )? ? ? 2 2 2 16 1 3 1 3 甲打完4局就取胜的概率易错误 地写为:C 4 ? ( )? , 2 2
3

这里的C 4 表示甲取胜的 3局顺序可以是: 1、 2、 3; 1、 2、 4; 1、 3、 4; 2、 3、 4; 而顺序为: 1、 2、 3是不合题意的,这点要 特别注意. 1 2 1 2 1 3 2 甲打完5局就取得胜利的概率为 :C 4 ? ( ) ?( ) ? ? 2 2 2 16

3

1 3 3 1 ( 2 )求按比赛规则甲获胜 的概率P ? ? ? ? . 8 16 16 2

练习题.甲、乙两队排球比赛, 已知在一局比赛中, 2 甲队胜的概率为 ,没有平局 .若采用 5局3胜制比赛, 3 先胜三局者为胜, .甲获胜的概率是多少? .

2 3 8 解:P(甲用三局取胜) ? ( )? , 3 27 2 3 8 1 1 P(甲用四局取胜) ?C( )( ) ? , 3 3 3 27
1 2 2 3 16 P(甲用五局取胜) ?C ( ) ( )? , 4 3 3 81 8 8 16 64 ? P(甲胜) ? ? ? ? 27 27 81 81
2

例.重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为 ξ,求P(ξ>3). 解:依题意,随机变量ξ~B(5,1/6).
∴P(ξ=4)= P(ξ=5)=
5 4? 1 ? C5 ? ? ? ? 6? 6
5
4

=25/7776,

5 ?1? C 5 ? ? =1/7776. ? 6?

∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=13/3888

复习回顾
二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系?

1.两点分布是特殊的二项分布 x ? ?(1? p )

2.一个袋中放有 M 个红球,( N ? M )个白球,依次从袋中 取 n 个球,记下红球的个数 x .
M ⑴如果是有放回地取,则 x ? B( n, ) N ⑵如果是不放回地取 , 则 x 服从超几何分布.
k n? k CM CN ?M P (x ? k ) ? ( k ? 0,1, 2, n CN

, m ) (其中 m ? min( M , n)

复习回顾
求 较 复 杂 事 件 概 率

( 互斥事件)

分类
正向 分步

P(A+B)= P(A) + P (B) P(A· B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)

反向

对立事件的概率

独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立. 明确事件中的关键词,如,“至少有一个发生”“至 多有一个发生”,“恰有一个发生”,“都发 生”“都不发生”,“不都发生”。


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