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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第8篇 第3节 椭圆课时训练 理


【导与练】(新课标)2016 届高三数学一轮复习 第 8 篇 第 3 节 椭 圆课时训练 理

【选题明细表】 知识点、方法 椭圆的定义与标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 题号 1、2、3、4、7、8、11、13 5、6、12、14、15、17 9、10、12、16

基础过关 一、选择题 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( (A) (B) (C) (D) D )

解析:由题意得 = ,

∴e= =

= .

2.已知椭圆的焦点为 F1(-1,0)和 F2(1,0),P 是椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1| 与|PF2|的等差 中项,则该椭圆的方程为( C (A) + =1 (B) + =1 )

(C) + =1

(D) + =1

解析:由题意知 c=1,|F1F2|=

,即 a=2c=2,b =a -c =3,

2

2

2

故所求椭圆的标准方程为 + =1. 3.(2015 广东四校联考)已知椭圆的方程为 2x +3y =m(m>0),则此椭圆的离心率为( (A) (B) (C) (D)
2 2

B )

解析:由题意得椭圆的标准方程为 + =1,

∴a = ,b = ,

2

2

∴c =a -b = ,

2

2

2

∴e = = ,∴e= .

2

4.P 是椭圆 + =1 上的一点,F1 和 F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△F1PF2 的面积等于( B

)

(A)

(B)4(2-

)

(C)16(2+

) (D)16

解析:由题意知 c=1; |PF1|+|PF2|=2 + ∴ ,|F1F2|=2,在△F1PF2 中有: ,

-2|PF1|·|PF2|cos 30°= -(2+ )|PF1|·|PF2|=4, ),

∴|PF1|·|PF2|=16(2-

△F1PF2 的面积等于 |PF1|·|PF2|sin 30°=4(2-

).

5.(2014 杭州市第一次统测)若 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 + =1(a>b>0)上的一点,且

·

=0,tan ∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为( A )

(A)

(B)

(C) (D)

解析:∵ ∴PF1⊥PF2,

·

=0,

在 Rt△PF1F2 中, 设|PF2|=1, 则|PF1|=2,|F1F2|= , ,

∴2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=

故此椭圆的离心率 e= = . 6.设 F1、F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆 F2,已知圆 F2 经过椭圆的中心,且与椭圆的一 个交点为 M,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率 e 为( A ) (A) -1 (B)2(C) (D)

解析:易知圆 F2 的半径为 c,由题意知 Rt△MF1F2 中|MF2|=c,|MF1|=2a-c,|F1F2|=2c 且 MF1⊥MF2, 所以(2a-c) +c =4c ,( ) +2( )-2=0,
2 2 2 2

=

-1.

即 e=

-1.故选 A.

7.(2014 四川广安一模)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的

任意一点,则

·

的最大值为(

C )

(A)2

(B)3

(C)6

(D)8

解析:由椭圆 + =1 可得点 F(-1,0),点 O(0,0),

设 P(x,y),-2≤x≤2,则

·

=(x,y)·(x+1,y)=x +x+y =x +x+3(1- )= x +x+3= (x+2) +2,

2

2

2

2

2

当且仅当 x=2 时,

·

取得最大值 6.

8.过点 A(3,-2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的方程为( A )

(A) + =1

(B) + =1

(C) + =1

(D) + =1
2

解析:由题意得 c =9-4=5, 又已知椭圆的焦点在 x 轴上, 故所求椭圆方程可设为 + =1(λ >0),代入点 A 的坐标得 + =1,解得λ =10 或λ =-2(舍

去).故所求椭圆的方程为 + =1.故选 A. 二、填空题 9.(2014 江西省师大附中、临川一中联考)已知直线 x-2y+2=0 过椭圆 + =1(a>0,b>0,a>b) 的左焦点 F1 和一个顶点 B,则该椭圆的离心率 e= 解析:由 x-2y+2=0 得 y= x+1, 令 y=0,得 x=-2,F1(-2,0),令 x=0,得 y=1, ∴B(0,1), ∴c=2,b=1. ∴a= = , .

∴e= =

.

答案:

10.(2014 安徽安庆模拟)已知斜率为- 的直线 l 交椭圆 C: + =1(a>b>0)于 A、B 两点,若点 P(2,1)是 AB 的中点,则 C 的离心率等于 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴ + =1, + =1,两式相减得 .

+

=0,

又因为 AB 的中点是(2,1), ∴ + =0,

∴kAB=

=-

=- ,

∴ = ,e=

= .

答案:

11.(2013 高考上海卷)设 AB 是椭圆Γ 的长轴,点 C 在Γ 上,且∠CBA= .若 AB=4,BC= 的两个焦点之间的距离为 .

,则Γ

解析:如图所示,以 AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系. 设 D 在 AB 上,且 CD⊥AB,AB=4,BC= ,∠CBA=

∴CD=1,DB=1, ∴C(1,1). ∵2a=4, ∴a=2, 把 C(1,1)代入椭圆的标准方程得 + =1,

∴ =1- = ,

∴b = ,c =

2

2

∴c=

,

∴2c=

.

答案: 三、解答题 12.(2014 高考新课标全国卷Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解:(1)根据 c= 及题设知 M(c, ),2b =3ac.
2

将 b =a -c 代入 2b =3ac,解得 = , =-2(舍去).

2

2

2

2

故 C 的离心率为 .

(2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b =4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则
2



代入 C 的方程,得

+ =1.②

将①及 c=

代入②得

+ =1,

解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2

2

.

13.已知椭圆 x + =1(0<b<1)的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B,过 F、B、C 三点作圆 P,其中圆心 P 的坐标为(m,n). (1)若 FC 是圆 P 的直径,求椭圆的离心率; (2)若圆 P 的圆心在直线 x+y=0 上,求椭圆的方程. 解:(1)由椭圆的方程知 a=1, 点 B(0,b),C(1,0).设 F 的坐标为(-c,0)(c>0), ∵FC 是圆 P 的直径, ∴FB⊥BC, ∵kBC=-b,kBF= ,

2

∴-b· =-1, ∴b =c=1-c ,c +c-1=0,
2 2 2

解得 c=

,∴椭圆的离心率 e= =

.

(2)∵圆 P 过 F、B、C 三点, ∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上, FC 的垂直平分线方程为 x= ,①

∵BC 的中点为

,kBC=-b,

∴BC 的垂直平分线方程为 y- =

,②

由①②得 x= ,y=

,

即 m= ,n=

.

∵P(m,n)在直线 x+y=0 上, ∴ + =0? (1+b)(b-c)=0.

∵1+b>0, ∴b=c. 由 b =1-c 得 b = ,
2 2 2

∴椭圆的方程为 x + =1. 能力提升 14.(2014 北京市海淀区期末)椭圆 C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰 好有 6 个不同的点 P,使得△F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( D ) (A)( , ) (B)( ,1)

2

(C)( ,1) (D)( , )∪( ,1)

解析:当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时,△F1F2P 为等腰三角形,此时有 2 个. 若点 P 不在短轴的端点时,要使△F1F2P 为等腰三角形,则有 PF1=F1F2=2c 或 PF2=F1F2=2c.不妨 设 PF1=F1F2=2c.此时 PF2=2a-2c.所以有 PF1+F1F2>PF2,即 2c+2c>2a-2c,所以 3c>a,即 > ,又当

点 P 不在短轴上,所以 PF1≠BF1,即 2c≠a,所以 ≠ .所以椭圆的离心率满足 <e<1 且 e≠ ,所 以选 D. 15.已知椭圆 + =1(a>b>0),M、N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点,且直

线 PM、PN 的斜率分别为 k1,k2,若|k1k2|= ,则椭圆的离心率 e= 解析:设 P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0), 则 k1= ,k2= ,

.

由题意有|k1k2|=|

·

|=|

|= ,

∵P、M、N 在椭圆上, ∴ + =1, + =1,

两式相减得

+

=0,



=- ,

∴ = ,即

= ,解得 e= = .

答案:

16.(2013 高考安徽卷)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的焦距为 4,且过点 P( (1)求椭圆 C 的方程;

,

).

(2)设 Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E.取点 A(0,2

),连

接 AE,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG,问这样作 出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 解:(1)因为椭圆过点 P(
2 2 2

,

)

∴ + =1 且 a =b +c ∴ a =8,b =4,c =4
2 2 2

椭圆 C 的方程是 + =1.

(2)一定有唯一的公共点. 理由:由题意知,点 E 坐标为(x0,0).

设 D(xD,0),则

=(x0,-2

),

=(xD,-2

).

再由 AD⊥AE 知, 即 xDx0+8=0.

·

=0,

由于 x0y0≠0,故 xD=- .

因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 G( ,0).

故直线 QG 的斜率 kQG=

=

.

又因为点 Q(x0,y0)在椭圆 C 上, 所以 +2 =8.①

从而 kQG=-

.

故直线 QG 的方程为 y=-

(x- ).②

将②代入椭圆 C 的方程,化简,得 ( +2 )x -16x0x+64-16 =0.③ 再将①代入③,化简得 x -2x0x+ =0. 解得 x=x0,则 y=y0, 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点.
2 2

探究创新

17.如图,B(-c,0),C(c,0),AH⊥BC,垂足为 H,且 焦点的椭圆上,求椭圆的离心率.

=3

.又

=-4

,且 A、D 同在 B、C 为

解:设以 B、C 为焦点的椭圆为 + =1,焦距为 c.再设点 A、D 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则|BC|=2c,且 B、C 的坐标分别为(-c,0),(c,0),



=3

可得,x1= ,



=-4



=4

由向量的坐标运算得:(x2-x1,y2-y1)=4(x2+c,y2) 因此,x2-x1=4(x2+c),y2-y1=4y2,又 x1=

所以,x2=- ,y2=- 得 A( ,y1),D(- ,- )

代入椭圆方程得:

以整体代入法解得 e=

.


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