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单位圆与三角函数线[1]


单位圆与三角函数线

由三角函数的定义我们知道,对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的, 或者说是用数来表示的,今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— —几何表示法

1.单位圆的概念
一般地,我们把半径为1的圆叫做单位圆, 设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x轴的交点分别为 A(1,0),A

’(-1,0). 而与y轴的交点分别为

B(0,1),B’(0,-1).

2. 三角函数线
设任意角α的顶点 在原点,始边与x轴的 正半轴重合,终边与 单位圆相交于点P(x, y),过P作x轴的垂线, 垂足为M; 做PN垂直 y轴于点N, 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.

根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM,sinα=ON. 这就是说,角α的余弦和正弦分别等于角α的 终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 过点A作x轴的垂线与α 角的终边(或其反向延长线) 相交于点T(或T ’),则 tanα=AT(或AT ’)

???? ? ???? ??? ? ???? ? 我们把向量 OM , MP和 AT (或 AT ') 分别叫

做α的余弦线、正弦线和正切线.

α的终边
P

y

y P

α的终边 T

M o

A
x T

o

M A x

(Ⅱ) y

y (Ⅰ)

T

M
P

o

A x

o

M A P x T α的终边

α的终边

(Ⅲ)

( Ⅳ)

例1.作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线.

? 2? ? (1) ;(2) . 3 3

例2.比较大小:

(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解:由三角函数线得 sin1<sin1.5

cos1>cos1.5

探究:当0<α<π/2时,总有 sinα<α<tanα. S△POA<S扇形AOP<S△AOT

MP· OA/2 <α·OA ·OA /2
<OA · AT /2 MP<α<AT

sinα<α<tanα

例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 1 ⑴ sin ? ? ; ⑵ tan? ? ?2. 2
?角的终边
y 1
● N

P

1 y? 2
1 x

-1

O -1

y P 1

A
-1 O -1 P 1 x

?角的终边

T

例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明:在△OMP中, OP=1,OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|, 因为三角形两边之和 大于第三边,所以 |sinα|+|cosα|≥1。

例5. 利用单位圆中的三角函数线
⑴比较大小 : 4? 6? ① sin 40 与 sin 110 ; ② cos 与 cos ; 5 7 4? 6? ③ tan 与 tan . 5 7
0 0

⑵若 ? 3 ≤θ≤

?

5? ,试确定 sinθ 的取值范围 . 6

cosθ呢?

1 变式: 写出满足条件 ? ≤cosα< 2 2? 的集合. y

3 的角α 2

3

Q

1
P

?
6
x

-1

4? 3
?

O R -1

S1

11? 6

2? ?? |2k? ? <α≤ 2k? ? ,或 6 3 4? 11? 2k? ? ,k ? Z ≤α< 2k? ? 3 6

?

课堂小结
1、三角函数线的作法;

2、三角函数线的作用:
①利用三角函数线确定角的终边;

②利用三角函数线比较三角函数值的大小;
③利用三角函数线确定角的集合或范围.


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