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上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:函数


上海市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 函数
一、填空、选择题 1、(2016 年上海高考)已知点 (3,9) 在函数 f ( x) ? 1 ? a x 的图像上,则

f ( x)的反函数f ?1 ( x) ? ________
2、 (2016 年上海高考) 设 f ( x) 、 对于命题: ①若 f ( x) ? g ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 是定义域为 R 的三个函数,

f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 均为增函数,则 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 中至少有一个增函数;②若

f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、 g ( x) ? h( x) 均是以 T 为周期的函数,则 f ( x) 、 g ( x) 、h( x) 均是以 T
为周期的函数,下列判断正确的是( )

A 、①和②均为真命题 B 、①和②均为假命题

C 、①为真命题,②为假命题 D 、①为假命题,②为真命题
3、 (2015 年上海高考)方程 log2(9
﹣1

x﹣1

﹣5)=log2(3
x﹣2

x﹣1

﹣2)+2 的解为 2 .
﹣1

4、 (2015 年上海高考)设 f (x)为 f(x)=2 最大值为 4 . 5、 (2014 年上海高考) 设 f ( x) ? ?

+ ,x∈[0,2]的反函数,则 y=f(x)+f (x)的

? x,
2 3

x ? (?? , a),

2 ? x , x ?[a , ? ?).

若 f (2) ? 4 , 则 a 的取值范围为

.

6、(2014 年上海高考)若 f ( x) ? x ? x

?

1 2

,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是

.

7 、 ( 虹 口 区 2016 届 高 三 三 模 ) 若 函 数 f ( x) ? ( x ? a) x (a ? R) 存 在 反 函 数 f ?1 ( x) , 则

f (1)? f ?1 ? ( 4? ) _________.
8、(虹口区 2016 届高三三模)若函数 y ? f ( x ) 的图像与函数 y ? 3
x?a

的图像关于直线 ( )

y ? ?x 对称,且 f (?1) ? f (?3) ? 3 ,则实数 a 等于
(A) -1 ( B)

1

(C) 2

(D) 4

9、(杨浦区 2016 届高三三模)函数 y ? log2 ( x ? 1) 的反函数为

?2 x ? a , x ≥ 0 ? 10 、(崇明县 2016 届高三二模)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ( x) 的最小值是 a ,则 ? ? x ? ax, x ? 0

a?



11、(奉贤区 2016 届高三二模)函数 y ?

2x ? 1 的定义域是_______.(用区间表示)

12、(虹口区 2016 届高三二模)已知函数 f ( x ) 的对应关系如下表:

x
f ( x)

?2
3

?1
?2

0
1

1 5

2

m

若函数 f ( x ) 不存在反函数,则实数 m 的取值集合为 ___________. 13、 (静安区 2016 届高三二模) 若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? x 为奇函数, 且 g(x)= f(x)+2, 已知 f(1) =1,
2

则 g (-1)的值为( A.-1

) B.1 C.-2 D .2

14、(浦东新区 2016 届高三二模)方程 log2 (9x ? 7) ? 2 ? log2 (3x ? 1) 的解为 15 、 ( 徐 汇 、 金 山 、 松 江 区 2016 届 高 三 二 模 ) 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ), 当 x ? 0 时 ,

?l o g1 ( x ? 1)x, ? ? 0, ?1 , ? f ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ? ,
则关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为________________(结果用 a 表示). 16 、 ( 闸 北 区 2016 届 高 三 二 模 ) 设 函 数 f ( x ) ? a ? a
x ?x

( a? 0 且a ? ) 1, 且 f (1)? 3, 则

f ( 0 )? f (1) ? f (2 ) 的值是
x ?1 17、(长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届高三二模)设 a ? 0 且 a ? 1 ,若函数 f ( x) ? a ? 2 的

反函数的图像经过定点 P ,则点 P 的坐标是___________. 18 、 ( 崇 明 县 2016 届 高 三 二 模 ) 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ? 1, ? ? ? 上 的 函 数 , 且

?1 ? 2 x ? 3 , 1 ≤ x ? 2 ? ,则函数 y ? 2 x f ( x) ? 3 在区间 (1, 2016) 上的零点个数为 f ( x) ? ? 1 ? 1 ? ? f ? x ?, x ≥ 2 ?2 ? 2 ?



?ln(1 ? x), x ? 0 ? 19、(闸北区 2016 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? ? 的单调性为 1 ln , x ? 0 ? ? 1? x
为 ; 20、(长宁区 2016 届高三上学期期末)方程 9x +3x -2 = 0 的解是___________.

;奇偶性

21、 (闵行区 2016 届高三上学期期末) 若函数 f ( x) ? 2 在 [m, ??) 上单调递增,则实数 m 的最小值等于

x ?a

且 f ( x) (a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , .
x x

22、(青浦区 2016 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? lg(2 ? 3 ) 的定义域为

.

23、(金山区 2016 届高三上学期期末)如图,AB 为定圆 O 的直径,点 P 为半圆 AB 上的动点.过 点 P 作 AB 的垂线,垂足为 Q,过 Q 作 OP 的垂线,垂足为 M.记 弧 AP 的长为 x,线段 QM 的长为 y,则函数 y=f(x)的大致图像是( ).

24、(静安区 2016 届高三上学期期末)函数 y ? 3x A. y ? ? 1 ? log 3 x ( x ? ) C. y ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1)

2

?1

(?1 ? x ? 0) 的反函数是 (
1 3

)

1 3

B. y ? ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1) D. y ? 1 ? log 3 x ( x ? )

1 3 2 3 25、 (闵行区 2016 届高三上学期期末)设 f ( x) ? 2 ? 5x ? 10 x ? 10 x ? 5x4 ? x5 ,则其反函数的解
析式为( ). (B) y ? 1 ? 5 x ?1 (D) y ? ?1 ? 5 x ?1 (A) y ? 1 ? 5 x ?1 (C) y ? ?1 ? 5 x ?1

1 3

二、解答题 1、(2016 年上海高考) 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? log 2 (

1 ? a) . x

(1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? log2 [(a ? 4) x ? 2a ? 5] ? 0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范 围; (3)设 a ? 0 ,若对任意 t ? [ ,1] ,函数 f ( x ) 在区间 [t , t ? 1] 上的最大值与最小值的差不超过 1, 求 a 的取值范围.

1 2

2、(2014 年上海高考)设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a . 2x ? a

?1 (1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ( x) ;

(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

3、(浦东新区 2016 届高三三模)已知函数 f ? x ? ? ax2 ? (1) f ? x ? ? 0 在 x ??1,2? 上恒成立,求 a 的取值范围;

a a ? 1, g ? x? ? x ? 2 x

(2)当 a ? 0 时,对任意的 x1 ??1,3? ,存在 x2 ??1,3? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,求 a 的取值范围。

4、(崇明县 2016 届高三二模)

已知函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x (? ? R )

(1)根据 ? 的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由; (2)若不等式 f ( x) ≤ 6 在 x ? ? 0, 2 ? 上恒成立,求实数 ? 的取值范围.

5、(奉贤区 2016 届高三二模)(1)已知 0 ? x1 ? x2 ,求证: (2)已知 f ? x ? ? lg ? x ? 1? ?

x1 ? 1 x1 ? ; x2 ? 1 x2

1 log 3 x ,求证: f ? x ? 在定义域内是单调递减函数; 2

(3)在(2)的条件下,求集合 M ? n f n ? 214n ? 1998 ? 0, n ? Z 的子集个数.
2

? ?

?

?

6、(虹口区 2016 届高三二模) 数.

已知函数 f ( x) ? log 1 ?

? 1 ? ax ? ? 满足 f (?2) ? 1 ,其中 a 为实常 3 ? x ?1 ?

(1)求 a 的值,并判定函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若不等式 f ( x) ? ?

?1? ? ? t 在 x ? ? 2,3? 恒成立,求实数 t 的取值范围. ?2?

x

7、(黄浦区 2016 届高三二模)已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 ,其中 a ? 1 ; x ?1

(1)证明:函数 f ( x) 在 (?1, ?) 上为增函数; (2)证明:不存在负实数 x0 使得 f ( x 0 ) ? 0 ;

8、(静安区 2016 届高三上学期期末)已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ?x ? 和奇函数 g ?x ? 满足

f ? x ? ? g ? x ? ? 2x?1 .
(1)求 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式; (2)若定义在实数集 R 上的以 2 为最小正周期的周期函数 ? ( x) ,当 ?1 ? x ? 1 时, ? ( x) ? f ( x) , 试求 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上的表达式,并证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上单调递减; (3)设 h( x) ? x2 ? 2mx ? m2 ? m ? 1(其中 m 为常数),若 h( g ( x)) ? m2 ? m ?1 对于 x ? [1, 2] 恒 成立,求 m 的取值范围.

9、 (杨浦区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ?x ? (x ? D) ,若存在常数 T(T>0),对任意 x ? D 都有 f ?x ? T ? ? T ? f ?x ? ,则称函数 f ?x ? 为 T 倍周期函数 (1)判断 h ?x ? ? x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由.

?1? (2)证明 g?x ? ? ? ? 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的. ?4?
( 3 )若 f ?n ? (n ? N* ) 是 2 倍周期函数, f ?1? ? 1 , f ?2? ? ?4 , Sn 表示 f ?n ? 的前 n 项和,

x

Cn ?

S2n ,若 C n ? loga (a ? 1) ? 10恒成立,求 a 的取值范围. S2 n ?1

参考答案 一、填空题 1、【答案】 log 2 (x ? 1) 【解析】试题分析:
x x 将点(3,9)带入函数 f ? x ? ? 1 ? a 的解析式得 a ? 2 ,所以 f ? x ? ? 1 ? 2 ,用 y 表示 x 得

x ? log2 (y ?1) ,所以 f ?1 ? x ? ? log2 (x ?1) .
2、【答案】D 【解析】

试题分析: 因为 f ( x) ?

[ f ( x) ? g(x)] ? [ f ( x) ? h(x)] ? [g( x) ? h(x)] 必为周期为 ? 的函数,所以②正确;增函数减 2
﹣ ﹣ ﹣ ﹣

增函数不一定为增函数,因此①不一定.选 D.函数性质 3、解:∵log2(9x 1﹣5)=log2(3x 1﹣2)+2,∴log2(9x 1﹣5)=log2[4×(3x 1﹣2)], ﹣ ﹣ ∴9x 1﹣5=4(3x 1﹣2) ,化为(3x)2﹣12?3x+27=0, x 因式分解为: (3 ﹣3) (3x﹣9)=0,∴3x=3,3x=9, 解得 x=1 或 2.经过验证:x=1 不满足条件,舍去.∴x=2. 故答案为:2.

1 ,2]], 4 1 1 ﹣1 ﹣1 可得 y=f (x)在[ ,2]上为增函数,因此 y=f(x)+f (x)在[ ,2]上为增函数, 4 4
4、 解:由 f(x)=2
x﹣2

+ 在 x∈[0,2]上为增函数,得其值域为[

∴y=f(x)+f (x)的最大值为 f(2)+f (2)=1+1+2=4. 故答案为:4. 5、【解析】:根据题意, 2 ?[a, ??) ,∴ a ? 2 6、【解析】: f ( x) ? 0 ? x ? x
2 3 ? 1 2

﹣1

﹣1

,结合幂函数图像,如下图,可得 x 的取值范围是 (0,1)

7、-1 9、 10、-1 14、 ?0,1?

8、C

11、 ?0, ??? 15、 1 ? 2
a

12、 ?3, ?2,1, 5? 16、12

13、A

17、 (3 , 1)

18、11 19、单调递增,奇函数 22、 (??, 0) 23、A 24、B 25、C 二、解答题

20、x=0

21、1

1、【答案】(1) x ? ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? .(2) ?1, 2? ? ?3, 4? .(3) ? , ?? ? .

? ?

1? 4?

?2 ?3

? ?

【解析】(1)由 log 2 ?

1 ?1 ? ? 5 ? ? 0 ,得 ? 5 ? 1 , x ?x ?

解得 x ? ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? . (2)

? ?

1? 4?

1 ? a ? ? a ? 4 ? x ? 2a ? 5 , ? a ? 4? x2 ? ? a ? 5? x ?1 ? 0 , x

当 a ? 4 时, x ? ?1 ,经检验,满足题意. 当 a ? 3 时, x1 ? x2 ? ?1 ,经检验,满足题意. 当 a ? 3 且 a ? 4 时, x1 ?

1 , x2 ? ?1 , x1 ? x2 . a?4

x1 是原方程的解当且仅当

1 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ; x1 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 . x2

x2 是原方程的解当且仅当

于是满足题意的 a ? ?1, 2? . 综上, a 的取值范围为 ?1, 2? ? ?3, 4? . (3)当 0 ? x1 ? x2 时,

?1 ? ?1 ? 1 1 ? a ? ? a , log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? , x1 x2 ? x1 ? ? x2 ?

所以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递减. 函数 f ? x ? 在区间 ?t, t ?1? 上的最大值与最小值分别为 f ? t ? , f ? t ? 1? .

?1 ? ? 1 ? f ? t ? ? f ? t ? 1? ? log 2 ? ? a ? ? log 2 ? ? a ? ? 1 即 at 2 ? ? a ?1? t ?1 ? 0 ,对任意 ?t ? ? t ?1 ? ?1 ? t ? ? ,1? 成立. ?2 ?
2 因为 a ? 0 ,所以函数 y ? at ? ? a ?1? t ?1 在区间 ? ,1? 上单调递增, t ?

?1 ? ?2 ?

1 时, y 2

有最小值

3 1 3 1 2 a ? ,由 a ? ? 0 ,得 a ? . 4 2 4 2 3

故 a 的取值范围为 ? , ?? ? .

?2 ?3

? ?

2x ? 4 4y ? 4 4y ? 4 ? y ,∴ 2 x ? 2、【解析】:(1)∵ a ? 4 ,∴ f ( x) ? x ,∴ x ? log 2 , 2 ?4 y ?1 y ?1

∴y? f

?1

( x) ? log 2

4x ? 4 , x ? (??, ?1) ? (1, ??) x ?1

(2)若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( x) ? f (? x) ,∴

2 x ? a 2? x ? a ? , 2 x ? a 2? x ? a

整理得 a(2x ? 2? x ) ? 0 ,∴ a ? 0 ,此时为偶函数 若 f ( x ) 为奇函数,则 f ( x) ? ? f (? x) ,∴

2x ? a 2? x ? a ? ? , 2x ? a 2? x ? a

2 整理得 a ? 1 ? 0 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 1 ,此时为奇函数

当 a ? (0,1) ? (1, ??) 时,此时 f ( x ) 既非奇函数也非偶函数 3、【解析】(1)由题意即 ax2 ?

a ?1 在 x ??1,2? 上恒成立。 ? 1 ? 0 在 x ??1,2? 上恒成立。即 a ? 1 2 2 x ?
2

设 f ? x? ?

?1 1 x ? 2
2

2 2? ,易得 f ? x ? ? ? ??2, ? ? ,所以 a ? ?

?

7?

7

(2)由题意知: ? ? g ? x ?? ? min ? ? ? f ? x ?? ? min (*) 易知,当 a ? 0 时, f ? x ?min ? f ?1? ?

a ?1 2
a 2

①当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, g ? x ?min ? g ?1? ? a ? 1 ,由(*)得: a ? 1 ? ? 1 ,解得 a ? 0 (舍) ②当 a ? 3 ,即 a ? 9 时, g ? x ?min ? g ? 3? ? 3 ?

a a a ,由(*)得: 3 ? ? ? 1 ,解得 a ? 12 。 3 2 3
a 2

③当 1 ? a ? 3 ,即 1 ? a ? 9 时, g ? x ?min ? 2 a ,由(*)得: 2 a ? ? 1 ,解得 a ?? 。 综上所述, a 的取值范围是 ?12, ?? ? 4、(1)函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x 的定义域为 R 当 ? =1 时, f ( x) ? 3x ? 3? x , f (? x) ? f ( x) ,函数为偶函数;..............2 分 当 ? =-1 时, f ( x) ? 3x ? 3? x , f (? x) ? ? f ( x) ,函数为奇函数;............4 分 当 | ? |? 1 时, f (1) ? 3 ?

?

1 , f (?1) ? ? 3? 此时 f (?1) ? ? f (1) 且f ( ?1) ? f (1), 3 3

所以函数为非奇非偶函数.........................................6 分 (2) 由于 f ? x ? ? 6 得 3 ? ? 3
x ?x

? 6 ,即 3x ?

?
3x

?6,

令 t ? 3 ?[1,9] ,................................................8 分
x

原不等式等价于 t ?
2

?
t

? 6 在 t ??1,9? 上恒成立,

亦即 ? ? ?t ? 6t 在 t ??1,9? 上恒成立,.............................10 分 令 g (t ) ? ?t 2 ? 6t, t ??1,9? , 当 t ? 9 时, g ? t ? 有最小值 g ? 9? ? ?27 ,所以 ? ? ?27 ................14 分 5、(1)解:任取 0 ? x1 ? x2 ,则

x ?x x1 ? 1 x1 x2 ? x1 ? 1? ? x1 ? x2 ? 1? ? 2 1 ? ? x2 ? x2 ? 1? x2 ? 1 x2 x2 ? x2 ? 1? x ?x 0 ? x1 ? x2 ,所以 2 1 ? 0 x2 ? x2 ? 1?

3分 4分

x1 ? 1 x1 5分 ? x2 ? 1 x2 x ? 1 x1 x ?1 x (2)∵ 1 ,∴ lg 1 6分 ? ? lg 1 . x2 ? 1 x2 x2 ? 1 x2 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? lg( x1 ? 1) ? lg( x2 ? 1) - (log 3 x1 ? log 3 x 2 ) 2 x ?1 1 x = lg 1 - log3 1 7分 x2 x2 ? 1 2 x ?1 x x x = lg 1 - log9 1 ? log10 1 ? log9 1 x2 x2 x2 x2 ? 1 logt 9 ? logt 10 1 1 0 ? t ? 1,log10 t ? log9 t ? ? ? logt 10 logt 9 logt 10 ? logt 9 ?logt 9 ? 0,logt 10 ? 0,logt 9 ? logt 10 ? 0,logt 9 ? logt 10 ? 0 log 9 ? logt 10 x x 8分 0 ? t ? 1,? t ? 0 ? log10 1 ? log9 1 ? 0 logt 10 ? logt 9 x2 x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? 0∴ f ( x) 为 (0,??) 上的减函数 9分 (3)注意到 f (9) ? 0 ∴当 x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 ,当 0 ? x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 , ∴ f ( x) ? 0 有且仅有一个根 x ? 9 . 1
∴ 由 f (n 2 ? 214n ? 1998 ) ? 0 ? f (n 2 ? 214n ? 1998 ) ? f (9)
2 ? ?n ? 214n ? 1998? 9 ∴? 2 ? ?n ? 214n ? 1998 ? 0 ? ??9 ? n ? 223 ?? ? ?n ? 107 ? 13447, 或n ? 1007 ? 13447 ∴ n ? 223 或 n ? ?9 , ∴ M ? {?9,223 } M 的子集的个数是 4.

13 分

14 分 15 分 16 分

6、解:(1)由 f (?2) ? log 1

1 ? 2a 1 ? 2a 1 ? 1, 得 ? ? , 解得 a ? ?1. 3 3 3 ?2 ? 1

……3 分

于是 f ( x) ? log 1 ?

? x ? 1 ? 其定义域为 D ? (??, ?1) ? (1, ??). ?, 3 ? x ?1 ?

……4 分

对于任意的 x ? (??, ?1) ? (1, ??), 有

? x ?1 ? ? ?x ?1 ? ? x ?1 ?x ?1 ? f ( x)+f (? x) ? log 1 ? ? ? ? log 1 ? ? ? log 1 ? ? ? log 1 1 ? 0, 3 ? x ?1 ? 3 ? ? x ?1 ? 3 ? x ?1 ? x ?1 ? 3
故 f ( x) 为奇函数. (2)由 f ( x) ? ? ……7 分

?1? ?1? ? ? t ,得 t ? f ( x) ? ? ? 在? 2,3? 恒成立. ?2? ?2?

x

x



x ?1 2 在 (??, ?1) 及 (1, ??) 上均递减,且 g (u) ? log 1 u 在 (0, ??) 上也递减,故函数 ? 1? x ?1 x ?1 3
……10 分
x

f ( x ) 在区间 (??, ?1)及(1, ??) 均单调递增.
x

?1? ?1? 由 f ( x ) 及 y ? ? ? ? 在区间 ? 2, 3? 均单调递增,知 ? ( x ) ? f ( x ) ? ? ? 在? 2, 3 ? 单调递 ?2? ?2?

增, 故 ? ( x)min

……12 分

5 ?1? ? ? (2) ? f (2) ? ? ? ? ? . 4 ?2?
5 ). 4
x1 ? 2 x ?2 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1
……14 分

2

因此,实数 t 的取值范围为 ( ??, ?

7、[证明](1)任取 ?1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ?

? x ? 2 x2 ? 2 ? 3( x1 ? x2 ) x1 x2 .(3 分) ? (a x1 ? a x2 ) ? ? 1 ? ? ? (a ? a ) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 ? 1 x2 ? 1 ? 因为 ?1 ? x1 ? x2 , a ? 1 ,所以 a x1 ? a x2 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , 3( x1 ? x2 ) ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 于是 a x1 ? a x2 ? 0 , ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 因此,函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数.(6 分) x?2 (2) (反证法)若存在负实数 x 0( x0 ? ?1 ),使得 f ( x0 ) ? 0 ,即方程 a x ? (8 ? 0 有负实数根. x ?1 分) x?2 ? 1? ?1 ? 对于 a x ? ? ,当 x0 ? 0 且 x0 ? ?1 时,因为 a ? 1 ,所以 a x0 ? ? 0, ? ? ? ,1? ,(10 分) x ?1 ? a? ?a ?

而?

x0 ? 2 3 ? ?1 ? ? (??, ?1) ? (2, ??) .(13 分) x0 ? 1 x0 ? 1

因此,不存在负实数 x 0 使得 a x ? ?

8、解:(1)假设 f ( x) ? g ( x) ? 2 x ?1 ①,因为 f ?x ? 是偶函数, g ?x ? 是奇函数 所以有 f (? x) ? g (? x) ? 2? x?1 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 2? x?1 ∵ f ( x ) , g ( x) 定义在实数集 R 上, 由①和②解得, ②

x?2 ,得证. x ?1

2 x ?1 ? 2? x ?1 1 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? 2 x ? x , g ( x) ? ? 2x ? x . 2 2 2 2 (2) ? ( x) 是 R 上 以 2 为 正 周 期 的 周 期 函 数 , 所 以 当 x ? [2015, 2016] 时 , 1 x ? 2016 ?[?1,0] , ? ( x) ? ? ( x ? 2016) ? f ( x ? 2016) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 , 即 ? ( x) 在 闭 区 间 2 1 [2015, 2016] 上的表达式为 ? ( x) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 . 2 下面证明 ? ( x) 在闭区间 [2015, 2016] 上递减: 1 ? ( x) ? 2 x ? 2016 ? x ? 2016 ? 2 , 当 且 仅 当 2 x ?2016 ? 1 , 即 x ? 2016 时 等 号 成 立 . 对 于 任 意 2 , 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 2016 ? x1 ? 2016 ? 2 x2 ? 2016 ? x2 ? 2016 ? (2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? 2016 ? x1 ? 2016 ) , 2 2 2 x2 ? 2016 0 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? 1 , 2x1 ?2016 ? 20 ? 1 , 因 为 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 , 所 以 2 ,2 ? 1, 2 ? 1 ? 0 1 ? 1 , 2 x2 ?2016 ? 22016? x1 ? 0 , x1 ? 2016 2 从而 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,所以当 2015 ? x1 ? x2 ? 2016 时, ? ( x) 递减. 1 x (证明 f ( x) ? 2 ? x 在 [?1, 0] 上递减,再根据周期性或者复合函数单调性得到也可) 2 3 15 (3)∵ t ? g ( x) 在 x ? [1, 2] 单调递增,∴ ? t ? . 2 4 ? 3 15 ? 2 2 2 ∴ h(t ) ? t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? m ? m ? 1对于 t ? ? , ? 恒成立, ?2 4 ? 2 t ?2 ? 3 15 ? ∴m ? ? 对于 t ? ? , ? 恒成立, 2t ?2 4 ? 3 t2 ? 2 t2 ? 2 t 1 ? ? ? 2 ,当且仅当 t ? 2 时,等号成立,且 2 ? 所以在 令 k (t ) ? ? ,则 2 2t 2t 2 t 2 t ?2 ? 3 15 ? 区间 t ? ? , ? 上 k (t ) ? ? 单调递减, 2t ?2 4 ? 3 17 17 ∴ k (t ) max ? k ( ) ? ? ,∴ m ? ? 为 m 的取值范围. 2 12 12 f ( x) ?
9、(1) 设: h?x ? T ? ? T ? h?x ? 则 x ?T ? T?x 对任意 x 恒成立 (2 分)

? T 无解

? h ?x ? ? x 不是 T 倍周期函数
(2) 设: g?x ? T ? ? T ? g?x ?

(2 分)

?1? 则 ? ? ? 4?

x ?T

?1? ? T?? ? ? 4?

x

对任意 x 恒成立

(2 分)

?1? ? ? ?T ? 4?
T?
下证唯一性:

T

1 2
1

(2 分)

1 若T ? 2 , 1 若T ? 2 ,

?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4? ?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4?
T 1

T

矛盾

矛盾

? T?

1 是唯一的 2

(2 分)

(3) f ?3? ? f ?1 ? 2? ? 2f ?1? ? 2

f ?5? ? f ?3 ? 2? ? 2f ?3? ? 2 2 f ?7? ? f ?5 ? 2? ? 2f ?5? ? 23
??

f ?2n ? 1? ? f ?2n - 3 ? 2? ? 2f ?2n - 3? ? 2 n-1 f ?1? ? f ?3? ? f ?5? ? ? ? f ?2n - 1? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1
同理: f ?2? ? f ?4? ? f ?6? ? ? ? f ?2n? ? ?4 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

(2 分)
n

?

n ?1

? ? ?4?2

?1

?

? S2n ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? ? ?3 2 n ? 1

?

?
n

同理: S2n ?1 ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? 1? ? ?2 ? 3

Cn ?

S2 n 3 2n ? 1 ? n S2 n ?1 2 ?3

?

?

(2 分)

C1 ? ?3

C2 ? 9
C n ?1 Cn 3 2 n ?1 ? 1 n ?1 2 2n ? 2 n ?3 ? 3 2 ?1 2 2n 2n ? 3

?

?

显然: n ? 2

Cn ? 0



?

?

? ? ? ?

2 2

? 7 ? 2n ? 3
n

? ? ? 5 ? ?2 ? ? 3

? 2 2n ? ?

? ?

2

? 7 ? 2 n ? 3 ? 2 2n ? 5 ? 2n ? 3

? ?

? ?

2

? ?

C n ?1 ? 1 即单调递减 Cn

?Cn ?m a x? C2 ? 9

(2 分)

? C n ? loga (a ? 1) ? 10恒成立, ? loga (a ? 1) ? 10 ? ?C n ?max ? 9 ? loga (a ? 1) ? ?1


a ?1 时

a ?1 ?

1 a 1 a


解得 : a ? 1 解得 : 0 ? a ?



0 ? a ?1 时

a ?1 ?

?1? 5 2
(2 分)

?

0?a?

?1? 5 2

a ?1


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