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天津市第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题带答案


天津一中?2015-2016-2?高一年级数学学科期末质量调查试卷? 本试卷分为第?I?卷(选择题)、第?II?卷(非选择题)两部分,共 100?分,考试用时?90?分? 钟。第?I?卷? 至? 页,第?II?卷? 至? 页。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上,答? 在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!? 一.选择题:(每小题?3?分,共?30?分)?

/>2 x?- 3? > 0? },?则?A I?B = (? )? x?- 1? 3? 3 3 3 A.?( -3? ,? - ) B.?( -3? ,? ) C.?(? 1? ,? ) D.?(? ,3? )? 2? 2? 2? 2? 2.在?DABC 中,?A、B、C? ? 的对边分别为 a、b、? c?,且?b cos C = 3a cos B - c cos?B ,? uuu r uuu r? BA × BC = 2?,则?DABC 的面积为(? )? 3? A.? 2? B.?2? D.?4 2? C.?2 2?
1.设集合?A?=?{? x?|?x?2 - 4?x?+ 3?< 0? },? B? =?{x?|? 3.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性? 相同,则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为(? )?

1? 2? 3? C.? D.? 2? 3? 4? 2? 4.已知圆锥的表面积为?12π?cm? ,且它的展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为(? )cm.?
A.? B.? A.? 3? B.2? C.2? 3? D.4? 5.若?x > 0, y > 0.?且?x + y ? 4,?则下列不等式中恒成立的是(? )? A.?

1? 3?

1 1? ? x?+?y? 4?

B.? +?

1 1? ? 1? x? y?

C.? xy? ??2

D.?

1 1? ?? xy? 4?

6.10 名同学参加投篮比赛,每人投?20?球,投中的次数用茎叶图表示(如图) ,设其平均数为? a,中位数为?b,众数为?c,则有(? )?

A.a>b>c?
0?

B.b>c>a?

C.c>a>b?

D.c>b>a?

7.向顶角为? 120? 的等腰三角形 ABC (其中?AC = BC?)内任意投一点 M? ,?则 AM? 小于?AC?的概? 率为(? )? A.?

3p 3?

B.?

3p 9?

C.?

1? 2?

D.?

p
3

8.图?1 是某县参加?2017?年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依? 次记为?A1,A2,…,A10(如?A2 表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数)图?2?是? 统计图?1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在?160~180cm(含? 160cm,不含?180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是(? )?

A.i<6?

B.i<7?

C.i<8?

D.i<9?

9.设函数? f ( x) = 2 x - cos 4? x ,{an}是公差为? 的等差数列,且满足?

p

8 2? f (a1 ) + f (a2 ) + LL?+ f (a8?) = 11p ? ,?则 [ f (a2 )? ]? - a1a5? =(? )?
B.? p 2?

13 2? p 16 10.若体积为?4 的长方体的一个面的面积为?1,且这个长方体 8?个顶点都在球 O 的球面上,则?
A.0? C.? p
2?

1? 8

3? 8

D.?

球 O 表面积的最小值为(? )? A. 12p B.16p C. 18p D. 24p 二.填空题:? (每小题?4?分,共?24?分)? 11.某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按?

1 - 200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1 - 5 号, 6 - 10 号, ××× , 196 - 200 号).若第 5? 组抽出的号码为 22 ,则第10 组抽出的号码应是__________.?
12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________.

13.在?△? ABC?中,?a = 1, B = 45? ° ,?△? ABC?的面积?S?=2?,则?△? ABC?的外接圆的直径为_________.? 14.如图四面体? ABCD? 中,E、F? 分别为? AC、BD? 的中点,若? CD=2AB=2,EF⊥AB,则? EF? 与? CD?所成的角等于__________.?

15.若当?x>1?时不等式?

x2? ? +3? x-1?

>m2? ? +1?恒成立,则实数?m 的取值范围是__________.?

16.已知正数?x ,?y?满足? +?

1 1? 4 x? 9?y? = 1? ,?则? + 的最小值为__________.? x? y? x?-?1? y?- 1?

三、解答题:(共?4?题,共?46?分)? 17.在?DABC 中,角?A、B、C?所对的边分别为 a、b、? c?,? 且满足?c =?2 3,? c cos B + (b - 2 a ) cos C = 0? (1)求角?C?的大小;? (2)求△ABC?面积的最大值.?

18.我市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中? 随机抽取?100?名按年龄分组 :第?1?组 [ 20, 25? )?,第?2?组 [ 25, 30?)?,第 3?组 [ 30,35?)?,第?4?组

[ 35, 40?)?, 第?5?组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.?
(1)若从第?3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加八一广场的宣传活动,应从第? 3,4,5?组各抽取多少名志愿者?? (2)在(1)的条件下,我市决定在这?6 名志愿者中随机抽取 2?名志愿者介绍宣传经验,求第?4? 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2).?

ì 1?ü (1)证明数列í ?是等差数列;? ?an??
1? (2)求数列{an}的通项;? (3)若?λan+?

an+1?

≥λ 对任意?n≥2?的整数恒成立,求实数?λ?的取值范围.?

20.已知正项数列 {a? n?}?的前三项分别为 1, 3,5 ,?S? n? 为数列的前 n 项和,满足:
2 2 3 2 *? nS n +1? - ( n + 1) S n? = ( n + 1) ( 3n + An + Bn )( A, B ? R ,?n ? N )?

(1)求?A,?B? 的值;? (2)求数列 { a? n?}?的通项公式;?

( n + 1? )?an? = (3)若数列 {b? n?}?满足
(参考公式:?1 + 2 + … + n 2? =
2 2?

b? b1 b? + 2? + … + n? ( n ? N + )?,求数列 {b? T? n?}?的前 n 项和? n? 2? 2? 2? 2n? ?

1? n ( n + 1)( 2n + 1? )?) 6?

参考答案? 一.选择题:? 1.D? 2.C? 解析:由正弦定理得?b cos C = 3a cos B - c cos B ? cos B =

uuu r uuu r? 1? \ BA × BC = 2 ? AB ? BC = 6 ? S DABC? = AB ? BC ? sin B = 2 2?,选? 2?
3.C?

1 2 2? ? sin?B =? 3 3?
C?

解析:试题分析:由题为古典概型,需先算出两位同学参加?3 个兴趣小组的所有可能的结果有:?

3? 3 = 9
而两人在同一小组的结果有:3?种.则可利用间接法(对立事件为在同一小组):两位同学不在同? 一个兴趣小组的概率为:? p = 1?4.B? 解析:设圆锥的底面圆的半径为 r ,母线长为 l ,∵侧面展开图是一个半圆,∴?p l = 2p r?,则?

3 2? = 9 3?

l = 2r?;?
∵圆锥的表面积为? 12p ? cm 2? ,∴?p r 2 + p rl = 3p r 2? = 12p ? ,则 r = 2 ,故圆锥的底面半径为?

2cm .故选?B.?
考点:圆锥的侧面展开图和表面积.? 5.D?

1 解析:若?x > 0, y > 0?且?x + y ? 4,?则?

x+ y

?

1? 2? x + y? ,故?A?错误;? ? ? 2?,当且仅当? 1 1? 4? 2? + x y

x = y = 2?时取“ = ”,则?1 + 1? ? 1?,故?B?错误;?4 ? x + y ? 2? xy ,当且仅当?x = y = 2?时取? x y xy ? 2?,故?C?错误;由? xy ? 2?得?0 < xy ? 4?即? 1 ? 1? “ = ”,故? ,故?D 正确;故选?D.? xy 4?
考点:基本不等式的性质.? 6.D? 7.B?

解析:试题分析:由题可得示意图,可知为几何概型:则?AM?

1? p ? 1? ? S? 3? p 2 6? 小于?AC?的概率为:? p?= 扇形? = = SDABC? 1?? 1? 1? sin120? 9? 0? 2?
考点:几何概型的算法.

8.C? 9.C?
8 8? i? 1?

解:Q ? ?

+ (i - 1) ) = 0? 2? i =1 i?=1? 8 ? ( a1 + a? p 8?)? \ f ( a1 ) + f ( a2 ) + LL + f ( a8 ) = 2 ? = 16 a1 + 7p = 11? p ? a1? = 2 4? 3? p 2? [ f (a2 )?]? - a1a5? = ,选?C? 8?
10.C? 解析:设长方体三条边长分别为?a , b,?c ,?

? cos 4a = ? cos(4a

p

ab = 1, c =?4,?\ R =

a 2 + b2 + c 2 2? ab + c?2? 18? ?? = ,\ S = 4p R 2? ? 18? p .? 2 2? 2?

考点:1.球的表面积公式;2.基本不等式.? 思路点睛:由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线,设长方体三条边长分别为?

a , b,?c ,?ab = 1, c = 4,?由基本不等式,可求出长方体的对角线得最小值为?
面积.? 二.填空题:? 11.47? 13π? 12.? 6?

18 ,然后求出球的表? 2?

解析:由三视图知,该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体,其中圆柱的底面半径为? 1、高? 1? 1? 2? 2? 为? 2,半圆锥的底面半径为? 1、高为? 1,所以该几何体的体积? V=? ×? ×π×1? ×1+π×1? ×2=? 2? 3? 13π? 。? 6? 13. 5 2 .? 解析:根据题意,由三角形的面积公式,得:?

1? ? 1? c sin 45o? =?2?,? 2? 解得:?c = 4 2?,?
再由余弦定理,得:

b 2? = 1 + 4 2

(

)? - 2 ?1? 4

2?

2 cos 45o? =?25?,?

\ b = 5?,? 设?△? ABC?的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得:? b? 5? 2 R?= = =?5 2? sin B sin 45o? ? 故答案应填: 5 2 .

14.30°? 15.-? 5<m<? 5? 解析:由于?
2? 2? x? +3? (x-1)? +2(x-1)+4?

=? x-1?

x-1?

=(x-1)+?

4?

x-1?

+2≥2? 4+2=6?当且仅当?x=3?时取等?

号,所以要使不等式恒成立,应有?m2? ? +1<6,解得-? 5<m<? 5.? 16.25? 三.解答题:? 17.? 【答案】(1)?C =

p
3?

;(2)?S max? = 3 3?.?

【解析】(1)由正弦定理得:? ∴ sin C cos B + sin B cos C - 2 sin A cos C = 0? ∴ sin A - 2 sin A cos C = 0? ∵ sin A ? 0?∴? cos?C = ∴?C =

1? 2?

p
3?

(2)由正弦定理得?

a b c? 2 3? 得,? = = = sin A sin B sin?C sin?p 3? 2? p 2? p a = 4 sin A, b = 4 sin B,?又?A + B = ,?B = - A, 3? 3? 1 2? p \ △ABC?面积?S = ab sin C = 4 3 sin A sin B = 4 3 sin A sin( - A)?,? 2 3?
化简得:?S = 2 3 sin(2 A 当?A =

p

) + 3? 6?

p
3?

时, S?有最大值,?S max? = 3 3?。?

考点:1、正弦定理;2、三角函数的最值.? 18.解:? (1)由频率分布直方图得 100 名志愿者中第?3,4,5?组的人数分别为 30、20 、10? 所以用分层抽样的方法抽取 6?名志愿者,从第 3?组中抽的人数为? 从第?4?组中抽的人数为?

30 ? 6?= 3?,? 60?

20 ? 6?= 2?,? 60? 10 从第?5?组中抽的人数为? ? 6?= 1? ,? 60?
所以应从第 3,4,5?组各抽取的人数分别为?3、2、1? .............3 分

a? a? b? b? c? (2)设从第?3,4,5 组各抽取的人分别记为?a? 1?,? 2?,? 3??? 1?,? 2??? 1?,随机抽取?2?名志愿者的情况? a1 ??a? (? a? a? (? a? b? (? a? b? (? a? c? (? a? (? a? b? (? a? b? (? a? c? (? a? b? (? a? b? (? a? c? ,? 有:?(? 2?),? 1? 3?),? 1? 1?),? 1? 2?),? 1? 1?),? 2?a? 3?),? 2? 1?),? 2? 2?),? 1? 1?),? 3? 1?),? 3? 2?),? 3? 1?)?
(? b? (? b? c? (? b? c? 1b? ? 2?),? 1? 1?),? 2? 1?),?共?15?种,?
其中第?4 组至少有一名志愿者被抽中的情况有:? .............4?分?

(? a1 ?b? (? a? b? (? a? b? (? a? b? (? a? b? (? a? b? b? (? b? c? (? b? c? ? 1?),? 1? 2?),? 2? 1?),? 2? 2?),? 3? 1?),? 3? 2?),? (? 1b? ? 2?),? 1? 1?),? 2? 1?),?共?9?种,? 9 3? 所以第?4 组至少有一名志愿者被抽中的概率?P?=? = .............6?分? 15? 5?。?
19.解:? (1)证明:由?3anan-1+an-an-1=0(n≥2)得,? 1? 1? -? =3(n≥2),?

an? an-1?

ì 1?ü ∴数列í ?是以?1?为首项,3?为公差的等差数列.? ?an??
1? (2)由(1)可得,? =1+3(n-1)=3n-2.?

an?

1? ∴an=? .? 3n-2? (3)由?λan+? 1?

an+1?

≥λ 对?n≥2?的整数恒成立,?

λ? *? 即? +3n+1≥λ 对?n≥2(n∈N? )恒成立.? 3n-2?
 3n+1  3n-2  *? 整理得?λ≤ (n≥2,n∈N? ),? 3 n-1  令?Cn=  3n+1  3n-2  ,? 3 n-1   3n+4  3n+1   3n+1  3n-2  - 3n? 3 n-1  3n n-1 

Cn+1-Cn=


 3n+1  3n-4 

因为?n≥2,所以?Cn+1-Cn>0,? 28 ∴{Cn}为单调递增数列,C2?最小,且?C2=? ,? 3?

? ù 28? 故?λ?的取值范围为?-∞,? ú. 3?? è

20.解:? (1)? Q?a1 = 1, a2 = 3, a3? = 5?,? \ S1 = 1, S2 = 4, S3? = 9?,?
2 在 nS n2+1? - ( n + 1) S n? = ( n + 1) ( 3n ? 3 + An 2? + Bn )?中,分别令?n = 1, n = 2?得: 2? ì S 22 - 2 S1? = 2 (3 + A + B ) ì16 - 2 = 2 ( 3?+ A + B?) ? ? ?í í 2 2? B?)? 2 S3 - 3S 2? = 3 ( 24 + 4 A + 2? B) ? ?? ?162 - 48 = 3 ( 24 + 4 A + 2? ? ìA + B = 4 ì A?= 3? ?í ?í .? ? 2 A + B = 7 ? B = 1? 2 (2)由(1), nS n2+1? - ( n + 1) S n? = ( n + 1) ( 3n3 + 3n ? 2 + n )( n ? N *?)?,变形为:

2? S n2+1? S? - n? = 3n 2? + 3n + 1? ( n ? N?+ )?,分别令?n = 1, 2,?…得 ? n ( n + 1) 2 S2 S?2? - 1? = 3 ? 12? + 3 ? 1 + 1? 2 1? 2? S? S?2? 3? - 2? = 3 ? 2 2? + 3 ? 2 + 1? 3 2? M M M 2 Sn S?2? 2? - n?-1? = 3 ( n - 1) + 3 ( n?- 1)?+ 1 n n - 1?

(? +

2? S? S?2? 2? n? - 1? = 3 12 + 2 2 + L + ( n - 1) + 3 (1 + 2 + L + ( n - 1) ) + ( n - 1) n ? 2? ,且n ? N?*? n? 1? n ( n?- 1? ) 1? = 3 ? ( n - 1) n ( 2 n - 1) + 3 + ( n?- 1? )? 6 2? = n 3? - 1?

(

)

(

)

\ S n? = n 2 ( n ? 2,?且? n ? N *? )?,? Q?S1? = 1?, \ S n? = n 2 ( n ? N *? )?. \ an = S n - S n?-1? = 2 n - 1( n ? 2,且 ? ? n ? N *?)?,? Q?a1? = 1?,\ an? = 2n - 1? ( n ? N *?)?

(3)当?n=1?时,?T1 = b1? = 4?,? 当?n≥2 时,由 得?nan?-1? =

( n +1? ) an? =

b? b1 b? + 2? +L+ ? n? n? N*?)? 2? n? ( 2? 2 2?

b? -1? b1 b? + 2? + L?+ n? 2 n?-1? ,? 2? 2 2?
b? n? n ? 2? , 且?n ? N *? , 2?n?

两式相减得: ( n + 1 ) a n - na n?-1? =

(

)?

\ bn? = ( 4 n - 1) 2 n? ( n ? 2,?且? n ? N *?)?,
n? \Tn? = 4 + 7 ? 22 + 11? 23 + 15 ? 24? + L + ( 4n?- 1) 2?

2Tn? = 8

+ 7 ? 23 + 11? 24 + L + ( 4n - 5) 2n + ( 4n - 1)?2n?+1?(?

n?+1? -Tn? = -4 + 7 ? 22 + 4 ? 23 (1 + 2 + 22 + L + 2n -3 ) - ( 4n - 1)?2?

\ Tn? = ( 4 n - 5 ) × 2 n?+ 1 + 8 ( n ? 2, ? 且?n ? N *? )?
Q? T1? = 4?, \

T n? = ( 4 n - 5 ) × 2 n?+ 1 + 8?( n ? N

*?

)?.?

考点:?累加法求通项,由?S? n? 求通项?a? n? ,错位相减法求数列的和.? 名师点睛:求数列通项公式,可观察其特点,如有以下特点一般常利用“累加法”“累乘法”.

(1)已知?a1?且?an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即?an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-?

a2=f(3),a2-a1=f(2).所有等式左右两边分别相加,代入 a1?得?an.?
(2)已知?a1?且?

=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”,即?

=f(n),?

=f(n-1),…,? =f(3),? =f(2),所有?

等式左右两边分别相乘,代入?a1?得?an.


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