在作测试前先看下例题 函数的定义域和值域
题例 已知函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是［0,1］，则 a 的值等于 A. ( )
2 C. 2 D.2 2 分析 由题可知函数 f(x)恒过(0,0),由于其定义域和值域都是［0,1］,故可判断 a>1,且函数 f(x) 过(1,1)，即 1=loga(1+1) ? a=2,故选 D. 答案 D
1 3
B.
点评
仔细审题、数形结合是解答本题的关键.
一、选择题 1．已知函数 f(x)= A.A∪B=B
2
1? x 的定义域为 A，函数 y=f［f(x)］的定义域为 B,则 1? x
B.A B C.A=B D.A∩B=B
(
)
2．函数 y= log 1 (3x ? 2) 的定义域是 A.［1,+∞ ) B.(
(
)
2 ,+∞) 3
C.［
2 ,1］ 3
D.(
2 ，1) 3
( )
3．值域是(0,+∞)的函数是 A.y=x2-x+1 B.y=(
1 1-x ) 3
1
C.y= 3 2? x +1
D.y=|log2x2| ( )
4．定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为［a,b］，则函数 y=f(x+a)的值域为 A.［2a,a+b］ B.［a,b］ C.［0,b-a］ D.［-a,a+b］ 5．函数 y= 3 x -1(-1≤x<0)的反函数是 A.y= 1 ? log3 x ( x ? ) C.y= 1 ? log3 x ( ? x ? 1)
2
( B.y=- 1 ? log3 x ( x ? ) D.y=- 1 ? log3 x ( ? x ? 1)
)
1 3
1 3
1 3 25 6．若函数 y=x2-3x-4 的定义域为［0,m］，值域为［,-4］，则 m 的取值范围是 4 3 3 3 A.(0, 4 ? B.［ ,4］ C.［ ,3］ D.［ ,+∞ ) 2 2 2
7．函数 y=|x-3|-|x+1|的值域是 A.［0,4］ B.［-4,0］ 8．函数 y= ( C.［-4,4］ D.(-4,4) (
1 3
(
)
) )
1 ? sin x 的值域为 2 ? cos x
A.［-
4 4 , ］ 3 3
B.［-
4 ,0］ 3
C.［0,
4 ］ 3
.
D.(0,
4 ］ 3
二、填空题 (5×3′＝15′) 9．设 f(2x-1)=2x-1，则 f(x)的定义域为
3
10．函数 y=
x ?1 的定义域为(-∞,+∞),则实数 a 的取值范围是 ax ? 4ax ? 3
2
.
3? x (x≥0)的值域是 . 1 ? 2x 1 12．函数 f(x)=x2+x+ 的定义域是［n,n+1］(n∈N*)，则函数 f(x)的值域中共有 2
11．函数 y= 13．函数 y=|x-3|+ ( x ? 1) 2 的值域是 .
个整数.
三、解答题(9′＋3×10′＋12′＋10′＝61′) 1 14．求函数 y= 2 的值域. x ? 2x ? 2 15．已知 f(x)的定义域是［ ,
3 4 ］,g(x)=f(x)+ 1 ? 2 f ( x) ，试求 y=g(x)的值域. 8 9
16．已知函数 f(x)=log3
mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为?(-∞,+∞),值域为［0,2］，求 m、n 的值. x2 ?1
17．如图所示，A、B、P 为平面上的三个点，M 为线段 AB 的中点， 已知|AB|=4，|PA|+|PB|=6，求|MP|的最大、最小值. 18．已知函数 f(x)的定义域是［a,b］，且 a+b>0，求下列各函数的定义域. (1)f(x2); (2)g(x)=f(x)-f(-x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0). 19．设 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈［-1,+∞］时,f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围.
参考答案
. 1．D
?x ? 1 y=f［f(x)］的定义域由 ? 确定. ? f ( x) ? 1
2．D 若使函数有意义，则必有 log 1 (3x-2)≥0,即 0<3x-2≤1 ?
2
2 <x≤1 3
3．B 逐一验证. 4．B ∵x∈R,x+a∈R,∴函数 y=f(x+a)的值域与函数 y=f(x)的值域相同且都为［a,b］. 故选 B. 5．D 由 y= 3 x
2 ?1
得 x2-1=log3y,∵-1≤x<0
∴x=- log3 y ? 1 ,x、y 互换得 y=- log3 x ? 1
2 1 < 3 x ?1 ≤1 3 1 故原函数的反函数为:y=- 1 ? log3 x ( ? x ? 1) . 3
∵-1≤x<0,∴-1<x2-1≤0,∴
6．C 作图判断. 7．C 作图或根据不等式||a|-|b||≤|a-b|确定. 8．C 先变形为 acosx+bsinx=c 的形式，由 a2+b2≥c2 确定. 9．(-1,+∞) 由 u=2x-1 的值域确定. 10．［0, 11．(-
3 ］ 由 ax2+4ax+3≠0 恒成立确定，注意 a=0 的情况. 4
1 ,3) 反解出 x=f(y)，由 x≥0 求 y 的范围. 2 1 1 1 12．2n+2 f(x)=(x+ )2+ .由此可知，f(x)在［- ,+∞］上为单调递增函数，故在［n,n+1］上 f(x) 2 4 2 1 与 x 存在一一对应关系.f(n+1)=(n2+3n+2)+ ,比 f(n+1)小的整数中最大的是 n2+3n+2,比 f(n)小 2
的整数中最大的是 n2+n,f(x)的值域中的整数为 n2+n+1,n2+n+2,?,n2+3n+2,故函数 f(x)在 ［n,n+1］ 2 2 上的值域中整数的个数为(n +3n+2)-(n +n)=2n+2. 13．［4,+∞ ) y=|x-3|+|x+1|视为数轴上的点与-1,3 两点距离之和的最小、最大值.由图可看出，最
小值为 4,不存在最大值. 14．解 令 U=x2+2x-2=(x+1)2-3(U≠0),则 y=
1 .由二次函数的最小值为-3 知 U≥-3,U≠0, U
1 1 ≤? ; 3 U 1 1 1 当 U>0 时, >0,故函数的值域为{y|y≤ ? }∪{y|y>0}={y|y≤ ? }或 y>0}. 3 3 U
当-3≤U<0, 点评 体会. 15．解 本题利用换元法，结合二次函数的最值;对值域的求法要求较高，在练习过程中要仔细
1 1 1 1 ≤1-2f(x)≤ ，即 ≤t≤ . 9 4 3 2 2 1? t 1 1 1 则 y=g(x)=F(t)= +t=- (t-1)2+1,函数 y=F(t)在［ , ］上为增函数，故 2 2 3 2 1 1 1 7 1 7 7 7 F( )≤y≤F( ),F( )= ,F( )= ，故 y=g(x)的值域为［ , ］. 3 2 3 9 2 8 9 8
令 1 ? 2 f ( x) =t，则 令 u=
16．解
mx 2 ? 8 x ? n ，其定义域为(-∞,+∞)，值域由题设知为［1,9］, x2 ?1
由 u=
mx 2 ? 8 x ? n 得(u-m)x2-8x+(u-n)=0. 2 x ?1
因为 x∈R,且设 u-m≠0,则Δ =(-8)2-4(u-m)(u-n)≥0. 即 u2-(m+n)u+(mn-16)≤0,又 1≤u≤9. 故(u-1)(u-9)≤0，即 u2-10u+9≤0
?m ? n ? 10 ∴? ，解得 m=n=5. ?mn ? 16 ? 9
若 u-m=0,即 u=m=5 时，x=0 满足要求.故 m=n=5. 17．解 因为||PA|-|PB||≤|AB|(P、A、B 三点共线时取“=”号)，设|PA|=x,则|x-(6-x)|≤4， 即 1≤x≤5. 由平面几何知识知(2|MP|)2+|AB|2=2(|PA|2+|PB|2)，即 |MP|2=
1 ［x2+(6-x)2］-4=x2-6x+14=(x-3)2+5 (1≤x≤5). 2
当 x=3 时,|MP|min＝ 5 ；当 x=1 或 5 时，|MP|max=3. 18．解
?b ? a (1)依题意，由 ? 知 b>0 且 b>|a|. ?a ? b ? 0
则 a≤x2≤b，得当 a≤0 时，f(x2)的定义域为［ ? b , b ］； 当 a>0 时，f(x2)的定义域为 ? b ,? a ?
?
? ? a , b ?.
?a ? x ? b ?a ? x ? b (2)由 ? * , 得? ?a ? ? x ? b ?? b ? x ? ?a
∵a>-b,b>-a，当 a>0 时，不等式*解集为 ，此时函数 g(x)不存在. 当 a=0 时，不等式*解集为{0},此时函数 g(x)的定义域为{0}. 当 a<0 时，不等式*的解集为［a,-a］，此时函数 g(x)的定义域为［a,-a］.
?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m (3)由 ? 得? . ?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m
因为 m>0,所以 a-m<a+m,b-m<b+m. 又 a-m<b+m,要使函数 h(x)的定义域为非空集合，只需 a+m≤b-m， 即 0<m≤ 19．解
b?a ,此时函数的定义域为［a+m,b-m］. 2
f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,f(x)图象的对称轴为 x=a.为使 f(x)≥a 在［-1,+∞ ) 上恒成立，只
需 f(x)在［-1,?+∞ ) 上的最小值比 a 大或等于 a 即可. (1)a≤-1 时,f(-1)最小,解,解得-3≤a≤-1.
?a ? ?1 (2)a≥-1 时,f(a)最小，解 ? ,解得-1≤a≤1.综上得:-3≤a≤1. 2 ? f (a) ? 2 ? a ? a