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高一高考数学函数的定义域和值域测试


在作测试前先看下例题 函数的定义域和值域
题例 已知函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 的值等于 A. ( )

2 C. 2 D.2 2 分析 由题可知函数 f(x)恒过(0,0),由于其定义域和值域都是[0,1],故可判断 a>1,且函数 f(x) 过(1,1),即 1=loga(1+1) ? a=2,故

选 D. 答案 D

1 3

B.

点评

仔细审题、数形结合是解答本题的关键.

一、选择题 1.已知函数 f(x)= A.A∪B=B
2

1? x 的定义域为 A,函数 y=f[f(x)]的定义域为 B,则 1? x
B.A B C.A=B D.A∩B=B

(

)

2.函数 y= log 1 (3x ? 2) 的定义域是 A.[1,+∞ ) B.(

(

)

2 ,+∞) 3

C.[

2 ,1] 3

D.(

2 ,1) 3
( )

3.值域是(0,+∞)的函数是 A.y=x2-x+1 B.y=(

1 1-x ) 3

1

C.y= 3 2? x +1

D.y=|log2x2| ( )

4.定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x+a)的值域为 A.[2a,a+b] B.[a,b] C.[0,b-a] D.[-a,a+b] 5.函数 y= 3 x -1(-1≤x<0)的反函数是 A.y= 1 ? log3 x ( x ? ) C.y= 1 ? log3 x ( ? x ? 1)
2

( B.y=- 1 ? log3 x ( x ? ) D.y=- 1 ? log3 x ( ? x ? 1)

)

1 3

1 3

1 3 25 6.若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为[,-4],则 m 的取值范围是 4 3 3 3 A.(0, 4 ? B.[ ,4] C.[ ,3] D.[ ,+∞ ) 2 2 2
7.函数 y=|x-3|-|x+1|的值域是 A.[0,4] B.[-4,0] 8.函数 y= ( C.[-4,4] D.(-4,4) (

1 3

(

)

) )

1 ? sin x 的值域为 2 ? cos x

A.[-

4 4 , ] 3 3

B.[-

4 ,0] 3

C.[0,

4 ] 3
.

D.(0,

4 ] 3

二、填空题 (5×3′=15′) 9.设 f(2x-1)=2x-1,则 f(x)的定义域为
3

10.函数 y=

x ?1 的定义域为(-∞,+∞),则实数 a 的取值范围是 ax ? 4ax ? 3
2

.

3? x (x≥0)的值域是 . 1 ? 2x 1 12.函数 f(x)=x2+x+ 的定义域是[n,n+1](n∈N*),则函数 f(x)的值域中共有 2
11.函数 y= 13.函数 y=|x-3|+ ( x ? 1) 2 的值域是 .

个整数.

三、解答题(9′+3×10′+12′+10′=61′) 1 14.求函数 y= 2 的值域. x ? 2x ? 2 15.已知 f(x)的定义域是[ ,

3 4 ],g(x)=f(x)+ 1 ? 2 f ( x) ,试求 y=g(x)的值域. 8 9

16.已知函数 f(x)=log3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为?(-∞,+∞),值域为[0,2],求 m、n 的值. x2 ?1

17.如图所示,A、B、P 为平面上的三个点,M 为线段 AB 的中点, 已知|AB|=4,|PA|+|PB|=6,求|MP|的最大、最小值. 18.已知函数 f(x)的定义域是[a,b],且 a+b>0,求下列各函数的定义域. (1)f(x2); (2)g(x)=f(x)-f(-x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0). 19.设 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

参考答案
. 1.D

?x ? 1 y=f[f(x)]的定义域由 ? 确定. ? f ( x) ? 1

2.D 若使函数有意义,则必有 log 1 (3x-2)≥0,即 0<3x-2≤1 ?
2

2 <x≤1 3

3.B 逐一验证. 4.B ∵x∈R,x+a∈R,∴函数 y=f(x+a)的值域与函数 y=f(x)的值域相同且都为[a,b]. 故选 B. 5.D 由 y= 3 x
2 ?1

得 x2-1=log3y,∵-1≤x<0

∴x=- log3 y ? 1 ,x、y 互换得 y=- log3 x ? 1
2 1 < 3 x ?1 ≤1 3 1 故原函数的反函数为:y=- 1 ? log3 x ( ? x ? 1) . 3

∵-1≤x<0,∴-1<x2-1≤0,∴

6.C 作图判断. 7.C 作图或根据不等式||a|-|b||≤|a-b|确定. 8.C 先变形为 acosx+bsinx=c 的形式,由 a2+b2≥c2 确定. 9.(-1,+∞) 由 u=2x-1 的值域确定. 10.[0, 11.(-

3 ] 由 ax2+4ax+3≠0 恒成立确定,注意 a=0 的情况. 4

1 ,3) 反解出 x=f(y),由 x≥0 求 y 的范围. 2 1 1 1 12.2n+2 f(x)=(x+ )2+ .由此可知,f(x)在[- ,+∞]上为单调递增函数,故在[n,n+1]上 f(x) 2 4 2 1 与 x 存在一一对应关系.f(n+1)=(n2+3n+2)+ ,比 f(n+1)小的整数中最大的是 n2+3n+2,比 f(n)小 2
的整数中最大的是 n2+n,f(x)的值域中的整数为 n2+n+1,n2+n+2,?,n2+3n+2,故函数 f(x)在 [n,n+1] 2 2 上的值域中整数的个数为(n +3n+2)-(n +n)=2n+2. 13.[4,+∞ ) y=|x-3|+|x+1|视为数轴上的点与-1,3 两点距离之和的最小、最大值.由图可看出,最

小值为 4,不存在最大值. 14.解 令 U=x2+2x-2=(x+1)2-3(U≠0),则 y=

1 .由二次函数的最小值为-3 知 U≥-3,U≠0, U

1 1 ≤? ; 3 U 1 1 1 当 U>0 时, >0,故函数的值域为{y|y≤ ? }∪{y|y>0}={y|y≤ ? }或 y>0}. 3 3 U
当-3≤U<0, 点评 体会. 15.解 本题利用换元法,结合二次函数的最值;对值域的求法要求较高,在练习过程中要仔细

1 1 1 1 ≤1-2f(x)≤ ,即 ≤t≤ . 9 4 3 2 2 1? t 1 1 1 则 y=g(x)=F(t)= +t=- (t-1)2+1,函数 y=F(t)在[ , ]上为增函数,故 2 2 3 2 1 1 1 7 1 7 7 7 F( )≤y≤F( ),F( )= ,F( )= ,故 y=g(x)的值域为[ , ]. 3 2 3 9 2 8 9 8
令 1 ? 2 f ( x) =t,则 令 u=

16.解

mx 2 ? 8 x ? n ,其定义域为(-∞,+∞),值域由题设知为[1,9], x2 ?1

由 u=

mx 2 ? 8 x ? n 得(u-m)x2-8x+(u-n)=0. 2 x ?1

因为 x∈R,且设 u-m≠0,则Δ =(-8)2-4(u-m)(u-n)≥0. 即 u2-(m+n)u+(mn-16)≤0,又 1≤u≤9. 故(u-1)(u-9)≤0,即 u2-10u+9≤0

?m ? n ? 10 ∴? ,解得 m=n=5. ?mn ? 16 ? 9
若 u-m=0,即 u=m=5 时,x=0 满足要求.故 m=n=5. 17.解 因为||PA|-|PB||≤|AB|(P、A、B 三点共线时取“=”号),设|PA|=x,则|x-(6-x)|≤4, 即 1≤x≤5. 由平面几何知识知(2|MP|)2+|AB|2=2(|PA|2+|PB|2),即 |MP|2=

1 [x2+(6-x)2]-4=x2-6x+14=(x-3)2+5 (1≤x≤5). 2

当 x=3 时,|MP|min= 5 ;当 x=1 或 5 时,|MP|max=3. 18.解

?b ? a (1)依题意,由 ? 知 b>0 且 b>|a|. ?a ? b ? 0

则 a≤x2≤b,得当 a≤0 时,f(x2)的定义域为[ ? b , b ]; 当 a>0 时,f(x2)的定义域为 ? b ,? a ?

?

? ? a , b ?.

?a ? x ? b ?a ? x ? b (2)由 ? * , 得? ?a ? ? x ? b ?? b ? x ? ?a

∵a>-b,b>-a,当 a>0 时,不等式*解集为 ,此时函数 g(x)不存在. 当 a=0 时,不等式*解集为{0},此时函数 g(x)的定义域为{0}. 当 a<0 时,不等式*的解集为[a,-a],此时函数 g(x)的定义域为[a,-a].

?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m (3)由 ? 得? . ?a ? x ? m ? b ?a ? m ? x ? b ? m
因为 m>0,所以 a-m<a+m,b-m<b+m. 又 a-m<b+m,要使函数 h(x)的定义域为非空集合,只需 a+m≤b-m, 即 0<m≤ 19.解

b?a ,此时函数的定义域为[a+m,b-m]. 2

f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,f(x)图象的对称轴为 x=a.为使 f(x)≥a 在[-1,+∞ ) 上恒成立,只

需 f(x)在[-1,?+∞ ) 上的最小值比 a 大或等于 a 即可. (1)a≤-1 时,f(-1)最小,解,解得-3≤a≤-1.

?a ? ?1 (2)a≥-1 时,f(a)最小,解 ? ,解得-1≤a≤1.综上得:-3≤a≤1. 2 ? f (a) ? 2 ? a ? a


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