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3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计


沧源民族中学

高一年级数学(必修二)教学设计

第十九周

2012 年 1 月 2 日

第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率(2 课时)
主备教师:李劲东 一、内容及其解析 “直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修 2 第三章第一节的内容,是高中 解析几何内容的开始。 这节课学习

的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和 斜率。 其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法,理解它的关键是在平面直 角坐标系中直线向上的方向与 X 轴正方向所成的角和角的正切值。 之前学生已经 学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线, 这节内容就是刻画直线倾 斜程度的几何要素与代数表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式 来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基 础。 通过该内容的学习, 帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过 程, 渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主 线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二 次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。 二、目标及其解析 目标定位:1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率 3、掌握过两点的直线的斜率公式。 目标解析: 1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以 X 轴为基准,直线与 X 轴相交时,X 轴正方向与直线向上的方向的角;理解斜率概念是指直线的斜率就 是直线倾斜角的正切值。 2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角,会求直线斜率是 指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。
3、 掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率 公 式 k= (x1≠x2)

三、问题诊断与分析 在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围 理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难,产生这两个问题 的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式 。 tan(180 ? ? )? ? tan ? 的运用还不灵活。要解决这一困难,就要让学生从开始就 认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式 tan(180。? ? ) ? ? tan ? 。其中理解 倾斜角的关键是理解当直线与 X 职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线 不与 X 轴相交时又是怎么定义的。理解公式的 tan(180。? ? ) ? ? tan ? 的关键是多 用该阶段只要求学生会用就行。 四、教学支持条件分析
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本节课打算用多媒体进行教学, 因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐 标系中的位置,直观明了。是学生更容易理解,并且多媒体教学的课容量大,大 大提高了课堂的效率 五、教学设计 情景引入:初中时我们知道确定一条直线的方法是:两点确定一条直线。我们知 道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线,那么在直角坐标系 中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗?这就是我们本节课研究的主 要内容 问题一:在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率? (设计意图:以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。) 问题 1: 在平面直角坐标系中过一点 P 能确定几条直线?观察并思考这些直线有 什么共同点和不同点呢? 师生活动 1:教师提问,学生动手画直角坐标系并过 P 作图观察并思考 结论:如图,过点 P 在直角坐标系中可以作出无数条直线。 这些直线的主要的共同点是都过点 P, 不同点是这些直线与 X 轴的倾斜程度不同

由此可以定义直线的倾斜角 直线倾斜角的定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴正向与 直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 并且当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 00 。 如图 ? 为直线 l 的倾斜角

直线 l 的倾斜角分别为:锐角、直角、钝角、 0? 角。 由直线倾斜角的定义可知:直线倾斜角的范围是 0? ≤ ? < 180?


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理解倾斜角的概念需要注意两点: 1. 直线倾斜角的定义包括两部分 (1) 当直线 l 与 x 轴相交时,定义它向上的方向与 x 轴正方向所成的角叫倾斜 角,包括锐角、直角、钝角。

(2) 当直线与 x 轴平行或重合时规定倾斜角为 0?
2. 在平面直角坐标系中,一条直线对应唯一的一个倾斜角,倾斜程度相同的直线, 倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线 的倾斜程度。

问题 2:探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置? 师生活动: 1. 已知直线过点 P 能确定直线的位置吗? 结论:不能,如图点 P 的直线可以是无数条因为直线可以任意饶点 P 转动

2. 已知直线的倾斜角是 45 时,能确定直线的位置吗? 结论:不能,如图因为直线可以平行移动

?

3. 当直线过定点 p 并已知它倾斜角是 45 ,能确定直线的位置吗? 能确定,直线过定点 p,并且倾斜角是 45 ,因此这条直线不能转动和平移了。 如图:
?

?

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由此可知:确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外 还有已知一点和一个倾斜角

例 1:如图所示,直线 l 的倾斜角是多少度(



A. 45?

B 135

?

C 0?

D. 不存在

变式训练:已知一条直线在第一象限过一点 M,其倾斜角是 30? ,作出这条直线

问题二:什么是斜率? (设计意图:提出问题,以大问题的形式引出要学的内容) 问题 1: 日常生活中我们描述人走的快慢、 汽车行驶的快慢都是用速率来表示的, 也就是用路程与时间的比来表示的; 我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢? 学生思考并进行讨论学习 结论:如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形 如果我们以前进量所在的直线为 x 轴,点 o 为原点建平面直角坐标系,? 就是直 线的倾斜角,也就是说我们可以用倾斜角 ? 的正切值来刻画直线的倾斜程度.

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坡度(比)=升高量/前进量 即坡度就是倾斜角 ? 的正切值,这个正切值我们称为直线的斜率, 因此 直线斜率的定义:我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率 斜率通常用小写的字母 k 表示,所以 k= tan ? ( ? ≠ 90? , ? = 90? 正切值不存在) 当直线的倾斜角 ? = 45? 时,斜率 k= tan 45? =1,当 ? = tan135
?

时,k= tan135?

因初中学习锐角正切值的计算,因此可以直接给出公式当 ? 为锐角时
。 t a n (1 8 0 ? ? ?)?

t ? a ,对于这个公式要求会用就行,后面的学习将会进一步推 n

导,因此 tan135? = tan(180? ? 45? ) ? ? tan 45? =—1
问题 2:探究当 ? 在 0 度到 90 度变化时,斜率是如何变化的?当 ? 在 90 度到 180 度范

围变化时,倾斜角的变化又如何? 下面请同学们计算:当直线斜率是以下角时,直线斜率是多少?
30?、 45?、 60?,? =120?、 135?、 150? ? = 0?、
由公式可计算得
? k= tan 0 =0 、k= tan 30? = 3

3

? 、k= tan45 =1 、k= tan60 = 3
?

k=

tan120? =tan(180? -60? )=-tan60? =- 3
? ? ? ?

k= tan135 ? tan(180 ? 45 ) ? ? tan 45 ? ?1 k= tan150? ? tan(180? ? 30? ) ? ? tan 30? ? ? 3

可以利用计算器计算当 由锐角无限接近 90 度时 k 值是向正无穷靠近的并且正值, 即当 ? 在 0 度到 90 度变化时随着倾斜角的增大斜率增大,而当 ? 由钝角无效接近 90 度时,k 值是 无限向负无穷靠近的并且为负值。即当 ? 在 90 度到 180 度范围变化时,随着倾斜角

?

3

的增大斜率增大。 由此可知: 当 ? 为锐角时,斜率 k=tan ? >0 当 ? 为钝角时,斜率 k=tan ? <0 当 ? 为直角时,tan ? 不存在,所以斜率 k 也就不存在
当 ? = 0 时,斜率 k= tan 0 =0
? ?

反过来 当直线的斜率 k>0 时,直线的倾斜角为锐角 当直线的斜率 k<0 时,直线的倾斜角为钝角 当直线的斜率 k=0 时,直线的倾斜角为 0 度角 当直线的斜率 k 不存在时,直线的倾斜角为直角

例 2:已知一条直线与 X 轴平行,则这条直线的斜率 k 的值是() A.0 B - 3
C 1 D 不存在
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变式训练:正三角形 ABC 在直角坐标系中的位置如图所示,求出三条边所在直 线的倾斜角和斜率

解:因为 BC 与 x 轴重合 所以 BC 边所在直线的倾斜角为 0?

故 kBC ? tan 0? ? 0 因为 ?ABC = 60
?

所以 AB 边所在的直线的倾斜角为 60 故

?

kAB ? t a n 6? 0 ?
?

3
? ?

因为 ?ACB ? 60 所以 ?ACX ? 120 所以 AC 边所在的直线多的倾斜角为 120 所以 kAC ? tan120? ? tan(120? ? 60? ) ? ? tan 60? ? ? 3

问题三:已知直线上的两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且直线 P1P2 与 x 轴不垂直,即 x1≠ x2,直线 P1P2 的斜率是什么? 【设计意图】:让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的 斜率公式,同时加深学生对斜率概念的理解。 师生活动:下图中 P1P2 的水平距离是多少,垂直距离是多少?怎样表示 ? 的正切?
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y y P2 (x2, y2)

P2 (x2, y2)

P1(x1,y1)

P1(x1,y1)

?

?

X

o
y ? y1 小结:两点间斜率的计算公式 k ? 2 (x1≠x2)。 x2 ? x1

o
(2)

X

(1)

例 3、已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα <0 时, 倾斜角α 是钝角; 而当 k = tanα >0 时, 倾斜角α 是锐角; 而当 k = tanα =0 时, 倾斜角α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 kAB=1/7>0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 直线 BC 的斜率 kBC=-0.5<0, 所以它的倾斜角α 是钝角; 直线 CA 的斜率 kCA=1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角. 变式练习:求经过下列两点直线的倾斜角。 (1) 、 A(2,1) ,B(3,1) ; (2) 、 C(2,1) ,D(2,6) 六、课堂小结 1、倾斜角的定义及范围 定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向

之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 并且当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 00 。 范围是 0? ≤ ? < 180?
2、斜率的定义和求法 定义:我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率

求法: ? ? 90? 时,k= tan ? ? ? 90? 时斜率不存在
3、两点间斜率的计算公式 k ?

y2 ? y1 (x1≠x2)。 x2 ? x1

七、目标检测
1.判断下列说法是否正确
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(1)在坐标系中,每条直线都有倾斜角 (2)在坐标系中,每条直线都有斜率 (3)一条直线与 x 轴的夹角就是直线的倾斜角 (4)一条直线的倾斜角越大它的斜率越大 (5 两条直线的倾斜角相等,他们的斜率也相等 (6)两条直线的斜率相等,他们的倾斜角相等 2.已知直线的斜率,求它们的倾斜角

(1) k ? 3
八、配餐作业

(2) k ?

3

3

(3) k ? ?1

A组
1、 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: (1) (2) ? =60°;(3) ? =90°; (4) ? = ? =0°;

3? 4

2、若直线 l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线 l 的斜率为 3、已知两点 A(x,-2),B(3,0),并且直线 AB 的斜率为

,倾斜角为 。

1 ,则 x= 2

B组
4、判断正误: ①直线的倾斜角为 ? ,则直线的斜率为 tan ? ( ②直线的斜率值为 t an ? ,则它的倾斜角为 ? ( ) ) )

③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率(

④因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在,所以平行于 y 轴的直线的倾斜角不存在 5、直线 l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( A. ) D.-

? 4

B.

5? 4
B.直角梯形

C.

? 5? 或 4 4
C.等腰梯形

? 4
) D.以上都不对

6、顺次连结 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是( A.平行四边形

C组

7、如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 =30°,直线 l1 ⊥ l 2 ,求 l1 、 l 2 的斜率.
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y

l2

l1 ?2 x

?1

O

8、求证:点 A(-2,3),B(7,6),C(4,5)在一条 直线上。

九:教学反思

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3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

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