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高中数学选修2-3


凤凰县高级中学

高二数学◆选修 2-2◆导学案

§ 2.1.1 合情推理(1)
※ 典型例题
例 1 观察下列等式:1+3=4= 2 , 1+3+5=9= 3 , 1+3+5+7=16= 4 , 1+3+5+7+9=25= 5 , …… 你能猜想到一个怎样的结论?
2
2 2

>2

变式:观察下列等式:1=1 1+8=9, 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, …… 你能猜想到一个怎样的结论?

2.若 f (n) ? n2 ? n ? 41, n ? N ,下列说法中正确的是 ( ). A. f (n) 可以为偶数 B. f (n) 一定为奇数 C. f (n) 一定为质数 D. f (n) 必为合数 2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N *) 3.已知 f ( x ? 1) ? ,猜想 f ( x) ? 2 f ( x) 的表达式为( ). 4 2 A. f ( x) ? x B. f ( x) ? 2 ?2 x ?1 1 2 C. f ( x) ? D. f ( x) ? x ?1 2x ? 1 1 1 1 4. f (n) ? 1 ? ? ? ??? ? (n ? N? ) , 经 计 算 得 2 3 n 3 5 7 猜 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? 2 2 2 测当 n ? 2 时,有__________________________. 5. 从 1 ? 12 , 2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 中得出 的一般性结论是_____________ .

课后作业
例 2 已 知 数 列 ?an ? 的 第 一 项 a1 ? 1 , 且

an?1 ?

an (n ? 1 , 2 , 3 ...) ,试归纳出这个数列的 1 ? an

1. 对于任意正整数 n,猜想 (2n ? 1) 与 (n ? 1)2 的大 小关系.

通项公式.

an ?1 ? a1 ? 1 , 练 2. 在数列{ a n }中,

2an ( n ? N* ) , 2 ? an

§ 2.1.1 合情推理(2)
学习目标
1. 结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理, 体会并认识合情推 理在数学发现中的作用.

试猜想这个数列的通项公式.

二、总结提升 ※ 学习小结 1.归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤:① 通过观察个别情况发现 某些相同的性质;② 从已知的相同性质中推出一个 明确表述的一般性命题(猜想). 三、当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ). A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
1

学习过程
※ 动手试试 练 1. 如图,若射线 OM,ON 上分别存在点 M1 , M 2 与 点 N1 , N2 , 则 三 角 形 面 积 之 比 S?OM N OM1 ON1 . 若 不 在同 一平 面 内的 射线 ? ? S?OM N OM 2 ON 2
1 1 2 2

OP,OQ 上分别存在点 P 1, P 2 ,点 Q1 , Q2 和点 R1 , R2 , 则类似的结论是什么?

第二章 推理与证明

3. 设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) ,

'

B.- sin x D.- cos x 4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆 若将此若干个圆按此规律继续下去,得到一系列的 圆,那么在前 2006 个圆中有 个黑圆. 5. 在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55…… 中的 x 的值是 .

f2 ( x) ? f1' ( x), f2007 ( x) ? ( A. sin x C. cos x

N,则 , fn?1 ( x) ? fn' ( x) , n∈ ).

1 1 1 9 ? ? ? 成立;在 A B C ? 1 1 1 1 16 四边形 ABCD 中, 不等式 ? ? ? ? 成立; A B C D 2? 课后作业 在 五 边 形 ABCDE 中 , 不 等 式 1. 在等差数列 {an } 中,若 a10 ? 0 ,则有 1 1 1 1 1 25 成立.猜想,在 n 边形 ? ? ? ? ? a1 ? a2 ? ? an ? a1 ? a2 ? ? a19?n (n ? 19, n ? N * ) A B C D E 3? A1 A2 An 中,有怎样的不等式成立? 成立, 类比上述性质, 在等比数列 {bn } 中, 若 b9 ? 1 , 则存在怎样的等式?
练 2. 在 ?ABC 中,不等式

二、总结提升 ※ 学习小结 1.类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 类比推理的一般步骤:① 找出两类事物之间的相 似性或一致性;② 用一类事物的性质去推测另一类 事物的性质得出一个命题(猜想). 3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理, 它得到的结论 不一定真,但合情推理常常帮我们猜测和发现新的 规律,为我们提供证明的思路和方法. 三、当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)
1.下列说法中正确的是( ). A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2. 下面使用类比推理正确的是( ). A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类比推出 “若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“ (a ? b)c ? ac ? bc ”类比推出 “ (a ? b)c ? ac ? bc ” C.“ (a ? b)c ? ac ? bc ” 类 比 推 出 “ (c≠0)” D.“ (ab) ? a b
n n n

2. 在各项为正的数列 ?an ? 中,数列的前 n 项和 S n

1? 1 ? ? (1) 求 a1 , a2 , a3 ; (2) 由 an ? ? ? 2? an ? ? (1)猜想数列 ?an ? 的通项公式; (3) 求 S n
满足 S n ?

§ 2.1.2 演绎推理
(3)在一个标准大气压下,水的沸点是 100? C ,所 以在一个标准大气压下把水加热到 100? C 时, ; (4)一切奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所 以 ; (5)三角函数都是周期函数, sin ? 是三角函数, 所以 ; (6)两条直线平行,同旁内角互补.如果 A 与 B 是 两条平行直线的同旁内角, 那么 . 新知:演绎推理是从 出发,推出 情况下的结论的推理.简言之,演绎推理是由 到 的推理.

a?b a b ? ? c c c
比 推 出





( “ a ? b) ? a ? b
n n

n

2

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例 2 证明函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 ? ??, ?1? 上是增函 数.

2. 用三段论证明: f ( x) ? x3 ? x( x ? R) 为奇函数.

※ 动手试试
练 1. 用三段论证明: 通项公式为 an ? cqn (cq ? 0) 的 数列 {an } 是等比数列. 变式:已知等差数列 {an } 的公差为 d ,前 n 项和为
Sn ,有如下性质:

(1) an ? am ? (n ? m)d , (2)若 m ? n ? p ? q,(m, n, p, q ? N *) , 则 am ? an ? a p ? aq , 类比上述性质, 在等比数列 {bn } 中, 写出类似的性 质.

三、总结提升 ※ 学习小结
?归纳推理:由特殊到一般 1. 合情推理 ? ; 结论不一 ?类比推理:由特殊到特殊

定正确. 2. 演绎推理:由一般到特殊 .前提和推理形式正确 结论一定正确.

※ 动手试试 练 1.

四、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1 1. 因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数 2 1 x 函数,则 y ? ( ) 是增函数.这个结论是错误的,这 2 是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 2. 有这样一段演绎推理是这样的 “有些有理数是真 分数,整数是有理数,则整数是真分数” 结论显然是错误的,是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3. 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则 平行于平面内所有直线;已知直线 b ? ? 平面 ? ,直
?

1 (n ? N ? ) , (n ? 1) 2 记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) , 试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的 值 , 推 测 出 f (n) ? __________ ______ .
若数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线

a ”的结论显然是错误的,这是因为
A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.非以上错误

课后作业
1. 用三段论证明:在梯形 ABCD 中,AD//BC , AB=DC,则 ?B ? ?C .

四、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 由数列 1,10,100,1000, , 猜想该数列的第 n 项可 能是( ). A. 10 n B. 10n ?1 C. 10n ?1 D. 11n 2.下面四个在平面内成立的结论 ①平行于同一直线的两直线平行 ②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直,则必 与另一条相交 ③垂直于同一直线的两直线平行 ④一条直线如果与两条平行线中的一条相交,则必 与另一条相交 在空间中也成立的为( ). A.①② B. ③④ C. ②④ D.①③ 3.用演绎推理证明函数 y ? x 3 是增函数时的大前提 是( ). A.增函数的定义 B.函数 y ? x 3 满足增函数的定义 C.若 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.若 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

3

第二章 推理与证明

4. 在数列 {an } 中 , 已知 a1 ? 2, an ?1 ? 试归纳推理出 an ?

an (n ? N * ) , 3an ? 1

※ 动手试试
练 1. 求证:对于任意角θ , cos4 ? ? sin 4 ? ? cos 2?

.

5. 设平面内有n条直线 (n ? 3) ,其中有且仅有两 条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 f (n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) = ; 当n>4时, f ( n ) = (用含 n 的数 学表达式表示). 2. 数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an ,先计算数列的前 4 项, 再归纳猜想 a n .

练 2. A, B 为锐角, 且 tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 , 求证: A ? B ? 60 . (提示:算 tan( A ? B) )

§ 2.2.1 综合法和分析法(1)

三、总结提升 四、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 已 知 x, y ? R, 则" xy ? 1"是" x2 ? y 2 ? 1" 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 如果 a1 , a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列, 公
差 d ? 0 ,则( ) A. a1a8 ? a4 a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 3. 设 P ? B. a1a8 ? a4 a5 D. a1a8 ? a4 a5

※ 典型例题
例 1 已 知 a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 1 , 求 证 : 1 1 1 ? ? ?9 a b c

1 1 1 1 ? ? ? , 则 log 2 11 log 3 11 log 4 11 log 5 11

例 2 在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别 为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列,a、b、c 成 等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形.



) A. 0 ? P ? 1 C. 2 ? P ? 3 B. 1 ? P ? 2 D. 3 ? P ? 4

4.若关于 x 的不等式 3 3 1 (k 2 ? 2k ? ) x ? (k 2 ? 2k ? )1? x 的解集为 ( , ?? ) , 2 2 2 则 k 的范围是____ . 5. 已 知 a , b 是 不 相 等 的 正 数 ,
2 _________. x? a? b , y ? a ? b , 则 x, y 的 大 小 关 系 是

变式:设在四面体 P ? ABC 中, ?ABC ? 90?, PA ? PB ? PC , D 是 AC 的 中 点 . 求 证:PD 垂直于 ?ABC 所在的平面.

课后作业
1. 已知 a,b,c 是全不相等的正实数, b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c 求证: ? ? ?3 a b c

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新知:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的 充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公 理等)为止. 反思:框图表示 要点:逆推证法;执果索因 2. 在△ABC 中, 证明:

※ 典型例题
例 1 求证 3 ? 5 ? 2 ? 6

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

变式:求证: 3 ? 7 ? 2 5

§ 2.2.1 综合法和分析法(二)
学习目标

小结: 证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难, 所以我们常用分析法探索证明的途径.

例 2 在四面体 S ? ABC 中 , SA ? 面ABC , AB ? BC , 1. 会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程. 过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线,垂足 2. 根据问题的特点, 结合分析法的思考过程、 特点, 为 F,求证 AF ? SC . 选择适当的证明方法.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P48~ P50,找出疑惑之处) 复习 1:综合法是由 导 ; 复习 2:基本不等式:

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:分析法 问题:
如何证明基本不等式

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2

5

第二章 推理与证明

练 2. 设 a, b, c 是的△ABC 三边, S 是三角形的面积, 求证: c2 ? a 2 ? b2 ? 4ab ? 4 3S

三、总结提升 ※ 学习小结 1、分析法由要证明的结论 Q 思考,一步步探 求得到 Q 所需要的已知 P 1, P 2, ??? ,直到所有的已知 P 都成立. 2、证明过程中分析法和综合法的区别: 在综合法中,每个推理都必须是正确的 ,每个推论都 应是前面一个论断的必然结果 , 因此语气必须是肯 定的. 分析法中,首先结论成立 ,依据假定寻找结论成 立的条件,这样从结论一直到已知条件. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)
1. 要证明 3 ? 7 ? 2 5 可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是 A.综合法 B.分析法 C.反证法 D. 归纳法 b a 2. 不等式① x 2 ? 3 ? 3x ; ② ? ? 2 , 其中恒成立的 a b 是 A.① B.② C.①② D.都不正确 3.已知 y ? x ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,那么 x? y x? y A. x ? ? y ? 2 xy B. 2 xy ? x ? ?y 2 2 x? y x? y C. x ? ? 2 xy ? y D. x ? 2 xy ? ?y 2 2 ab ? bc ? ac . 4.若 a, b, c ? R ,则 a 2 ? b2 ? c 2 5. 将 a 千 克 的 白 糖 加 水 配 制 成 b 千 克 的 糖 水 (b ? a ? 0) ,则其浓度为 ;若再加入 m 千 克的白糖 (m ? 0) ,糖水更甜了,根据这一生活常识提 炼出一个常见的不等式: .

变式:设 a , b, c 为一个三角形的三边, 1 s ? (a ? b ? c) ,且 s 2 ? 2ab ,试证 s ? 2a . 2

小结:用题设不易切入 ,要注意用分析法来解决问 题.

※ 动手试试 练 1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆 的面积比正方形的面积大.

课后作业
1. 已知 a ? b ? 0 ,

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求证:

(a ? b)2 a ? b (a ? b)2 . ? ? ab ? 8a 2 8b

复习 2:分析法是由



.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:综合法和分析法的综合运用 ? 问题:已知 ? , ? ? k? ? (k ? Z ) ,且 2 sin ? ? cos ? ? 2sin ? ,
sin ? ? cos ? ? sin 2 ? , 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? ? . 1 ? tan 2 ? 2(1 ? tan 2 ? )

求证:

2. 设 a, b ? R? ,且 a ? b ,求证: a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 新知:用 P 表示已知条件、定义、定理、公理等, 用 Q 表示要证明的结论, 则上述过程可用框图表示 为:

试试:已知 tan ? ? sin ? ? a, tan ? ? sin ? ? b ,求证:
(a2 ? b2 )2 ? 16ab .

反思:在解决一些复杂、技巧性强的题目时,我们 可以把综合法和分析法结合使用.

§ 2.2.1 综合法和分析法(3)
学习目标
1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析 法的思考过程和特点; 2. 学会用综合法和分析法证明实际问题 ,并理解分 析法和综合法之间的内在联系; 3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.

※ 典型例题
例 1 已 知 A, B 都 是 锐 角 , 且 A ? B ?
(1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,求证: A ? B ? 45?

?
2



学习过程
一、课前准备 (预习教材 P50~ P51,找出疑惑之处) 复习 1:综合法是由 导 ;
7

变式: 已知

1 ? tan ? 求证:3sin 2? ? ?4 cos 2? . ?1, 2 ? tan ?

第二章 推理与证明

三、总结提升
小结:牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明 问题的前提,本例中,三角公式发挥着重要作用. 例 2 在 四 面 体 P ? ABC 中 , P D? ? A B C , AC ? BC , D 是 AB 的中点,求证: AB ? PC .

※ 学习小结 1、直接证明包括综合法和分析法. 2、比较好的证法是:用分析法去思考,寻找 证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析 法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从 “已知”推“可知” (综合) ,双管齐下,两面夹击, 逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条 件和结论的途径.

变式:如果 a, b ? 0 ,则 lg

a ? b lg a ? lg b . ? 2 2

3、综合法是“由因导果” ,而分析法是“执果 索因” ,它们是截然相反的两种证明方法,分析法 便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述, 两种方法各有所长,在解决问题的问题中,综合运 用,效果会更好,综合法与分析法因其在解决问题 中的作用巨大而受命题者的青睐,在历年的高考中 均有体现,成为高考的重点和热点之一.

小结: 本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.

四、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 给出下列函数① y ? x ? x3 ,② y ? x sin x ? cos x,
③ y ? sin x cos x, ④ y ? 2x ? 2? x , 其中是偶函数的有 ( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. m、n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有 以下四个命题( ). ?? // ? ?? ? ? ? ? // ? ;② ? ?m?? ①? ?? // ? ?m // ?
?m ? ? ?m // n ? ? ? ? ;④ ? ? m // ? ③? ?m // ? ?n ? ? 其中为真命题的是 A.①④ B. ①③ C.②③ D.②④ 3. 下 列 结 论 中 , 错 用 基 本 不 等 式 做 依 据 的 是 ( ). a b A.a,b 均为负数,则 ? ? 2 b a x2 ? 2 ?2 B. x2 ? 1 C. lg x ? log x 10 ? 2 1 D. a ? R? ,(1 ? a)(1 ? ) ? 4 a 4. 设 α、β、r 是互不重合的平面,m,n 是互不重 合的直线,给出四个命题: ①若 m⊥ α,m⊥ β,则 α∥ β ②若 α⊥ r,β⊥ r,则 α∥ β ③若 m⊥ α,m∥ β,则 α⊥ β ④若 m∥ α,n⊥ α,则 m⊥ n 其中真命题是 . 5. 已知 p : 2 x ? 3 ? 1, q : x( x ? 3) ? 0 , 则 p 是 q 的
8

※ 动手试试 练 1. 设实数 a , b, c 成等比数列,非零实数 x, y 分别
为 a 与 b , b 与 c 的等差中项,求证
a c ? ?2. x y

5 ? 练 2. 已知 A ? B ? ? ,且 A, B ? k? ? ( k ? Z ) , 4 2 求证: (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 .

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条件.

证明: 2, 3, 5 不可能成等差数列.

课后作业
1. 已知 a, b, c ? R? ,a , b, c 互不相等且 abc ? 1 .求证: 1 1 1 a? b? c? ? ? . a b c

反思: 证明基本步骤: 假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因 2. 已知 a, b, c, d 都是实数, 且 a ? b ? 1, c ? d ? 1 , 是假设不成立,从而原命题的结论成立 求证: | ac ? bc |? 1 . 方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等 价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同 真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而 肯定原命题真实.
2 2 2 2

§ 2.2.2 反证法
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例, 了解间接证明的一种 基本方法——反证法; 2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题.

※ 典型例题 例 1 已知 a ? 0 ,证明 x 的方程 ax ? b 有且只有一个 根.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P52~ P54,找出疑惑之处) 复习 1:直接证明的两种方法: 和 复习 2: 是间接证明的一种基本方法. 变式:证明在 ?ABC 中,若 ? C 是直角,那么 ?B 一定 是锐角.

;

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:反证法 问题(1): 将 9 个球分别染成红色或白色,那么无论怎 样染,至少有 5 个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题 (2):三十六口缸 ,九条船来装 ,只准装单, 不准装 双,你说怎么装?
小结:应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与 已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、 定理、事实矛盾等). 新知:一般地,假设原命题 ,经过正确的推 理,最后得出 ,因此说明假设 ,从而证明 了原命题 .这种证明方法叫 . 试试:
9

例 2 求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平 分.

第二章 推理与证明

变式:求证:一个三角形中,至少有一个内角不少 于 60 ? .

小结:反证法适用于证明“存在性,唯一性,至少 有一个,至多有一个”等字样的一些数学问题.

四、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 用反证法证明命题 “三角形的内角至少有一个不 大于 60 ? ”时,反设正确的是( ). A.假设三内角都不大于 60 ? B.假设三内角都大于 60 ? C.假设三内角至多有一个大于 60 ? D.假设三内角至多有两个大于 60 ? 2. 实数 a , b, c 不全为 0 等价于为( ). A. a , b, c 均不为 0 B. a , b, c 中至多有一个为 0 C. a , b, c 中至少有一个为 0 D. a , b, c 中至少有一个不为 0 1 1 1 3. 设 a , b, c 都是正数,则三个数 a ? , b ? , c ? b c a ( ). A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2
4. 用反证法证明命题“自然数 a , b, c 中恰有一个偶 数”的反设为 . 2 5. “ x ? 4 ”是“ x ? 4 x ? 0 ”的 条件.

※ 动手试试
练 1. 如果 x ?

1 ,那么 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 . 2

课后作业
1. 已知 x, y ? 0 , 且 x ? y ? 2 . 试证 : 少有一个小于 2.
1? x 1? y , 中至 y x

练 2. ?ABC 的三边 a , b, c 的倒数成等差数列 , 求 证: B ? 90? .

2. 证明 2 不是有理数.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 反证法的步骤:①否定结论;②推理论证;③导 出矛盾;④肯定结论. 2. 反证法适用于证明“存在性,唯一性,至少有一 个,至多有一个”等字样的一些数学问题.
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※ 典型例题
例 1 已知数列 ?an ? 的通项公式
an ? 1 (n ? N ? ) , (n ? 1) 2

记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) , 试 通 过 计 算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f ( n) 的值.

第二章 推理与证明(复习)
学习目标
1. 了解合情推理和演绎推理的含义; 2. 能用归纳和类比进行简单的推理; 掌握演绎推理 的基本模式; 3. 能用综合法和分析法进行数学证明; 4. 能用反证法进行数学证明.

变式:已知数列

1 1 1 , , , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

,

1 2 n ? 1 ? ?? 2n ? 1?

⑴求出 S1 , S2 , S3 , S4 ;⑵猜想前 n 项和 Sn . (理科) (3)并用数学归纳法证明你的猜想是否正 确?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P28~ P55,找出疑惑之处) 复习 1:归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 合情推理的结论 . 演绎推理是由 到 的推理. 演绎推理的结论 . 复习 2:综合法是由 导 ; 分析法是由 索 . 直接证明的两种方法: 和 ; 是间接证明的一种基本方法.

小结:归纳推理是由特殊到一般的推理 ,是一种猜 想,推理的结论都有待进一步证明. 例 2 已知 tan? , tan? 是关于 x 的一元二次方程 x2+px+2=0 的两实根. (1)求证: tan(? ? ? ) ? p ; (2)求证: 3sin(? ? ? ) ? p cos(? ? ? ) ? 0 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:合情推理与演绎推理 问题:合情推理与演绎推理是相辅相成的,前者是 后者的前提, 后者论证前者的可靠性.你能举出几个 用合情推理和演绎推理的例子吗?
探究任务一:直接证明和间接证明 问题:你能分别说出这几种证明方法的特点吗?结 合自己以往的数学学习经历,说说一般在什么情况 下,你会选择什么相应的证明方法?
11

变式:如右图所示, SA ? 平面 ABC, AB ? BC , 过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线,

第二章 推理与证明

垂足为 F,求证:⑴ BC ? 面SAB ;⑵ AF ? SC .
S

F E C B

A

※ 知识拓展
帽子颜色问题 “有 3 顶黑帽子,2 顶白帽.让三个人从前到后站 成一排, 给他们每个人头上戴一顶帽子.每个人都看 不见自己戴的帽子的颜色,却只能看见站在前面那 些人的帽子颜色( . 所以最后一个人可以看见前面两 个人头上帽子的颜色,中间那个人看得见前面那个 人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜 色, 而最前面那个人谁的帽子都看不见.现在从最后 那个人开始,问他是不是知道自己戴的帽子颜色, 如果他回答说不知道, 就继续问他前面那个人.事实 上他们三个戴的都是黑帽子,那么最前面那个人一 定会知道自己戴的是黑帽子.为什么?

小结:证明问题对思维的深刻性、严谨性和灵活性 有较高的要求.

※ 动手试试
练 1. 求证:当 x 2 ? bx ? c 2 ? 0 有两个不相等的非零 实数根时, bc ? 0 .

四、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律,
H H C H CH4 H H H C H H C H H H H C H H C H C3H8 H C H H

练 2. 数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an , n ? N * (1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,并由此猜想通项公式 a n ; (2)用数学归纳法证明(1)中的结论.(理科)

写出后一种化合物的分子式 是( ). ... A.C4H9 B. C4H10 C. C4H11 D. C6H12 2. 用反证法证明: “a ? b ” ,应假设为( ). A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 3. 所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电 . 属于哪种推理( ). A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 4. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:

C2H6

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三 角形的个数 n 之间的关系式可以是___________. 5. 由“以点 ? x0 , y0 ? 为圆心, r 为半径的圆的方程

三、总结提升 ※ 学习小结

为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? r 2 ” 可以类比推出球的类似
2 2

属性是

.

课后作业
1. 若 sin ? ? cos ? ? 1 ,求证: sin 6 ? ? cos6 ? ? 1

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

※ 学习探究 探究任务:数学归纳法 问题: 在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全 部倒下的条件是什么?
新知:数学归纳法两大步: (1)归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0 时命题成 立; (2)归纳递推:假设 n=k(k≥n0, k∈ N*)时命题 成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两 个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 原因:在基础和递推关系都成立时,可以递推 出对所有不小于 n0 的正整数 n0+1,n0+2,…,命题 都成立. 1 试试: 你能证明复习 1 中数列的通项公式 an ? 这 n 个猜想吗?

2. 求证 y ? ax2 ? 2bx ? c , y ? bx2 ? 2cx ? a ,
y ? cx2 ? 2ax ? b ( a , b, c 是互不相等的实数),3 条抛 物线至少有一条与 x 轴有两个交点.

§ 2.3 数学归纳法(1)
学习目标
1. 了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指 导,理解数学归纳法的操作步骤; 2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并 能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 3. 数学归纳法中递推思想的理解.

反思: 数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于 研究与正整数有关的数学问题. 关键:从假设 n=k 成立,证得 n=k+1 成立.

※ 典型例题 例 1 用数学归纳法证明
12 ? 22 ? 32 ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) , n ? N* 6

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P104~ P106,找出疑惑之处) 复习 1:在数列 {an } 中, a a1 ? 1, an ?1 ? n , (n ? N * ) ,先算出 a2,a3,a4 的 1 ? an 值,再推测通项 an 的公式. 变式:用数学归纳法证明 1? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ?10 ? ? n(3n ? 1) ? n(n ? 1)2 , n ? N *

复习 2: f (n) ? n2 ? n ? 41 ,当 n∈N 时, f (n) 是否 都为质数?

二、新课导学
13

第二章 推理与证明

小结:证 n=k+1 时,需从假设出发,对比目标,分 析等式两边同增的项,朝目标进行变形. 例 2 用数学归纳法证明: 首 项 是 a1 , 公 差 是 d 的 等 差 数 列 的 通 项 公 式 是
an ? a1 ? (n ? 1)d , 前 n 项 和 的 公 式 是 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d. 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数学归纳法的步骤 2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法 ,主要用于研 究与正整数有关的数学问题. 四 、当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 用数学归纳法证明: 1 ? an ? 2 1 ? a ? a2 ? ? an?1 ? (a ? 1) , 在 验 证 n ? 1 1? a 时,左端计算所得项为 A.1 B. 1 ? a ? a 2 C. 1 ? a D. 1 ? a ? a 2 ? a3 2. 用数学归纳法证明

变式:用数学归纳法证明: 首 项 是 a1 , 公 比 是 q 的 等 差 数 列 的 通 项 公 式 是
an ? a1qn?1 ,前 n 项和的公式是 Sn ?
a1 (1 ? q n ) .( q ? 1 ) 1? q

(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2 n ? 1? 3 ? (2n ? 1)(n ? N * )
※ 动手试试 练 1. 用数学归纳法证明:当 n 为整数时, 1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) ? n2
时,从 n=k 到 n=k+1,左端需要增加的代数式为 2k ? 1 2k ? 3 A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1) C. k ? 1 D. k ? 1 3. 设 1 1 1 f (n) ? ? ? ? (n ? N * ) , 那 么 n ?1 n ? 2 2n

f (n ? 1) ? f (n) 等于(



1 1 A. 2n ? 1 B. 2 n ? 2 1 1 1 1 ? ? C. 2n ? 1 2n ? 2 D. 2n ? 1 2n ? 2

4. 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n an (n ? 2) ,
2

而 a1 ? 1 ,通过计算 a 2 , a3 , a 4 ,猜想 an ? 1 1 2 2 ? ? 5. 数列 {xn } 满足 x1 ? 1, x2 ? ,且 xn ?1 xn ?1 xn 3 ( n ? 2) ,则 xn ? .

课后作业
练 2. 用数学归纳法证明:当 n 为整数时, 1 ? 2 ? 22 ? ? 2n ?1 ? 2n ? 1 1. 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n ? ? ? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1

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新知 :数学归纳法可以应用于: (1) 数列的先猜后 证 ;(2)证明不等式 ;(3)证明整除性问题 ;(4)证明几何 问题. 试试:已知数列 1 1 1 1 , , , ? ? ?, , 1 ? 2 2 ? 3 3 ? 14 n ? (n ? 1) 此推测计算 Sn 的公式.

2. 用数学归纳法证明:

1 ? n ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? (n ? 2) ?

1 n ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2) 6

, 计算 S1 , S 2, S 3 , 由

反思:用数学归纳法证明时,要注意从 n ? k 时的情 形到 n ? k ? 1 的情形是怎样过渡的.

§ 2.3 数学归纳法(2)
学习目标
1.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能

※ 典型例题 例 1 平面内有 n 个圆,任意两个圆都相交于两点, 任何三个圆都不相交于同一点,求证这 n 个圆将平 面分成 f(n)=n2-n+2 个部分

严格按照数学归纳法证明问题的格式书写; 2.数学归纳法中递推思想的理解.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P107~ P108,找出疑惑之处) 复习 1:数学归纳法的基本步骤? 复习 2:数学归纳法主要用于研究与 的数学问题.

有关 变式:证明凸 n 边形的对角线的条数 1 f ( n)? n( ? n 3)? n ( 4) 2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数学归纳法的各类应用 问题:已知数列 1 1 1 1 , , , ???, ,猜想 Sn 的 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 表达式,并证明.

小结:用数学归纳法证明几何问题的关键是找项 , 即几何元素从 k 到 k ? 1 所证的几何量增加多少. 例 2 证明: n3 ? 5n(n ? N * ) 能被 6 整除.
15

第二章 推理与证明

三、总结提升
变式:证明: x2n ?1 ? y 2n ?1 能被 x ? y 整除.

※ 学习小结 1. 数学归纳法可以证明不等式、数列、整除性等问 题; 2. 数学归纳法是一种特殊的证明方法 ,主要用于研 究与正整数有关的数学问题. 四、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)
n 2 1. 使不等式 2 ? n ? 1 对任意 n ? k 的自然数都

小结:数学归纳法证明整除性问题的关键是凑项 , 而采用增项、减项、拆项和因式分解的手段,凑出 n ? k 的情形,从而利用归纳假设使问题获证.

成立的最小 k 值为( A. 2 B. 3

) C. 4

D. 5

2. 若命题 p (n) 对 n=k 成立, 则它对 n ? k ? 2 也成 立,又已知命题 p (2) 成立,则下列结论正确的是 A. p (n) 对所有自然数 n 都成立 B. p (n) 对所有正偶数 n 成立 C. p (n) 对所有正奇数 n 都成立 D. p (n) 对所有大于 1 的自然数 n 成立 3. 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式 1 1 1 127 成立,起始值至少应取为 1 ? ? ? ? n?1 ? 2 4 2 64 A.7 B. 8 C. 9 D. 10 * 4n? 2 2 n ?1 n ? N ,3 ? a 4. 对任意 都能被 14 整除,则最小 的自然数 a = . 5. 用数学归纳法证明等式 1 ? 2 ? 3 ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) 时 , 当 n ? 1 时 左边表达式是 ;从 k ? k ? 1 需增添的项的 是 .

※ 动手试试
练 1. 已知 f (n) ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ,求证: n

n f (2n ) ? (n ? N * ) 2

课后作业
1. 给出四个等式: 1=1 1-4=-(1+2) 1-4+9=1+2+3 1-4+9-16=-(1+2+3+4) ?? 猜测第 n 个等式,并用数学归纳法证明.

练 2. 证明不等式 | sin n? |? n | sin ? | (n ? N * )

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高二数学◆选修 2-2◆导学案

2. 用数学归纳法证明: 1 1 (1 ? 1)(1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 2n ? 1(n ? N * ) 3 2n ? 1

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