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2.3.1平面向量基本定理与2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 (1)


编号:001

自主学习型数学学科导学案 §2.3.1 平面向量基本定理 §2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示
班级: 姓名:

课型:新授课

课时:2 课时

主备人:张明蕾

教研组长:蒋海兵

时间: 2014-03-02

问题 2:如果两个向量不共线,则它们的位置关系我们怎么表示呢? 2.两向量的夹角与垂直::我们规定:已知两个非零向量 a b ,作 OA ? a , OB ? b ,则

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叫 时,

【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理;了解平面向量基本定理的意义; 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 【重难点】平面向量基本定理;正交分解下的坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 (一)知识链接: 复习 1:向量 b 、 a a ? 0 是共线的两个向量,则 a 、 b 之间的关系可以表示为

? 做向量 a 与 b 的夹角。如果 ?AOB ? ? , 则 ? 的取值范围是 ? ? 表示 a 与 b 同向;当 时,表示 a 与 b 反向;当

。当

时,表示 a 与 b 垂直。

?

记作: a ? b .在不共线的两个向量中, ? ? 90 ,即两向量垂直是一种重要的情形,把一个向量分解为 _____________,叫做把向量正交分解。 问题 3:平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示. 对于

直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?
3、向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同于两个_______作为基为基

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.

y, 底。 对于平面内的任一个向量, 由平面向量基本定理可知, 有且只有一对实数 x 、 使得____________,
这样,平面内的任一向量 a 都可由__________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标, 记作=___________此式叫做向量的坐标表示,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐 标。几个特殊向量的坐标表示: i =__________, j =__________, 0 =__________

复习 2:给定平面内任意两个向量 e1 、 e2 (如下图) ,请同学们作出向量 3e1 ? 2e2 、 e1 ? 2e2 .

(二)自主探究: (预习教材 P93—P96) 探究:平面向量基本定理

二、合作探究 学法引领:首先画图分析,然后寻找表示。 【例 1】 (见课本 P94 例 1)

学法指导: 在物理中我们研究了力的合成与分解,力的合成与分解互为逆运算,都符合平行四边形
法则:如果用表示两个共点力 F1 和 F2 的线段为邻边作平行四边形,那么合力 F 的大小和方向就可以 用 F1、F2 所夹的角的大小来表示。(注:已知分力要求合力,叫做力的合成。已知合力要求分力叫做 力的分解。) 即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算,同样遵循的 平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题,这是我们在物理中学过的知识。在数学中, 物理中的力,本质上就是我们数学中的向量,如果已知平面内的某一向量 m (其中 m 为非零向量) , 就可以按照平行四边形法则,将其分解到两个向量 e1 , e2 (其中 e1 , e2 为非零向量)两个方向。分 解到 e1 方向的向量记为 a ,则 a 与 e1 共线,即 a ? ?1 e1 ,分解到 e2 方向的向量记为 b ,则 b 与 e2 共线, 即 b ? ?2 e2 ,那么 m ? a ? b ? ?1e1 ? ?2 e2 . 问题 1:复习 2 中,平面内的任一向量是否都可以用形如 ?1 e1 ? ?2 e2 的向量表示呢? 1.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内两个 那么有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使 这一平面内所有向量的基底。

CD , E 、 F 分别是 DC 、 AB 的中点,设 AD ? a , 【例 2】已知梯形 ABCD 中, AB // DC ,且 AB ? 2

AB ? b 。试用 a, b 为基底表示 DC 、 BC .
的向量, a 是这一平面内的任一向量, 。其中,不共线的这两个向量 e1 , e2 叫做表示

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自主学习型数学学科导学案
【例 3】 (见课本 P96 例 2)

课型:新授课

课时:2 课时

主备人:张明蕾

教研组长:蒋海兵

时间: 2014-03-02

四、达标检测(A 组必做,B 组选做) A组 1. 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与 BD 的交点,下列向量组,其中可作为这个平行四边形所 在平面表示所有向量的基底的是( ① AD 与 AB A.①② ② DA 与 BC B.③④ ) ③ CA 与 DC C.①③ ④ OD 与 OB D.①④

2. 已知向量 e1 、 e2 不共线,实数 x 、 y 满足 ? 3x ? 4 y ? e1 ? ? 2 x ? 3 y? e2 ? 6e1 ? 3e2 ,则 x ? y 的值等于 ( 【例 4】已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, OA ? 4 3 , ?xOA ? 60 ,求向量 OA 的坐标.
(注: ?xOA 即为向量 OA 与 x 轴的正方向的夹角.)

) A. 3 B. ?3 C. 0 ) D. OC ? D. 2

3. 若 O 、 A 、 B 为平面上三点, C 为线段 AB 的中点,则( A. OC ? OA ? OB B. OC ?

1 OA ? OB 2

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C. AB ? 2OC

1 OA ? OB 2

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4.已知 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,且 AB =2 e1 + k e2 , CB = e1 +3 e2 , CD =2 e1 -

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? e2 ,如果 A 、 B 、 D 三点共线,则 k 的值为
B组 1、已知 AM 是 ?ABC 的 BC 边上的中线,若 AB = a , AC = b ,则 AM =( 【规律性方法总结】 A.

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1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ( a - b ) B.- ( a - b ) C.- ( a + b ) D. ( a + b ) 2 2 2 2

2、已知点 A (2,2) , B (-2,2) , C (4,6) , D (-5,6) , E (-2,-2) , F (-5,-6) ,在平面直 三、课堂反馈 1、在矩形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O ,若 BC ? 5e1 , DC ? 3e2 ,则 OC 等于多少? 角坐标系中,分别作出向量 AC 、 BD 、 EF ,并求出向量 AC 、 BD 、 EF 的坐标。

2、已知点 A 时坐标为(2,3) ,点 B 的坐标为(6,5) , O 为原点,则 OA =________, OB =_______. 3、已知向量 a 的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°,且 a ? 4 ,则 a 的坐标为__________. 4、已知两向量 e1 、 e2 不共线, a ? 2e1 ? e2 , b ? 3e1 ? 2? e2 ,若 a 与 b 共线,则实数 ? = .

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【学习(教学)反思】 : (反思静悟,体验成功)

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