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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:综合测试4 第4章]


第四章综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.由曲线 y=f (x)(f (x)≤0),直线 x=a,x=b(a<b)与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 S 等 于( ) A. ? f(x)dx

?a
b a

b

B.- ? f(x)dx

?a

b

C. ? ? f(x)dx-? ? adx
a

b

D.? ? f (x)dx-? ? bdx
a a

b

b

[答案] [解析]

B 由定积分的几何意义可知,S=-? f (x)dx.

?a

b

2.把区间[a,b](a<b)n 等分后,第 i 个小区间是( A.[ B.[ i-1 i , ]A n n i-1 i (b-a), (b-a)] n n i-1 i , a+ ] n n i-1 i (b-a),a+ (b-a)] n n D )
b

)

C.[a+

D.[a+ [答案]

3.下列等式不成立的是(

A. ? [mf (x)+ng(x)]dx=m? f (x)dx+n? g(x)dx

?a
b

b

?a

?a

b

B. ? [f (x)+1]dx=? f(x)dx+b-a

?a
b a

?a
b a

b

C. ? ? ? f(x)g(x)dx=? ? f (x)dx· ? g(x)dx
a

b

D. ?

0 2π ? -2πsinxdx+∫ 0 sinxdx ?-2πsinxdx=?



[答案] [解析]

C 由定积分的性质知选项 A、B、D 正确,故选 C.

4.(2013· 华池一中高二期中)? 2xdx 等于(

?1

2

) D.3

A.6 [答案] D

B.5

C.4

[解析] ? ? 2xdx=x |1 =3.
1

2

22

5.设物体以速度 v(t)=3t2 +t(单位 v:m/s ,t:s)做直线运动,则它在 0~4 s 内所走的 路程 s 为( A.70 m C.75 m [答案] [解析] B 12 4 1 4 2 3 3 2 所走的路程为? ?0 (3t +t)dt=(t +2t )|0 =(4 +2×4 )-0=72(m). ) B.72 m D.80 m

6.(2012· 北京丰台统一练习)从如图所示的正方形 OABC 区域内任取一个点 M(x,y), 则点 M 取自阴影部分的概率为( )

A. C.

1 2 1 4 B

B.

1 3 1 6

D.

[答案] [解析]

2 1 3 1 2 1 1 1 2 2 阴影部分的面积为 S=? 而正方形 OABC ?0 ( x-x )dx=(3x -3x )|0 =3-3=3,

3

1 的面积为 1,故点 M 取自阴影部分的概率为 . 3 7. 已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn , 且 S10 =? ? (1+2x)dx,S20 =17,则 S30 等于(
0 3

)

A.15 C.25 [答案] [解析] A
2 3 S10 =? ? (1+2x)dx=(x+x )|0 =12 0 3

B.20 D.30

又{an }为等差数列, ∴2(S20 -S10 )=S10 +S30 -S20 . ∴S30 =3(S20 -S10)=3×(17-12)=15.
2 2 21 2 x 8.(2013· 江西理,6)若 S1 =? ?1 x dx,S2 =? ?1 x dx,S3 =? ?1 e dx,则 S1 ,S2 ,S3 的大小关系

为(

)

A.S1 <S2 <S3 C.S2 <S3 <S1 [答案] [解析] B x3 7 2 S1 =? x2 dx= |2 1= . ?1 3 3

B. S2 <S1 <S3 D. S3 <S2 <S1

21 2 S2 = ? ?1 x dx=lnx| 1 =ln2- ln1= ln2. x x2 2 S3 = ? ? e dx=e |1 =e -e=e(e-1). 1 2

∵e>2.7,∴S3 >3>S1 >S2 . 故选 B. 9.若 y=? sint)dt,则 y 的最大值是( ? (sint+cos t·
0 x

)

A.1 C.- 7 2 B 1 先将 sintcost 化简为 sin2t. 2

B.2 D.0

[答案] [解析]

1 x? ? y=? ?0 ?sint+ 2sin2t? dt 1 1 5 ?x =? ?-cos t-4cos2t?|0 =-cos x-4cos2x+4= 1 3 1 - cos2 x-cos x+ =- (cos x+1)2 +2. 2 2 2 当 cos x=-1 时,ymax=2.
2 10. ? ? |x -4|dx 等于( 0 3

) B. 22 3 25 3

A. C.

21 3 23 3 C 令 f(x)=|x2 -4|=

D.

[答案] [解析]
2

?x -4,x<-2或x>2, ? ? 2 ? ?4-x ,-2≤x≤2,
2 2 2 ∴? ? |x -4|dx=? ? (4-x )dx+? ? (x -4)dx 0 0 2 3 2 3

1 1 3 3 =(4x- x3 )|2 0 +( x -4x)|2 3 3



23 . 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.(2012· 山东理,15)设 a>0. 若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积 为 a ,则 a=________. [答案] [解析] 4 9 本题考查了定积分求解封闭图形的面积.S=
3 3
2

? ?0

a

2 2 4 a 2 xdx= x2 |0 = a2 =a ,解得 a= . 掌握定积分的计算方法即可. 3 3 9
?10 ? ? 3x+4 ?

12.一物体在力 F (x)=?

?0≤x≤2? ?x>2?

(单位:N)的作用下,沿与力 F 相同的方向

从 x=0 处运动到 x=4(单位:m)处,则力 F (x)做的功为________J. [答案] [解析] 46 3 2 4 2 4 2 4 W=? ?0 F(x)dx=? ?0 10dx+ ? ?2 (3x+4)dx=10x|0 +(2x +4x)|2 =46(J).

13.抛物线 y=-x2 +4x-3 及其在点 A (1,0)和点 B (3,0)处的切线所围成的图形面积为 ________. [答案] [解析] 2 3 由 y′=-2x+4,得在点 A ,B 处切线的斜率分别为 2 和-2.

则两直线方程分别为 y=2x-2 和 y=-2x+6. 由?
?y=2x-2, ? ? y=-2x+6, ?

得?
3 1

?x=2, ? ?y=2, ?
2

记点 C(2,2).

所以 S=S△ ABC-? ? (-x +4x-3)dx 1 1 3 4 2 2 ??3 = ×2×2- ? ? -3x +2x -3x??1 =2-3=3. 2 14.(2014· 山东省菏泽市期中)函数 y=x2 与 y=kx(k >0)的图象所围成的阴影部分的面积 9 为 ,则 k =________. 2 [答案] [解析] 3 由?
?y=kx, ? ?y=x , ?
2

解得?

?x=0, ? ?y=0, ?

或?

?x=k , ? ? y=k . ?
2

1 2 1 3 k 1 3 1 3 1 3 9 k 2 由题意得,? ?0 (kx-x )dx=(2kx -3x )|0 =2k -3k =6k =2,∴k =3. 15.由曲线 y= x,直线 x=1 及 x 轴所围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的

体积为________. [答案] [解析] π 2 π 21 π 1 y= x与 x=1 相交于(1,1)点,则所求旋转体的体积为? ?0 πxdx=2x | 0=2 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.求下列定积分:
a 2 (1)? ? -a x dx(a>0);

(2)? (t+2)dx.

?1

2

[解析] 得?
a

(1)由 x2 =?
a 0

?x, ? ? -x ?

x≥0, x<0,
0

?- a

x2 dx=? ? xdx+ ?

?- a

(-x)dx

1 2 a 1 20 2 = x | 0- x |- a=a , 2 2 (2)? (t+2)dx=(tx+2x)|1

?1

2

2

=(2t+4)-(t+2)=t+2. 1 17.一个物体做变速直线运动,速度 v(m/s)与时间 t(s)的关系如图所示,求该物体在 s 2 至 6 s 间运动的路程.

[分析]

从题图可知, 物体在 t∈[0,1]时做加速运动, 在 t∈[1,3)时做匀速运动; 在 3≤t≤6

时也做加速运动,但加速度不同于 t∈[0,1)时,即 0≤t≤6 时,v(t)是一个分段函数,故应分 三段求积分才能求出路程. [解析] 可知物体的速度函数为

2t,t∈[0,1?, ? ?2,t∈[1,3?, v(t)=? t ? ?3+1,t∈[3,6]. ∴由变速直线运动的路程公式,可得:

1 49 ∴物体在 s 至 6 s 间的运动路程为 m. 2 4 18.计算由直线 y=0 和曲线 y=x -6x+5 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体 的体积.(π≈3.14,精确到 0.01)
2

[解析] 的体积为

由题意,所围成的平面图形如图中的阴影部分,则绕 x 轴旋转一周所得旋转体

V =? π(x2 -6x+5)2 dx

?1
5

5

=π? (x -6x+5) dx

?1
5 1

2

2

=π? ? (x -12x +46x -60x+25)dx 1 46 =π( x5 -3x4 + x3 -30x2 +25x)|5 1 5 3 ≈107.18. 19.由直线 y=kx(k >0),直线 y=0,x=1 所围成的图形面积为 S1 ,由曲线 y=3-3x , 直线 x=0,y=0 所围成的图形面积为 S2 ,当 S1 =S2 时,求 k 的值及直线的方程. [解析] 1 21 k 1 依题意得 S1 =? ?0 kxdx=2kx 0 =2,
1 2

4

3

2

S2 =? (3-3x2 )dx=(3x-x3 )1 0 =2,

?0

k ∵S1 =S2 ,∴ =2,解得 k =4,则直线的方程为 y=4x. 2 20.用定积分表示曲线 y=x ,x=k ,x=k +2 及 y=0 所围成的图形的面积,并确定 k 取何值时,使所围图形的面积为最小. [分析] [解析] 画出草图,求出区间上的定积分,再求函数最值. 如图.
2

k+ 2 2 ∴s=∫k x dx=

x k+ 2 ?k +2? k = - 3k 3 3
3

3

3



?k +2-k ?[?k +2?2 +?2+k?k +k2 ] 3

2 2 4 2 2 2 = (3k +6k +4)=2? k +2k + ? =2(k +1) + . ? ? 3 3 3 ∴当 k =-1 时,S 最小. 21.(2013· 广东省中山一中月考)设 f (x)是二次函数,其图象过点(0,1),且在点(-2,f (- 2))处的切线方程为 2x+y+3=0. (1)求 f(x)的表达式; (2)求 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积; (3)若直线 x=-t(0<t<1)把 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. [解析] (1)设 f (x)=ax2 +bx+c,

∵其图象过点(0,1),∴c=1,
?f ?-2?=1, ? 又∵在点(-2,f(-2))处的切线方程为 2x+y+3=0,∴? ?f ′? -2? =-2. ?

∵f ′(x)=2ax+b,∴?

2 ? a· ?-2? +b· ?-2?+1=1, ?

? 2a· ?-2?+b=-2. ?

∴a=1,b=2,故 f (x)=x2 +2x+1.

(2)依题意,f (x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示, 故所求面积 S=? (3)依题意,有 1 1 1 0 S=? (x2 +2x+1)dx=( x3 +x2 +x)|0 = , -t ?-t 2 3 6 1 1 即 t3 -t2 +t= , 3 6 ∴2t3 -6t2 +6t-1=0,∴2(t-1)3 =-1,∴t=1- 1 3 2 .
0 2 3 2 0 ?-t (x +2x+1)dx=(3x +x +x)|- 1=3.

1

1


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