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人教版高中数学《排列组合》教案[1] 2


排列与组合
一、教学目标 1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问 题 3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和 解决问题的能力 二、教材分析 1.重点:加法原理,乘法原理。 解决方法:利用简单的举例得 到一般的结论. 2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方 法比较它们的异同. 三、活动设计 1.活动:思考,讨论,对比,练习. 2.教具:多媒体课件. 四、教学过程正 1.新课导入 随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标 准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完 成,或几个过程才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问 题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的 关键.

2.新课 我们先看下面两个问题. (l)从甲地到乙地, 可以乘火车, 也可以乘汽车, 还可以乘轮船. 一 天中,火车有 4 班,汽车有 2 班,轮船有 3 班,问一天中乘坐这些 交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 板书:图

因为一天中乘火车有 4 种走法,乘汽车有 2 种走法,乘轮船有 3 种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些 交通工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3=9 种不同的走法. 一般地,有如下原理: 加法原理:做一件事,完成它可以有 n 类办法,在第一类办 法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1 十 m2 十?十 mn 种不同的方法. (2) 我们再看下面的问题: 由 A 村去 B 村的道路有 3 条,由 B 村去 C 村的道路有 2 条.从 A 村经 B 村去 C 村,共有多少种不同的走法? 板书:图

这里,从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法,按这 3 种走法中的每一

种走法到达 B 村后,再从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法.因此,从 A 村经 B 村去 C 村共有 3X2=6 种不同的走法. 一般地,有如下原理: 乘法原理:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1 m2?mn 种不同的方法. 例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书,下层放有 5 本不同的语 文书. 1)从中任取一本,有多少种不同的取法? 2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法? 解: (1)从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上 层取数学书,可以从 6 本书中任取一本,有 6 种方法;第二类办法是 从下层取语文书,可以从 5 本书中任取一本,有 5 种方法.根据加法 原理,得到不同的取法的种数是 6 十 5=11. 答:从书架 L 任取一本书,有 11 种不同的取法. (2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤 完成:第一步取一本数学书,有 6 种方法;第二步取一本语文书,有 5 种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 N=6X5=30. 答:从书架上取数学书与语文书各一本,有 30 种不同的方法. 练习: 一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币 1)从中任取一枚,有多少种不同取法? 币各一枚,有多少种不同取法? 2)从中任取明清古

例 2:(1)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字允许重复 三位数? (2)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三位 数? (3)由数字 0,l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三 位数? 解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定 百位上的数字,从 5 个数字中任选一个数字,共有 5 种选法;第二步 确定十位上的数字,由于数字允许重复, 这仍有 5 种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有 5 种 选法. 根据乘法原理, 得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125. 答:可以组成 125 个三位数. 练习: 1、从甲地到乙地有 2 条陆路可走,从乙地到丙地有 3 条陆路可 走,又从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走. (1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法? (2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着 2O 张分别标有数 1、2、?、19、20 的红卡片,从中任抽一张,把上面的数作为被加 数;在另一个黄口袋中装着 10 张分别标有数 1、2、?、9、1O 的黄 卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出

多少个加法式子? 3.题 2 的变形 4. 由 0-9 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时 用加法,分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习 练习 1. (口答)一件工作可以用两种方法完成.有 5 人会用第一种 方法完成,另有 4 人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工 作,共有多少种选法? 2. 在读书活动中, 一个学生要从 2 本科技书、 2 本政治书、 3 本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法? 3.乘积(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4) (c1+c2+c3+c4+c5)展开后 共有多少项? 4.从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通; 从甲地到丁地有 4 条路可通,从丁地到丙地有 2 条路可通.从甲地到 丙地共有多少种不同的走法? 5.一个口袋内装有 5 个小球,另一个口袋内装有 4 个小球,所 有这些小球的颜色互不相同. (1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法? (2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 作业:

排列 【复习基本原理】 1.加法原理 做一件事,完成它可以有 n 类办法,第一类办法

中有 m1 种不同的方法,第二办法中有 m2 种不同的方法??,第 n 办 法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+?mn 种不同的方法. 2.乘法原理 做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一 步

有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步 有 mn 种不同的方法,.那么完成这件事共有 N=m1?m2?m3???mn 种不同的方法. 3.两个原理的区别: 【练习 1】 1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少 种不同的机票? 2.由数字 1、2、3 可以组成多少个无重复数字的二位数?请一一 列出. 【基本概念】 1. 什么叫排列?从 n 个不同元素中, 任取 m( m ? n )个元素 (这

里的被取元素各不相同)按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同 ..... 元素中取出 m 个元素的一个排列 ....

2. 3. 4.

什么叫不同的排列?元素和顺序至少有一个不同. 什么叫相同的排列?元素和顺序都相同的排列. 什么叫一个排列?

【例题与练习】 1. 由数字 1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的三位数?

2.已知 a、b、c、d 四个元素,①写出每次取出 3 个元素的所有 排列;②写出每次取出 4 个元素的所有排列. 【排列数】 1. 定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素的所有排

m 列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 pn 表示.

用符号表示上述各题中的排列数. 2.
1 pn ? 4 pn ? m 排列数公式: pn =n(n-1)(n-2)?(n-m+1) 2 ; pn ? 3 ; pn ?



; 计算: p52 =
4 ; p5 =



2 = p15

; 【课后检测】 1. ① 写出: 从五个元素 a、b、c、d、e 中任意取出两个、三个元素的

所有排列; ② ③ 由 1、2、3、4 组成的无重复数字的所有 3 位数. 由 0、1、2、3 组成的无重复数字的所有 3 位数.

2.

计算: ② p63
4 2 ③ p8 ? 2 p8

3 ① p100



8 p12 7 p12

排 列 课题:排列的简单应用(1) 目的:进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公 式,会用排列数公式计算和解决简单的实际问题. 过程: 一、复习: (引导学生对上节课所学知识进行复习整理) 1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题; 2.排列数的定义,排列数的计算公式
m m ? An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) 或 An

n! (n ? m)!

(其中 m≤n

m,n?Z) 3.全排列、阶乘的意义;规定 0!=1 4. “分类” 、 “分步”思想在排列问题中的应用. 二、新授: 例 1:⑴ 7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法? 解:问题可以看作:7 个元素的全排列—— A77 =5040 ⑵ 7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040 ⑶ 7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不 同的排法?

解:问题可以看作:余下的 6 个元素的全排列—— A66 =720 ⑷ 7 位同学站成一排, 甲、 乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有 A22 种;第二 步 余下的 5 名同学进行全排列有 A55 种 则共有 A22 A55 =240 种排列方 法 ⑸ 7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有 多少种? 解法一(直接法) :第一步 从(除去甲、乙)其余的 5 位同 学中选 2 位同学站在排头和排尾有 A52 种方法;第二步 从余下的 5 位 同学中选 5 位进行排列(全排列)有 A55 种方法 所以一共有 A52 A55 = 2400 种排列方法. 解法二: (排除法)若甲站在排头有 A66 种方法;若乙站在排尾 有 A66 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有 A55 种方法.所以甲不 能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有 A77 - 2 A66 + A55 =2400 种. 小结一:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法” 或“排除法” ,对某些特殊元素可以优先考虑. 例 2 : 7 位同学站成一排. ⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66 种方法;再将甲、乙两个同学 “松绑”进行排列有 A22 种方法.所以这样的排法一共有 A66 A22 =1440 ⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?

解:方法同上,一共有 A55 A33 =720 种. ⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有 多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时 一共有 6 个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾,有 A52 种方法;将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行 排列有 A22 种方法.所以这样的排法一共有 A52 A44 A22 =960 种方法. 解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一 共有 6 个元素,若丙站在排头或排尾有 2 A55 种方法,所以丙不能站在 排头和排尾的排法有 ( A66 ? 2 A55 ) ? A22 ? 960种方法. 解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一 共有 6 个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个
1 位置选择共有 A4 种方法,再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55 种 1 2 5 方法,最后将甲、乙两同学“松绑” ,所以这样的排法一共有 A4 A2 A5

=960 种方法. 小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法” (先捆后松) . 例 3: 7 位同学站成一排. ⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种? 解法一: (排除法) A77 ? A66 ? A22 ? 3600 解法二: (插空法)先将其余五个同学排好有 A55 种方法,此时他 们留下六个位置(就称为“空”吧) ,再将甲、乙同学分别插入这六

个位置(空)有 A62 种方法,所以一共有 A55 A62 ? 3600种方法. ⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? 解:先将其余四个同学排好有 A44 种方法,此时他们留下五个“空” , 再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A53 种方法,所以一 共有 A44 A53 =1440 种. 小结三:对于不相邻问题,常用“插空法” (特殊元素后考虑) . 三、小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻) ; ⑶某些元素要求分离(即不能相邻) ; 2.基本的解题方法: ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或 特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法) ; ⑵ 某些元素要求必须相邻时, 可以先将这些元素看作一个元素, 与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆 绑法” ; ⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相 邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法” ; ⑷ 在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式, 从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基. 四、作业: 《课课练》之“排列 课时 1—3”

课题:排列的简单应用(2) 目的:使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问 题,进一步培养分析问题、解决问题的能力,同时让学生学会一题多 解. 过程: 一、复习: 1.排列、排列数的定义,排列数的两个计算公式; 2.常见的排队的三种题型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻)——捆绑法; ⑶某些元素要求分离(即不能相邻)——插空法. 3.分类、分布思想的应用. 二、新授: 示例一: 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,

如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上, 则共有 多少种不同的排法?
1 5 解法一: (从特殊位置考虑) A9 A9 ? 136080

解法二: (从特殊元素考虑)若选: 5 ? A95 则共有 5 ? A95 + A96 =136080
6 5 解法三: (间接法) A10 ? A9 ? 136080

若不选: A96

示例二: ⑴ 八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,

丙要排在后排,则共有多少种不同的排法?
1 略解:甲、乙排在前排 A42 ;丙排在后排 A4 ;其余进行全排列 A55 . 1 5 所以一共有 A42 A4 =5760 种方法. A5

⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排,其中 a, b 两种商品必须 排在一起,而 c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种? 略解: ( “捆绑法”和“插空法”的综合应用)a, b 捆在一起与 e 进行排列有 A22 ; 此时留下三个空,将 c, d 两种商品排进去一共有 A32 ;最后将 a, b “松绑”有 A22 .所以一共有 A22 A32 A22 =24 种方法. ⑶ 6 张同排连号的电影票,分给 3 名教师与 3 名学生,若要求 师生相间而坐,则不同的坐法有多少种? 略解: (分类)若第一个为老师则有 A33 A33 ;若第一个为学生则有
3 3 A3 A3

所以一共有 2 A33 A33 =72 种方法. 示例三: ⑴ 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字的正整 数?
1 2 3 4 5 略解: A5 ? A5 ? A5 ? A5 ? A5 ? 325

⑵ 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字,并且 比 13 000 大的正整数? 解法一:分成两类,一类是首位为 1 时,十位必须大于等于 3 有
1 4 1 3 A4 种方法.所以一共有 A3 A3 种方法;另一类是首位不为 1 ,有 A4

1 4 1 3 A4 ? 114个数比 13 000 大. A3 A3 ? A4

解法二: (排除法)比 13 000 小的正整数有 A33 个,所以比 13 000 大的正整数有 A55 ? A33 =114 个. 示例四: 用 1,3,6,7,8,9 组成无重复数字的四位数,由小 到大排列. ⑴ 第 114 个数是多少? ⑵ 3 796 是第几个数?

解:⑴ 因为千位数是 1 的四位数一共有 A53 ? 60 个,所以第 114 个数的千位数应该是“3” ,十位数字是“1”即“31”开头的四位数 有 A42 ? 12 个;同理,以“36” 、 “37” 、 “38”开头的数也分别有 12 个, 所以第 114 个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第 6 个位 置上,所以“3 968” 是第 114 个数. ⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有 60+12+12=84 个,而 3 796 在“37”开头的四位数中排在第 11 个(倒数第二个) ,故 3 796 是第 95 个数. 示例五: 用 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,其中 ⑴ 能被 25 整除的数有多少个? ⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个? 解: ⑴ 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25,50 两种,
1 1 末尾为 50 的四位数有 A42 个, 末尾为 25 的有 A3 所以一共有 A42 + A3 个, 1 1 A3 A3 =21 个.

注: 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25,50,75,00 四种情况.

1 3 ⑵ 用 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的四位数, 一共有 A5 A5 ? 300

个.因为在这 300 个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可 ..
1 3 A5 ? 150 个. 能的 ” ,所以十位数字比个位数字大的有 A5 .. 2

1

三、小结:能够根据题意选择适当的排列方法,同时注意考虑问 题的全面性,此外能够借助一题多解检验答案的正确性. 四、作业: “3+X”之 排列 练习 组 合 ⑴ 课题:组合、组合数的概念 目的:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式. 过程: 一、复习、引入: 1.复习排列的有关内容: 定 义 排 列 点 特 相 同排列 式 公

以上由学生口答. 2.提出问题: 示例 1: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项 活动,其中 1 名同学参加上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有 多少种不同的选法?

示例 2: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动, 有多少种不同的选法? 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定 的顺序“排列” ,而示例 2 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的. 引出课题:组合 问题. ..

二、新授: 1.组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 注:1.不同元素 元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题: ⑴ 从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览; (组合) ⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部 书记. (排列) 2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数. 用 符号 C nm 表示. 例如: 示例 2 中从 3 个同学选出 2 名同学的组合可以为: 甲乙, 甲丙,乙丙.即有 C32 ? 3 种组合. 又如:从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览的组合: AB,AC,AD,BC,BD,CD 一共 6 种组合,即: C 42 ? 6 2. “只取不排”——无序性 3.相同组合:

在讲解时一定要让学生去分析: 要解决的问题是排列问题还是 组合问题,关键是看是否与顺序有关.那么又如何计算 C nm 呢? 3.组合数公式的推导 ⑴提问: 从 4 个不同元素 a, b, c, d 中取出 3 个元素的组合数 C 43 是多少呢? 启发: 由于排列是先组合再排列 ,而从 4 个不同元素中取出 3 ......... 个元素的排列数 A43 可以求得,故我们可以考察一下 C 43 和 A43 的关系, 如下: 组 合
abc abd acd bcd ? ? ? ? abc, bac, cab, dab, dac, dbc, abd, bad, acd, cad, bcd, cbd,

排列
acb, adb, adc, bdc, bca, bda, cda, cdb, cba dba dca dcb

由此可知:每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A43 ,可以分如下两步:① 考 虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有 C 43 个;② 对每一个 组合的 3 个不同元素进行全排列, 各有 A33 种方法. 由分步计数原理得:
3 3 3 = C4 ,所以: C 43 ? A4 ? A3
3 A4 . 3 A3

⑵ 推广: 一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列 数 Anm ,可以分如下两步:① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
m 组合数 C nm ;② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据分布计 m 数原理得: Anm = C nm ? Am

⑶ 组合数的公式:

m Cn ?

m An n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) ? m m! Am



Cm n?

n! m!(n ? m)!

(n, m ? N ? , 且m ? n)

⑷ 巩固练习: 1.计算:⑴ C74 2.求证: C m n?
7 ⑵ C10

m ? 1 m ?1 ?C n n?m

1 2 x?3 3.设 x ? N ? , 求 C2xx?? 3 ? C x ?1 的值.

2x ? 3 ? x ? 1 解:由题意可得: ? ? ?x ? 1 ? 2 x ? 3

即:2≤x≤4

∵ x ? N? ,

∴x=2 或 3 或 4

当 x=2 时原式值为 7;当 x=3 时原式值为 7;当 x=2 时原式 值为 11. ∴所求值为 4 或 7 或 11. 4.例题讲评 例 1. 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有 多少种不同的分 法? 略解: C62 ? C42 ? C22 ? 90 例 2.4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人实践 活动小组,问组成方法共有多少种? 解法一: (直接法)小组构成有三种情形:3 男,2 男 1 女,1
1 1 2 1 1 2 男 2 女,分别有 C 43 ,C42 ? C6 ,C 4 ,所以一共有 C 43 + C42 ? C6 + C4 = ? C6 ? C6

100 种方法.

3 3 解法二: (间接法) C10 ? C6 ? 100

5.学生练习: (课本 99 练习) 三、小结: 定 义 排 列 组 合 此外,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定 是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理. 四、作业:课堂作业:教学与测试 75 课 课外作业:课课练 课时 7 和 8 组 合 ⑵ 课题:组合的简单应用及组合数的两个性质 目的:深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计 算公式;掌握组合数的两个性质,并且能够运用它解决一些简单的应 用问题. 过程: 一、复习回顾: 1.复习排列和组合的有关内容: 强调:排列——次序性;组合——无序性. 点 特 相 同组合 式 公

2.练习一: 练习 1:求证: C nm ?
n m ?1 m m?1 C n ?1 . (本式也可变形为: mCn ? nCn ?1 ) m

4 5 3 7 练习 2:计算:① C10 和 C10 ; ② C73 ? C62 与 C63 ;③ C11 ? C11

答案:① 120,120

② 20,20

③ 792

(此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础. ) 3.练习二: ⑴ 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少 条? ⑵ 平面内有 10 个点, 以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多 少条?
2 答案:⑴ C10 ? 45 (组合问题) 2 ⑵ A10 ? 90 (排列问题)

二、新授: 1.组合数的 性质 1: Cnm ? Cnn?m . 理解: 一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下的 n ? m 个元素的每一个组合一一对应 ,所以从 n 个不同元素中取出 m 个 .... 元素的组合数, 等于从这 n 个元素中取出 n ? m 个元素的组合数, 即:
m n?m .在这里,我们主要体现: “取法”与“剩法”是“一一对 Cn ? Cn

应”的思想. 证明:∵ C nn?m ?
n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!



m Cn ?

n! m!(n ? m)!
0 Cn ?1

∴ Cnm ? Cnn?m

注:1? 我们规定

2? 等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标. 3? 此性质作用:当 m ? n 时,计算 C nm 可变为计算 Cnn?m ,能够使运
2

算简化.
2001 2002 ?2001 1 例如: C2002 = C2002 = C2002 =2002.

4? Cnx ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n 2.示例一: (课本 101 例 4)一个口袋内装有大小相同的 7 个白 球和 1 个黑球. ⑴ 从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出 3 个球, 使其中含有 1 个黑球, 有多少种取法? ⑶ 从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解:⑴ C83 ? 56 ⑵ C72 ? 21 ⑶ C73 ? 35

引导学生发现: C83 ? C72 ? C73 .为什么呢? 我们可以这样解释:从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球,可 以分为两类:一类含有 1 个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计 数原理,上述等式成立. 一般地, 从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数是 Cnm?1 ,这些组合可以分为两类:一类含有元素 a1 ,一类不含 有 a1 .含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m ?1 个元素 与 a1 组成的,共有 Cnm?1 个;不含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元 素中取出 m 个元素组成的,共有 C nm 个.根据分类计数原理,可以得

到组合数的另一个性质.在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳 思想, “含与不含其元素”的分类思想. 3.组合数的 性质 2: Cnm?1 = C nm + Cnm?1 . 证明:
m m ?1 Cn ? Cn ?

n! n! ? m!(n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! ? ? ? n!(n ? m ? 1) ? n! m m!(n ? m ? 1)! (n ? m ? 1 ? m)n! m! (n ? m ? 1)! (n ? 1)! m! (n ? m ? 1)!

m ? Cn ?1

∴ Cnm?1 = C nm + Cnm?1 . 注:1? 公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等 于下标比原下标多 1 而上标与高的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二 项式定理”时,我们会看到它的主要应用. 4.示例二:
3 4 5 6 ⑴ 计算: C7 ? C7 ? C8 ? C9 n n n?1 n ?2 ⑵ 求证: Cm ? 2 = C m + 2Cm + C m x ?1 2 x ?3 ⑶ 解方程: C13 ? C13
?2 x ?3 ⑷ 解方程: C xx? 2 ? C x?2 ?

1 3 Ax ?3 10

0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 ⑸ 计算: C4 和 C50 ? C5 ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5

0 1 2 n?1 n 推广: C n ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? Cn ? 2n

5.组合数性质的简单应用: 证明下列等式成立:

⑴ (讲解) Cnk?1 ? Cnk?2 ? Cnk?3 ? ? ? Ckk?1 ? Ckk ? Cnk ?1
?1 ⑵ (练习) Ckk ? Ckk?1 ? Ckk?2 ? ? ? Ckk?n ? Cnk? k ?1
1 2 3 n 0 1 n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nC n ? (C n ? Cn ? ? ? Cn ) ⑶ Cn

n 2

6.处理《教学与测试》76 课例题 三、小结:1.组合数的两个性质; 2.从特殊到一般的归纳思想. 四、作业: 课堂作业: 《教学与测试》76 课 课外作业:课本习题 10.3;课课练课时 9 组 合 ⑶ 课题:组合、组合数的综合应用⑴ 目的:进一步巩固组合、组合数的概念及其性质,能够解决一些 较为复杂的组合应用问题,提高合理选用知识的能力. 过程: 一、知识复习: 1.复习排列和组合的有关内容: 依然强调:排列——次序性;组合——无序性. 2.排列数、组合数的公式及有关性质 性质 1: Cnm ? Cnn?m 性质 2: Cnm?1 = C nm + Cnm?1

?1 常用的等式: Ck0 ? Ck0?1 ? Ckk ? Ckk? 1 ?1

3.练习:处理《教学与测试》76 课例题 二、例题评讲: 例 1.100 件产品中有合格品 90 件,次品 10 件,现从中抽取 4

件检查. ⑴ 都不是次品的取法有多少种? ⑵ 至少有 1 件次品的取法有多少种? ⑶ 不都是次品的取法有多少种?
4 解:⑴ C90 ; ? 2555190 4 4 1 3 2 2 3 1 4 ⑵ C100 ; ? C90 ? C10 C90 ? C10 C90 ? C10 C90 ? C10 ? 1366035 4 4 1 3 2 2 3 1 4 ⑶ C100 . ? C10 ? C90 C10 ? C90 C10 ? C90 C10 ? C90 ? 3921015

例 2.从编号为 1,2,3,?,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使得这 5 个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取 法?
1 4 3 2 解:分为三类:1 奇 4 偶有 C6 C5 ;3 奇 2 偶有 C6 C5 ;5 奇 1

偶有 C65
1 4 3 2 5 所以一共有 C6 C5 + C6 C5 + C6 ? 236 .

例 3.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作;有 4 名 青年能胜任德语翻 译工作(其中有 1 名青年两项工作都能胜任) ,现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其中 3 名从事英语翻译工作,2 名从事德语 翻译工作,则有多少种不同的选法? 解:我们可以分为三类: ① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有 C42C32 ;
1 ② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有 C 43C3 ; 3 2 ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有 C4 C3 .

1 3 2 所以一共有 C42C32 + C 43C3 + C4 C3 =42 种方法.

例 4.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲 不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ?
1 2 1 1 解法一: (排除法) C62C42 ? 2C5 C4 ? C4 C3 ? 42
1 2 解法二: 分为两类: 一类为甲不值周一, 也不值周六, 有 C4 C4 ; 1 2 2 2 另一类为甲不值周一,但值周六,有 C42C32 .所以一共有 C 4 C 4 + C4 C3 =

42 种方法. 例 5.6 本不同的书全部送给 5 人,每人至少 1 本,有多少种不 同的送书方法? 解:第一步从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一 个元素有 C62 种方法;第二步将 5 个“不同元素(书) ”分给 5 个人有
5 种方法.根据分步计数原理,一共有 C62 A55 =1800 种方法. A5

变题 1:6 本不同的书全部送给 5 人,有多少种不同的送书方法? 变题 2: 5 本不 同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同 . 的送书方法? 变题 3: 5 本相 同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同 . 的送书方法?
5 5 答案:1. 56 ? 15625; 2. A6 ? 720; 3. C6 ? 6.

三、小结:1.组合的定义,组合数的公式及其两个性质; 2.组合的应用:分清是否要排序. 四、作业: 《3+X》 组合基础训练 《课课练》课时 10 组合四

组 合 ⑷ 课题:组合、组合数的综合应用⑵ 目的:对排列组合知识有一个系统的了解,掌握排列组合一些常 见的题型及解题方法, 能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组 合问题. 过程: 一、知识复习: 1.两个基本原理; 2.排列和组合的有关概念及相关性质. 二、例题评讲: 例 1.6 本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: ⑴ 分给甲、乙、丙三人,每人两本; ⑵ 分为三份,每份两本; ⑶ 分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; ⑷ 分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; ⑸ 分给甲、乙、丙三人,每人至少一本. 解:⑴ 根据分步计数原理得到: C62C42C22 ? 90种. ⑵ 分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C62C42C22 种方法,这个过程 可以分两步完成:第一步分为三份,每份两本,设有 x 种方法;第二 步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33 种方法.根据分步计数原 理可得:C62C42C22 ? xC33 ,所以 x ? 本一共有 15 种方法.
2 2 2 C6 C4 C2 ? 15 .因此分为三份,每份两 3 A3

注:本题是分组中的“均匀分组 ”问题. ....
1 2 3 ⑶ 这是“不均匀分组”问题,一共有 C6 C5 C3 ? 60 种方法. 1 2 3 3 ⑷ 在⑶的基础上在进行全排列,所以一共有 C6 C5 C3 A3 ? 360种方

法. ⑸ 可以分为三类情况:①“2、2、2 型”即⑴中的分配情况, 有 C62C42C22 ? 90 种方法;②“ 1 、 2 、 3 型”即⑷中的分配情况,有
1 2 3 3 ,有 C64 A33 ? 90 种方法.所以 C6 C5 C3 A3 ? 360种方法;③“1、1、4 型”

一共有 90+360+90=540 种方法. 例 2.身高互不相同的 7 名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自 左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种? 解: (插空法)现将其余 4 个同学进行全排列一共有 A44 种方法, 再将甲、乙、丙三名同学插入 5 个空位置中(但无需要进行排列)有
3 种方法.根据分步计数原理,一共有 A44 C53 =240 种方法. C5

例 3.⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种 不同的放法? ⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法 有多少种? 解:⑴ 根据分步计数原理:一共有 4 4 ? 256 种方法. ⑵(捆绑法)第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一 起看成一个元素有 C 42 种方法,第二步从四个不同的盒取其中的三个 将球放入有 A43 种方法.所以一共有 C 42 A43 =144 种方法. 例 4.马路上有编号为 1,2,3,?,10 的十盏路灯,为节约用

电又不影响照明,可以把其中 3 盏灯关掉,但不可以同时关掉相邻的 两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,有多少种不同的关灯 方法? 解: (插空法)本题等价于在 7 只亮着的路灯之间的 6 个空档中 插入 3 只熄掉的灯,故所求方法总数为 C63 ? 20 种方法. 例 5.九张卡片分别写着数字 0,1,2,?,8,从中取出三张排 成一排组成一个三位数,如果 6 可以当作 9 使用,问可以组成多少个 三位数?
1 1 1 解:可以分为两类情况:① 若取出 6,则有 2( A82 ? C2 C7 C7 ) 种 1 2 方法;②若不取 6,则有 C7 A7 种方法.根据分类计数原理,一共有 1 1 1 1 2 2( A82 ? C2 C7 C7 ) + C 7 A7 =602 种方法.

三、小结:


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