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等差等比数列经典习题


等差等比数列习题
一 数列的概念

n (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为____________. n ? 156 1 2.在数列 {an } 中, a n ? ,且 Sn=9,则 n=_____________. n ? n ?1 na 3.设数列 {an } , a n ? ,其中 a、b、c 均为正数,则此数列 ( ) nb ? c
1. 已知 an ?
2

A

递增

B 递减

C 先增后减

D 先减后增

4.设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 , (1)求数列 {an } 的首项和公比; (2)求数列 {Tn } 的通项公式.

5. 若 数 列

?xn ?

满 足 l g xn?1 ? ? 1

xln g? n ? N ? ? , 且 x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 100 , 则

lg ? x101 ? x102 ??? x200 ? ? _____________________
二 等差数列和等比数列 1.判断等差等比数列的方法:

an ? an?1 ? d , ?n ? 2? 或 an?1 ? an ? d , ?n ? 1? ? ?an ? 是等差数列
an a ? q, ?n ? 2, q ? 0? 或 n?1 ? q, ?n ? 1, q ? 0? ? ?an ? 是等比数列 an?1 an
2 例:数列 {an } 是等比数列,下列四个命题:① {an } 、 {a2 n } 是等比数列;② {ln an } 是等差数

1 列;③ { } 、 {| an |} 是等比数列;④ {kan } 、 {an ? k} (k ? 0) 是等比数列。正确的命题 an





2.等差等比数列的两个重要性质:

①若 m+n=p+q 则 am ? an ? a p ? aq



若 m+n=p+q,则 am an ? a p aq

② sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列 ;

sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等比数列

例 :若一个等差数列的前 3 项和为 34,最后 3 项和为 146,且所有项的和为 390,则这个 数列有 项。

-1-

1.在 a 和 b(a ? b) 两数之间插入 n 个数,使它们与 a、 b 组成等差数列,则该数列公差为 ( A. )

b?a n

B.

b?a n ?1

C.

a?b n ?1

D.

b?a n?2

2. 设{an}是等差数列, Sn 是前 n 项的和, 且 S5 < S6, S6 = S7 > S8, 则下列结论错误的是 ( ) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6、S7 均为 Sn 的最大值 3.已知 s n 是等差数列 ?an ? (n ? N * ) 的前 n 项和,且 s6 ? s7 ? s5 ,下列结论中不正确的是( A d<0 B )

s11 ? 0

C

s12 ? 0

D s13 ? 0

4. 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , an ? 0, 若m ? 1且am?1 ? am?1 ? am2 ? 0, S2m?1 ? 38, 则 m 等 于 ( ) A 38 B 20 C 10 D 9

5 .等差数列 { an } 中, a1 + a2 + a3 = - 24 , a18 + a19 + a 20 =78 ,则此数列前 20 项的和为 ( ) A.160 B.180 C.200 D.220

5:等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S 6 ? 36, S n ? 324 , S n?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 为 (A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 ( ) 。 。

6.1.等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为

a5 ? a6 ? 9 , log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? 2. 各项均为正数的等比数列 {an } 中,

7.求等差数列中 S n 取到最值时 n 的取值

②判断该等差数列的增减结构: a1 >0,d<0 ? 该数列为递减数列, S n 有最大值

a1 <0,d>0 ? 该数列为递增数列, S n 有最小值
例:等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值 8:已知数列

?an ?的前 n 项和 Sn ? n(n ? 40) ,则下列判断正确的是:
B. a20 ? 0, a21 ? 0 C. a19 ? 0, a21 ? 0
2





A. a19 ? 0, a21 ? 0

D. a19 ? 0, a20 ? 0

9:已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn=12n-n ,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn .

-2-

10.等差数列和等比数列的前 n 项和 S n 形式上的特点

① S n ? An2 ? Bn ? ?an ? 等差数列,且 A ?

d 2

② S n ? Aqn ? A , ? A ? 0, q ? 1? ? ?an ? 是等比数列且公比就是 q ? 1
11 :设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ( n ? N* ) ,关于数列 ?an ? 有下列三个命题: (1)若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an ?1

(n ? N*) ;

(2)若 Sn ? an 2 ? bn ? a 、 b ? R ? ,则 {an } 是等差数列; (3)若 Sn ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 {an } 是等比数列. 这些命题中,真命题的序号是
n

.

变题:若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =___。 12.设等差数列 ?an ? 的 n 项和 Sn ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 (1) 求公差 d 的取值范围 (2) 指出 S1 , S2 ,?, S12 中哪一个值最大,并说明理由.

13.已知数列{an}是首项 a1 ? 4 ,公比 q ? 1 的等比数列, s n 是其前 n 项和,且 4a1 , a5 , ?2a3 成等 差数列. (1)求公比 q 的值; (2)设 An ? s1 ? s2 ? s3 ? ? ? sn , 求An .

三数列通项公式的几种求法
一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2 , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n

-3-

二、累加法 例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

三、待定系数法 例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )

例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

例、已知数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? A、2n-1 B、2n+1

an , 则这个数列的第 n 项 an 为( ) 1 ? 2an
C、

1 2n ? 1

D、

1 2n ? 1

运用等差(等比)数列的通项公式. 例:已知数列 {an } 满足 a1 ?

a 2a ? 1 1 ,且当 n ? 1 , n ? N * 时,有 n ?1 ? n ?1 , an 1 ? 2 an 5
-4-

求证:数列 {

1 } 为等差数列; an


例:数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? 3 ,则通项 an ? .数列 {an } 前 n 项和 S n ,则 a n ? ?

n ?1 ? S1 (注意:不能忘记讨论 n ? 1 ) n?2 ?S n ? S n ?1

例已知数列 {an } 的前 n 项和公式,求 {an } 的通项公式 1. S n ? 2n 2 ? 3n ; (等差)
2

2. S n ? 2 ? 3 n ? 1 )

例: 数列 {an } 的前 n 项积为 n ,那么当 n ? 2 时, {an } 的通项公式为 ( A. an ? 2n ? 1 B. an ? n2 C. an ?

( n ? 1) 2 n2

D. an ?

n2 (n ? 1) 2

四 数列的前 n 项和 数列求和的常用方法 ①公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 (注意等比数列对公 比为 1 的讨论) 数列 1,x,x ,…,x ? ,…的前 n 项之和是
2 n 1

( ) (D)以上均不正确

xn ? 1 (A) x ?1
②裂项相消法:

x n ?1 ? 1 (B) x ?1

x n?2 ? 1 (C) x ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ), , n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 2) 2 n n ? 2 ? n ?1 ? n
. (先找通项,在裂项求和)

an ?
1?

1 n ? n ?1

1 1 1 ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n

③ 错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 , ? , n , ?; 2 2 2 2
⑤ 分组求和法、

-5-

数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ),?,(1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ),?的通项公式 an ? 项和 Sn ? .

,前 n

(一个等比数列的前 n 项和作成了一个新数列) 例:设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (?1)n (2n ? 1) ,则 Sn =_________________ (正负交替的数列:1.相临两项合并再求和;2.分组求) 典型难题: 1.已知数列 {an } 是非零等差数列,又 a1 、 a 3 、 a 9 组成一个等比数列的前三项,则

a1 ? a3 ? a9 ? a2 ? a4 ? a10

.

2.已知一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项和为 170,则 这个数列的公比等于 ,项数等于 。 3.等比数列中,q=2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 ;

4.已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? 5.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an an?1 ,求 an . (两边同除以 a n a n ?1 )
(n ? N * ) ,则 a 20 = (


an ? 3 3an ? 1
D.

A.0

B. ? 3

C. 3

3 (周期数列) 2

6:数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求证:数列 {an?1 ? an } 是等比数列;

7.已知数列的前 n 项和为 Sn=a -1(a 为不为零的实数) ,则此数列 ( A、一定是等差数列 C、或是等差数列或是等比数列 B、一定是等比数列

n



D、既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

8.已知数列 {an } 满足 a1 =1, an?1 ? 2an ? 2n ,则 an =__________ (构造数列

an ) 2 n ?1

-6-


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