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高中数学圆锥曲线方程试卷2(考点详解版)


高中数学组卷圆锥曲线方程 2
一.解答题(共 30 小题) 1.已知椭圆 C: + =1, (a>b>0)的离心率为 ,F1、F2 分别为椭圆的上、下焦点,

过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,若△ ABF1 周长为 4 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)P 是 y 轴上一点,以 PA、PB 为邻边作平行四边形 PAQB,若 P 点的坐标为(0,﹣2) , ≤ ≤1,求平行四边形 PAQB 对角 PQ 的长度取值范围.

2.如图,在平面直角坐标系中,己知椭圆

=1 和圆 x +y =4,过椭圆左顶点 A 的两条

2

2

直线分别交椭圆与圆于点 B,E 和点 C,F,若 AC⊥AF,直线 BE 和 CF 在 x 轴上的截距分

别为 s,t,求证:s+t 为定值. 3.设椭圆 +y =1 的右顶点为 A,过椭圆长轴所在直线上的一个定点 M(m,0) (不同于
2

A)任作一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点,直线 AP、AQ 的斜率分别记为 k1, 、k2. (1)当 PQ⊥x 轴时,求 (2)求证:k1?k2 等于定值. ;

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4.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点(0,1) ,且圆 x +y =a 被直线 x﹣y﹣

2

2

2

=0

截得的弦长为 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知 k≠0,动直线 y=k(x﹣1)与椭圆 C 的两个交点分别为 A,B,问:在 x 轴上是否 存在定点 M,使得 理由. 5.已知椭圆 C: (a>b>0)过点(1, ) ,它的两个短轴端点与右焦点构成等边 为定值?若存在,试求出点 M 的坐标和定值;若不存在,请说明

三角形,点 A 在椭圆 C 上运动,点 B 在直线 l:y=m(m>0)上,且∠AOB=90°(其中 O 为原点) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程: (Ⅱ)若点 O 到直线 AB 的距离为定值,求 m 的值及|AB|的最小值. 6.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的右顶点为 A,左焦点为 F,离心率为 ,过点 F

的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点,当 l 垂直于 x 轴时,△ AMN 的面积为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 x=﹣2 上存在点 P,使得△ PMN 为等边三角形,求直线 l 的方程. 7.已知椭圆 C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1 的直线 l 交椭

圆于 A、B 两点,|AB|的最小值为 3,且△ ABF2 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,直线 A′B 交 x 轴于点 M,求△ ABM 面积的取值范围. 8.已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的焦距为 2 ,其上下顶点分别为 C1,C2,点 A(1,

0) ,B(3,2) ,AC1⊥AC2. (1)求椭圆 E 的方程及离心率; (2)点 P 的坐标为(m,n) (m≠3) ,过点 A 任意作直线 l 与椭圆 E 相交于点 M,N 两点, 设直线 MB,BP,NB 的斜率依次成等差数列,探究 m,n 之间是否满足某种数量关系,若 是,请给出 m,n 的关系式,并证明;若不是,请说明理由. 9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E 的方程为 + =1,直线 l:y= x 与椭圆 E

相交于 A,B 两点,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 两点,且直线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N,求证:直线 MN 的斜率为定值.

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10.已知过点(



)的椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个顶点与两焦点构成直角

三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若对椭圆 C 右焦点的直线与椭圆 C 交于两点 D、 E, 且椭圆 C 上样在一点 G, 使得 (O 为坐标原点) ,求四边形 ODGE 的面积. 11. (2005?福建) 已知方向向量为 v= (1, ) 的直线 l 过点 (0, ﹣2 ) 和椭圆 C: + =1 =

(a>b>0)的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在过点 E (﹣2, 0) 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N, 满足 ? = . cot∠MON≠0

(O 为原点) .若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

12. (2005?黑龙江)P,Q,M,N 四点都在椭圆

上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的

焦点.已知



共线,



共线,且

.求四边形 PMQN 的面积的最小值

和最大值. 2 2 13. (2005?湖北)设 A、B 是椭圆 3x +y =λ 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点, 线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 λ 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 λ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.
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14. (2004?天津)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 ,相应于焦点 F(c,0) (c>0) 的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 ,求直线 PQ 的方程. =1(a>1,b>0)的焦点距为 2c,直线 l 过点(a,0)和

15. (2004?贵州)双曲线

(0,b) ,且点(1,0)到直线 l 的距离与点(﹣1,0)到直线 l 的距离之和 曲线的离心率 e 的取值范围.

.求双

16. (2003?天津)已知常数 a>0,向量 =(0,a) , =(1,0) ,经过原点 O 以 +λ 为方 向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 ﹣2λ 为方向向量的直线相交于点 P,其中 λ∈R.试 问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在, 说明理由. 17. (2002?北京)已知 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c)是△ OBC 的三个顶点. (Ⅰ)写出△ OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G,F,H 三点共线; (Ⅱ)当直线 FH 与 OB 平行时,求顶点 C 的轨迹.

18. (2000?天津)如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点,当 范围.

所成的比为 λ,

时,求双曲线离心率 c 的取值

19. (1999?广东)如图,给出定点 A(a,0) (a>0,a≠1)和直线 l:x=﹣1,B 是直线 l 上 的动点,∠BOA 的角平分线交 AB 于点 C.求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类 型与 a 值的关系.

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20.如图,已知椭圆 C:

+

=1, (a>b>0) ,点 B 是其下顶点,直线 x+3y+6=0 与椭圆

C 交于 A,B 两点(点 A 在 x 轴下方) ,且线段 AB 的中点 E 在直线 y=x 上. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且直线 AP,BP 分别交直线 y=x 于点 M,N, 证明: ? 为定值.

21. (2006?山东)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所 组成的四边形为正方形,两准线间的距离为 1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当△ AOB 面积取得最大值时,求 直线 l 的方程. 22. (2006?北京)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在此椭 .

圆上,且 PF1⊥F1F2,|PF1|= ,|PF2|=

(1)求椭圆的方程; 2 2 (2)若直线 l 过圆 x +y +4x﹣2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 23. (2006?重庆)已知一列椭圆 .n=1,2….若椭圆 Cn 上有

一点 Pn,使 Pn 到右准线 ln 的距离 dn 是{pnFn}与{PnGn}的等差中项,其中 Fn、Gn 分别是 Cn 的左、右焦点. (I)试证: (II)取 (n≥1) ; ,并用 Sn 表示△ PnFnGn 的面积,试证:S1<S2 且 Sn>Sn+1(n≥3) .
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24. (2006?四川)已知两定点



,满足条件

=2 的点 P 的轨迹是曲线 E,直线 y=kx﹣1 与曲线 E 交于 A、B 两点.如果 且曲线 E 上存在点 C,使 求 m 的值和△ ABC 的面积 S.

25. (2006?安徽)如图,F 为双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的右焦点.P 为双曲线

C 右支上一点,且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点,O 为坐标原点.已知四边形 OFPM 为平行四边形,|PF|=λ|OF|. (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 λ 的关系式; (Ⅱ)当 λ=1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点,若|AB|=12,求此 时的双曲线方程.

26. (2006?天津)如图,双曲线

=1(a>0,b>0)的离心率为

、F2 分别 .

为左、右焦点,M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且 (I)求双曲线的方程; (II)设 A(m,0)和

(0<m<1)是 x 轴上的两点.过点 A 作斜率不为 0 的

直线 l,使得 l 交双曲线于 C、D 两点,作直线 BC 交双曲线于另一点 E.证明直线 DE 垂直 于 x 轴.中心 O 为圆心.

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27. (2006?北京)已知点 M(﹣2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件 动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 的最小值.

.记

28. (2005?上海) (1)求右焦点坐标是(2,0) ,且经过点(﹣2,﹣ 程. (2)已知椭圆 C 的方程是 +

)的椭圆的标准方

=1(a>b>0) .设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两

点,AB 的中点为 M.证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上. (3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作 图步骤,并在图中标出椭圆的中心.

29. (2005?湖南) 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点为 F1、 F2, 离心率为 e. 直

线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 (Ⅰ)证明:λ=1﹣e ; (Ⅱ)若 λ= ,△ MF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程; (Ⅲ)确定 λ 的值,使得△ PF1F2 是等腰三角形. 30. (2005?辽宁)已知椭圆 0) ,Q 是椭圆外的动点,满足| 上,并且满足 ? =0,| + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1(﹣c,0) 、F2(c, |=2a.点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q |≠0.
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2





(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明|

|=a+ x;

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; 2 (Ⅲ) 试问: 在点 T 的轨迹 C 上, 是否存在点 M, 使△ F1MF2 的面积 S=b . 若存在, 求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

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高中数学组卷圆锥曲线方程 2
参考答案与试题解析

一.解答题(共 30 小题) 1.已知椭圆 C: + =1, (a>b>0)的离心率为 ,F1、F2 分别为椭圆的上、下焦点,

过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,若△ ABF1 周长为 4 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)P 是 y 轴上一点,以 PA、PB 为邻边作平行四边形 PAQB,若 P 点的坐标为(0,﹣2) , ≤ ≤1,求平行四边形 PAQB 对角 PQ 的长度取值范围.
2 2 2

【分析】 (1)由题意可得:

,4a=4

,a =b +c ,解出即可得出. = , 1.﹣x1=λx2.由

(2)F2(0,﹣1) .设 A(x1,y1) ,B(x2,y2). 于四边形 PAQB 是平行四边形,可得 =

=(x1+x2,y1+y2+4) .
2 2

设直线 AB 的方程为:y=kx﹣1,与椭圆方程联立化为: (k +2)x ﹣2kx﹣1=0,利用根与系 数的关系可得:k =
2

,可得:k ∈

2

.由于

= =

= ,再利用导数研究函数的单调性即可得出. ,4a=4

,令 k =t∈

2

,f(t)

【解答】解: (1)由题意可得:

,a =b +c ,解得 a=

2

2

2

,b=c=1.

∴椭圆 C 的标准方程为: (2)F2(0,﹣1) . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2). ﹣x1=λx2. ∵四边形 PAQB 是平行四边形, =

=1.

=



1.

=(x1+x2,y1+y2+4) .

设直线 AB 的方程为:y=kx﹣1,

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联立

,化为: (k +2)x ﹣2kx﹣1=0,

2

2

∴x1+x2=

,x1x2=

,﹣x1=λx2.

可得:k =

2

=



λ=1 时,k=0. 时,k ∈ 综上可得:k ∈
2 2

. .

∴y1+y2=kx1﹣1+kx2﹣1=k(x1+x2)﹣2, ∴ = =

=

= 令 k =t∈
2

= ,f(t)= ,



f′(t)= ∴函数 f(t)在 t∈ ∴ ∈

= 上单调递减,∴f(t)∈ .

<0,



【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量坐标运算性 质、平行四边形法则、利用导数研究函数的大小极值与最值,考查了推理能力与计算能力, 属于难题.

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2.如图,在平面直角坐标系中,己知椭圆

=1 和圆 x +y =4,过椭圆左顶点 A 的两条

2

2

直线分别交椭圆与圆于点 B,E 和点 C,F,若 AC⊥AF,直线 BE 和 CF 在 x 轴上的截距分

别为 s,t,求证:s+t 为定值. 【分析】设直线 AB 的方程为:y=k(x+2) ,由于 AB⊥AE,可得直线 AE 的方程为:y=﹣ (x+2) .分别与椭圆方程联立可得点 B,E 的坐标,可得直线 BE 的方程,即可解得.由于 AC⊥AF,可得 CF 必然经过原点,可得 t=0. 【解答】证明:设直线 AB 的方程为:y=k(x+2) ,∵AB⊥AE,∴直线 AE 的方程为:y= ﹣ (x+2) .

联立

,解得 xB=

,yB=



同理可得:xE=

,yE=



∴直线 BE 的方程为:y+

=



令 y=0,解得 s=﹣ . ∵AC⊥AF,∴CF 必然经过原点,∴t=0. ∴s+t=﹣ 为定值. 【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系,考 查了推理能力与计算能力,属于难题.
2

3.设椭圆

+y =1 的右顶点为 A,过椭圆长轴所在直线上的一个定点 M(m,0) (不同于

A)任作一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点,直线 AP、AQ 的斜率分别记为 k1, 、k2. (1)当 PQ⊥x 轴时,求 ;
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(2)求证:k1?k2 等于定值.

【分析】 (1)解:当 PQ⊥x 轴时,﹣2<m<2,把 x=m 代入椭圆方程可得:

+y =1,解

2

得 y.再利用数量积运算性质即可得出. (2)设直线 PQ 的方程为:ty=x﹣m, (﹣2≤m<2) .P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .与椭圆方程 2 2 2 联立可得: (t +4)y +2tmy+m ﹣4=0,利用斜率计算公式及其根与系数的关系代入 k1?k2= ,即可证明.

【解答】 (1)解:当 PQ⊥x 轴时,﹣2<m<2,把 x=m 代入椭圆方程可得:

+y =1,解

2

得 y=±



不妨设 P

,Q

.A(2,0) .



=

?

=(m﹣2) ﹣

2

=



(2)证明:设直线 PQ 的方程为:ty=x﹣m, (﹣2≤m<2) .P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 联立 ,化为: (t +4)y +2tmy+m ﹣4=0,
2 2 2

y1+y2=﹣

,y1y2=



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k1?k2=

=

=

=



由于上式与斜率无关系,因此是定值. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与 系数的关系、 向量数量积运算性质、 斜率计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于难题.

4.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)经过点(0,1) ,且圆 x +y =a 被直线 x﹣y﹣

2

2

2

=0

截得的弦长为 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知 k≠0,动直线 y=k(x﹣1)与椭圆 C 的两个交点分别为 A,B,问:在 x 轴上是否 存在定点 M,使得 理由. 【分析】 (1)椭圆 C: + =1(a>b>0)经过点(0,1) ,代入解得 b=1.由于圆 x +y =a
2 2 2 2

为定值?若存在,试求出点 M 的坐标和定值;若不存在,请说明

被直线 x﹣y﹣

=0 截得的弦长为 2,可得 2

=2,解得 a .即可得出.
2

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) .直线方程与椭圆方程联立化为: (1+2k ) x ﹣4k x+2k ﹣2=0,利用根与系数的关系代入 +y1y2=m +
2 2 2 2

=(x1﹣m) (x2﹣m)

,令 1﹣4m=﹣4,即可得出.

【解答】解: (1)∵椭圆 C:
2 2 2

+

=1(a>b>0)经过点(0,1) ,∴

=1,解得 b=1.
2

∵圆 x +y =a 被直线 x﹣y﹣ ∴椭圆 C 的标准方程为

=0 截得的弦长为 2,∴2 =1.

=2,解得 a =2.

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(m,0) . 联立 ,化为: (1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣2=0,
2 2 2 2

∴x1+x2=

,x1x2=


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2

=(x1﹣m) (x2﹣m)+y1y2
2 2 2

=(k +1)x1x2﹣(m+k ) (x1+x2)+m +k = ﹣
2

+m +k =m +

2

2

2



令 1﹣4m=﹣4,即 m= 时, 点M .

=m ﹣2=﹣

为定值.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与 系数的关系、向量数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

5.已知椭圆 C:

(a>b>0)过点(1,

) ,它的两个短轴端点与右焦点构成等边

三角形,点 A 在椭圆 C 上运动,点 B 在直线 l:y=m(m>0)上,且∠AOB=90°(其中 O 为原点) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程: (Ⅱ)若点 O 到直线 AB 的距离为定值,求 m 的值及|AB|的最小值. 【分析】 (I)由题意可得: =1,c= b,与 a =b +c 联立,解出即可得出;
2 2 2

(II) 取 A(2, 0) , 则B (0, m) ,m>0, 此时原点到直线 AB 的距离 d=

. 取A (



) ,同理可得:此时原点到直线 AB 的距离 d=

.利用

=

,m>0,

解得 m=

. 可得直线 l 的方程. 设B (t,

) , A (2cosθ, sinθ) . θ=0 时, 可得|AB|= x,可得:B

. θ≠0,

时,设直线 AO 的方程为:y= xtanθ,则 OB 的方程为:y=﹣ ( ,

) .利用两点之间的距离公式可得|AB|,利用三角函数求值、基本不

等式的性质即可得出. 【解答】解: (I)由题意可得: c= . . . =1,c= b,与 a =b +c 联立,解得 a=2,b=1,
2 2 2

∴椭圆 C 的方程为:

(II)取 A(2,0) ,则 B(0,m) ,m>0,此时原点到直线 AB 的距离 d=

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取 A(

, ) ,直线 OB 的方程为:y=﹣2

x,则 B(

,m) ,此时原点到直线

AB 的距离 d=

=



∴d=

=

,m>0,解得 m=



∴直线 l 的方程为:y= 设 B(t, θ=0 时,|AB|= θ≠0, ( ∴|AB|=



) ,A(2cosθ,sinθ) , = . x,可得:B

时,设直线 AO 的方程为:y= xtanθ,则 OB 的方程为:y=﹣ , ) . =

=

, 令 cos θ=t∈(0,1) ,则|AB|=
2



=2,当且仅当 t= 时取等号.

∴|AB|的最小值为 2. 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点到直线的距离 公式、三角函数求值、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

6.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右顶点为 A,左焦点为 F,离心率为

,过点 F

的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点,当 l 垂直于 x 轴时,△ AMN 的面积为



(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 x=﹣2 上存在点 P,使得△ PMN 为等边三角形,求直线 l 的方程. 【分析】 (1) 把 x=﹣c 代入椭圆方程可得:
2

, 解得 y, 可得|MN|=
2 2


2

利用△ AMN 的面积 联立解出即可得出.

=

,化为:2b (a+c)=(2+

a) ,与

,a =b +c

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(2)设 P(﹣2,t) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点 Q(x0,y0) ,F(﹣1,0) .直 线 MN 的斜率为 0 时,不满足题意.设直线 MN 的方程为:my=x+1,m=0 时,MN⊥x 轴, 可得△ PMN 不是等边三角形, 舍去. m≠0 时. 与椭圆方程联立化为: (m +2) y ﹣2my﹣1=0. 利 2 3 用根与系数的关系及其中点坐标公式,及其 PQ⊥MN,可得:t(m +2)=3m+2m .再利用 |PQ|= |MN|化简即可得出.
2 2

【解答】解: (1)把 x=﹣c 代入椭圆方程可得:

,解得 y=
2



∴|MN|= =(2+

,∴△AMN 的面积 a) ,与
2 2 2

=

= .

×(a+c) ,化为:2b (a+c)

,a =b +c 联立解得:c=b=1, =1.

∴椭圆的标准方程为:

(2)设 P(﹣2,t) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点 Q(x0,y0) ,F(﹣1,0) . 直线 MN 的斜率为 0 时,不满足题意. 设直线 MN 的方程为:my=x+1, m=0 时,MN⊥x 轴, |MN|= m≠0 时.
2 2

=

,点 F 到直线 x=﹣2 的距离 d=1,△ PMN 不是等边三角形,舍去.

联立

,化为: (m +2)y ﹣2my﹣1=0.

∴y1+y2=

,y1y2=



∴y0=

=

,x0=my0﹣1=



∵PQ⊥MN,∴

× =﹣1,化为:t(m +2)=3m+2m .

2

3

|PQ|=

=



|MN|=

=



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又|PQ|=

|MN|,∴
2

=

×
2



化为: (tm+1) (2+m )=
2 3

(1+m )
2

. .

与 t(m +2)=3m+2m 联立可得:m = ,解得 m=

∴直线 MN 的方程为: ±y+ =0. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次的根与 系数的关系、斜率计算公式、等边三角形的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

7.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1 的直线 l 交椭

圆于 A、B 两点,|AB|的最小值为 3,且△ ABF2 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,直线 A′B 交 x 轴于点 M,求△ ABM 面积的取值范围. 【分析】 (I)把 x=﹣c 代入椭圆的方程可得:解得 y= 最小值 =3.根据△ ABF2 的周长为 8,可得 4a=8.又 .当 AB⊥x 轴时,弦长|AB|取得 ,联立解出即可得出.

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,A′(x1,﹣y1) .直线 AB 的方程为 my=x+1,与椭圆方 2 2 程联立化为: (3m +4)y ﹣6my﹣9=0,利用根与系数的关系可得: |AB|= ,直线 A′B 的方程为:y+y1= =(x

﹣x1) ,令 y=0,可得:xM=

=﹣4.M(﹣4,0) .利用点到直线的距离公式可

得:点 M 到直线 AB 的距离 d,利用 S△ ABM= 与最值、不等式的性质即可得出. 【解答】解: (I)把 x=﹣c 代入椭圆的方程可得:y =
2

及其利用导数研究函数的单调性极值

,解得 y=



当 AB⊥x 轴时,弦长|AB|取得最小值 ∵△ABF2 的周长为 8,∴4a=8. 又 ,联立解得 a=2,b=

=3.

,c=1.

∴椭圆的方程为:

=1.

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,A′(x1,﹣y1) .
第 17 页(共 55 页)

直线 AB 的方程为 my=x+1,
2 2

联立

,化为: (3m +4)y ﹣6my﹣9=0,

∴y1+y2=

,y1y2=



|AB|=

=

直线 A′B 的方程为:y+y1=

=(x﹣x1) ,

令 y=0,可得:xM= ∴M(﹣4,0) . 点 M 到直线 AB 的距离 d=

=

=

﹣1=﹣4.

=



∴S△ ABM=

=

×

=18×

=

. (m >

2

0) . 令 >1,g(t)=3t+ ,g′(t)=3﹣ = >0,因此函数 g(t)在(1,+∞)

上单调递增,∴g(t)>4. ∴S△ ABM∈ . .

∴△ABM 面积的取值范围是

【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 一元二次方程的根与系数的关系、 弦长公式、 点到直线的距离公式、不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了推理 能力与计算能力,属于难题.

8.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2

,其上下顶点分别为 C1,C2,点 A(1,

0) ,B(3,2) ,AC1⊥AC2. (1)求椭圆 E 的方程及离心率;

第 18 页(共 55 页)

(2)点 P 的坐标为(m,n) (m≠3) ,过点 A 任意作直线 l 与椭圆 E 相交于点 M,N 两点, 设直线 MB,BP,NB 的斜率依次成等差数列,探究 m,n 之间是否满足某种数量关系,若 是,请给出 m,n 的关系式,并证明;若不是,请说明理由. 【分析】 (1)由 AC1⊥AC2,可得 ? =1﹣b =0,又 2c=2
2

,a =b +c ,即可得出.

2

2

2

(2)m,n 之间满足数量关系 m=n+1.下面给出证明:①当取 M , N 时,根据斜率计算公式、及其直线 MB,BP,NB 的斜率依次成等差数列 即可证明. ②当直线 MN 的斜率不为 0 时, 设直线 MN 的方程为: ty+1=x. M (x1, y1) , N (x2, y2) . 与 2 2 椭圆方程联立化为: (t +3)y +2ty﹣2=0,根据斜率计算公式、及其直线 MB,BP,NB 的 斜率依次成等差数列、根与系数的关系化简即可证明. 【解答】解: (1)∵AC1⊥AC2,C1(0,b) ,C2(0,﹣b) ,A(1,0) , ∴ ∵2c=2 ? =1﹣b =0,∴b =1. ,解得 c= ,∴a =b +c =3. =1. .
2 2 2 2 2

∴椭圆 E 的方程为 离心率 e= = =

(2)m,n 之间满足数量关系 m=n+1.下面给出证明: ①当取 M ,N 时,kMB= = ,kBP= + ,kNB= ,

∵直线 MB,BP,NB 的斜率依次成等差数列,∴2×

,化为:m=n+1.

②当直线 MN 的斜率不为 0 时,设直线 MN 的方程为:ty+1=x.M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 联立 ,化为: (t +3)y +2ty﹣2=0,
2 2

∴y1+y2=

,y1y2=



kMB=

,kBP=

,kNB=



∵直线 MB,BP,NB 的斜率依次成等差数列, ∴2× = + ,

第 19 页(共 55 页)

由于 + = =

=2,



=1,化为:m=n+1.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与 系数的关系、斜率计算公式、等差数列的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E 的方程为

+

=1,直线 l:y= x 与椭圆 E

相交于 A,B 两点,C,D 是椭圆 E 上异于 A,B 两点,且直线 AC,BD 相交于点 M,直线 AD,BC 相交于点 N,求证:直线 MN 的斜率为定值.

【分析】联立

,解得 A(2,1) ,B(﹣2,﹣1) .①当 CA,CB,DA,DB 斜

率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2,C(x0,y0) ,显然 k1≠k2;可得:k1?kCB= ﹣ ,kCB=﹣ 的方程为 y+1=﹣ ;同理 kDB=﹣ ,于是直线 AD 的方程为 y﹣1=k2(x﹣2) ,直线 BC

(x+2) ;联立解得:点 N 的坐标为

;用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标.可

得 kMN=

=﹣1;即直线 MN 的斜率为定值﹣1;②当 CA,CB,DA,DB 中,

第 20 页(共 55 页)

有直线的斜率不存在时,根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,故不妨设直线 CA 的 斜率不存在,从而 C(2,﹣1) ;仍然设 DA 的斜率为 k2,由①知 kDB=﹣ ;即可得出.

【解答】证明:联立

,解得

,或

,从而 A(2,1) ,B(﹣2,﹣1) ;

①当 CA,CB,DA,DB 斜率都存在时,设直线 CA,DA 的斜率分别为 k1,k2,C(x0, y0) , 显然 k1≠k2;

从而 k1?kCB= ∴kCB=﹣ 同理 kDB=﹣ ; ,

?

=

=

=﹣ ,

于是直线 AD 的方程为 y﹣1=k2(x﹣2) ,直线 BC 的方程为 y+1=﹣

(x+2) ;



,解得

,从而点 N 的坐标为



用 k2 代 k1,k1 代 k2 得点 M 的坐标为



∴kMN=

=

=﹣1;

即直线 MN 的斜率为定值﹣1; ②当 CA,CB,DA,DB 中,有直线的斜率不存在时, 根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在, 故不妨设直线 CA 的斜率不存在,从而 C(2,﹣1) ; 仍然设 DA 的斜率为 k2,由①知 kDB=﹣ 此时 CA:x=2,DB:y+1=﹣ ; ) ;

(x+2) ,它们交点 M(2,﹣1﹣
第 21 页(共 55 页)

BC:y=﹣1,AD:y﹣1=k2(x﹣2) ,它们交点 N(2﹣

,﹣1) ,

从而 kMN=﹣1 也成立. 综上可得:kMN=﹣1 为定值. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式,考查 了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.

10.已知过点(



)的椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个顶点与两焦点构成直角

三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若对椭圆 C 右焦点的直线与椭圆 C 交于两点 D、 E, 且椭圆 C 上样在一点 G, 使得 (O 为坐标原点) ,求四边形 ODGE 的面积. 【分析】 (1)根据条件建立方程关系,求出 a,b 的值即可求椭圆 C 的方程; (2)联立直线与椭圆方程,根据求出 D、E 的坐标,根据 = 求出 G 的坐标,代入椭圆 =

即可求出直线斜率和方程, 利用点到直线的距离以及弦长公式即可求四边形 ODGE 的面积. 【解答】解: (1)∵ ∴b=c,即 a= 即 + b,
2

+

=1(a>b>0)的一个顶点与两焦点构成直角三角形,

=1,即 b =

+y ,

2

∵点(



)在椭圆 C:

+

=1 上,

∴b =
2

2

+y =
2

2

+(

)=

2



则 a =2b =2, 即椭圆 C 的方程为 +y =1;
2

(2)∵b=c=1,∴椭圆 C 右焦点 F(1,0) , 的直线与椭圆 C 交于两点 D、E,且椭圆 C 上样在一点 G,使得 设 x=ky+1,D(x1,y1) ,E(x2,y2) 代入椭圆方程
2 2

=

(O 为坐标原点) ,

+y =1 得

2

+y =1

2

即(k +2)y +2ky﹣1=0,

第 22 页(共 55 页)

则 y1=

,y2=



则 x1=ky1+1=



x2=ky2+1=



则 x1+x2= 设 G(x,y) , 则由 = 得

,y1+y2=



=

+

=(x1+x2,y1+y2)=(



) ,

G 在椭圆上,代入椭圆得则 (

) +(

2

) =1,

2

即 在直线方程为 x= 原点到直线 x﹣

,即 y+1,

=1,即 k +2=4,即 k =2,得 k=

2

2

(舍掉﹣

) .

y﹣1=0 的距离 d=

=



而 DE=

,则四边形 ODGE 的面积 S=2×

×

=



【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题、 向量的坐标运算性质, 根据条件,利用待定系数法求出直线方程是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大,难 度比较大.

第 23 页(共 55 页)

11. (2005?福建) 已知方向向量为 v= (1,

) 的直线 l 过点 (0, ﹣2

) 和椭圆 C:

+

=1

(a>b>0)的焦点,且椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在过点 E (﹣2, 0) 的直线 m 交椭圆 C 于点 M、 N, 满足 ? = . cot∠MON≠0

(O 为原点) .若存在,求直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

【分析】 (I)解法一:直线 l:y=

x﹣2

,过原点垂直 l 的直线方程为 y=﹣

x,这两

个方程联立可知 x= .再由椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,可 知 =3.由此可以求出椭圆 C 的方程.

解法二:直线 l:y=

x﹣3

.设原点关于直线 l 对称点为(p,q) ,则

解得 p=3.由椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,知

=3.由此

能够推出椭圆 C 的方程. (II)解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) .当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m:y=k(x+2)代 入 + =1,整理得(3k +1)x +12k x+12k ﹣6=0,再由根与系数的关系和点到直线 的
2 2 2 2

距离求解. 【解答】解: (I)解法一:直线 l:y= 过原点垂直 l 的直线方程为 y=﹣ 解①②得 x= .

x﹣2

,①

x,②

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,∴
2 2

=2× =3.

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0) .∴c=2,a =6,b =2.故椭圆 C 的方程为 + =1③

第 24 页(共 55 页)

解法二:直线 l:y=

x﹣3



设原点关于直线 l 对称点为(p,q) ,则

解得 p=3.

∵椭圆中心(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上,∴
2 2

=3.

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0) .∴c=2,a =6,b =2.故椭圆 C 的方程为 + =1③

(II)解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 当直线 m 不垂直 x 轴时,直线 m:y=k(x+2)代入③, 2 2 2 2 整理得(3k +1)x +12k x+12k ﹣6=0, ∴x1+x2=﹣ ,x1?x2= ,

|MN|=

=

=



点 O 到直线 MN 的距离 d=



∵ ∴| 即4

? |?| |k|

=

cot∠MON,即| |sin∠MON=4 =

|?|

|cos∠MON= .∴|MN|?d= ,

≠0,

,∴S△ OMN=
2

(3k +1) , . . x﹣ ,或 x=﹣2.

整理得 k = ,∴k=±

2

当直线 m 垂直 x 轴时,也满足 S△ OMN= 故直线 m 的方程为 y= 经检验上述直线均满足 所以所求直线方程为 y= x+ ? x+ ,或 y=﹣ ≠0. ,或 y=﹣

x﹣

,或 x=﹣2.

第 25 页(共 55 页)

【点评】本题综合考查直线的椭圆的位置关系,具有一定的难度,解题时要注意培养运算能 力.

12. (2005?黑龙江)P,Q,M,N 四点都在椭圆

上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的

焦点.已知



共线,



共线,且

.求四边形 PMQN 的面积的最小值

和最大值. 【分析】由题设条件可知 MN⊥PQ.设 MN⊥y 轴,则 PQ⊥x 轴,MN 的方程为 y=1,PQ 的方程为 x=0, 由题设条件能够推出四边形 PMQN 的面积为 , |MN|?|PQ|= × ×2 =2. 当

MN,PQ 都不与坐标轴垂直时,根据题设条件能够推导出



|PQ|=

,所以 S 四边形

PMQN=

|MN|?|PQ|=

,由此入

手结合题设条件能够导出(S 四边形 PMQN)max=2, (S 四边形 PMQN)min= 【解答】解:∵ .即 MN⊥PQ.



当 MN 或 PQ 中有一条直线垂直于 x 轴时,另一条直线必垂直于 y 轴. 不妨设 MN⊥y 轴,则 PQ⊥x 轴, ∵F(0,1) ∴MN 的方程为:y=1,PQ 的方程为:x=0

第 26 页(共 55 页)

分别代入椭圆

中得:|MN|= ×2 =2

,|PQ|=2



S 四边形 PMQN= |MN|?|PQ|= ×

当 MN,PQ 都不与坐标轴垂直时, 设 MN 的方程为 y=kx+1(k≠0) , 代入椭圆 ∴x1+x2= ∴ 中得: (k +2)x +2kx﹣1=0, ,x1?x2=
2 2

同理可得:|PQ|= S 四边形
PMQN=



|MN|?|PQ|=

=

(当且仅当

即 k=±1 时,取等号) .

又 S 四边形 PMQN=

,∴此时

S 四边形 PMQN<2. .

综上可知: (S 四边形 PMQN)max=2, (S 四边形 PMQN)min=

第 27 页(共 55 页)

【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系,解题昌要认真审题, 仔细解答,避免错误. 13. (2005?湖北)设 A、B 是椭圆 3x +y =λ 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点, 线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 λ 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 λ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由. 【分析】 (Ⅰ) 解法一: 设直线 AB 的方程为 y=k (x﹣1) +3, 代入 3x +y =λ, 整理得: (k +3) 2 2 x ﹣2k(k﹣3)x+(k﹣3) ﹣λ=0,然后结合题设条件由根与经数的关系和根的判别式能够 求出直线 AB 的方程. 解法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有 ?3 (x1﹣x2) (x1+x2)+(y1
2 2 2 2 2

﹣y2)=0.∴kAB=﹣ 直线 AB 的方程.

.∵N(1,3)是 AB 的中点∴kAB=﹣1.由此能够求出

(Ⅱ)解法一:由题意知直线 CD 的方程为 x﹣y+2=0 代入椭圆方程,整理得 4x +4x+4﹣ λ=0. 由弦长公式可得|CD|=
2

2

?|x3﹣x4|=

. 将直线 AB 的方程 x+y

﹣4=0 代入椭圆方程得 4x ﹣8x+16﹣λ=0.同理可得|AB|= x2|=

?|x1﹣

.由此可以推出存在这样的 λ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上.

解法二:由题高设条件可知 λ>12,直线 CD 的方程为 y﹣3=x﹣1,代入椭圆方程,整理得 2 2 4x +4x+4﹣λ=0.将直线 AB 的方程 x+y﹣4=0 代入椭圆方程整理得 4x ﹣8x+16﹣λ=0,由此 通过计算知 ? =0,∴A 在以 CD 为直径的圆上.又 B 为 A 关于 CD 的对称点,∴A、B、

C、D 四点共圆. 【解答】解: (Ⅰ)解法一:依题意,可设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)+3, 2 2 2 2 2 代入 3x +y =λ,整理得: (k +3)x ﹣2k(k﹣3)x+(k﹣3) ﹣λ=0① 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1,x2 是方程①的两个不同的根, 2 2 ∴△=4[λ(k +3)﹣3(k﹣3) ]>0,② 且 x1+x2=
2

.由 N(1,3)是线段 AB 的中点,得 x1+x2=2,

∴k(k﹣3)=k +3 解得 k=﹣1,代入②得 λ>12, 即 λ 的取值范围是(12,+∞) . 于是直线 AB 的方程为 y﹣3=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣4=0. 解法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有 ﹣y2)=0.
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?3 (x1﹣x2) (x1+x2)+(y1

依题意,x1≠x2,∴kAB=﹣



∵N(1,3)是 AB 的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=6,从而 kAB=﹣1. 2 2 又由 N(1,3)在椭圆内,∴λ>3×1 +3 =12, ∴λ 的取值范围是(12,+∞) . 直线 AB 的方程为 y﹣3=﹣(x﹣1) ,即 x+y﹣4=0. (Ⅱ)解法一:∵CD 垂直平分 AB, 2 ∴直线 CD 的方程为 y﹣3=x﹣1,即 x﹣y+2=0 代入椭圆方程,整理得 4x +4x+4﹣λ=0.③ 又设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 的中点为 M(x0,y0) , 则 x3,x4 是方程③的两根, ∴x3+x4=﹣1,且 x0= 于是由弦长公式可得|CD|= =﹣ ,y0=x0+2= ,即 M( ?|x3﹣x4|=
2

, )

.④

将直线 AB 的方程 x+y﹣4=0 代入椭圆方程得 4x ﹣8x+16﹣λ=0.⑤ 同理可得|AB|= ∵当 λ>12 时, ?|x1﹣x2|= > .⑥ ,

∴|AB|<|CD|. 假设存在 λ>12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心. 点 M 到直线 AB 的距离为 d=
2

=
2 2

= = +

.⑦ = = .

于是, 由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA| =|MB| =d + 故当 λ>12 时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心,|

|为半径的圆上.

(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得: 2 A、B、C、D 共圆?ACD 为直角三角形,A 为直角?|AN| =|CN|?|DN|, 即 =(| |+d) (| |﹣d) .⑧ , + ) ( ﹣ )= ﹣

由⑥式知,⑧式左边= 由④⑦知,⑧式右边=( = .

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆. ) 解法二:由(Ⅱ)解法一知 λ>12, ∵CD 垂直平分 AB, 2 ∴直线 CD 的方程为 y﹣3=x﹣1,代入椭圆方程,整理得 4x +4x+4﹣λ=0.③
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将直线 AB 的方程 x+y﹣4=0 代入椭圆方程整理得 4x ﹣8x+16﹣λ=0.⑤ 解③和⑤式可得 x1,2= 不妨设 A(1+ C( ∴ =( =( 计算可得 ? =0, , , , ,3﹣ ) ,D( ,x3,4= ) , , ) , ) , ) . ,

2

∴A 在以 CD 为直径的圆上. 又 B 为 A 关于 CD 的对称点, ∴A、B、C、D 四点共圆. 【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系,难度较大,解题时要仔细审题,注意公式的 灵活运用. 14. (2004?天津)椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 ,相应于焦点 F(c,0) (c>0) 的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 ,求直线 PQ 的方程. ,由已知解得 ,c=2,所以椭圆

【分析】 (1)设椭圆的方程为

的方程为

,离心率



(2)由(1)可得 A(3,0) ,设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣3) ,由方程组

得(3k +1)x ﹣18k x+27k ﹣6=0.依题意△ =12(2﹣3k )>0,得 (x1,y1) ,Q(x2,y2) ,然后由根与系数的位置关系可知直线 PQ 的方程为 或 . 【解答】 (1)解:由题意,可设椭圆的方程为

2

2

2

2

2

.设 P

由已知得

解得

,c=2
第 30 页(共 55 页)

所以椭圆的方程为

,离心率

(2) 解: 由 (1) 可得 A (3, 0) , 设直线 PQ 的方程为 y=k (x﹣3) , 由方程组
2 2 2 2

得(3k +1)x ﹣18k x+27k ﹣6=0 依题意△ =12(2﹣3k )>0,得 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 则 ① ②
2

由直线 PQ 的方程得 y1=k(x1﹣3) ,y2=k(x2﹣3) 2 2 于是 y1y2=k (x1﹣3) (x2﹣3)=k [x1x2﹣3(x1+x2)+9]③ ∵ ∴x1x2+y1y2=0④
2

由①②③④得 5k =1,从而 所以直线 PQ 的方程为 或 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面向量的计算,曲线和方 程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

15. (2004?贵州)双曲线

=1(a>1,b>0)的焦点距为 2c,直线 l 过点(a,0)和

(0,b) ,且点(1,0)到直线 l 的距离与点(﹣1,0)到直线 l 的距离之和 曲线的离心率 e 的取值范围. 【分析】直线 l 的方程是 bx+ay﹣ab=0.点(1,0)到直线 l 的距离

.求双

,点(﹣

1,0)到直线 l 的距离
4 2



.由



.所以 4e ﹣25e +25≤0.由此可知 e 的取值范围. 【解答】解:直线 l 的方程为 ,即 bx+ay﹣ab=0. ,

由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离

第 31 页(共 55 页)

同理得到点(﹣1,0)到直线 l 的距离



由 于是得 由于 e>1>0, 所以 e 的取值范围是

,即
4 2

. .

,即 4e ﹣25e +25≤0.解不等式,得



【点评】本题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.

16. (2003?天津)已知常数 a>0,向量 =(0,a) , =(1,0) ,经过原点 O 以 +λ 为方 向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 ﹣2λ 为方向向量的直线相交于点 P,其中 λ∈R.试 问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在, 说明理由. 【分析】根据 和 ,求得 +λ 和 ﹣2λ 进而可得直线 OP 和 AP 的方程,消去参数 λ,得 点 P(x,y)的坐标满足方程,进而整理可得关于 x 和 y 的方程,进而看当 为圆不符合题意;当 时和当 时,P 的轨迹为椭圆符合两定点. 时,方程

【解答】解:∵ =(0,a) , =(1,0) , ∴ +λ =(λ,a) , ﹣2λ =(1,﹣2λa) . 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为 λy=ax 和 y﹣a=﹣2λax. 2 2 消去参数 λ,得点 P(x,y)的坐标满足方程 y(y﹣a)=﹣2a x .

整理得

.①

因为 a>0,所以得: (i)当 (ii)当 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; 时,方程①表示椭圆,焦点 为合乎题意的两个定点; 和

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(iii)当

时,方程①也表示椭圆,焦点 为合乎题意的两个定点.



【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方 程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. 17. (2002?北京)已知 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c)是△ OBC 的三个顶点. (Ⅰ)写出△ OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G,F,H 三点共线; (Ⅱ)当直线 FH 与 OB 平行时,求顶点 C 的轨迹.

【分析】 (Ⅰ)根据题意,由 A、O、B 三点的坐标,可得△ OBC 的重心 G,外心 F,垂心 H 的坐标;分 与 两种情况讨论,易得证明;

(Ⅱ)由(Ⅰ)中

(c≠0,b≠ ) ,得

,进而化简可得

;结合

椭圆的方程,可得答案. 【解答】解: (Ⅰ)由△ OBC 三顶点坐标 O(0,0) ,B(1,0) ,C(b,c) (c≠0) , 可求得重心 ,

外心



垂心 当 当

. 时,G,F,H 三点的横坐标均为 ,故三点共线; 时,设 G,H 所在直线的斜率为 kGH,F,G 所在直线的斜率为 kFG.

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因为



, 所以 kGH=kFG,G,F,H,三点共线. 综上可得,G,F,H 三点共线. (Ⅱ)解:若 FH∥OB,由 得 ,

配方得

,即







所以,顶点 C 的轨迹是中心在 上的椭圆, 但除去(0,0) , (1,0) ,

,长半轴长为

,短半轴长为 ,且短轴在 x 轴



四点.

【点评】 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识, 考查分析问题和解决问题的能力; 解题时, 首先注意轨迹的求法及轨迹与轨迹方程的区别, 其次要结合重心、 垂心、 外心的性质来解题. 18. (2000?天津)如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点,当 范围. 所成的比为 λ,

时,求双曲线离心率 c 的取值

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【分析】首先以 AB 的垂直平分线为 γ 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系,记 ,其中 为双曲线的半焦距,h 是

梯形的高,用定比分点坐标公式可求得 x0 和 y0 的表达式.设双曲线方程,将点 C、E 坐标 和 e 分别代入双曲线方程联立后求得 e 和 h 的关系式,根据 λ 的范围求得 e 的范围. 【解答】解:如图,以 AB 的垂直平分线为 γ 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOγ, 则 CD⊥γ 轴. 因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于 γ 轴对称, 依题意,记 其中 为双曲线的半焦距,h 是梯形的高, ,

由定比分点坐标公式得 .



设双曲线的方程为

,则离心率



由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 坐标和

代入双曲线的方程,得

,①

.②

由①式得

,③

将③式代入②式,整理得 故 由题设 解得 得, , ,



所以,双曲线的离心率的取值范围为[

].

第 35 页(共 55 页)

【点评】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能 力和综合应用数学知识解决问题的能力. 19. (1999?广东)如图,给出定点 A(a,0) (a>0,a≠1)和直线 l:x=﹣1,B 是直线 l 上 的动点,∠BOA 的角平分线交 AB 于点 C.求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类 型与 a 值的关系.

【分析】欲求点 C 的轨迹方程,设点 C(x,y) ,只须求出其坐标 x,y 的关系式即可,由 题意知点 C 到 OA、OB 距离相等得到一个关系式,化简即得点 C 的轨迹方程,最后对参数 a 进行讨论来判断轨迹是什么图形即可. 【解答】解:依题意,记 B(﹣1,b) (b∈R) ,则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0 和 y= ﹣bx. 设点 C(x,y) , 则有 0≤x<a,由 OC 平分∠AOB,知点 C 到 OA、OB 距离相等. 根据点到直线的距离公式得 .①

依题设,点 C 在直线 AB 上,故有 由 x﹣a≠0,得 .②



将②式代入①式得
2 2 2



整理得 y [(1﹣a)x ﹣2ax+(1+a)y ]=0. 2 2 若 y≠0,则(1﹣a)x ﹣2ax+(1+a)y =0(0<x<a) ; 若 y=0,则 b=0,∠AOB=π,点 C 的坐标为(0,0) ,满足上式. 2 2 综上得点 C 的轨迹方程为(1﹣a)x ﹣2ax+(1+a)y =0(0≤x<a)

第 36 页(共 55 页)

因为 a≠0,所以



由此知,当 0<a<1 时,方程③表示椭圆弧段; 当 a>1 时,方程③表示双曲线一支的弧段;

【点评】本小题主要考查曲线与方程,直线和圆锥曲线等基础知识,以及求动点轨迹的基本 技能和综合运用数学知识解决问题的能力.

20.如图,已知椭圆 C:

+

=1, (a>b>0) ,点 B 是其下顶点,直线 x+3y+6=0 与椭圆

C 交于 A,B 两点(点 A 在 x 轴下方) ,且线段 AB 的中点 E 在直线 y=x 上. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且直线 AP,BP 分别交直线 y=x 于点 M,N, 证明: ? 为定值.

【分析】 (I)设 A(x1,y1) ,B(0,﹣b) ,线段 AB 的中点 E(x0,x0) ,x0≠0.直线方程 2 2 2 2 2 2 2 与椭圆方程联立化为: (a +9b )x +12a x+36a ﹣9a b =0, 利用根与系数的关系、中点坐标公式,及其 x0+3x0+6=0,联立解出即可得出. 2 (II)由(I)可得:A(﹣3,﹣1) ,B(0,﹣2) .设 P(m,n) ,代入椭圆方程化为 m =12 ﹣3n .直线 AP,BP 的方程分别为:y=
2

(x+3)﹣1,y=

x﹣2,分别与直线方程 y=x

联立解得 M,N.利用数量积运算性质即可得出. 【解答】 (I)解:设 A(x1,y1) ,B(0,﹣b) ,线段 AB 的中点 E(x0,x0) ,x0≠0. 联立 ,化为: (a +9b )x +12a x+36a ﹣9a b =0,
2 2 2 2 2 2 2

第 37 页(共 55 页)

∴x1+0=
2 2

=2x0,

=0,x0+3x0+6=0,

解得 b =4,a =12, ∴椭圆 C 的方程为: =1.

(II)证明:由(I)可得:A(﹣3,﹣1) ,B(0,﹣2) . 设 P(m,n) ,可得 =1,化为 m =12﹣3n . (x+3)﹣1,y= x﹣2, ,N .
2 2

则直线 AP,BP 的方程分别为:y= 分别与直线方程 y=x 联立解得 M



?

=

=

=

=

=3 为定值. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点坐标公式、数量 积运算性质,考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力,属于难题. 21. (2006?山东)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所 组成的四边形为正方形,两准线间的距离为 1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当△ AOB 面积取得最大值时,求 直线 l 的方程. 【分析】 (Ⅰ)先设出椭圆标准方程,根据题意可知 b=c,根据准线方程求得 c 和 a 的关系, 进而求得 a,b 和 c,则椭圆方程可得. (Ⅱ)设出直线 l 的方程和 A,B 的坐标,进而把直线方程与椭圆方程联立,消去 y,根据 判别式大于 0 求得 k 的范围,根据韦达定理求得 x1+x2,x1x2 的表达式,表示出|AB|,求得 原点到直线的距离,进而表示出三角形的面积,两边平方根据一元二次方程,建立关于 S 的不等式,求得 S 的最大值,进而求得 k,则直线方程可得. 【解答】解:设椭圆方程为

(Ⅰ)由已知得

?



∴所求椭圆方程为 8x +16y =1. (Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1) ,B(x2,y2)
第 38 页(共 55 页)

2

2



,消去 y 得关于 x 的方程: (1+2k )x +8kx+6=0,

2

2

由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点, 2 2 ∴△>0?64k ﹣24(1+2k )>0 解得

又由韦达定理得



=

原点 O 到直线 l 的距离







两边平方整理得:4S k +4(S ﹣4)k +S +24=0(*)

2 4

2

2

2

∵S≠0,

整理得: 又 S>0,∴ 从而 S△ AOB 的最大值为
4


2

此时代入方程(*)得 4k ﹣28k +49=0∴ 所以,所求直线方程为: . 【点评】 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系. 考查了学生分析问题和基本 运算的能力.

第 39 页(共 55 页)

22. (2006?北京)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在此椭 .

圆上,且 PF1⊥F1F2,|PF1|= ,|PF2|= (1)求椭圆的方程;
2 2

(2)若直线 l 过圆 x +y +4x﹣2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 【分析】 解: (Ⅰ) 由题意可知 2a=|PF1|+|PF2|=6, a=3, 由此可求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)解法一:设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) .设直线 l 的方程为 y=k(x+2) 2 2 2 2 +1,代入椭圆 C 的方程得(4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k﹣27=0.因为 A,B 关于点 M 对称.所以 .解得 ,由此可求出直线 l 的方程. ,

(Ⅱ)解法二:设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) .由题意 x1≠x2 且





,②

由①﹣②得

.③因为 A、B

关于点 M 对称,所以 x1+x2=﹣4,y1+y2=2,代入③得直线 l 的斜率为 ,由此可求出直线 l 的方程. 【解答】解: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△ PF1F2 中, 故椭圆的半焦距 c= 2 2 2 从而 b =a ﹣c =4, 所以椭圆 C 的方程为 , ,

=1.

(Ⅱ)解法一: 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) . 2 2 已知圆的方程为(x+2) +(y﹣1) =5, 所以圆心 M 的坐标为(﹣2,1) . 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 2 2 2 2 (4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k﹣27=0.
第 40 页(共 55 页)

因为 A,B 关于点 M 对称. 所以 .

解得

, ,

所以直线 l 的方程为 即 8x﹣9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) (Ⅱ)解法二:

已知圆的方程为(x+2) +(y﹣1) =5, 所以圆心 M 的坐标为(﹣2,1) . 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) . 由题意 x1≠x2 且 ,① ,②

2

2

由①﹣②得 因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+x2=﹣4,y1+y2=2, 代入③得 = ,

.③

即直线 l 的斜率为 , 所以直线 l 的方程为 y﹣1= (x+2) , 即 8x﹣9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意. ) 【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解题,避免错 误.

23. (2006?重庆)已知一列椭圆

.n=1,2….若椭圆 Cn 上有

一点 Pn,使 Pn 到右准线 ln 的距离 dn 是{pnFn}与{PnGn}的等差中项,其中 Fn、Gn 分别是 Cn 的左、右焦点. (I)试证: (II)取 (n≥1) ; ,并用 Sn 表示△ PnFnGn 的面积,试证:S1<S2 且 Sn>Sn+1(n≥3) .

第 41 页(共 55 页)

【分析】 (I) 由题设及椭圆的几何性质有 2dn={PnFn}+{PnGn}=2, 故 dn=4. 设 则右准线方程为 出对任意 (II)设点 P 的坐标为(xn,yn) ,由题设条件能够推出{FnGn}=2Gn,△ PnFnGn 的面积为 Sn=Gn{y4},由此入手能够证出 S1<S2,且 Sn>Sn+1(n≥3) . 【解答】证明: (I)由题设及椭圆的几何性质有: 2dn={PnFn}+{PnGn}=2,故 dn=1. 设 ,则右准线方程为 x= . . .由题设条件能推出 .即

, .从而证

因此,由题意 dn 应满足



,解之得:





.从而对任意



(II)设点 P 的坐标为(xn,yn) ,则由 dn=1 及椭圆方程易知

=

.因{FnGn}=2Gn,

故△ PnFnGn 的面积为 Sn=Gn{y4}, 从而
3 2 2



令 f(c)=﹣2c +c +2c﹣1.由 f′(c)=﹣6c +2c+2=0. 得两根 而在 .从而易知函数 f(c)在 内是减函数. 内是增函数.

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现在由题设取 则 又易知

, 是增数列. .

故由前已证,知 S1<S2,且 Sn>Sn+1(n≥3) 【点评】本题综合考查椭圆、数列和不等式的知识,难度较大,解题时要综合考虑,恰当地 选取公式. 24. (2006?四川)已知两定点 , ,满足条件

=2 的点 P 的轨迹是曲线 E,直线 y=kx﹣1 与曲线 E 交于 A、B 两点.如果 且曲线 E 上存在点 C,使 求 m 的值和△ ABC 的面积 S.

【分析】先判断曲线 E 形状,求出曲线 E 的方程,直线 AB 方程代入,利用判别式及根与 系数关系求出直线 AB 斜率范围,利用弦长公式求出斜率 k 的值,得到直线 AB 方程.设出 点 C 的坐标,依据条件用 m 表示点 C 的坐标,再代入曲线 E 的方程求得 m 值,点 C 到直 线 AB 的距离为高,计算三角形面积. 【解答】解:由双曲线的定义可知, 曲线 E 是以 且 ,易知 b=1 2 2 故曲线 E 的方程为 x ﹣y =1(x<0) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由题意建立方程组 消去 y,得(1﹣k )x +2kx﹣2=0 又已知直线与双曲线左支交于两点 A,B,
2 2

为焦点的双曲线的左支,



解得 又∵ =

第 43 页(共 55 页)

=

=

依题意得 整理后得 28k ﹣55k +25=0 ∴ ∴ 故直线 AB 的方程为 设 C(xc,yc) ,由已知 ∴ ,得(x1,y1)+(x2,y2)=(mxc,myc) , (m≠0) 或 但
4 2





∴点 C(

, )

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 得 m=±4,但当 m=﹣4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意

∴m=4,C 点的坐标为

C 到 AB 的距离为

∴△ABC 的面积



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【点评】本题主要考查双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识 及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力.

25. (2006?安徽)如图,F 为双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的右焦点.P 为双曲线

C 右支上一点,且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点,O 为坐标原点.已知四边形 OFPM 为平行四边形,|PF|=λ|OF|. (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 λ 的关系式; (Ⅱ)当 λ=1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点,若|AB|=12,求此 时的双曲线方程.

【分析】 (1)根据四边形 OFPM 是平行四边形,可知|OF|=|PM|=c,作双曲线的右准线交 PM 于 H,根据双曲线定义可表示出|PM|,进而根据双曲线第二定义表示出离心率 e,化简整理 即可得到 e 和 λ 的关系式. (2)当 λ=1 时,e=2,c=2a,b =3a ,双曲线为
2 2

,根据四边形 OFPM 是菱形,

求的直线 OP 的斜率,进而可知直线 AB 的方程代入到双曲线方程,进而表示出|AB|求得 a, 则 b 可得,进而可求得双曲线方程. 【解答】解: (Ⅰ)∵四边形 OFPM 是平行四边形, ∴|OF|=|PM|=c,作双曲线的右准线交 PM 于 H,则|PM|=|PH|+2×
2



又 e=

,e ﹣λe﹣2=0.

(Ⅱ)当 λ=1 时,e=2,|PF|=|OF|. ∴c=2a,b =3a ,双曲线为
2 2

=1 且平行四边形 OFPM 是菱形,

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由图象,作 PD⊥X 轴于 D,则直线 OP 的斜率为

=

=

,则直线 AB 的方程

为 y=
2

(x﹣2a) ,代入到双曲线方程得:
2

4x +20ax﹣29a =0,又|AB|=12, 由|AB|= ,

得:12= 解得 a=1, 2 则 b =3, 所以 x ﹣
2



=1 为所求.

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程.考查了学生对双曲线性质的综合掌握.

26. (2006?天津)如图,双曲线

=1(a>0,b>0)的离心率为

、F2 分别 .

为左、右焦点,M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点,且 (I)求双曲线的方程; (II)设 A(m,0)和

(0<m<1)是 x 轴上的两点.过点 A 作斜率不为 0 的

直线 l,使得 l 交双曲线于 C、D 两点,作直线 BC 交双曲线于另一点 E.证明直线 DE 垂直 于 x 轴.中心 O 为圆心.

第 46 页(共 55 页)

【分析】 (I) 设点 M (x, y) , 根据题设条件联立方程求得 M 的坐标, 根据
2 2 2

. 求

得 a,b 和 c 的关系利用 a +b =c 求得 c,b 和 a,答案可得 (II)设点 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,E(x3,y3) ,则可表示出直线 l 的方程,直线与双曲 线联立方程,可求得 x1x2 的表达式,求得 x2 的表达式,同理可求得 x3 的表达式,最后得出 以 x2=x3,判断出故直线 DE 垂直于 x 轴. 【解答】 (I)解:根据题设条件,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) .

设点 M(x,y) ,则 x、y 满足

因 故

,解得

, = .

利用 a +b =c ,得

2

2

2

,于是
2 2



因此,所求双曲线方程为 x ﹣4y =1.

(II) 解: 设点 C (x1, y1) , D (x2, y2) , E (x3, y3) , 则直线 l 的方程为



于是 C(x1,y1) 、D(x2,y2)两点坐标满足 将①代入②得(x1 ﹣2x1m+m ﹣4y1 )x +8my1 x﹣4y1 m ﹣x1 +2mx1﹣m =0. 由已知,显然 m ﹣2x1m+1≠0.于是
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



因为 x1≠0,得



同理,C(x1,y1) 、E(x3,y3)两点坐标满足

可解得



所以 x2=x3,故直线 DE 垂直于 x 轴.
第 47 页(共 55 页)

【点评】本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程 的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法,考查推理及运算能力. 27. (2006?北京)已知点 M(﹣2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件 动点 P 的轨迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 的最小值. .记

【分析】 (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,由此能求出其方程. (Ⅱ) 当直线 AB 的斜率不存在时, 设直线 AB 的方程为 x=x0, 此时 A(x0, B(x0,﹣ ) , (2) ) ,

=2,当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,

代入双曲线方程

中,得(1﹣k )x ﹣2kbx﹣b ﹣2=0.依题意可知方程有两个不

2

2

2

相等的正数根,由此入手能求出

的最小值.

【解答】解: (Ⅰ)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支, 所求方程为: (x>0)

(Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0, 此时 A(x0, B(x0,﹣ ) , ) , =2

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 代入双曲线方程
2 2 2

中,得:

(1﹣k )x ﹣2kbx﹣b ﹣2=01° 依题意可知方程 1°有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,





解得|k|>1 又
2

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) (kx2+b)
2

=(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b =

>2

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综上可知

的最小值为 2.

【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运 用. 28. (2005?上海) (1)求右焦点坐标是(2,0) ,且经过点(﹣2,﹣ 程. (2)已知椭圆 C 的方程是 + )的椭圆的标准方

=1(a>b>0) .设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两

点,AB 的中点为 M.证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上. (3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作 图步骤,并在图中标出椭圆的中心.

【分析】 (1)先设出椭圆的标准方程,根据焦点坐标可求得 c,进而可得 a 和 b 的关系,把 点(﹣2,﹣ )代入椭圆方程,求得 b,进而根据 a= 求得 a,椭圆的方程可得.

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m 且椭圆 C 的交点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,直线方程和椭 圆方程联立进而可得 x1+x2 和 y1+y2 的表达式,进而可得 AB 中点 M 的坐标进而可判定 AB 2 2 的中点 M 在过原点的直线 b x+a ky=0 上. (3)作两条平行直线分别交椭圆于 A、B 和 C、D,并分别取 AB、CD 的中点 M、N,连 接直线 MN;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于 A1、B1 和 C1、D1, 并分别取 A1B1、C1D1 的中点 M1、N1,连接直线 M1N1,那么直线 MN 和 M1N1 的交点 O 即为椭圆中心. 【解答】解: (1)设椭圆的标准方程为 + =1,a>b>0,

∴a =b +4,即椭圆的方程为 ∵点(﹣2,﹣ ∴
2

2

2

+

=1.

)在椭圆上,

+

=1.
2

解得 b =4 或 b =﹣2(舍) . 由此得 a =8,即椭圆的标准方程为
2

+

=1.

(2)证明:设直线 l 的方程为 y=kx+m, 与椭圆 C 的交点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , y=kx+m,

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则有

+
2

=1.
2 2 2 2 2 2 2 2

解得(b +a k )x +2a kmx+a m ﹣a b =0. 2 2 2 2 ∵△>0,∴m <b +a k , 即﹣ <m< .

则 x1+x2=﹣

,y1+y2=kx1+m+kx2+m=



∴AB 中点 M 的坐标为(﹣


2 2

) .

∴线段 AB 的中点 M 在过原点的直线 b x+a ky=0 上. (3)解:如图,作两条平行直线分别交椭圆于 A、B 和 C、D,并分别取 AB、CD 的中点 M、N,连接直线 MN;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于 A1、B1 和 C1、D1,并分别取 A1B1、C1D1 的中点 M1、N1,连接直线 M1N1,那么直线 MN 和 M1N1 的交点 O 即为椭圆中心.

【点评】 本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系. 综合考查了学生对椭圆性质 和利用韦达定理来解决椭圆与直线问题的掌握.

29. (2005?湖南) 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点为 F1、 F2, 离心率为 e. 直

线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 (Ⅰ)证明:λ=1﹣e ; (Ⅱ)若 λ= ,△ MF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程; (Ⅲ)确定 λ 的值,使得△ PF1F2 是等腰三角形. 【分析】 (Ⅰ)先根据 A、B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴的交点表示出 A、B 的坐标, 然后联立直线方程与椭圆方程可得到交点 M 的坐标,再根据 =λ 得(﹣c+ , )=λ
2





( ,a)根据对应坐标相等可得到

,从而得到 λ=1﹣e ,等证.

2

第 50 页(共 55 页)

(Ⅱ) 当 λ= 时可得到 e 的值, 进而得到 a, c 的关系, 再由△ PF1F2 的周长为 6 可得到 2a+2c=6, 进而可求出 a,c 的值,从而可得到 b 的值,确定椭圆方程. (Ⅲ)根据 PF1⊥l,可得到∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,进而要使得△ PF1F2 为等腰三角 形,必有|PF1|=|F1F2|,即 |PF1|=c 成立,

然后设点 F1 到 l 的距离为 d,根据 |PF1|=d=

=c 可得到

=e,进而可

得到 e 的值,求出 λ 的值. 【解答】 (Ⅰ)证明:因为 A、B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴、y 轴的交点, 所以 A、B 的坐标分别是(﹣ ,0) , (0,a) .





这里 c=



所以点 M 的坐标是(﹣c, 由 =λ 得(﹣c+ ,

) .

)=λ( ,a) .



,解得 λ=1﹣e

2

(Ⅱ)当 λ= 时,e= ,所以 a=2c. 由△ PF1F2 的周长为 6,得 2a+2c=6. 2 2 2 所以 a=2,c=1,b =a ﹣c =3. 椭圆方程为 + =1.

(Ⅲ)因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△ PF1F2 为等腰三角形,必有 |PF1|=|F1F2|, 即 |PF1|=c. 设点 F1 到 l 的距离为 d,由 |PF1|=d= = =c.


2

=e.
2

所以 e = ,于是 λ=1﹣e = .
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即当 λ= 时,△ PF1F2 为等腰三角形. 【点评】本题主要考查直线与 x 轴、y 轴的交点问题、向量的线性运算、椭圆方程的求法和 点到直线的距离. 考查基础知识的综合运用和计算能力. 直线与圆锥曲线是高考的一个重要 考点,每年必考,要给予充分重视.

30. (2005?辽宁)已知椭圆 0) ,Q 是椭圆外的动点,满足| 上,并且满足 ? =0,|

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1(﹣c,0) 、F2(c, |=2a.点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q |≠0. |=a+ x;
2

(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明| (Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程;

(Ⅲ) 试问: 在点 T 的轨迹 C 上, 是否存在点 M, 使△ F1MF2 的面积 S=b . 若存在, 求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

【分析】 (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为(x,y) , 由题设条件知| |= = = ,

由此能够推导出|

|=a+ x.

证法二:设点 P 的坐标为(x,y) .记| 由 r1+r2=2a,r1 +r2 =4cx,能够推导出|
2 2

|=r1,|

|=r2,

|=r1=a+ x.

证法三:设点 P 的坐标为(x,y) .椭圆的左准线方程为 a+ x=0,

由椭圆第二定义得

= ,由此入手推导出|

|=a+ x.

第 52 页(共 55 页)

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为(x,y) .当| 上. 当| 在△ QF1F2 中,

|=0 时,点(a,0)和点(﹣a,0)在轨迹

时,由题设条件知 T 为线段 F2Q 的中点. ,由此求出点 T 的轨迹 C 的方程.

解法二:在推导出 T 为线段 F2Q 的中点的基础上,设点 Q 的坐标为(x',y') , 由中点坐标公式和| |=2a 推导出点 T 的轨迹 C 的方程.

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M(x0,y0)使 S=b 的充要条件是

2

由③得|y0|≤a,由④得|y0|≤

.再分类讨论进行求解.

解法二:C 上存在点 M(x0,y0)使 S=b 的充要条件是

2

由④得|y0|≤

.上式代入③得 x0 =a ﹣

2

2

=(a﹣

) (a+

)≥0.再分类讨论进行求解.

【解答】 (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为(x,y) . 由P (x, y) 在椭圆上, 得| |= = =

由 x≥a,知 a+ x≥﹣c+a>0,所以| 证法二:设点 P 的坐标为(x,y) .记| 则 r1=
2 2

|=a+ x |=r1,| . |=r2,

,r2=

由 r1+r2=2a,r1 +r2 =4cx,得|

|=r1=a+ x.

证法三:设点 P 的坐标为(x,y) .椭圆的左准线方程为 a+ x=0

由椭圆第二定义得

= ,即||

= |x+

|=|a+ x|.

由 x≥﹣a,知 a+ x≥﹣c+a>0,所以|

|=a+ x.

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为(x,y) .
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当| 当| 又

|=0 时,点(a,0)和点(﹣a,0)在轨迹上. 时,由 ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. ,所以有 x +y =a .
2 2 2 2 2 2

,得



在△ QF1F2 中,

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x +y =a . 解法二:设点 T 的坐标为(x,y) .当| 当| 又,| |≠0 且| | |≠0,时,由 ? |=0 时,点(a,0)和点(﹣a,0)在轨迹上. ⊥ .

=0,得

,所以 T 为线段 F2Q 的中点.

设点 Q 的坐标为(x',y') ,则

因此

① |=2a 得(x'+c) +y' =4a .②
2 2 2 2 2 2

由|

将①代入②,可得 x +y =a . 2 2 2 综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x +y =a .
2

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M(x0,y0)使 S=b 的充要条件是

由③得|y0|≤a,由④得|y0|≤ 当 a< 当 a≥ 由 S= ? ?

.所以,当 a≥

时,存在点 M,使 S=b ;

2

时,不存在满足条件的点 M. 时,
2

=(﹣c﹣x0,﹣y0) ,
2 2 2 2 2

=(c﹣x0,﹣y0) , ? =| |?| |=cos∠F1MF2,

=x0 ﹣c +y0 =a ﹣c =b ,
2

sin∠F1MF2=b ,得 tan∠F1MF2=2.
2

解法二:C 上存在点 M(x0,y0)使 S=b 的充要条件是

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由④得|y0|≤

.上式代入③得 x0 =a ﹣
2

2

2

=(a﹣

) (a+

)≥0

于是,当 a≥ 当 a< 当 a≥

时,存在点 M,使 S=b ;

时,不存在满足条件的点 M. 时,记 k1=kF1M= ,k2=kF2M= ,

由|F1F2|<2a,知∠F1MF2<90°,所以 tan∠F1MF2=|

|=2.

【点评】平时练习时多尝试一题多解,能够开拓我们的解题思路,从而提高解题能力.

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