kl800.com省心范文网

2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案


海淀区高三年级第一学期期中练习



学(文科)

2015.11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出

的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。 1. 已知集合 P ? x | x 2 ? x ? 0 , M ? ?0,1,3,4? ,则集合 P ? M 中元素的个数为 A.1 B.2 C. 3 D.4

?

?

2. 下列函数中为偶函数的是 A. y ?

x B. y ? lg x C. y ? ? x ? 1? D. y ? 2 x
2

??? ? ???? ??? ? ??? ? 3. 在 ?ABC 中, ?A ? 60? , AB ? 2, AC ? 1 , 则 AB ? AC 的值为
A. 1B. ?1 C.

1 1 D. ? 2 2

4. 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1 ( n ? 2 ),且 S2 ? 3 ,则 a1 的值为 A. 0 B. 1 C. 3 D.5

5. 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ,下列结论中错误 的是 .. A. f ( x ) ? cos2 x C. f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称 6. “ x ? 0 ”是“ sin x ? ? x ”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 B. f ( x ) 的最小正周期为 π D. f ( x ) 的值域为 [? 2, 2]

1

7. 如图, 点 O 为坐标原点, 点 A(1,1) . 若函数 y ? a x( a ? 0 , 且 a ?1) 及 y ? logb x( b ? 0 , 且b ?1) 的图象与线段 OA 分别交于点 M ,N , 且 M , N 恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 a , b 满足 A. a ? b ? 1 B . b ? a ? 1 C. b ? a ? 1 D. a ? b ? 1

y 1 N M O 1 x A

??1, x ? ?1 ? 1 8. 已知函数 f ( x ) ? ? x, ? 1 ? x ? 1 ,函数 g ( x) ? ax 2 ? . 若函数 y ? f ( x ) ? g ( x ) 恰有 2 个不同零 4 ?1, x ? 1 ?
点,则实数 a 的取值范围是 A. (0, ?? ) B. ( ? ?,0) ? (2, +?) C. (??, ? ) ? (1,+?)

1 2

D. ( ??,0) ? (0,1)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 函数 f ( x) ? 2 x ? 2 的定义域为________. 10. 已知角 ? 的终边过点 (1, ?2) ,则 cos(? ? ) ? ___. 11. 若等差数列 ?an ? 满足 a1 ? ?4 , a3 ? a9 ? a10 ? a8 ,则 an ? . 12. 已知向量 a ? (1,0) ,点 A(4, 4) ,点 B 为直线 y ? 2 x 上一个动点,若 AB / / a ,则点 B 的坐标为 ______. 13. 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )( ? ? 0 ). 若 f ( x ) 的图象向左平移 图象重合,则 ? 的最小值为______. 14. 对于数列 {an } ,若 ?m,n ? N*( m ? n ) ,均有

π 2

??? ?

π 个单位所得的图象与 f ( x ) 的 3

am ? an ,则称数列 {an } 具有性质 P(t ) . ? t ( t 为常数) m?n

(i)若数列 {an } 的通项公式为 an ? n 2 ,且具有性质 P(t ) ,则 t 的最大值为______; (ii)若数列 {an } 的通项公式为 an ? n 2 ? 是______.

a ,且具有性质 P (7) ,则实数 a 的取值范围 n

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2

15. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 0 ,且 a1 ? 1 , 4a3 ? a2a4 . (Ⅰ)求公比 q 和 a 3 的值; (Ⅱ)若 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:

Sn ?2. an

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) . (Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

π 6

π 6

π 6

17. (本小题满分 13 分) 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? 8, BC ? 3, CD ? 5, ?A ? (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求 ?BCD 的面积.
A

? 1 ,cos ?ADB ? . 3 7
D C

B

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 . 3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 (0,1) 处切线的斜率为 ?3 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)

3

已知数列 {an } 的各项均不为 0,其前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? a, 2Sn ? an an ?1 . (Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a ? ?9 , 求 Sn 的最小值.

20.(本小题满分 14 分) 已知 x 为实数, 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 例如 [1.2] ? 1, [?1.2] ? ?2, [1] ? 1 . 若对于函数

f ( x ) , 存在实数 m ? R 且 m ? Z, 使得 f (m) ? f ([m]) ,则称函数 f ( x ) 是 ? 函数.
(Ⅰ)判断函数 f ( x) ? x 2 ? x,g ( x) ? sin πx 是否是 ? 函数; (只需写出结论) (Ⅱ)已知 f ( x) ? x ?

1 3

a ,请写出一个 a 的值,使得 f ( x ) 是 ? 函数,并给出证明; x

(Ⅲ)设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期函数,其最小正周期为 T ,若 f ( x ) 不是 ? 函数,求 T 的最 小值.

关注课外 100 网,及时获得最新教研资料

4

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数
阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

学 (文科)

2015.11

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. B2.B3. C 4. A 5.D 6. C 7. A 8. D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. [1, ??) 10.

2 5 11. n ? 5 12. (2,4) 5

13. 6 14. 3; [12, ??) 说明;第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解: (Ⅰ)法一 因为 4a3 ? a2a4 ,所以 4a3 ? a32 ,所以 a3 ? 4 , 因为 q2 ? ---------------------------3 分

a3 ? 4 ,所以 q ? ?2 , 1
---------------------------6 分

因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 . 法二:因为 4a3 ? a2a4 ,所以 4a1q2 ? a1q4 ,所以有 q2 ? 4 ,所以 q ? ?2 . 因为 an ? 0 ,所以 q ? 0 ,即 q ? 2 . 所以 a3 ? a1q2 ? 4 .--------------------------6 分 (Ⅱ)当 q ? 2 时, an ? a1qn?1 ? 2n?1 , 所以 Sn ?

---------------------------3 分

--------------------------8分

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q

--------------------------10 分

所以

Sn 2 n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 . an 2 2
5

因为

S 1 1 ? 0 ,所以 n ? 2 ? n ?1 ? 2 --------------------------13 分 n ?1 an 2 2
--------------------------8分

法二:当 q ? 2 时, an ? a1qn?1 ? 2n?1 . 所以 Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 . 1? q

--------------------------10 分

所以

Sn 2 n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 . an 2 2
S Sn 1 ? 2 ? ? n ?1 ? 0 ,所以 n ? 2 . an an 2
--------------------------13 分

所以

法三:当 q ? 2 时, an ? a1qn?1 ? 2n?1 , 所以 Sn ?

--------------------------8分

a1 (1 ? q n ) ? 2n ? 1 , 1? q

--------------------------10 分

要证

Sn ? 2 ,只需要 Sn ? 2an , 只需 2n ? 1 ? 2 n , an
--------------------------13 分 16.解:

上式显然成立, 得证. (Ⅰ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )

π 6

π 6

所以 f ( ) ? 3sin(2 ?

π 6

π π π π ? ) ? cos(2 ? ? ) 6 6 6 6

π π 3 3 ? 3 sin( ) ? cos( ) ? ? ? 3 --------------------------4 分 6 6 2 2
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) 所以 f ( x ) ? 2(

π 6

π 6

3 π 1 π sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )) 2 6 2 6

π π π π ? 2[cos sin(2 x ? ) ? sin cos(2 x ? )] 6 6 6 6 π π ? 2sin[(2 x ? ) ? ] 6 6
? 2 sin 2 x --------------------------8 分

6

所以周期 T ? 令 2kπ ?

2π ? π. 2

--------------------------10 分 --------------------------11 分

π π ? 2 x ? 2kπ+ , 2 2 π π 解得 kπ ? ? x ? kπ+ , k ? Z . 4 4
π π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ+ ), k ? Z . 4 4
法二:因为 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )

--------------------------13 分

π 6 π π π π 所以 f ( x) ? 3(sin2 xcos ?cos2 xsin ) ?(cos2 xcos ?sin2 x sin ) -------------------6 分 6 6 6 6

π 6

? 3(

3 1 3 1 sin 2 x ? cos2 x ) ? ( cos2 x ? sin 2 x ) 2 2 2 2

? 2 sin 2 x --------------------------8 分
所以周期 T ? 令 2kπ ?

2π ? π, 2

--------------------------10 分 --------------------------11 分

π π ? 2 x ? 2kπ+ , 2 2 π π 解得 kπ ? ? x ? kπ+ , k ? Z , 4 4
π π 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (kπ ? , kπ+ ), k ? Z . 4 4

--------------------------13 分

17.解: (Ⅰ)在 ?ABD 中,因为 cos ?ADB ? 所以 sin ?ADB ?

1 , ?ADB ? (0, π) , 7

4 3 .--------------------------3 分 7
--------------------------6 分

BD AB , ? sin ?A sin ?ADB ? 代入 AB ? 8, ?A ? , 3
根据正弦定理,有 解得 BD ? 7 . 法二:作 BE ? AD 于 E .

--------------------------7 分

π π ,所以在 ?ABD 中, BE ? AB ? sin ? 4 3 . 3 3 1 在 ?BDE 中,因为 cos ?ADB ? , ?ADB ? (0, π) , 7
因为 AB ? 8, ?A ?

--------------------------3 分

7

所以 sin ?ADB ? 所以 BD ?

4 3 ,--------------------------6 分 7
--------------------------7 分

BE ?7. sin ?BDE
BC 2 ? CD 2 ? BD 2 . 2 BC ? CD

(Ⅱ)在 ?BCD 中,根据余弦定理 cos ?C ? 代入 BC ? 3, CD ? 5 ,得 cos ?C ? ? 所以 S ?BCD ?

--------------------------10 分 --------------------------12 分

1 2π , ?C ? (0, π ) 所以 ?C ? , 2 3

1 2π 15 3 ? 3 ? 5 ? sin ? --------------------------13 分 2 3 4

法二:作 CF ? BD 于 F . 设 DF ? x, 则 BF ? 7 ? x , 所以在 ?BCD 中, 52 ? x 2 ? 32 ? (7 ? x)2 . 解得 x ? --------------------------7 分

65 . 14
15 3 14

--------------------------10 分

所以 CF ? 52 ? x 2 ?

S?BCD ?

1 1 15 3 15 3 ? BD ? CF ? ? 7 ? ? . 2 2 14 4

--------------------------13 分

18.解 (Ⅰ)因为 f (0) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 经过点 (0,1) , 又 f '( x) ? x ? 2 x ? a ,
2

---------------------------2 分 ---------------------------3 分

所以 f '(0) ? a ? ?3 , 所以 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 .
2

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表

x
f '( x ) f ( x)

( ??, ?3)
?
?

?3
0 极大值

( ?3,1)
?
?

1
0 极小值

(1, +?)
?
?

8

---------------------------5 分 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, ?3) , (1, +?) , 单调递减区间为 ( ?3,1) (Ⅱ) 因为函数 f ( x ) 在区间 [?2, a ] 上单调递增, 所以 f '( x ) ? 0 对 x ? [?2, a ] 成立, 只要 f '( x) ? x ? 2 x ? a 在 [?2, a ] 上的最小值大于等于 0 即可.
2

.

---------------------------7 分

---------------------------9 分

因为函数 f '( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 的对称轴为 x ? ?1 ,
2

当 ?2 ? a ? ?1 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '(a ) , 解 f '(a)=a ? 3a ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? ?3 ,所以此种情形不成立---------------------------11 分
2

当 ?1 ? a 时, f '( x) 在 [?2, a ] 上的最小值为 f '( ?1) , 解 f '( ?1) ? 1 ? 2 ? a ? 0 得 a ? 1 ,所以 a ? 1 , 综上,实数 a 的取值范围是 a ? 1 . ---------------------------13 分

19.解: (Ⅰ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2S1 ? a1a2 ,即 2a1 ? a1a2 , 因为 a1 ? a ? 0 ,所以 a2 ? 2 . (Ⅱ)因为 2Sn ? an an ?1 ,所以 2 Sn ?1 ? an ?1an ,两式相减, 得到 2an ? an (an ?1 ? an ?1 ) , 因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? an ?1 ? 2 , 所以 {a2 k ?1},{a2 k } 都是公差为 2 的等差数列, 当 n ? 2 k ? 1 时,an ? a1 ? 2(k ? 1) ? n ? a ? 1 , 当 n ? 2k 时, --------------------------6 分 --------------------------8 分 ---------------------------4 分 ---------------------------2 分

an ? 2 ? 2(k ? 1) ? 2k ,

9

?n ? a ? 1, n为奇数, 所以 an ? ? n为偶数. ?n ,
(Ⅲ)

?n ? 10, 当 a ? ?9 时, an ? ? ?n ,
因为 2Sn ? an an ?1 ,

n为奇数, n为偶数.

--------------------------9 分

?1 (n ? 10)(n ? 1), n为奇数, ? ? 所以 Sn ? ? 2 --------------------------11 分 ? 1 n(n ? 9) , n为偶数, ? ?2
所以当 n 为奇数时, Sn 的最小值为 S5 ? ?15 , 当 n 为偶数时, Sn 的最小值为 S4 ? ?10 , 所以当 n ? 5 时, Sn 取得最小值为 ?15 . 20.解: (Ⅰ) f ( x ) ? x 2 ? x 是 ? 函数, g ( x ) ? sin πx 不是 ? 函数; (Ⅱ)法一:取 k ? 1 , a ? 则令 [m] ? 1, m ? --------------------------13 分 --------------------------14 分

1 3

--------------------------4 分 --------------------------5 分 --------------------------7 分

3 ? (1,2) , 2

a 3 ? , 1 2 3 3 此时 f ( ) ? f ([ ]) ? f (1) 2 2
所以 f ( x ) 是 ? 函数.

--------------------------9 分

1 ? (0,1) , 2 1 则令 [m] ? ?1, m ? ? , 2 1 1 此时 f ( ? ) ? f ([? ]) ? f ( ?1) 2 2
法二:取 k ? 1 , a ? 所以 f ( x ) 是 ? 函数. (说明:这里实际上有两种方案: 方案一:设 k ? N* ,取 a ? (k 2 , k 2 ? k ) ,

--------------------------5 分 --------------------------7 分

--------------------------9 分

10

令 [m] ? k , m ?

a a ? k2 a ? (0,1) , ,则一定有 m ? [m ] ? ? k ? k k k

且 f (m) ? f ([m]) ,所以 f ( x ) 是 ? 函数. ) 方案二:设 k ? N* ,取 a ? (k 2 ? k , k 2 ) , 令 [m] ? ?k , m ? ?

a k2 ? a a ? (0,1) , ,则一定有 m ? [m ] ? ? ? ( ? k ) ? k k k

且 f (m) ? f ([m]) ,所以 f ( x ) 是 ? 函数. )

(Ⅲ) T 的最小值为 1. 因为 f ( x ) 是以 T 为最小正周期的周期函数,所以 f (T ) ? f (0) . 假设 T ? 1 ,则 [T ] ? 0 ,所以 f ([T ]) ? f (0) ,矛盾. 所以必有 T ? 1 , 而函数 l ( x ) ? x ? [ x ] 的周期为 1,且显然不是是 ? 函数, 综上, T 的最小值为 1.

--------------------------11 分

--------------------------13 分

--------------------------14 分

关注课外 100 网,及时获得最新教研资料

11


2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案

2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案_韩语学习_外语学习_教育专区。2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案 ...

2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案

2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)试题及答案 ...

2015-2016学年北京海淀区高三数学(文)第一学期期中考试试卷及答案

2015-2016学年北京海淀区高三数学(文)第一学期期中考试试卷及答案_数学_高中...高三理数试题 第 4 页(共 4 页) 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ...

【城市季风原版资源】2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)答案

【城市季风原版资源】2015-2016学年第一学期海淀期中高三数学(文)答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。城市季风 发布 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ...

2015-2016海淀高三数学(文)第一学期期中试题(含答案)

2015-2016海淀高三数学(文)第一学期期中试题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。期中测试 海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(文科) 2015.11 本试卷共 4 页...

2015—2016学年海淀区高三年级第一学期期中考试(文数)试卷及答案

20152016学年海淀区高三年级第一学期期中考试(文数)试卷及答案_高三数学_数学...高三理数试题 第 4 页(共 4 页) 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 ...

海淀区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题及答案word版

海淀区2015-2016学年第一学期期末高三数学()试题及答案word版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科)2016.1 本试卷共 ...

海淀区2015-2016学年第一学期期末高三数学(文)试题及答案word版

海淀区2015-2016学年第一学期期末高三数学(文)试题及答案word版_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(文科)2016.1 本试卷共 4 页,...

2015-2016学年度第一学期 北京市海淀区高三数学(文)期中试卷及答案

2015-2016学年度第一学期 北京市海淀区高三数学(文)期中试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(文科) 2015.11 本试卷共 4 ...

海淀高三第一学期期中 | 2016海淀高三期中语文 | 2016海淀期中 | 2016海淀高三期中化学 | 2016海淀高三期中英语 | 2016海淀区高三期中 | 2016海淀高三期中生物 | 2016海淀高三期中 |