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2013-2014高中数学 2.1.2指数函数及其性质学案 新人教A版必修1


§2.1.2

指数函数及其性质

学习目标 1. 了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; 2. 理解指数函数的概念和意义; 3. 能画出具体指数函数的图象,掌握指数函数的性质(单调性、特殊点). 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P54~ P57,找出疑惑之处) 复习 1:零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的?

(1) a 0 ? ; ?n (2) a ? ;
m

(3) a n ? ;a * 其中 a ? 0, m, n ? N , n ? 1

?

m n

?

.

复习 2:有理指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ;(2) (a m )n ? (3) (ab) ?
n



.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:指数函数模型思想及指数函数概念 实例: A.细胞分裂时,第一次由 1 个分裂成 2 个,第 2 次由 2 个分裂成 4 个,第 3 次由 4 个分 裂成 8 个,如此下去,如果第 x 次分裂得到 y 个细胞,那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关 系式是什么? B.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以 时间 x 年为自变量,残留 量 y 的函数关系式是什么? 讨论:上面的两个函数有什么共同特征?底数是什么?指数是什么?

新知:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function), 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 反思:为什么规定 a >0 且 a ≠1 呢?否则会出现什么情况呢?

试试:举出几个生活中有关指数模型的例子? 探究任务二:指数函数的图象和性质 引言:你能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的内容和方法 吗? 回顾: 研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值 域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性.

-1-

作图:在同一坐标系中画出下列函数图象: 1 y ? ( )x , y ? 2x 2

讨论:
1 1 (1)函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系?如何由 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) x 的图 2 2 象?

1 (2)根据两个函数的图象的特征,归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为 3 或 后 3 呢?

新知:根 据图 象归纳指数函数的性质. a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1),即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是 (4)在 R 上是减函 增函数 数

性 质

※ 典型例题 例 1 函数 f ( x) ? a x ( a ? 0, 且a ? 1 )的图象过点 (2, ? ) ,求 f (0) , f (?1) , f (1) 的值.

小结:①确定指数函数重要要素是 ② 待定系数法. 例 2 比较下列各组中两个值的大小: (1) 20.6 , 20.5 ; (2) 0.9?2 ,0.9?1.5 ;



-2-

(3) 2.10.5 ,0.52.1 ; (4) ?

2? 3

与1 .

小结:利用单调性比大小;或间接利用中间数. ※ 动手试试 练 1. 已知下列不等式,试比较 m、n 的大小: 2 2 (1) ( ) m ? ( ) n ; (2) 1.1m ? 1.1n . 3 3

练 2. 比较大小: (1) a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ; (2) 10 , 0.4?2.5 , 2?0.2 , 2.51.6 .

三、总结提升 ※ 学习小结 ①指数函数模型应用思想;②指数函数概念;③指数函数的图象与性质;③单调法. ※知识拓展 因为 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 的定义域是 R, 所以 y ? a f ( x ) (a ? 0,且a ? 1) 的定义域与
f ( x) 的定义域相同. 而 y ? ? (a x ) (a ? 0,且a ? 1) 的定义域,由 y ? ? (t ) 的定 义域确定.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

).

-3-

※ 当堂检测(时 量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a 的值为( A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 任意值 x?2 2. 函数 f(x)= a ? 1 (a>0,a≠1)的图象恒过定点( A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2)

). ).

3. 指数函数① f ( x) ? m x ,② g ( x) ? n x 满足不等式 0 ? m ? n ? 1 ,则它们的图象是 ( ).

2

4

4. 比较大小: (?2.5) 3

(?2.5) 5 .

1 5. 函数 y ? ( ) x ? 1 的定义域为 9

.

课后作业 1 1. 求函数 y= x 的定义域. 51? x ? 1

2. 探究:在[m,n]上, f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域?

-4-


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