2013-2014高中数学 2.1.2指数函数及其性质学案 新人教A版必修1

§2.1.2

指数函数及其性质

学习目标 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义； 3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）. 学习过程 一、课前准备 （预习教材 P54~ P57，找出疑惑之处） 复习 1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？

（1） a 0 ? ； ?n （2） a ? ；
m

（3） a n ? ；a * 其中 a ? 0, m, n ? N , n ? 1

?

m n

?

.

复习 2：有理指数幂的运算性质. （1） a m ?a n ? ；（2） (a m )n ? （3） (ab) ?
n

；

.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例： A．细胞分裂时，第一次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分 裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关 系式是什么？ B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84％，那么以 时间 x 年为自变量，残留 量 y 的函数关系式是什么？ 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

新知：一般地，函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数（exponential function）， 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R. 反思：为什么规定 a ＞0 且 a ≠1 呢？否则会出现什么情况呢？

试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？ 探究任务二：指数函数的图象和性质 引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法 吗？ 回顾： 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． 研究内容：定义域、值 域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

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作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1 y ? ( )x ， y ? 2x 2

讨论：
1 1 （1）函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 的图象有什么关系？如何由 y ? 2 x 的图象画出 y ? ( ) x 的图 2 2 象？

1 （2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为 3 或 后 3 呢？

新知：根 据图 象归纳指数函数的性质. a>1 0<a<1 图 象 (1)定义域：R (2)值域：（0，+∞） (3)过点（0，1），即 x=0 时，y=1 (4)在 R 上是 (4)在 R 上是减函 增函数 数

性 质

※ 典型例题 例 1 函数 f ( x) ? a x （ a ? 0, 且a ? 1 ）的图象过点 (2, ? ) ，求 f (0) , f (?1) , f (1) 的值.

小结：①确定指数函数重要要素是 ② 待定系数法. 例 2 比较下列各组中两个值的大小： （1） 20.6 , 20.5 ； （2） 0.9?2 ,0.9?1.5 ；

；

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（3） 2.10.5 ,0.52.1 ； （4） ?

2? 3

与1 .

小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数. ※ 动手试试 练 1. 已知下列不等式，试比较 m、n 的大小： 2 2 （1） ( ) m ? ( ) n ； （2） 1.1m ? 1.1n . 3 3

练 2. 比较大小： （1） a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ； （2） 10 , 0.4?2.5 , 2?0.2 , 2.51.6 .

三、总结提升 ※ 学习小结 ①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法. ※知识拓展 因为 y ? a x (a ? 0，且a ? 1) 的定义域是 R， 所以 y ? a f ( x ) (a ? 0，且a ? 1) 的定义域与
f ( x) 的定义域相同. 而 y ? ? (a x ) (a ? 0，且a ? 1) 的定义域，由 y ? ? (t ) 的定 义域确定.

学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

）.

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※ 当堂检测（时 量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. 函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数，则 a 的值为（ A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 任意值 x?2 2. 函数 f(x)= a ? 1 (a>0,a≠1)的图象恒过定点（ A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2)

）. ）.

3. 指数函数① f ( x) ? m x ，② g ( x) ? n x 满足不等式 0 ? m ? n ? 1 ，则它们的图象是 （ ）.

2

4

4. 比较大小： (?2.5) 3

(?2.5) 5 .

1 5. 函数 y ? ( ) x ? 1 的定义域为 9

.

课后作业 1 1. 求函数 y= x 的定义域. 51? x ? 1

2. 探究：在[m，n]上， f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域？

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