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海淀区2015,2014,2013年高一下册期中考试数学试卷


海淀区高一年级第二学期期中练习


学校班级姓名 成绩



2015.4

本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
? ? ? ? 1. cos 45 cos15 ? sin 45 sin15 =

A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

1 2. 已知 tan ? ? ,则 tan 2? = 3 3 3 B. 4 8 3. 下列等式中恒成立的是 A
A. C.1 D.

1 2

π π 1 π 1 ? tan ? A. sin ? cos(? ? ) ? cos? sin(? ? ) ? ? B. tan(? + ) ? 6 6 2 4 1 ? tan ?
C. sin(? ? ) ? sin ? ? cos? D. sin ? cos? ? sin ?
4.若数列 {an } 满足 an ? 22 n ?1 ,则

π 4

A. 数列 {an } 不是等比数列 C. 数列 {an } 是公比为 2 的等比数列

B. 数列 {an } 是公比为 4 的等比数列 D. 数列 {an } 是公比为

1 的等比数列 2

5.在△ABC 中,∠B=60° ,c=2,b= 6 ,则∠C= A. 45° B. 135° C. 45° 或 135° 6. ?1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? A A. n 2 ? 1 B. (n ? 1)2 C. n2 D. 无解 D. (n ? 1)2

7. 已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示,则 cos ?ABC ?

2 3 B. 5 10 3 4 C. D . 5 5
A. 8.已知钝角 三角形 ABC 的三边的边长 a ,8, b ( a ? b )成等差数列, .. 则该等差数列的公差 d 的取值范围是 A. 0 ? d ? 2 B. d ? 2 C. 2 ? d ? 4 D. d ? 4

9.

3 1 ? = cos10? sin10?

A. 2 B. ?2 C. 4 D. ?4
?a ? 10.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n2 ,数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 2n ,则数列 ? n ? ? bn ?

A.既有最大值,也有最小值 B.仅有最大值,而无最小值 C.既无最大值,也无最小值 D. 仅有最小值,而无最大值 二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 3 分,共 18 分.
11.若等差数列 {an } 的通项公式 an ? 1 ? 2n ,则其公差 d ? _______.

12.在△ABC 中,∠B=60° ,a=2,c=3,则 b ? _________. 13.若等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a2 ? 6 ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? _________. 14.已知数列 {an } 满足

1 1 1 ? ? 2( n ? 2, n ? N ) , 且 a3 ? , 则 a1 ? ___________,数列 {an } an an ?1 3

的通项公式为___________. 15.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .若 A ? B ,给出下列四个结论: ① a ? b ;② sin A ? sin B ;③ cos A ? cos B ;④ tan A ? tan B . 其中所有正确结论的序号是_______________. 16. 已知数列 {an } 满足 an ? an?1 ? n ( n ? 2, n ? N ) ,且 a1 ? ?1 ,则 a10 ? ___________, 其前
2 k ? 1 (k ? N* ) 项和 S2 k ?1 ? _______________.

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 9 分) 已知等差数列 {an } 满足 a3 ? ?9 ,公差 d ? 3 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和 Sn 是否存在最小值?若存在,求出 Sn 的最小值及此时 n 的值; 若不存在,请说明理由.

18.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2x (1 ? tan x) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域;

π (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域. 4

19. (本小题共 11 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? Sn ? 4 n ? N* . (Ⅰ)求 a1 ; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? a2 n ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

20. (本小题共 10 分) 如图所示,在山顶 P 点已测得三点 A,B,C 的俯角分别为 ? , ? , ? ,其中 A,B,C 为山 脚两侧共线的三点,现欲沿直线 AC 开通穿山隧道,为了求出隧道 DE 的长,至少还需要直 接测量出 AD, EB, BC 中的哪些线段长?把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角 度作为已知量,写出计算隧道 DE 的步骤.
P

?

?

?

A

D

EB

C

解 1: 步骤 1:还需要直接测量的线段为 步骤 2:计算线段 计算步骤: 步骤 3:计算线段 计算步骤: 步骤 4:计算线段 计算步骤:

海淀区高一年级第二学期期中练习


学校班级姓名 成绩



2014.4

本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1.若 1 和 a 的等差中项是 2,则 a 的值为 A. 4 B. 3 C. 1 2.计算 2cos 15 ? ?1 的结果为
2

( D.



?4
( )

A.

?

3 2

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2
( )

3.在△ABC 中, a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,则 cos A 等于 A.

?

1 2

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2
( )

4.已知函数 f ( x) ?

3 1 sin x ? cos x 在 x0 处取得最大值,则 x0 可能是 2 2

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
S4 ? 3 ,则 a5 的值为 S2
( )

5.等比数列 ?an ? 的首项为 1,其前 n 项和为 Sn ,如果 A. 2 B. 2 或 ?2 C. 4
2

D. 4 或 ?4 ( )

6.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? A.

9 10

B.

10 11

1 ,其前 n 项和为 Sn ,则 S10 的值为 n ?n 11 12 C. D. 12 13

7.等差数列 ?an ? 满足 an ? N ? ,且前 10 项和 S10 ? 280 ,则 a9 最大值是 A. 28 B. 49 C. 50 D. 52 ( )





8.若在△ABC 中,有 sin

C ? cos A ,则△ABC 一定是 2

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.

D. 等腰三角形

9.在△ABC 中, AB ? 3 , AC ? 1 , ?A ? 30? ,则△ABC 的面积为.

10.若角 ? 的终边经过点 P(?1, 2) ,则 tan ? ? , tan(? ? 11.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 a1 ? ?9 , 且

?
4

)?.

S3 ? S1 ? 1 , 则 ?an ? 的公差是, 3

Sn 的最小值为.
12.已知在△ABC 中,有 CB? CA ? 0 ,则下列说法中: ①△ABC 为钝角三角形; ②c ? a ?b ;
2 2 2

??? ? ??? ?

③ cos A cos B ? sin A sinB .

正确说法的序号是.(填上所有正确说法的序号) 13.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 1, a3 ? 2 ,若 数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 =.

an a ? n?3 (n ? N ? , n ? 4) ,则 a5 =, an?2 an?1

1 ? 2an , 0 ? an ? ? ? 2 14.已知 0 ? a1 ? 1,定义 an ?1 ? ? . 1 ?2a ? 1, a ? n n ? ? 2
(I)如果 a2 ? a3 ,则 a2 ? ; (II)如果 a1 ? a3 ,则 a1 的取值范围是. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos 2x .
2

(I)求 f ( ) 值;

?

4

(II)求 f ( x) 的最小值正周期; (III)求 f ( x) 的单调递增区间.

16. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? n ? (I)求 ?an ? 的通项公式;

1 . 2

(II)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (III)若 a1 , am , a3m 成等比数列,求 m 的值.

17. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中, c ? 6 , ?C ?

?
2

,且 a cos B ? b sin A .

(I)求∠B 的值; (II)若点 E,P 分别在边 AB,BC 上,且 AE=4,AP⊥CE,求 AP 的长;

18. (本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且有 | an?1 |?| an ? 1| . (I)写出 a3 所有可能的值;

(II)是否存在一个数列 ?an ? 满足:对于任意正整数 n ,都有 an?6 ? an 成立?若有,请 写出这个数列的前 6 项,若没有,说明理由; (III)求 | a1 ? a2 ? ? ? a10 | 的最小值.

海淀区高一年级第二学期期中练习





2013.04

学校班级姓名 成绩
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) sin 45 cos15 ? cos 45 sin15 ?
? ? ? ?

(

)

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)1 ( )

(2)数列 ?an ? 中,a1 = 1 ,an?1 ? an ? 2(n ? N*) ,那么 a8 的值是 (A) - 14 (B) 15 (C) - 15 (D) 17 ( )

(3)等比数列 {an } 中, a3 ? ?1 ,那么 a1a2 a3a4 a5 的值是 (A) - 4 (B) - 5 (C) - 1

(D) 1

a 2 - (b - c)2 = 1 ,则 ? A (4)在△ ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c . 若 bc
的大小是 ( (B) )

π π 2π (C) (D) 3 4 3 (5)在△ ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则△ ABC 的形状是(
(A ) (A)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形

π 6

) (D)直角三角形 )

(6) 等差数列 {an }的前 n 项和为 Sn , 已知 S9 < 0, S11 > 0 , 那么下列结论正确的是 ( (A) S9 ? S10 <0 (B) S10 +S11 >0 (C)数列 {an }是递增数列,且前 9 项的和最小 (D)数列 {an }是递增数列,且前 5 项的和最小

(7) 如图, 为了测量河对岸 A, B 两点间的距离, 某课外小组的同学在岸边选取 C , D 两点, 测得 CD = 200m , ? ADC

105? , ? BDC


15? , ? BCD

120?, ? ACD

30? ,则

A, B 两点间的距离是(
(A) 200 2 m

A

(B) 200 3 m

B

C D

(C)100 6 m

(D)100 (1 ? 3) m

B, C 所对的边分别为 a , b, ?B ? 30? , c ? 6, (8) 在 ?ABC 中, 角A, 记 b = f (a ) , c,
若 函 数 g ( a) = f ( a) - k ( k 是 常 数 ) 只 有 一 个 零 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 ( ) (A) {k 0 < k ? 3或k (C) {k k ? 6}

6}

(B) {k 3 #k

6} 3}

(D) {k k ? 6或k

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. (9)已知 sin ? ?

1 ,则 cos 2? =______________. 2

(10)已知等比数列 1, a, b, - 8,?,此数列的第 7 项是______________. (11)公差不为零的等差数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? a4 ,则

a5 ?. a4

B, C 所对的边分别为 a , A = 30? , b, (12) 在△ ABC 中, 角A, 如果 a = 2, c = 2 3 , c,
那么△ ABC 的面积等于. ( 13)数列 {an }的前 n 项和是 Sn . 若 2Sn = nan + 2(n 澄2, n

N*) , a2 = 2 ,则 a1 = ;

an = .
( 14 )将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成 数列

a11, a21, a 22, a 31 , a 32 , ? . 若所得数列构成一个等差数列,且 a11 ? 2 , a33 ? 12 ,则
①数阵中的数 aii 可用 i 表示为_____________; ②若 amn ? a( m?1)( n?1) ? a( m?2)( n?2) ,则 m+n 的值为____________.

a11 a21 a22 a31 a32 a33 a41 a42 a43 a44 ?????

三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题共 11 分)

已知函数 f ( x) =

3 sin x cos x + cos 2 x -

1 . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调 区间; .. (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [-

5 1 π, π] 上的最大值和最小值. 12 24

(16)(本小题共 11 分) 已知等差数列 {an }的前 10 项和 S10 = - 40 , a5 = - 3 . (Ⅰ)求数列 {an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn = an + 2
an

(n ? N* ) ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn .

(17)(本小题共 11 分)

C 所对应的边分别为 a , b, 在 ?ABC 中, 角 A, 且 (2a ? c) c o s B ? bc o s C. c, B,
(Ⅰ)求角 B 的大小; B =

π 3
π , CD ? 1 ,求 c 的值. 6

(Ⅱ)若点 D 为 BC 边的中点, ?CAD ?

(18)(本小题共 11 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . 已知 an+ 1 + (- 1)n an = 2n - 1( n ? Ν*) . (Ⅰ)若 a1 ? 1 ,求 a2,a3,a4 ; (Ⅱ)若 a1 ? a ( a 为常数) ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 Tn ?

S4n ? 55 (n ? N*) ,求数列 ?Tn ? 的最大项. 5 2 (n ? ) 2

海淀区高一年级第二学期期中练习答案





2015.4

学校班级姓名 成绩
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
DAABA ACCDB

二、填空题:本大题共 6 小题, 每小题 3 分,共 18 分.
11. ?2 12. 7
n 13. 3 ? 1 14. ?1,

1 2n ? 3

15.①②③

2 16. 7, k ? 2

说明:两空的题目第一空 1 分,第二空 2 分;第 15 题对一个一分,有错误选支 0 分

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 9 分) 解: (Ⅰ)因为 {an } 是等差数列,且 a3 ? ?9 ,公差 d ? 3 , 所以由 ?9 ? a1 ? 2d 可得 a1 ? ?15 ,-----------------------------------------------------------------1 分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ?15 ? 3(n ? 1) ,即 an ? 3n ? 18 .-------------------------3 分 (Ⅱ)法 1:由等差数列求和公式可得 Sn ? ?15n ? 即 Sn ? (n2 ? 11n) ? [(n ?

n(n ? 1) ? 3 --------------------------5 分 2

3 2

3 2

11 2 121 ) ? ] ----------------------------------------------------6 分 2 4
-------------------------------------------------9 分

所以,当 n ? 5 或 6 时, Sn 取得最小值 ?45 . 法 2:因为 an ? 3n ? 18 ,

所以,当 n ? 6 时, an ? 0 ;当 n ? 6 时, an ? 0 ;当 n ? 6 时, an ? 0 , 即当 1 ? n ? 6 时, Sn ? Sn ?1 ;当 n ? 6 时, Sn ? Sn ?1 ;当 n ? 6 时, Sn ? Sn ?1 ,--------6 分 所以,当 n ? 5 或 6 时, Sn 取得最小值 ?45 . 18.(本小题共 12 分) --------------------------------------------------9 分

π 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? kπ ? , k ? Z} .-------------------------------------2 分 2
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 2cos2x (1 ? tan x)

? 2cos 2x ? 2sin x cos x -------------------------------------------------------4 分 ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ------------------------------------------------------------8 分

π ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) -----------------------------------------------------------10 分 4 π π π 3π 因为 x ?[0, ] ,所以 2x ? ?[ , ] ,--------------------------------------------------------11 分 4 4 4 4 π 所以 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域为 [2,1 ? 2] .------------------------------------------------12 分 4
19. (本小题共 11 分) 解: (Ⅰ)由 2an ? Sn ? 4 n ? N* 可得 2a1 ? S1 ? 4 ,即 2a1 ? a1 ? 4 ,-------------------1 分 解得 a1 ? ?4 . ----------------------------------------------------------------2 分

?

?

(Ⅱ)由 2an ? Sn ? 4 n ? N* 可得 2an?1 ? Sn?1 ? 4, n ? 1, n ? N ,--------------------------3 分 所以 2an ? 2an?1 ? Sn ? Sn ?1 , n ? 1, n ? N ,即 2an ? 2an?1 ? an , n ? 1, n ? N ,----------------4 分 整理得 an ? 2an?1 , n ? 1, n ? N , 因为 a1 ? ?4 ? 0 , 所以数列 ?an ? 是公比为 2 的等比数列. ----------------------------------------------------------6 分 --------------------------------------5 分

?

?

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)可得数列 ?an ? 是以 ?4 为首项且公比为 2 的等比数列, 所以 an ? ?4 ? 2n?1 ? ?2n?1 , 所以 bn ? a2n ? 2n ? ?22n?1 ? 2n , ----------------------------------------------------------------7 分 ---------------------------------------------------------------8 分

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 是一个等比数列与等差数列的前 n 项和的和-----------------9 分 由等比数列和等差数列的前 n 项和公式可得

?8(1 ? 4 n ) (2 ? 2 n) n ? 1? 4 2 8 ? n2 ? n ? ? (4n ? 1) . 3 20. (本小题共 10 分) Tn ?

----------------------------------------------------------11 分

P

?

?

?

D EB 解 1: 步骤 1:还需要直接测量的线段为 AD, EB, BC -------------------------------------------2 分

A

C

步骤 2:计算线段 PC 的长. 计算步骤:在 ?PBC 中 ?BPC ? ? ? ? , ?PBC ? π ? ? , ?PCB ? ? ;---------------3 分

BC PC , --------------------------------5 分 ? sin ?BPC sin ?PBC BC sin ? 整理可得 PC ? ; ---------------------------------------------------6 分 sin( ? ? ? )
由正弦定理可得 步骤 3:计算线段 AC 的长. 计算步骤:在 ?PAC 中, ?PAC ? ? , ?APC ? π ? ? ? ? ,

AC PC , ---------------------------------------8 分 ? sin ?APC sin ?PAC PC sin(? ? ? ) 整理可得 AC ? ; -----------------------------------------------9 分 sin ? 步骤 4:计算线段 DE 的长. BC sin ? sin(? ? ? ) DE ? AC ? AD ? EB ? BC ? ? AD ? EB ? BC .-----------10 分 sin ? sin( ? ? ? )
由正弦定理 解 2: 步骤 1:还需要直接测量的线段为 AD, BE , BC --------------------------------------------2 分 步骤 2:计算线段 PB 的长. 计算步骤:在 ?PBC 中 ?BPC ? ? ? ? , ?PBC ? π ? ? , ?PCB ? ? ;----------------3 分

BC PB , ---------------------------------5 分 ? sin ?BPC sin ?PCB BC sin ? 整理可得 PB ? ;-----------------------------------------------------6 分 sin( ? ? ? )
由正弦定理可得 步骤 3:计算线段 AB 的长. 计算步骤:在 ?PAB 中, ?PAB ? ? , ?APB ? π ? ? ? ? ,

AB PB , ---------------------------------------8 分 ? sin ?APB sin ?PAB PB sin(? ? ? ) 整理可得 AB ? ;------------------------------------------------9 分 sin ? 步骤 4:计算线段 DE 的长.
由正弦定理

海淀区高一年级第二学期期中练习

数学
参考答案及评分标准 2014.4
一、选择题. 题号 答案 二、填空题. 1 B
[来源:Z。xx。 k.Com]

2 D

3 A

4 C

5 C

6 B

7 B

8 D

9.

3 4
①②③

10. ?2, ?

1 3

11. 1, ? 45

12.

13.

4,

527 16

14.

1 1 1 2 3 (I)或 0 1 (II)(0, ) ?( , ) ?( , ) 4 3 2 3 4
说明:12 题如果填写两个选项给 2 分,只填一个选项不给分;其余两空题目都是每个 空 2 分. 三、解答题 15.解: ( I ) f ( ) ? (

? 4

2 2 2 ? ? ) ? cos ? 2 2 2 2

…………………….2 分.

( II ) 因为 f ( x) ? sin2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? cos2 x 所以 f ( x) ? 1 ? sin 2x ? cos2 x 所以 f ( x ) ? …………………….4 分 …………………….6 分

π 2sin(2x ? ) ? 1 4
2π |? | ?

所以 f ( x ) 的最小正周期为 T = (Ⅲ)令 2kπ ?

2π ? π …………………….8 分 2

[来源:学_科_网]

π π π 3π π ? 2x ? ? 2kπ ? 所以 kπ ? ? x ? kπ ? 2 4 2 8 8 3π π (kπ ? , kπ ? ),k ? Z …………………….10 分 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 8 8 1 16.解: ( I )解法一:设 {an } 的公差为 d , 因为 an ? an ?1 ? n ? , 2
1 ? a ? a ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 2 所以有 ? ,两式相减得到, 2d ? 1 ,即 d ? 2 ? a 2 ? a3 ? 2 ? 1 ? ? 2
代入得到 a1 ? 所以 an ?

… ……………….2 分

1 2

………………….4 分 ………………….6 分

1 1 n +(n ? 1) ? ? 2 2 2

解法二:设 {an } 的公差为 d , 则 an ? a1 +(n ? 1) ? d , an?1 ? a1 +n ? d , ………………….2 分
[来源:学科网]

(2n ? 1) ? d ? 2dn ? 2a1 ? d 所以 an ? an?1 ? 2a1 ?

所以有 2dn ? 2a1 ? d =n ?

1 对 n ? N* 成立, 2

? 1 d= ? 2d =1 ? ? 2 ? 所以有 ? 1 ,解得 ? 2a1 ? d = ? a1 = 1 ? ? 2 ? ? 2
所以 an ?

………………….4 分

1 1 n +(n ? 1) ? ? 2 2 2 ( a1 ? an ) ( n ? 1)n n, 所以 Sn ? (II) 因为 S n ? 2 4
2

………………….6 分 ………………….9 分 ………………….10 分

(Ⅲ)因为 a1, am , a3m 成等比数列,所以 (am ) =a1a3m 即

m 2 1 3m ? ? 4 2 2

………………….11 分 ………………….12 分 ………………….2 分

解得 m ? 3, m ? 0 (舍掉)所以 m ? 3 17. 解: ( I ) 由正弦定理

a b ? 得到 a sin B ? b sin A sin A sin B

所以有 a sin B ? a cos B 所以 sin B ? cos B ,即 tan B ? 1

………………….3 分 ………………….4 分

(0,?) , 所以 ?B ? 因为 B ?

π ………………….5 分 4

(II)在 ?ACE 中,根据余弦定理

CE 2 =AC 2 ? AE 2 ? 2 AC ? AEcos?CAE
得到 CE =(3 2) ? 4 ? 2 ? 3 2 ? 4 ? cos
2 2 2

………………….7 分

π 4
………………….8 分 ………………….9 分
[来源:学+科+网]

化简得 CE = 10 在 ?ACE 中,

sin ?ACE sin ?CAE ? AE CE

化简得到 sin ?ACE =

2 5 5

………………….10 分

因为 ?ACE ? ?CAP ?

π 2 5 ,所以 cos ?CAP ? sin ?ACE ? 2 5

所以在 Rt?ACP 中, cos ?CAP ?

AC 2 5 = AP 5

[来源:学科网]

代入得到 AP ?

3 10 2

……………….12 分

18 解: (I) a3 可能取的值 3, ? 3,1, ?1 (II) 存在 ………………….3 分

………………….2 分

1, ? 2 (或者取 1,2, ? 3, ?2, ? 1, 0) 这个数列的前 6 项可以为 1, ? 2,1, ?2,
………………….5 分 (Ⅲ) | a1 ? a2 ? ... ? a10 | 的最小值为 1 ………………….6 分

解法一:因为 a1 ? 1,| an?1 |?| an ? 1| ,所以 an ? Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶数 因此 a1, a2 ,..., a10 中一定有 5 个奇数,5 个偶数, 所以 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | 一定是奇数,所以 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |? 1

1, ? 2, 1, ? 2, 1, 2 (或者为 令这 10 项分别为 1, ? 2,1, ?2, 1,2, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2, 3, ? 4 ,或者为 1, 2, 3, ? 4, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2)
则有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | =1 ………………….10 分

解法二:因为 a1 ? 1,| an?1 |?| an ? 1| , 所以 an ? Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶 数 又因为 (an?1 ) ? (an ? 1) 所以 (an?1 ) ? (an ) ? 1 ? 2an
2 2 2 2

所以有 a11 ? a10 ? 1 ? 2a10
2 2

a102 ? a92 ? 1 ? 2a9
......

a32 ? a22 ? 1 ? 2a2 a22 ? a12 ? 1 ? 2a1
把上面的 10 个式子相加,得到 a11 ? a1 ? 10 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? a10 )
2 2

所以有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |?

1 | a112 ? 11| 2 1 | 9 ? 11|=1 2

因为离 11 最近的奇数的平方是 9,所以有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |?

1, ? 2, 1, ? 2, 1, 2 (或者为 令这 10 项分别为 1, ? 2,1, ?2, 1,2, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2, 3, ? 4 ,或者为 1, 2, 3, ? 4, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2)

则有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | =1

………………….10 分

海淀区高一年级第二学期期中练习 数 学 参考答案及评分标准 2013.04
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) A (2) B (3) C (4) C (5) D (6) D (7) A (8) D

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)

1 2

(10)64

(11)

3 2

(12) 2 3 或 3

(13) 1 , ? í

ì n = 1, ? 1, ? ? ? 2n - 2, n ? 2.

(14) i 2 ? i ,5

注: (12)题给出一个正确答案给3分,共4分; (13) , (14)题每空2分. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ) f ( x) =

3 sin x cos x + cos 2 x -

1 2
…………………………………2 分

=
= sin(2 x + π ) 6

3 1 sin 2 x + cos 2 x 2 2

…………………………………3 分

π π ? 2kπ (k ? Z) 得 6 2 π π kπ - #x kπ + (k ? Z) . 3 6 π π 3π ? 2kπ 由 2kπ + ? 2 x (k ? Z) 得 2 6 2 π 2π kπ + #x kπ + …………………………………6 分 (k ? Z) . 6 3 π π , kπ + ](k ? Z) ; 单 调 递 减 区 间 为 所 以 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [kπ 3 6 π 2π [kπ + , kπ + ] (k ? Z ) . 6 3
由 2kπ -

π ? 2x 2

(Ⅱ)因为 -

5 π #x 12 2 所以 - π ? 2 x 3
所以 当 2 x +

1 π, 24 π π ? . 6 4

…………………………………8 分

π π π π π 2 = ,即 x = 时, f ( x) 取得最大值 ;当 2 x + = ,即 6 4 24 6 2 2
…………………………………11 分

x= -

π 时, f ( x) 取得最小值 - 1 . 3

(16) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an }的公差为 d . 因为 a5 = - 3 , S10 = - 40 ,

ì a1 + 4d = - 3, ? ? ? 所以 í 10? 9 ? 10a1 + d = - 40. ? ? 2 ?
解得: a1 = 5, d = - 2 . 所以 an = 7 - 2n . 另解:因为 a5 = - 3 , S10 = - 40 , 所以 S10 =

…………………………………3 分

…………………………………6 分

(a1 + a10 ) ? 10 2

5(a5 + a6 ) = 5(- 3 + a6 ) = - 40 .
…………………………………3 分

所以 a6 = - 5 . 所以 an = a5 + (n - 5)? ( 2) = 7 - 2n . …………………………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,等差数列 {an }的首项是 5,公差是-2. 所以 Tn = b1 + b2 + ?+ bn = a1 + a2 + ?+ an + 25 + 23 + ?+ 27- 2n

=

(5 + 7 - 2n)?n
2

+

25 (1- 2- 2 n ) 1- 2- 2
2

…………………………………10 分

128 - 27- 2 n = 6n - n + . 3
(17) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)

…………………………………11 分

a b c = = , sin A sin B sin C a sin A c sin C = , = 所以 . b sin B b sin B
因为 因为 (2a ? c) cos B ? b cosC ,

…………………………………1 分

sin A sin C ) cos B = cos C . sin B sin B 所以 2sin A cos B - sin C cos B = sin B cos C .
所以 (2 所以 2sin A cos B = sin( B + C ) = sin A . 因为 A ? (0, π) , 所以 sin A ? 0 . 所以 cos B = …………………………………3 分

1 . 2

…………………………………4 分

因为 B ? (0, π) , 所以 B =

π . 3

…………………………………5 分

方法二: 因为 (2a ? c) cos B ? b cosC ,

所以 (2a - c)
2 2

a 2 + c 2 - b2 a 2 + b2 - c 2 =b . 2ac 2ab
2

…………………………………2 分

所以 a + c - b = ca .

…………………………………3 分

a 2 + c 2 - b2 1 = . 所以 cos B = 2ac 2
因为 B ? (0, π) , 所以 B =

…………………………………4 分

π . 3

…………………………………5 分

(Ⅱ)在 ?ACD, ?ABD 中,

CD AD BD AD = , = . sin 行 CAD sin C sin BAD sin B
…………………………………6 分

π 由(Ⅰ)知: B = . 3
因为 点 D 为 BC 边的中点, ?CAD ?

π , 6

所以

1 sin π 6

=

AD 1 AD . , = sin C sin( π - C ) sin π 2 3
3 . 2
…………………………………8 分

所以 sin 2C = 因为 C ? (0, ) , 所以 C = 当C =

π 2

π π 或C = . 3 6

…………………………………9 分

π 时, ?ABC 为等边三角形,由 CD ? 1 可得: AB = 2CD = 2 ; 3 π π π - = , 所 以 ?ABD 为 等 边 三 角 形 , 由 CD ? 1 可 得 : 2 6 3
…………………………………11 分

…………………………………10 分

π 时 , ? BAD 6 A B= B D = CD = 1. 所以 c = 2 或 c = 1 .
当C=

(18) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)因为 an+ 1 + (- 1)n an = 2n - 1(n ? Ν*) , a1 ? 1 , 所以 a2 ? 2,a3 ? 1,a4 ? 6 . (Ⅱ)因为 an+ 1 + (- 1)n an = 2n - 1, 所以 a2n+ 1 + a2n = 4n - 1, a2n - a2n- 1 = 4n - 3 . 两式相减得 a2n+ 1 + a2n- 1 = 2 . 所以 a3 = 2 - a1 , a2n+ 3 + a2 n+ 1 = 2 , 所以 a2n+ 3 = a2n- 1 (n ? Ν*) . 当 n = 2k (k ? Ν*) 时, a4k + 3 = a4k- 1 = ? = a3 = 2 - a1 ; 当 n = 2k - 1(k ? Ν*) 时, a4k + 1 = a4k- 3 = ? = a1 . 由已知可得 a4k - 1 + a4k- 2 = 8k - 5, a4k - a4k- 1 = 8k - 3 (k ? Ν*) . 所以 a4k- 2 = 8k - 5 - a4k - 1 = 8k - 7 + a1 , …………………………………2 分

a4k = 8k - 3 + a4k - 1 = 8k - 1- a1 .

因为 a1 = a ,

ì a, ? ? ? ? 2n - 3 + a, 所以 an = ? í ? 2 - a, ? ? ? ? ? 2n - 1- a,

n= n= n= n=

4k - 3, 4k - 2, ( k ? Ν*) . …………………………………7 分 4k - 1, 4k

(Ⅲ)设 bn ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4 n?1 ? a4 n (n ? Ν*) ,则 S4n ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 类似(Ⅱ)可得 bn ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?1 ? a4n =16n ? 6 . 所以

?bn ? 为首项为 10,公差为 16 的等差数列.
S4n ? 55 (n ? N*) , 5 2 (n ? ) 2

所以 S4n ? 8n2 ? 2n. 因为 Tn ?

8n 2 ? 2n ? 55 42 ? ?8. 所以 Tn ? 5 5 (n ? ) 2 n? 2 2
所以 T1 ? ?20, T3 ? 92 . 因为 函数 f ( x) =

5 5 42 + 8 的单调递减区间是 (- ? , ), ( , ? ) , 5 2 2 x2
…………………………………11 分

所以 数列 ?Tn ? 的最大项是 92 .


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