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3.4 函数的基本性质——最值和零点


3.4 【知识解读】
1、函数的最值:

函数的基本性质——最值和零点

设函数 y ? f ( x), x ? D ,x0 ? D 。 若对于任意 x ? D , 成立 f ( x) ? f ( x0 ) , 那么称 f ( x0 ) 为函数 f ( x) 的最大值,记作 f max ( x) ? f ( x0 ) ;若对于任意

x ? D , 称 f ( x0 ) 为函数 f ( x) 的最小值,记作 f min ( x) ? f ( x0 ) 2、函数的零点: 设函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在实数 c ? D ,满足 f (c) ? 0 ,那么就称 x ? c 叫做函数 成立,那么

f ( x) 在 D 上的一个零点。
*3、零点存在定理,二分法: 设 f ( x) 是 [a, b] 上的连续函数(即图像是一条不间断的连续曲线) ,若 f (a) ? f (b) ? 0 , 则 f ( x) 在 [a, b] 上至少存在一个零点。求零点的近似值通常可以用二分法。

【例题讲解】
例 1、求下列二次函数的最大值或者最小值: (1) y ? 2 x 2 ? 3x ? 1 (2) y ? ? x 2 ? 2 x ? 3

例 2、分别求函数 y ? 2 x ? 3x ? 1 在区间 [1,2] 和 [ ?1,1] 上的最大值或最小值。
2

? x ? 1, x ? 1 ? 2 例 3、求函数 f ( x) ? ?1 ? x ,?1 ? x ? 1 的最大值或最小值。 ?? x ? 1, x ? ?1 ?

1

例 4、求下列函数值域 (1) f ( x) ?

2 , x ? [?1,0) ? (0,2] x

(2) f ( x) ? x ? 2 x ?1

(3) f ( x) ?

1 x ? , x ? (1,4] x

(4) f ( x ) ?

2x ?1 x ?1

(5) f ( x) ?

x2 ? 3 , ( x ? 1) x ?1

(6) f ( x) ?

1 ? 2x ? x2 , x ? [1,2] x2

例 5、已知函数 f ( x) ? kx ? b 在区间 [?1,7] 上的最大值为 13,最小值为-3,求 k , b 的值

例 6、求函数 f ( x) ? x ? 2mx? m 在区间 [1,3] 上的最小值。
2

例 7、求函数 f ( x) ? x ? 2x ? 2 在区间 [0, m](m ? 0) 上的最大值。
2

2

【课后作业】
1、函数 f ( x) ? 6 x ? x 2 , x ? ?? 3,0?的最大值为 2、函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 5, x ? ?2,4?的最大值为 ,最小值为 。

,最小值为



3、函数 f ( x) ? ?

1 , x ? [2,4] 的值域为 x ?1 1 , x ? 4 的最小值为 x?4



4、函数 f ( x) ? x ?



5、已知函数 f ( x) ? ax ? b 在区间 [?2,4] 上的值域也为 [?2,4] ,则 a ? b =



6、已知函数

f ( x) ? ?x2 ? 4x ? a, x ?[0,1] 的最小值为-2,则 f ( x) 的最大值为
1 ? 1的零点在下列哪个区间内 x
B、 [2,3] C、 [3,4] D、 [4,5] (



7、方程 x ? A、 [1,2]



8、求下列函数值域。 (1) f ( x) ? ? x ? x ? 1, x ?[?1,2]
2

(2) f ( x) ? 2x ? x ?1

(1) f ( x) ?

1 ,x?R 2 ? x2

(4) f ( x) ?

x2 ? x ? 3 , x ? ?2 x?2

(5) f ( x) ? x ?1 ? x ? 2

*(6) f ( x) ?

x2 ? 2x ? 3 2x2 ? 2x ?1

3

9、已知函数 f ? x ? ?

1 2 3 x ? x ? 的定义域和值域都是 ?1, b??b ? 1? ,求 b 的取值范围。 2 2

10、求函数 f ?x? ? x 2 ? 1 在区间 ?? 2, a ? 上的最小值

11、已知函数 f ?x? ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在 0 ? x ? 1 时,有最大值 2,求 a 的值

12、市场调查,某商品在过去 100 天内的销售和价格均为时间 t(天)的函数,且销售量近

1 1 100 似地满足 ( g t) =? t ? 前 40 天价格为 f (t ) ? t ? 22 (1 ? t ? 40, t ? N ) , (1 ? t ? 100 , t ? N ) 。 4 3 3

1 后 60 天价格为 f (t ) ? ? t ? 52(41 ? t ? 100 , t ? N ) 。试写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 2 的函数关系,并求最大销售额。

【回顾反思】

4


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