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【数学】2.2.2 椭圆的简单几何性质 课件2(人教A版选修2-1)


第二章 圆锥曲线与方程

2.2.2 椭圆的简单几何性质

一 复习回顾
(1)椭圆的定义:
在平面内到两定点 的距离之和等于 定长2a( 2a> )的点的轨迹为椭圆.

定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。

(2)椭圆的标准方程
焦点在

x轴上
y M F2 x

焦点在y轴上
y
F1 M

F1

O

O
F2

x

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

焦点为 F1(-c,0)、F2(c,0)

焦点为 F1(0 ,-c)、F2(0,c)

椭圆的简单几何性质

1.范围
x2 y 2 y2 x2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1? 2 ? 0 2 a b b a x2 ? 2 ?1 a

a

x2 y 2 x 2 ? y2 ? 1 (a ? b ? 0) a2 ? b 2 ? 1 (a ? b ? 0)

2

2

b

即得 x ? a即-a ? x ? a

y


同理, y ? b即-b ? y ? b

说明椭圆位于直线 x=±a 和 y=±b所围成的矩形里

-a

o
-b



x

椭圆的简单几何性质 2.椭圆的对称性
x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

y

o

x

椭圆的简单几何性质 2.椭圆的对称性
x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b X -X 在方程中,把 Y x 换成 -x , -Y

方程不变,说明:
Q(-x,y)

y

P(x,y)

椭圆关于 Y 轴对称;
椭圆关于 x 轴对称; 椭圆关于(0,0) 点对称; 坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心
N(-x,-y)

o
M(x,-y)

x

想一想

椭圆的对称轴一定是x轴和y轴吗?对称中 心一定是原点吗?
y

F1

o

F2

x

说明椭圆的对称性不随位置的改变 而改变.

x2 y 2 小试身手:1.已知点P(3,6)在 2 ? 2 ? 1 a b

上,则(

C
)

(A) 点(-3,-6)不在椭圆上 (B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上

椭圆的简单几何性质 3.顶点与长短轴
椭圆和它的对称轴的 四个交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为: A1(-a,0)、A2(a,0)、 B1(0,-b)、B2(0,b)
A1(-a, 0)

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
y
o
B1(0,-b)

2

2

B2(0,b) A2 (a, 0)

x

回顾: 焦点坐标(±c,0)

椭圆的简单几何性质
长轴:线段A1A2; 长轴长 |A1A2|=2a 短轴:线段B1B2; 短轴长 |B1B2|=2b 焦 距 |F1F2| =2c

注意

B2(0,b)

y

①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)

b

a

长半轴长和短半轴长;


F1 a

o

c

A2 (a, 0) F2

x

|B2F2|=a; a2=b2+c2,

B1(0,-b)

③焦点必在长轴上;

小试身手:

2.说出 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:

x y2 ? ? 1 下列椭圆的范围,长轴 9 16

2

?3 ? x ? 3, ?4 ? y ? 4 2a ? 8, 2b ? 6 (0, ? 7 ) (0, ?4),(?3,0)

c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? a 叫做椭圆的离心率.

椭圆的简单几何性质 4.离心率:
∵a>c>0, ∴0 < e <1.
当e ? b? c ? 1, c ? a, a a 2 ? c 2 ? 0, 椭圆 ? 扁 c 当e ? ? 0, c ? 0, a

b?

a 2 ? c 2 ? a, 椭圆 ? 圆

离心率越大,椭圆越扁 当且仅当 a=b时,c=0,这时两个 焦点重合,图形变为圆. 离心率越小,椭圆越圆

小试身手:
3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?

x y x y (1) + =1与 ? ? 1; 9 5 16 12 2 2 2 x y 2 y (2)x + =1与 ? ? 1。 2 6 10

2

2

2

2

想一想

焦点在y轴上的椭圆的几何性质又 如何呢? y A
B2 y
2

F2 F2 A2 x B1 O F1
2





A1
2

F1
2

O

B2 x

B1

方 范

程 围

x y ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0?

y x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

A1

|x|? a |y|? b (c,0)、(?c,0)

|x|? b |y|? a (0,c)、(0,?c)

对称性 焦 顶 点 点

关于x轴、y轴、原点对称

(?a,0)、(0,?b)

离心率

c e ? a (0<e<1)

(?b,0)、(0,?a)

例题精析 例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图.

25 ? 16 ? 3 椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ? 10,2b ? 8
离心率 e ? 焦点坐标分别为 F1 ?? 3,0?, F2 ?3,0? 四个顶点坐标分别为 A (?5,0), A (5,0), B (0,?4), B (0,4) 1 2 1 2
c 3 ? ? 0.6 a 5

x2 y2 解:把已知方程化成标准方程 2 ? 2 ? 1 5 4

这里, a ? 5, b ? 4, c ?

基本量:a、b、c、e、(共四个量) 基本点:四个顶点、两个焦点(共六个点)

2 2 x y 课堂小结用曲线的图形和方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

来研究椭圆的简单几何性质
y
B2(0,b)
A1 (-a, 0)


A2 (a, 0)

x

B1(0,-b)

一个框,四个点, 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现.


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