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辽宁省沈阳市东北育才双语学校2014届高三上学期第一次模拟考试数学(理)


东北育才双语学校 2013-2014 学年度上学期
高三年级第一次模拟考试
答题时间:120 分钟 满分:150 分

数学理科试题
校对人:高三备课组

命题人:高三备课组

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求



2? , B = ?2, 3? ,则 ?U ? A 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? ,集合 A= ?1, 3, 4? A. ?1, 4? B. ?3,
C.

B? = (



?3?

D. )

?4?

2. 在复平面内,复数 A.第一象限 3.给出下列命题:

i 2012 ( i 为虚数单位)对应的点位于 ( 3?i

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

①若命题“p 或 q 为真命题,则命题 p 或命题 q 均为真命题” ②命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 .则 ?p : ?x 0 ? R ,使 sin x 0 ? 1 ; ③已知函数 f ( x) 是函数 f ( x) 在 R 上的导数,若 f ( x) 为偶函数,则 f ( x) 是奇函数; ④已知 x ? R ,则“ x > 1 ”是“ x > 2 ”的充分不必要条件; 其中真命题的个数是( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个
' '

4. 用 0,1, A.243 5. 函数 A. 1

,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( B.252 C.261 ) D.4



D.279

f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为(
B.2
2

C. 3

6.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 如果 c ? b ? a , 且a ?b?c ? 0 , 则它的图像只能是 (



7.函数 f ( x) ?

2 sin( x ?
2

?

4 2 x ? cos x

) ? 2 x2 ? x
的最大与最小值分别为 M、N,则(
第 1 页 共 10 页



A. M ? N ? 2

B. M ? N ? 2

C. M ? N ? 4

D. M ? N ? 4

2 ? ? x , x ? ? 0, ?? ? 8. 已知函数 f ? x ? ? ? 在区间 ? ??, ?? ? 上是增函数 , 则常数 a 3 2 x ? a ? 3 a ? 2, x ? ?? , 0 ? ? ? ?

的取值范围是( A. ?1, 2 ?

) B. ? ??,1?

? 2, ?? ?

C.

?1, 2?

D. ? ??,1?

? 2, ?? ?


9. 已知函数 f ( x) ? log 2 ( a ? 2 x ) ? x ? 2 , 若 f ( x) 存在零点, 则实数 a 的取值范围是 ( A. [4, ??) B. [1, ??) C. [2, ??) D. (??, ?4] [4, ?)

10.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
x 2



A.

9 2 e 4

B. 2e 2

C.

e2 2
)

D. e 2

11.当 0<a<b<1 时,下列不等式正确的是( A. ?1 ? a ? b
b

1

? ?1 ? a ?
b

b

B. ?1 ? a ? ? ?1 ? b ?
a

b

C. ?1 ? a ? ? ?1 ? a ? 2

D. ?1 ? a ? ? ?1 ? b ?
a

b

12.设函数 f ( x) 的定义域为实数集 R,且 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,若 f (4) ? ?2 ,则 函数 g ( x) ? e ?
x

A.1

2 f (2011) 的最小值是 ex ?1 B.3 C. ln 3

D. ln 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上 13.

?

1

?1

4 ? x 2 dx ?

.

14.当 x ? (1 , 2) 时,不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 15.

?x

2

? 3 x ? 2 的展开式中 x3 的系数是_______.
3

?

5

16. 函数 f ? x ? ? ax ? 3 x ? 1 对于 x ? ? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ?

x ?1 的 定 义 域 集 合 是 A, 函 数 x?2

g ( x) ? lg[ x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? a ] 的定义域集合是 B
第 2 页 共 10 页

(1)求集合 A、B (2)若 A ? B ?

B ,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况, 随即在这两条流水线上各抽取 ,重量值落在 (495,510] 的产品为合格品, 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) 否则为不合格品.图 1 是甲流水线样本的频率分布直方图,表 1 是乙流水线样本频数分布表.

(Ⅰ)若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的件数 X 的数 学期望; (Ⅱ) 从乙流水线样本的不合格品中任意取 2 件, 求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布列; (Ⅲ)由以上统计数据完成下面 2 ? 2 列联表,并回答有多大的把握认为“产品的包装质量 与两条资动包装流水线的选择有关” . 甲流水线 乙流水线 合计 合格品 不合格品 合 计

a?

b?

c?

d?

n?

p( K ? k )

2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

附:下面的临界值表供参考: (参考公式: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分)

第 3 页 共 10 页

设函数 f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x (a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 的值; (2)若 f (1) ? 求 m 的值.

3 2x ?2 x ,且 g ( x) ? a ? a ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 , 2

20.(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? x 2 e ax ,其中 a ? 0 , e 为自然对数的底数

(1)讨论函数 (2)求函数

f ( x) 的单调性

f ( x) 在区间[0,1]上的最大值

21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? ax ? a ? R ? .
2

(1)若 f ? x ? 在其定义域上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若 f ? x ? 存在极值,试求 a 的取值范围,并证明所有极值之和小于 ?3 ? ln (3)设 an ? 1 ?

1 ; 2

1 n ? N ? ? ,求证: 3 ? a1 ? a2 ? ? an ? ? a12 ? a2 2 ? ? an 2 ? ln ? n ? 1? ? 2n . ? n

?

?

第 4 页 共 10 页

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点 G 作 AB 的 垂线,交 AC 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为A H. 求证: (Ⅰ)C、D、F、E 四点共圆; (Ⅱ) GH ? GE ? GF .
2

D O C H B G

F

E

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合. 直

3 ? x ? ?1 ? t ? ? ? 5 线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin(? ? ) . 4 ? y ? ?1 ? 4 t ? 5 ?
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M 、 N 两点,求 M 、 N 两点间的距离.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ? x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) + f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值

第 5 页 共 10 页

范围. 答案 1 D 9 A 2 A 10 C 3 B 11 B 4 B 12 B 5 B 13 6 A 14 7 D 15 1560 8 c 16 4

3+

2? 3

m ? ?5

17.解: (1)A= ? x | x ? ?1或x ? 2? B= ? x | x ? a或x ? a ? 1? (2)由 A B=B 得 A

a ? ?1 ? B,因此 ? ?

?a ? 1 ? 2

所以 ?1 ? a ? 1 ,所以实数a的取值范围是 ? ?1,1?

18.解: (Ⅰ)由图1知,甲样本中合格品数为 (0.06 ? 0.09 ? 0.03) ? 5 ? 40 ? 36 ,

k C4 C62? k 则 Y 的取值为 0,1,2 ;且 P (Y ? k ) ? 2 C10

(k ? 0,1, 2) ,于是有:

P(Y ? 0) ?
∴ Y 的分布列为

1 8 2 , P(Y ? 1) ? , P(Y ? 2) ? 3 15 15
Y
0
1 3

1

2

P

8 15

2 15

????????8 分 (Ⅲ) 2 ? 2 列联表如下:

第 6 页 共 10 页

∵K ?
2

n(ad ? bc) 2 80 ? (360 ? 120) 2 = ? 3.117 ? 2.706 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 66 ?14 ? 40 ? 40

∴ 有 90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关.???12 分 19.解: (1)由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ?a x ? (k ? 1)a ? x ,
x ?x

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 , (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ,
3 1 3 ,所以 a ? ? , 2 a 2

因为 x 为任意实数,所以 k ? 2 . (2)由(1) f ( x) ? a ? a
x ?x

,因为 f (1) ?

解得 a ? 2 . 故 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

, g ( x) ? 2

2x

? 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ,
?3 ? , ? ?? , ?2 ?

令 t ? 2 x ? 2 ? x ,则 2 2 x ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ,由 x ? [1 , ? ?) ,得 t ? ? 所以 g ( x) ? h(t ) ? t ? 2mt ? 2 ? (t ? m) ? 2 ? m , t ? ?
2 2 2

3 ?3 时, h(t ) 在 ? 2 ?2 25 解得 m ? (舍去) . 12 3 当 m ? 时,则 f (m) ? ?2 , 2 ? m 2 ? ?2 ,解得 m ? 2 ,或 m ? ?2 (舍去) . 2 综上, m 的值是 2 .
当m ? 20. 21.22. (1)函数的定义域为 ? 0, ?? ? . f ? ? x ? ? 法一:∵函数在定义域上单调递增,∴

?3 ? , ? ?? ?2 ? 9 ? ?3? , ? ? ? 上是增函数,则 h? ? ? ?2 , ? 3m ? 2 ? ?2 , 4 ? ?2?

1 ? 2x ? a . x

1 1 ? 2x ? a ? 0 ? a ? ? 2x , x x

而?

?1 ? ? 2 x ? ? 2 2 ,所以只需 a ? 2 2 . ?x ? min
1 2 x 2 ? ax ? 1 ? 2x ? a ? ,∵函数在定义域上单调递增,∴只需 x x

法 二 : f ?? x? ?

2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 对任意 x ? ? 0, ?? ? 恒成立 .设函数 g ? x ? ? 2 x 2 ? ax ? 1 考虑函数函数的图
第 7 页 共 10 页

?a a ? ?0 像得:① ? 0 或② ? 4 ? a?2 2. 4 ? ?? ? 0
(2)若 f ? x ? 存在极值,则只需 g ? x ? ? 2 x ? ax ? 1 在 ? 0, ?? ? 上有变号零点,
2

?a a 1 ? ?0 ? a ? 2 2 .设函数的零点为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? . 即?4 2 2 ? ?? ? 0

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln x1 ? x12 ? ax1 ? ln x2 ? x2 2 ? ax2
? ln x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? a ? x1 ? x2 ?
2

1 a2 a2 1 a2 ? ln ? ? 1 ? ? ln ? 1 ? 2 4 2 2 4
由 a ? 2 2 ? a ? 8 得 ln
2

1 a2 1 1 ? 1 ? ? ln ? 1 ? 2 ? ?3 ? ln . 2 4 2 2
? an 2 ? ? ln ? n ? 1? ? 2n

(3)分析:不等式的左边无法求和,转向对式子整体的观察:

3 ? a1 ? a2 ?

? an ? ? ? a12 ? a2 2 ?

右边可否拆成 n 项?答案是肯定的——
n个

ln ? n ? 1? ? 2n ? ln a1 ? ln a2 ?

? ln an ? 2 ? 2 ?

?2

所以考虑能否证明不等式 3an ? an 2 ? ln an ? 2 之后在利用同向相加原理证明所要证明的不 等式成立. 证明:设函数 F ? x ? ? ln x ? x ? 3 x ? 2 , x ? ?1, 2?
2

3? 1 ? 2? x ? ? ? 2 1 2 x ? 3x ? 1 4? 8 ? ? ?0 则当 x ? ?1, 2? 时, F ? ? x ? ? ? 2 x ? 3 ? x x x
所以函数 F ? x ? 在 ?1, 2? 上为单调递增函数,故 F ? x ? ? F ?1? ? 0 . 即 3 x ? x 2 ? ln x ? 2 , x ? ?1, 2? .因为 an ? ?1, 2? ,所以 3an ? an 2 ? ln an ? 2 . 于是 3a1 ? a12 ? ln a1 ? 2 , 3a2 ? a2 2 ? ln a2 ? 2 ,??, 3an ? an 2 ? ln an ? 2 . 由不等式同向相加原理得证

2

3 ? a1 ? a2 ?

? an ? ? ? a12 ? a2 2 ?

? an 2 ? ? ln ? n ? 1? ? 2n 成立.
第 8 页 共 10 页

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)连接 BC ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°. ∵AG⊥FG,∴∠AGE=90°. 又∠EAG=∠BAC,∴∠ABC=∠AEG. 又∠FDC=∠ABC,∴∠FDC=∠AEG. ∴∠FDC +∠CEF=180°. ∴C,D,F,E 四点共圆. ????5 分 (Ⅱ)∵GH 为⊙O 的切线,GCD 为割线, ∴GH =GC·GD. 由 C,D,F,E 四点共圆, 得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF. ∴△GCE∽△GFD.∴
GC GF = , GF GD
2

A D O C H B G

F

E

即 GC·GD=GE·GF, ∴CH =GE·GF. ???? 10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由 ? ? 2 sin(? ?
2

) 得, ? ? sin ? ? cos? ,两边同乘 ? 得, 4 ? 2 ? ? cos? ? ? sin ? ? 0 ,

?

再由 ? 2 ? x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x , ? sin ? ? y ,得 曲线 C 的直角坐标方程是 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ???? 5 分 (Ⅱ)将直线参数方程代入圆 C 方程得, 5t 2 ? 21t ? 20 ? 0 ,

t1 ? t2 ?

21 , t1t2 ? 4 , 5

41 .???? 10 分 5 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3

MN ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5?, 所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a=2. ????????????5 分 ?a ? 3 ? 5

(Ⅱ) (法一)当 a=2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) ,

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? 于是 g ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5,?3 ? x ? 2, ?2 x ? 1, x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ; 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ;
第 9 页 共 10 页

当 x>2 时, g ( x) ? 5 。 综上可得,g(x)的最小值为 5 从而若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为 (??,5] ???????????10 分 (法二)当 a=2 时, f ( x) ?| x ? 2 | 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) 。 由 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 (当且仅当 ? 3 ? x ? 2 时等号成立) , 得 g ( x) 的最小值为 5 从而,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立。 则 m 的取值范围为 (??,5] ????????????10 分

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