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河南省天一大联考(豫东豫北十所名校)2015届高三阶段测试(二)数学(理)试题(扫描版)


天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考) 2014—2015 学年高中毕业班阶段性测试(二) 数学(理科)· 答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)B (2)D (3)C (4)A (5)D (6)A (7)D (8)D (9)B (10)C (11)B (12)A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (1

3)3 (15) [1,10] (14) ?

3 5 1 210

(16) ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. ( 17 )解: ( Ⅰ )设公差为 d (d ? 0) ,由已知得: (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 8d ), 整理得

d ? 3a1 .………………………………………………………………………………………( 2
分) 又因为 a3 ? 7 ,即 a1 ? 2d ? 7 ,所以 a1 ? 1, d ? 3 ,故 an ? 3n ? 2. ……………………( 5 分)

2 时,有 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? 23n?2 , 所以 b1 ? 2. 当 n…

bn 23n?2 ? 3( n?1)?2 ? 8, 所以 {bn } 是以 2 bn?1 2

为首项,8 为公比的等比数列,所以 Sn ? 分) (18)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin ?

2(1 ? 8n ) 2 n ? (8 ? 1). …………………………(10 1? 8 7

π ?π ? ? ? x ? ? cos ? x 任意两个零点之间的最小距离为 , 2 ?2 ?

所以 f ( x) 的最小正周期为 π ,故 分) 由 f (? ) ?

2π |? |

? π ,又 ? ? 0 ,故 ω ? 2 .………………………(3

1 1 π π ,得 cos 2? ? , 所以 2? ? 2kπ ? , k ? Z ,即 ? ? kπ ? , k ? Z, 2 2 3 6

又 ? ? [? π,π] . 所以 ? ? ?? 分) (Ⅱ)函数 y ? cos 2 x ? cos ? 2 x ?

? 5π π π 5π ? , ? , , ? .………………………………………………………………(5 6 6 6? ? 6

? ?

π π π? ? ? cos 2 x ? cos 2 x cos 3 ? sin 2 x sin 3 3?

1 3 π? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin ? 2 x ? ? , ………………………………………………(9 分) 2 2 6? ?
由 2kπ ?

π π π π π x kπ ? , k ? Z . 剟 2x ? 2k? ? , k ? Z ,解得 kπ ? 剟 3 6 2 6 2

所以函数 y ? f ( x) ? cos ? ? x ?

? ?

π? π π? ? (12 分) ? 的单调递增区间为 ? kπ ? ,kπ ? ? , k ? Z. …… 3? 3 6? ?

(19)解: ( Ⅰ ) m ? n = cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? ? cos C, ……………( 2 分) 所以 ? cos C ? cos 2C ,即 2cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 , 故 cos C ? 分) 又 0 ? C ? π ,所以 C ? 分) (Ⅱ) 因为 CA ? CB ? 18, 所以 CA ? CB ? 36 . ①……………………………………… (8 分)

1 或 cos C ? ?1 (舍去) ,………………………………………………………( 4 2
π .…………………………………………………………………( 6 3

2 2 2 由余弦定理 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cos

π , 3

及 AB ? 6 得, AC ? BC ? 0 . 分)

②…………………………………………………………(11

由①②解得, AC ? 6, BC ? 6 .…………………………………………………………… (12 分) (20)解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2a ? , x x

由已知 f ?(2) ? 1 , 解得 a ? ?3. …………………………………………………………… (2 分)
2 所以 f ( x) ? x ? 6 ln x, f ?( x) ? 2 x ?

6 ,因为 f ?(1) ? ?4, f (1) ? 1, 所以函数 f ( x) 的图象在 x

点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?4(x ? 1),即 4 x ? y ? 5 ? 0 . …………………………( 6 分)
2 al nx (Ⅱ) 由 g (x) ? ? x ? 2

2 x

得 g ?( x) ? ?

2 2a ? 2x ? , ………………………… (7 分) 2 x x

因为函数 g ( x) 为 ?1, 2? 上的单调减函数, 则 g ?( x)? 0 在 ?1, 2? 上恒成立,即 ?

2 2a ? 2 x ? ? 0 在 ?1, 2? 上恒成立. 2 x x

即 a? 分)

1 ? x 2 在 ?1, 2? 上恒成立.………………………………………………………………(9 x 1 1 ? 1 ? ? x 2 ,在 ?1, 2? 上 h?( x) ? ? 2 ? 2 x ? ? ? 2 ? 2 x ? ? 0, x x ?x ?
7 7 , 所以 a? ? . …………………(12 分) 2 2

令 h( x ) ?

所以 h( x) 在 ?1, 2? 上为减函数,h( x) min ? h(2) ? ? (21)解: (Ⅰ)因为对任意正整数 n , an ? ? ?

? π π? , ? ,且 tan an?1 ? cos an ? 1, ? 2 2?

故 tan 2 an?1 ?

1 ? 1 ? tan 2 an , 2 cos an

2 2 所以数列 tan an 是以 1 为公差的等差数列, 且 tan a1 ?

?

?

1 .………………………… (4 分) 3

1 3n ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? . 3 3 n n( n ? 1) 1 2 1 2 ? n ? n . …………………………………( 6 数列 ? tan an ? 的前 n 项和为 ? 3 2 2 6
2 所以 tan an ?

分) (Ⅱ)因为 cos an ? 0 ,所以 tan an?1 >0 , an ?1 ? ? 0,

? ?

π? ?. 2?

所以 tan an ?

3n ? 2 3 , cos an ? , 3 3n ? 1

sin a1 ? sin a2

sin am ? ? tan a1 ? cos a1 ? ? ? tan a2 ? cos a2 ?

? tan am ? cos am ?

? ? tan a2 ? cos a1 ?
分)

? tan am ? cos am?1 ? ? tan a1 ? cos am ……………………………………( 9
3 3 1 ? ? , 3 3m ? 1 3m ? 1

? tan a1 ? cos am ?



1 1 ? , 得 m ? 40 .…………………………………………………………… (12 分) 3m ? 1 11
x x x

(22)解: (Ⅰ)因为 F ? ? x ? ? e f ? x ? ? e f ?( x) ? e .……………(2 分) [f ? x ? ? f ? ? x ?]

f ?( x) ? ?1 由 f ( x) 知 f ? x? ? f ? ? x? ? 0 ,
所以 F ? ? x ? ? e [f ? x ? ? f ?( x)] ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减.……………(4 分)
x

(Ⅱ)当 0 ? x ? 1 时,有 xf ? x ? ? 证明如下:

1 ?1? f ? ? . ……………………………………………(5 分) x ? x?

1 x 当 0 ? x ? 1 时, x ? ,故由(Ⅰ)可得 e f ? x ? ? e x f x

1

?x ?1? x ? ? ,即 f ? x ? ? e f ? x?

1

?1? ? ?. ? x?

…………………………………………………………………………………………………( 8 分) 下面证明 e
1 ?x x

?

1 1 , 即证 ? x ? 2 ln x ? 0. 2 x x

设函数 g ? x ? ?

1 ? x ? 2 ln x, x

当 0 ? x ? 1 时,有 g ? ? x ? ? ?

? x ?1? ? 0, 1 2 ? 1 ? ? ? x2 x x2
2

所以 g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减. ……………………………………………………………( 10 分) 故 g ? x ? ? g ?1? ? 0, 所以 e x
1 ?x

?

1 ?x 1 , 于是 f x ? e ? ? x f 2 x

?1? 1 ?1? ? ? ? 2 f ? ?, ? x? x ? x?

即 xf ? x ? ?

1 ?1? (12 分) f ? ? . ……………………………………………………………………… x ? x?


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