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三角函数复习课件[免费课件]


三角函数
复 习 课

一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y

? 的终边
正角 x 零角

o

负角

? 的终边

与a终边相同的角的集合A={x|x=a+k ? 3600 Z? k} 象限角与非象限角

? ? (??,??)

2、角度与弧度的互化:半径长的圆弧所对的圆心角为一 弧度角 2? ? 360 ? ? ? 180 ?

180 , 1弧度 ? ( )? ? 57.30? ? 57?18 1? ?

?
180

?

特殊角的角度数与弧度数的对应表 度

0? 30 ? 45 ? 60 ? 90 ?120 ?
? 6 ? 4
? 3 ? 2
2? 3

135 ? 150 ? 180 ? 270 ? 360 ?
3? 4

弧度 0
计算公式

5? 6

?

3? 2

2?

|a|=l/r (a为弧度,l为弧长,r为半径) 扇形面积公式:S=1/2(a*r*r)

3、任意角的三角函数定义 定义: y x y sin ? ? , cos? ? , tan? ? r r x r r x csc? ? , sec? ? , cot? ? y x y 三角函数值的符号: 4、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商数关系:

y

P(x,y) ?的终边


r
o x

r ? x2 ? y2

平方关系:

tan? ? cot? ? 1 sin ? ? csc? ? 1 cos? ? sec? ? 1

sin ? t an? ? cos? cos? cot? ? sin ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 1 ? tan ? ? sec ?
2 2

1 ? cot2 ? ? csc2 ?

3).三角函数线:(有向线段)

正弦线: MP
余弦线:OM 正切线: AT

y

T

P
o
余 弦 线

正切线

正弦线 M A

x

5、诱导公式:

3? 例: sin( ? ? ) ? 2 ? cos( ? ? ) ? 2

k? 诱导公式是针对 ? ?的各三角函数值的化简 2 口诀为:"奇变偶不变, 符号看象限 " (即把 ? 看作是锐角)

cos? sin ?
sin ? cos?

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

(四)三角函数的图象与性质







1.函数的图象与主要性质 2.周期函数 3.正弦型函数y=Asin(?x+?)的一些概念、性质 习 1.正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质
函数 一周期 图象 定义域 y=sinx
1 -1 y

y=cosx
1 O -1

y=tanx
2? x
? -2

O

?

2? x

?

y O

? 2

x

R
[-1,1]

R
[-1,1]

值域
单调性 奇偶性
周期

{x|x?R且x≠ ? k?+ 2 ,(k?Z)}

? ? [2k?- 2 ,2k?+ 2 ]↑在[2k?+?,2k?]↑在(k?- ? ,k?+ ?) 2 2

R

(k?Z) ? 3? 在[2k?,2k?+?]↓ (k?Z)上都是 [2k?+ 2 ,2k?+ 2 ]↓ 增函数 (k?Z)

(k?Z)

(k?Z)

奇函数

偶函数

奇函数

2?

2?

?

2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(A>0,
第一种变换:

? >0

)

y ? sin x

图象向左( ? 向右(?

?0

)或

? 0 ) 平移| ? | 个单位

y ? sin(x ? ? )
1


横坐标伸长( 0 ? ? ? 1 )或缩短( ?
纵坐标不变

? 1 )到原来的 ?

y ? sin(?x ? ? )

纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

第二种变换:

横坐标不变

y ? A sin(?x ? ? )
1


y ? sin x

? 横坐标伸长(0 ? ? ? 1 )或缩短(
图象向左( ?
纵坐标不变 ?0 )或

? 1 )到原来的 ?

y ? sin ?x

向右(? ? 0 ) 平移 | ? | 个单位 ? 纵坐标伸长(A>1 )或缩短( 0<A<1 )到原来的A倍

y ? sin(?x ? ? )
y ? A sin(?x ? ? )

横坐标不变

例1(90年,上海) α α 设α 角是第二象限且满足 | cos |? ? cos , 2 2 α 则 角属于( C )A.第-象限; B.第二象限; 2 C.第三象限; D.第四象限.
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.

2、(02年)在 ? 0, 2? ?内使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围是( C )

( A)( 4 , 2 ) ? (? ,
? ?

5? 4

)( B)( 4 , ? )
?
5? 4

(C )( 4 ,
y

?

5? 4

)( D)( 4 , ? ) ? (
?
y y

,

3? 2

)

3、(00年)函数 y ? ? x cos x的部分图 象是( D)
y

0

x

0

x

0

x

0

x

( A)

( B)

(C )

( D)

4.给出四个函数: (A)y=cos(2x+π/6) (C)y=sin(x/2+π/6) (B)y=sin(2x+π/6) (D)y=tan(x+π/6) )

则同时具有以下两个性质的函数是( A

①最小正周期是π ②图象关于点(π/6,0) 对称.

5.下列函数中,周期为 ( B ) A. y=sin4x B.y=cos4x
C.y=tan2x D.y=cos2x
5? 2

? 2

的偶函数是

6.函数y=sin(2x+ )的图象的一条对 称轴是直线 (C ) ? ? ? 5? A. x= B. x= C. x= - 2 D. 4 8 4

7、 (00年)关于函数f ( x) ? 4sin(2 x ? )( x ? R) 3 有下列命题: ?? ? ① 的表达式可改写为 y ? 4cos ? 2 x ? ? y ? f ( x) 6? ? ② y ? f ( x)是以 2?为最小正周期的周期函数 ③ y ? f ( x) 的图象关于点 对称 ? ④ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称
? ? ? ? ? ,0? ? 6 ?

?

其中正确的命题序号是。 ① ③

6

8. 关于函数 f(x)= 2 sin(3x- 3 π/ 4 ) ,有下列 命题: ①其最小正周期是2π/3; ②其图象可由y=2sin3x向左平移π/4个单位 得到; ③其表达式可改写为y=2cos(3x-π/4); ④在x∈[π/12,5π/12]上为增函数. ①④ 其中正确的命题的序号是_________

(三)单元测试 一、选择题 |tan x| cos x sin x 1)函数y= |cos x| ? |sin x| ? tan x 的值域是(A ) (A) |3,-1| (B) |3,1| (C) |-1,1,3| (D) |-1,1-3| ? 2)把函数y=sin( 6 -3x)的周期扩大为原来的 ? 2倍,再将所得到函数的图像向右平移 3 , 则所得图像的函数解析式为(A) 2? 3 x 3x (A)y=sin( 3 - 2 ) (B)y=cos 2 ? - 3 x ) (D)y=sin( ? -6x) (C)y=sin(7 10 6 2 B) 3)函数y=sin2x的单调递减区间是( ? ? 3? ? (A)[kπ- 4 ,kπ+ 4],k∈Z (B)[kπ+ 4 ,kπ+ 4 ],k∈Z ? ,kπ+π],k∈Z (C)[kπ,kπ+ ? ],k ∈ Z (D)[k π+ 2
2

4 程为_____。 ? ? ? (A) x=- 2 (B) x=- 4 (C) x= 8 (D) x= ? ? 解:2x+ 2 =k ? ? 2x=k? - 2 k? ? ? x= 2 - 4 k=0 x=- 4 选B ? 5 函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图象向 ? 左平移 个单位,再将图象上所有点的横 6 坐标扩大到原来2倍(纵坐标不变)得函 数y=sinx图象则ω=____ φ=____。 解:y=sin2x ? ? ? =sin2(x- 6 )=sin(2x- 3 ) ω=2 φ=- 3

? 函数y=cos(2x+ 2 )图象的一条对称轴方

四、主要题型
例1:已知 求 tan ? 。

?

1 是第三象限角,且 cos ? ? ? 3 ,

解: ??为第三象限角

sin ? ? tan ? ? ?2 2 cos ?

1 2 2 2 ?sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? 3 3
2

应用:三角函数值的符号;同角三角函数的关系;

例3 已知函数f(x)=Asin(ωx+) (A>0,ω>0 ? |a|< 2 )的图象一段如下图所示,则f(x)表 达式为_____。 ? T 解:f(x)=4sin( 8 x+a) 2 =8 T=16 y ? ? 0=4sin(- 4 +a) ∴a= 4 4 ? ? f(x)=4sin( 8 x+ 4 )
( 3 tan12 ?3) csc12 4 cos 12 ? 2
2 ? ? ?

? ___

-2

0

6

x

(

2 cos 24 ? 4 3( 1 sin 12 ? 2
sin 48

? ? sin 12 3 ? 3 ) csc 12 cos 12? ?

?

3 sin12? ?3cos12? 2 sin12? cos12? cos 24?

? 3 csc 12 2

?

?

? 4 3 sin 48? sin 48?

? ?4 3

例2、已知y=2sin ?? x+? ? 求函数的解析式。
y 2 1

?? ? ? ? ? ?函数的图像, 2? ?

11? 12

x

注:

先求?后求?

例1、已知tan? = 3,求式子 4cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 的值 . 2 2 2sin ? ? sin ? cos ? ? 4cos ?
2 2

关键:弦



3 sin ? ? cos ? tan ? ? 2 例2:已知 ,计算⑴ 2 sin ? ? cos ?

⑵ sin ? cos ?

3 sin ? ? cos? 3 tan ? ? 1 3 ? 2 ? 1 7 解:⑴ 3 sin ? ? cos? ? cos? ? ? ? 2 sin ? ? cos? 2 sin ? ? cos? 2 tan ? ? 1 2 ? 2 ? 1 3 cos?


tan ? sin ? cos ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? 2 2 2 tan ? ?1 sin ? ? cos ? 1

2 2 ? 2 ? 2 ?1 5
应用:关于 sin ?与cos? 的齐次式

例6 a? (0≤x≤ 2 )的最大值为1,试求a的值。
5 1 2 解:f(x)=-cos x+cosx+ 8 a- 2 1 2 5 =-(cosx- 2 ) + a- 1 8 4

5 2 已知函数f(x)=sin x+cosx+ 8

3 2

0≤cosx≤1 5 1 8 a- 4 =1 ∴a=2

?1? 例3、已知:? ? ? 1, 则 ? 2? ? 是第几象限角?

sin 2?

3、 求 函 数 y=sin

? ?

? -3x 的 单 调 递 增 区 间 。 4

?

2k? ? 2k? 7? + , + 3 4 3 12

?

?k为 整 数 ?

3.下列函数中,周期为

? 2

的偶函数是 (

A. y=sin4x B.y=cos4x

B



C.y=tan2x

D.y=cos2x
( )

5.函数f(x)=sinx-cosx的最大值是
A. 2 B. 1 C.
2 2

D

D.

5? 6.函数y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴 2 是直线 (B )
? A. x= 4
? B. x= 8 ? C. x= - 2
5? D. 4

2

8.下列各式中,正确的是 C.tan15?>tan(-?
8

5? 4? A. Sin 7 >sin B. sin(7

)

D.cos(-

? ? )>sin(- ) 6 53? 9?
)>cos(5 4



C )
)

7 ?

9.要得到函数y=cos(2x4 象 ( )

A.向左平移

A?

)的图象,只需将函数y=sin2x的图

? C.向左平移 (单位长) 4

8 (单位长)

? B. 向右平移 8 (单位长)

? D. 向右平移 (单位长) 4

? 13.函数y=2cos(2x- )的一个单调区间是 ( 6 ? 5? ? ?, ?] ? 7 ? , ]B.[ A.[] C.[,0] D. [, 12 12 2 2 2 12 12

A)

? 14.将函数y=sinx的图象向左平移 (单位长),再把所 3 得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,则最后得到 x ? A. y=sin( + ) 2 3 ? ) C.y=sin( x + 3 3
的曲线的解析式为 (

? B.y=sin(2x- ) 3
)

A)

? D.y=sin(3x+ 3


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