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湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案


华中师大一附中 2014—2015 学年度第一学期期中检测 高一年级数学试题
考试限时:120 分钟 卷面满分:150 分 命题人:曹宗庆 审题人:黄进林

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的 1. 设全集 U ? A ? B ? {x ? N * | lg x ? 1

} ,若 A ? (CU B) ? {1,3,5,7,9} ,则集合 B ? ( )

A.{2,6,8}

B.{2, 4, 6,8}

C.{0, 2, 4, 6,8}
( )

D.{0, 2, 6,8}

2. 下列对应能构成集合 A 到集合 B 的函数的是

A. A ? Z , B ? Q ,对应法则 f : x ? y ?

1 x

B. A ? { 圆 O 上的点 P } , B ? { 圆 O 的切线 } ,对应法则:过 P 作圆 O 的切线
C. A ? R, B ? R ,对应法则 f : a ? b ? ?2a2 ? 4a ? 7 , a ? A, b ? B

D. A ? {a | a 为非零整数 } , B ? {b | b ?
3. 若 f ( x ? ) ? x ?
2

1 1 , n ? N *} ,对应法则 f : a ? b ? n a
( )

1 x

1 ,则 f ( x ) ? x2

A. f ( x) ? 2x? 2

B. f ( x) ? 2x? 2
1 1 4 2

C. f ( x) ? (? x 2 1)

D. f ( x) ? (? x 2 1)
( )

x 4. 已知函数 y ? f (log 1 x) 的定义域为 [ , ] ,则函数 y ? f (2 ) 的定义域为
2

A.[?1, 0]
5. 已知 f ( x ) ?

B.[0, 2]

C.[?1, 2]

D.[0,1]


a?x 的反函数图像的对称中心为 (?1,3) ,则 a 的值为( x ? a ?1
B.2

A. 2
6. 已知函数 f ( x) ? ?

C. 3

D.3


?(2a ? 1) x ? a, x ? 1 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是( log x , x ? 1 a ?
1 B.(0, ) 2 1 C.(0, ) 4 1 1 D.( , ) 3 4

1 1 A.[ , ) 3 2
7.

(-?,+?) 定义在 上的任意函数 f ( x ) 都可以表示成一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x)
之和,若 f ( x) ? ln(e ? 1) ,那么
x


-1-



A.g (x ) ?x h , x( ?) e lxn? (e? x ?

2)

1 1 B.g ( x) ? [ln(e x ? 1) ? x], h( x) ? [ln(e x ? 1) ? x] 2 2 x x C.g (x ) ? h , x( ?) e l xn? ( ? 1) 2 2 x x D.g (x ) ?? h , x( ?) e lxn?( ? 1 ) 2 2
1 1 x 8. 若 x0 是方程 ( ) ? x 3 的解,则 x0 属于区间 ( 2



2 A.( ,1) 3
9. 设 min{a, b} ? ?

1 2 B.( , ) 2 3

1 C.(0, ) 3

1 1 D.( , ) 3 2

?a, a ? b 1 ,若函数 f ( x) ? min{3 ? x,log 2 x} ,则 f ( x ) ? 的解集为( ) 2 ?b, a ? b

5 5 B.(0, 2) ? ( , ??) C. ( 0 , 2 ?) ( ? ? , )D. ( 0?? , ) 2 2 1 | x| 1 2 1 | x| 1 10. 对于方程 [( ) ? ] ? | ( ) ? | ?k ? 0 的解,下列判断不正确的是 ( ) 2 2 2 2 1 B.k ? 0 时,2 个解 A.k ? ? 时,无解 4 1 D.k ? 0 时,无解 C. ? ? k ? 0 时,4 个解 4

A.( 2, ??)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 已知 a ? 0, a ? 1 ,则 f ( x) ? log a 12. 已知 f ( x) ? m ? x
2 m?1

2x ?1 的图像恒过点 x ?1

. .

是幂函数,且在 x ? (0, ??) 上为减函数,则实数 m 的值为

13. 计算 log 2.5 6.25 ? ln 14. 函数 f ( x) ?

e ? (0.064)

?

1 3

?2

log 1 3
2

?

. .

x ?1 ? 1 ? x 的最小值为

15.函数 y ? f ( x ? 1) 为偶函数,对任意的 x1 , x2 ? (?1, ??) 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) x1 ? x2


成立,则 a ? f (log 1
2

7 7 3 ), b ? f (log 1 ), c ? f (log 2 ) 由大到小的顺序为 2 2 3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
-2 -

2 16. 已知集合 A ? x | x ? x ? 12 ? 0 , B ? ?x | m ?1 ? x ? 2m ?1 ? ,且 A

?

?

B ? A ,求实数

m 的取值范围.

17. 已知 x ? x

?1

? 3 ,求

x ?x 的值. x 2 ? x ?2

1 2

?

1 2

18. 已知 f ( x) ? log 2

1? x 1? x

(1)判断 f ( x ) 奇偶性并证明; (2)判断 f ( x ) 单调性并用单调性定义证明; (3)若 f (

1 1 ) ? f (? ) ? 0 ,求实数 x 的取值范围. x ?3 3

19. 某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品的总件数, 则电力与机器保养等费用为每件 0.05 x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P ( x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成 本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件,且产品能全部销售,根据市场调 查:每件产品的销售价 Q ( x) 与产品件数 x 有如下关系:Q( x) ? 170 ? 0.05 x ,试问 生产多少件产品,总利润最高?总利润最高为多少? (总利润 ? 总销售额 ? 总成本)

-3-

20. 设 a ? R , f ( x) ? x2 ? a | x ? a | ?2 (1)若 f ( x ) 为偶函数,求实数 a 的值; (2)记 f ( x ) 的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式.

21. 已知函数 f ( x ) ? log2[1 ? 2x ? a ? (4x ?1)] (1) a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 定义域; (2)当 x ? (??,1] 时,函数 f ( x ) 有意义,求实数 a 的取值范围; (3) a ? ? 范围.

1 时,函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? x ? b (0 ? x ? 1) 无交点,求实数 b 的取值 2

-4-

华中师大一附中 2014—2015 学年度上学期高一期中检测
数学试题答案
一.选择题 BCADB 二.填空题 11.

ACDBC
12.

(? 2 , 0 )
? 2

?1
b?a?c

13.

3 3

14. 三.解答题

15.

16. A ? {x | ?3 ? x ? 4} 由条件 A

B ? A 可知 B ? A

……………2 分 ………………..5 分

当 B ? ? 时, m ? 1 ? 2m ? 1 ,解得 m ? 2

? m ? 1 ? 2m ? 1 5 ? 当 B ? ? 时, ? m ? 1 ? ?3 解得 2 ? m ? 2 ? 2m ? 1 ? 4 ?
综上 m 的取值范围是 m ?

…………10 分

5 2
1 ? 1 2

…………12 分

17.

( x 2 ? x 2 )2 ? x ? x ?1 ? 2 ? 5 又 x 2 ? x

1

?

1

? 0 ? x2 ? x

1

?

1 2

? 5

…………4 分

?1 2 2 x ? x?1 ? ? 5 (x ? x ) ? (x ? ?x 1 ) ? ? 4 ?5

?2 ? x2 ? x ? ( x ?? x1 ) ( x ? ?x1 ) ? ? 5 ? 3 ?3 ? 5

………….10 分 …………..12 分

? 原式 ?

5 ?3 5

??

1 3

说明:若只求对一个值扣 4 分 18. (1)

1? x ? 0 ??1 ? x ? 1?定义域为 (?1,1) ,关于原点对称 1? x 1? x 1 ? x ?1 1? x f (? x) ? log 2 ? log 2 ( ) ? ? log 2 ? ? f ( x) 1? x 1? x 1? x

………………2 分

? f ( x) 为 (?1,1) 上的奇函数
设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log 2

……………...4 分

1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? log 2 ? log 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
-5-

又 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ?(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 即 0 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ?

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ?1 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

? log 2
(3)

(1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 在 (?1,1) 上单调递增………8 分 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

1 1 1 )? ? f (? ) ? f ( ) x?3 3 3 1 1 ? ? x ? 2 或 x ? 6 ………12 分 又 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递增? ?1 ? x?3 3 12500 ? 40 ? 0.05 x 19. (1) P ( x) ? ……………….2 分 x 1 250000 ? (x ? ) ? 40 在 (0,500) 上单减,在 (500, ??) 上单增 20 x

f ( x) 为 (?1,1) 上的奇函数

? f(

? 当 x ? 500 时, P( x) 最小,最小值为 90 元
(2)设总利润为 y 元,则

………………6 分

y? xQ ( ) x? x (P )? x ? 02 .1x ? 130 ? x ? ?0.1( x ? 650)2 ? 29750

12500
………………8 分 ………………11 分 ……………….12 分

? 当 x ? 650 时, ymax ? 29750
所以生产 650 件时,总利润最高,最高为 29750 元 说明:第(2)问中若没有求出总利润值扣 1 分 20. (1) f ( x ) 为偶函数? f (? x) ? f ( x) 恒成立, 即 x ? a | x ? a | ?2 ? x ? a | x ? a | ?2
2 2

?a ? 0

…………….3 分

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x2 ? ax ? 2 ? a 2 ,对称轴为 x ? ? 若a ? ? 若a ? ?

a 2

a a a2 a2 5 ? ? 2 ? a2 ? 2 ? a2 即 a ? 0 时, f ( x) min ? f (? ) ? 2 2 4 2 4 a 2 即 a ? 0 时, f ( x)min ? f (a) ? a ? 2 2
2 2

………………6 分

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? ax ? a ? 2 ,对称轴为 x ? 若a ?

a 2

a 2 即 a ? 0 时, f ( x) ? f (a) ? a ? 2 2
-6-

若a ?

a a 3 2 即 a ? 0 时, f ( x) min ? f ( ) ? a ? 2 …………..9 分 2 2 4 5 9 5 a ? 0 时, (a 2 ? 2) ? (2 ? a 2 ) ? a 2 ? 0 ? f ( x) min ? 2 ? a 2 4 4 4 3 3 a2 a ? 0 时, (a 2 ? 2) ? ( a 2 ? 2) ? ? 0 ? f ( x) min ? a 2 ? 2 ……………..11 分 4 4 4

? 5 2 2? a ,a ? 0 ? ? 4 ? g (a) ? ? ? 3 a 2 ? 2, a ? 0 ? ?4
21. (1) a ? ?1 时, 2x ? 4x ? 0, 2x (2x ?1) ? 0

……………… 13 分

? 0 ? 2x ? 1? x ? 0 ,定义域为 (??, 0)
(2)由题 1 ? 2x ? a(4 x ?1) ? 0 对一切 x ? (??,1] 恒成立

…………….3 分

2x ? 1 a ? (? x ) max 令 t ? 2x ? 1? (1,3] 4 ?1

t 1 在 (1, 2] 上单减,在 [ 2,3] 上单增 ?? 2 t ? 2t ? 2 t ? ?2 t 3 3 ? h(t ) max ? max{h(1), h(3)} ? ? ? a ? ? ………….8 分 5 5 1 1 x x (3) a ? ? 时, log 2 [1 ? 2 ? (4 ? 1)] ? x ? b(0 ? x ? 1) 2 2 1 1 1 1 ? ? 4x ? 2x ? ? ? 4x ? 2x ? 2 ? b ,记 m ? 2 2 ? ? 1 (2 x ? 1 ) ? 1 log 2 2 x x 2 2 2 2x 1 1 令 n ? 2x ?[1, 2] , g ( n) ? ? ( n ? ) ? 1 在 [1, 2] 上单调递减 2 n 1 ? ? g (2) ? g (n) ? g (1) ? 1 ,? ?2 ? log2 g (n) ? 0 , 4 图像无交点,? b ? ?2 或 b ? 0 …………….14 分 h(t ) ? ?
2

-7-


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