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定【数学】2.3.1《离散型随机变量的均值》课件(新人教A版选修2-3)


2.3.1离散型随 离散型随 机变量的均值

一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X

x1

x2

··· ···

xi

··· ···

P

p1

p2

pi

2、离散型随机变量分布列的性质: 离散型随机变量分布列的性质:

(1)pi≥0,i=1,2,…; ,= , , ; (2)p1+p2+…+pi+…=1. + = .

复习引入
对于离散型随机变量, 对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中, 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中, 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平, 如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平, 很重要的是看平均分; 很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否 两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 直接通过数字 个方面的特征,最常用的有期望与方差 期望与方差. 个方面的特征,最常用的有期望与方差.

二、互动探索
1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1, 、某人射击 次 所得环数分别是: , , , 1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是 , , , , , , ; 多少? 多少?

1+1+1+1+ 2+ 2+ 2+ 3+ 3+ 4 X= =2 10
权数
X P 1
4 10

把环数看成随机变量的概率分布列: 把环数看成随机变量的概率分布列:

加 权 平 均

2
3 10

3
2 10

4
1 10

4 3 2 1 X = 1× + 2 × + 3 × + 4 × = 2 10 10 10 10

2、某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg, 、某商场要将单价分别为 元 , 元 , 36元/kg的3种糖果按 :2:1的比例混合销售, 元 的 种糖果按3: : 的比例混合销售, 种糖果按 的比例混合销售 如何对混合糖果定价才合理? 如何对混合糖果定价才合理? 种糖果的价格看成随机变量的概率分布列: 把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列: 种糖果的价格看成随机变量的概率分布列
X P 18
3 6

24
2 6

36
1 6

1 1 1 X = 18 × + 24 × + 36 × = 23(元 / kg ) 2 3 6

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

一般地,若离散型随机变量 的概率分布为 的概率分布为: 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X

x1

x2

··· ···

xi

··· ···

P
则称

p1

p2

pi

pn

E ( X ) = x1 p1 + x 2 p2 + L + x i pi + L + x n pn
为随机变量X的均值或数学期望。 为随机变量 的均值或数学期望。它反映了离 的均值或数学期望 散型随机变量取值的平均水平。 散型随机变量取值的平均水平。

X P

x1

x2

··· ···

xi

··· ···

xn

p1

p2

pi

pn

E ( X ) = x1 p1 + x 2 p2 + L + x i pi + L + x n pn
思考: 思考:
为常数, 设Y=aX+b,其中 ,b为常数,则Y也是 = + ,其中a, 为常数 也是 随机变量. 随机变量. 的分布列是什么? (1) Y的分布列是什么? ) 的分布列是什么 (2) E(Y)=? ) ?

X P

x1

p1

p2

x2

··· ···

pi

xi

··· ···

xn

pn

xi x1 x2 X xn ··· ··· Y ax1 + b ax2 + b ··· axi + b ··· axn + b pi pn p1 p2 ··· ··· P

E (Y ) = (ax1 + b ) p1 + (ax 2 + b ) p2 + L + (ax n + b ) pn = a ( x1 p1 + x 2 p2 + L + x n pn ) + b( p1 + p2 + L + pn )

= aE ( X ) + b

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

X
P

x1

x2

··· ···

xi

··· ···

p1

p2

pi

pn

E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + L + xi pi + L + xn pn
二、数学期望的性质

E (aX + b) = aE ( X ) + b

三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是 随机变量ξ
ξ P 1 0.5 3 0.3 5 0.2

(1)则E(ξ)= 则

2.4

. 5.8 .

(2)若η=2ξ+1,则E(η)= 若 , 2、随机变量ξ的分布列是 、随机变量 的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a

9 b

10 0.2

E(ξ)=7.5,则a= 0.1 则

b= 0.4 .

四、例题讲解
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 分, 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 罚不中得0分 罚不中得 分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球 次的得分 的均值是多少? 次的得分X的均值是多少 ,则他罚球1次的得分 的均值是多少?

解 | :因为p ( X = 1) = 0.7, p ( X = 0) = 0.3, 所以 E ( X ) = 1× P( X = 1) + 0 × P( X = 0) = 0.7
小结:一般地,如果随机变量X服从两点分布, 小结:一般地,如果随机变量X服从两点分布,
X P 1 p 0 1-p -



EX = 1 × p + 0 × (1 ? p ) = p

篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 分, 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 罚不中得0分 罚不中得 分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球 次; ,他连续罚球3次 的分布列; (1)求他得到的分数 的分布列; )求他得到的分数X的分布列 的期望。 (2)求X的期望。 ) 的期望 解:(1) X~B(3,0.7) ~ ( , )
X P 0 1
3

2
2

3

0.3

C 0 .7 ? 0 .3
1 3

2 C 3 0.7 2 ? 0.3

0.7

3

1 (2) E ( X ) = 0 × 0.33 + 1× C3 0.7 ? 0.32 + 2 × C32 0.7 2 ? 0.3 + 3 × 0.73

× E ( X ) = 2.1= 3× 0.7

小结: 小结: 一般地,如果随机变量X服从二项分布 服从二项分布, 一般地,如果随机变量 服从二项分布, ),则 即X~B(n,p),则 ( X ) ~ ( ), E

= np

基础训练: 基础训练: 一个袋子里装有大小相同的3 一个袋子里装有大小相同的 个红球和 2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球 个黄球,从中有放回地取 次 个黄球 次数的数学期望是

3

.

五、巩固应用
1.一次英语单元测验由 个选择题构成,每 一次英语单元测验由20个选择题构成 一次英语单元测验由 个选择题构成, 个选择题有4个选项 个选项, 个选择题有 个选项,其中有且只有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得5分, 项是正确答案,每题选择正确答案得 分 不作出选择或选错不得分,满分100分,学 不作出选择或选错不得分,满分 分 生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在 生甲选对任一题的概率为 , 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一 测验中对每题都从 个选项中随机地选择一 个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望 的期望。 成绩的期望。

2. 决策问题: 决策问题: 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型 设备,遇到大洪水时要损失60000元 设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时 要损失10000元 为保护设备,有以下种方案: 要损失10000元。为保护设备,有以下种方案: 方案1 运走设备,搬运费为3800元 方案1:运走设备,搬运费为3800元。 方案2 建保护围墙,建设费为2000元 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能 挡住小洪水。 挡住小洪水。 方案3 不采取措施,希望不发生洪水。 方案3:不采取措施,希望不发生洪水。试比较哪一 方案好。 种 方案好。

3.某商场的促销决策: 某商场的促销决策: 某商场的促销决策 统计资料表明,每年国庆节商场内促销活 统计资料表明, 动可获利2万元; 动可获利2万元;商场外促销活动如不遇下雨 可获利10万元 如遇下雨则损失4万元。 万元; 可获利10万元;如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%,商 日气象预报国庆节下雨的概率为40%, 场应选择哪种促销方式? 场应选择哪种促销方式?

练习、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继 练习、射手用手枪进行射击,击中目标就停止, 续射击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有 颗子弹 求 若枪内只有5颗子弹 续射击,他射中目标的概率是 若枪内只有 颗子弹,求 射击次数的期望。 保留三个有效数字 保留三个有效数字) 射击次数的期望。(保留三个有效数字

ξ
p

1 0.7
E( ) =1.43 ξ

2

3

4

5 0.34

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7

六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

X
P

x1

x2

··· ···

xi

··· ···

p1

p2

pi

pn

E ( X ) = x1 p1 + x 2 p2 + L + x i pi + L + x n pn
二、数学期望的性质

E (aX + b ) = aE ( X ) + b

三、如果随机变量X服从两点分布, 如果随机变量X服从两点分布,
X P 1 p 0 1-p -

则 (X ) = E

p

服从二项分布, 四、如果随机变量X服从二项分布,即 如果随机变量 服从二项分布 X~B(n,p),则 ( X ) ~ ( ),则 ), E

= np

证明: 证明:若ξ~B(n,p),则Eξ=np B(n,p), Eξ=
证明: 证明: QP(ξ = k) = C p q
k n k n?k

? (k = 0,1,2,? ?, n)

∴Eξ = 0 ×C0 p0q n + 1×C1 p1q n?1 + ? ? ? + n n kCk pkq n?k + ? ? ? + nCn pnq0 n n

= np(C0 ?1p0q n?1 + C1 ?1p1q n?2 + ? ? ? + n n C p q
k ?1 k ?1 (n?1)?(k?1) n?1

+ ??? + C p q )

n?1 n?1 0 n?1

= np( p + q)
所以

n?1

= np.

若ξ~B(n,p),则E(ξ)= B(n,p), E(ξ)= np. np.


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