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高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)


求函数值域的解题方法总结(16 种) 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、 认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法: 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例:求函数 y ? 3 ? ?2 ? 3x? 的值域。 ?2 - 3x ? 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出 解:由算术平方根的性质知 ?2 - 3x ? ? 0 ,故 3 ? ?2 - 3x ? ? 3 。 点评:算术平方根具有双重非负性,即: (1) 、被开方数的非负性, (2) 、值 的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数 的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧发。 练习:求函数 y ? x ?0 ? x ? 5? 的值域。 (答案: ?0,1,2,3,4,5?) 二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 x ?1 例:求函数 y ? 的值域。 x?2 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数 y ? x ?1 2 y ?1 的反函数为: x ? ,其定义域为 y ? 1 的实数, x?2 1? y 故函数 y 的值域为 ?y | y ? 1, y ? R?。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这 种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 10x ? 10-x 练习:求函数 y ? x 的值域。 (答案: ?y | y ? -1或y ? 1?) 。 10 ? 10- x 三、配方法: 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可利用配方法求函 数的值域。 例:求函数 y ? ?- x 2 ? x ? 2 的值域。 ? 点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。 解:由 - x 2 ? x ? 2 ? 0 可知函数的定义域为 ?x | -1 ? x ? 2?。此时 - x 2 ? x ? 2 = -1- ? 1? 9 -?x - ? ? ? 2? 4 ?0 ? 2 ?- x 2 ?x?2 ? ? 3 3? ? ,即原函数的值域为 ? y | 0 ? y ? 2 2? ? 点评:求函数的值域的不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域 对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习: y ? 2x - 5 ? 15- 4x 的值域。 (答案: ?y | y ? 3? ) 四、判别式法: 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数, 可用判别式法求函数 的值域。 例:求函数 y ? 2( x ? 1) 的值域。 ( x ? 2)( x 2 ? 1) 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式法求原 函数的值域。 解:由 y ? 2( x ? 1) 2 2 = = 2 2 ( x ? 2)( x ? 1) ( x ? 2)( x ? 1) x ? 3x ? 2 得 yx2 ? 3 yx ? 2 y ? 2 ? 0 ∵当 y ? 0 时,-2 = 0 ,不成立 当 y ? 0 时,由 ? ? 0 ,得 (?3 y)2 ? 4 y(2 y ? 2) = y 2 ? 8 y ? 0 ∴ y ? ?8 或 y ? 0 由于 y ? 0 ∴函数 y ? 2( x ? 1) 的值域为 y | y ? ?8或y ? 0 。 ( x ? 2

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