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高三立体几何重点专题复习教案空间向量的坐标运算


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高三立体几何重点专题复习教案空间向量的坐标运算 教学目标(考纲要求): ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念,会确定一些简单几何体(正方体、长方体)的顶点坐标;掌握空间向量坐标运 算的规律; 2.会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直;会用中点坐标公式解决有关问题 .掌握空间向量的模长公式、夹 角公式、两点间的距离公式,会用这些公式解决有关问题; 3.进一步掌握空间向量的夹角、距离等概念,并能熟练运用; 4.能综合运用向量的数量积知识解决有关立体几何问题; 教学过程: 一、提问检查基础知识 1. 空间右手直角坐标系的建立. 2. 空间向量的坐标表示. 3. 空间向量的坐标运算律;
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4. 已知 a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) , 则向量 a 的模是多少?向量 a 与 b 的夹角公式是什么? 二、基本技能训练讲评: 1.向量 a = (1,1,0), b = ( 1,0,2) ,且 k a + b 与 2a b 互相垂直,则 k 值是 ( A. 1 B. )

1 5

C.

3 5

D.

7 5
( ) (A) 10 (B)2 10 (C)3 10

讲评:训练审题,熟练掌握空间向量坐标运算、数量积等知识.选 D 则 2. 已知 a = (1,0,1), b = (2,1,1), c = (3,1,0) , a b + 2c = D)5 讲评:训练坐标法求模.选 C 3.若 a = (1, x,2),b = (2,1,2),cos < a, b >= ,则 x 等于 A.2 B.-2 D .2 或

8 9





2 C.-2 或 55

2 55

讲评:复习坐标法求数量积与夹角等. 答案为 C. 三、基本方法课堂演练
Z D1 A1 E D G A F B B1 C Y C1

4、如图,在棱长为 1 的正方体 BCD—A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 DD1、BD、BB1 的中点。 (1)求证:EF⊥CF; (2)求 EF 与 CG 所成角的余弦值;

X

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(3)求 CE 的长. 分析:由所给几何体中现成的垂直关系可知,本题可通过建立直角坐标系,利用向量的坐标形式解题. 解:建立如图所示的坐标系 O-xyz,则 D(0,0,0),E(0,0, F(
1 ),C(0,1,0), 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,0),G(1,1, ),∴ EF = ( , , ) , CF = ( , ,0) CE = (0,1, ) , CG = (1,0, ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

(1) ∵ EF CF = × + × ( ) + ( ) × 0 = 0 ∴ EF ⊥ CF ∴EF⊥CF (2) ∵ EF CG = ×1 + × 0 + ( ) × =
1 1 1 3 | EF |= ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = 2 2 2 2 1 5 | CG |= 12 + 0 2 + ( ) 2 = , 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4

∴ cos EF , CG =

EF CG | EF | | CG | 1 2

=

1 4 3 5 2 2 5 2

=

15 15

(3) | CE |= 0 2 + (1) 2 + ( ) 2 =

5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是 BB1 , CD 的中点,求证 D1 F ⊥ 平面 ADE .
Z C1 D1 A1 D A B X F B1 E C Y

证明:不妨设已知正方体的棱长为 1 个单位长度,设 DA = i , DC = j , DD1 = k , 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系 O xyz , 则 AD = ( 1, 0, 0) , D1 F = (0, , 1) ,

1 2

1 AD D1 F = (1, 0, 0) (0, , 1) = 0 , 2
∴ D1 F ⊥ AD ,

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又 AE = (0,1, ) , AE D1 F = (0,1, ) (0, , 1) = 0 , ∴ D1 F ⊥ AE , AD ∩ AE = A , 所以, D1 F ⊥ 平面 ADE . 四、综合能力提升 五、课堂小结: 1、向量加法、减法和数乘运算 空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,都是平面向量相关 知识的推广.向量平行于平面和直线平行于平面是不同的,要注意其共同点与不同点; 2、空间向量基本定理也成为空间向量分解定理,它与平面向量基本定理类似,区别仅在于基底中多了一个向量,从而 分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同. 3、由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量,所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号及向量的模的概念和表示符号,两个向量的数量积的意义等,都与平面向量是相同的. 4、利用向量方法求解空间距离、空间角问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤,而转化为向量间的计算 问题.
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1 2

1 2

1 2

作业 1、在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H、P、Q 依次是 A1A、AB、BC、CC1、C1D1、D1A1 的中点,则( A A. EF + GH + PQ =0 B. EF GH PQ =0 C. EF + GH PQ =0 D. EF GH + PQ =0 2、空间四边形 OABC 中,OB=OC,∠AOB=∠AOC= A.
1 2

)

π
3

,则 cos OA, BC =( D )

B.

2 2

C.

1 2

D.0 )

3.在下列条件中,点 M 与 A、B、C 三点一定共面的条件是( C A. OM = 2OA OB OC B. OM = OA + OB + OC C. MA + MB + MC =0 0 D. OM + OA + OB + OC =0 0
1 5 1 3 1 2

4. 设 A、B、C、D 是不共面四点,且满足 AB AC = 0, AC AD = 0, AB AD = 0 ,则三角形 BCD 是 ( (A)钝角三角形 (C)直角三角形 (B)锐角三角形 (D)不确定

B )

5.设 a ⊥ b , < a, c >=

π
3

, < b, c >=

π
6

,d 且 | a |= 1,| b |= 2,| c |= 3 ,则向量 a + b + c 的模_______ 17 + 6 3 ________

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6.已知|a|=2,|b|= 2 ,a 与 b 的夹角为 450,则 (b-a).a=____-2__________
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7.若 a + b + c = 0 ,且 | a |= 3,| b |= 2,| c |= 1 ,求 a b + b c + c a =_____-7________ 8.已知 | a |= 2,| b |= 5 , < a, b >= (λ=40) 9.已知 S 是边长为 1 的正三角形所在平面外一点,且 SA = SB = SC = 1 , M , N 分别是 AB , SC 的中点,求异面直线

2π , p = 3a b , q = λ a + 17b ,问实数 λ 取何值时 p 与 q 垂直. 3

SM 与 BN 所成角的余弦值

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分析: 要求异面直线 SM 与 BN 所成角的余弦值, 只要求 SM 与 BN 所成的角的余弦值, 因此就要求 SM BN 以 及 | SM | | BN | ,然后再用向量夹角公式求解 解:设 SA = a , SB = b , SC = c ,∴ a b = b c = a c =
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1 , 2

∵ SM BN =

1 1 1 ( SA + SB) (SN SB) = ( a + b) ( c b) 2 2 2 2 1 1 1 = ( a c a b + b c b ) 2 2 2

1 SM BN 1 1 1 1 1 1 1 2 = 2 所 以 , 异 面 直 线 SM 与 = = ( × + × 1) = ∴ cos < SM , BN >= 2 2 2 2 2 2 2 3 | SM | | BN | 3 3 2 2 2 BN 所成角的余弦值为 . 3

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