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2015 概率统计1.2


§1.2 随机事件的概率
Probability of random event

1.可能性大小的度量
随机试验 随机事件

发生的可能性大 小

事件的概率

1.可能性大小的度量 概率是度量事件 发生可能性大小 的数.
事件发生的可能性 越大,概率就 越大!

/>
2.经验概率(Experience Probability)
频率(Frequency):
n次试验中,事件 A出现了r次,则称r/n为 事件A在此n次试验中出现的频率.

频率是试验的结果。

抛掷硬币试验:
抛掷次数 正面出现次数 正面出现频 n 率 (m/n) (m) De· Moregen 2048 1061 0.518 Bunfon 4040 2048 0.5069 K· Pearsop 12000 6019 0.5016 E· Pearson 24000 12012 0.5005 Venulli 30000 14994 0.4998 试验者

随着重复试验次数增多 ,事件A出现

的频率W(A)呈现稳定性,接近 [0, 1]上的某个数p,
则定义事件A出现的概率P( A) ? p, 称为经验概率 .

3.古典概率
1)加法原理
第1类办法 若完成事件有 r类办法。

中有m1种不同方法,第 2类办法中有 m2
种不同方法, ?,第r类办法中有 mr 种不
完成事件的 同办法,这些办法彼此 独立。

方法数就是各类办法数 之和

M ? m1 ? m2 ? ? ? mr

3.古典概率
2)乘法原理

完成任务须经过 r步。完成第 1步有n1
种方法,第 2步有n2种方法, ?,完成第 r步有
nr 种方法,则完成该任务 的方法数共有

N ? n1n2 ?nr

3.古典概率
1 .试验的基本结果有限 ,即基本事件的个数有限 .
0

即有限性 ? ? {?1 , ? 2 ,...,? n }
20 .试验的基本结果具有同 等机会出现 .

1 即等可能性 .即P (? 1 ) ? P (? 2 ) ? ... ? P (? n ) ? . n 则称此试验模型为 古典概型.

设试验的样本空间? ? ?e ,e2 , ?,en? 1 且P (e ) ? P (e2) ? ? ? P (en), 1
则随机事件 A的 概 率:
事件A所含基本事件的个数 P ( A) ? ?所含基本事件的总数

rA ? n

例1:抛一均匀骰子,问出 现奇数点的概率有多大 ?

解:? ? {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 有6个基本事件且以同等机 会出现, 故此题为古典概型。
设A ? ? 出现奇数点? ? {1, 3, 5}: 则A中包含的基本事件个数 为3。 由古典概率的定义得: 3 P(A) ? ? 0.5 6

求下列事件的概率。 例2:一盒中有5红3白共8个球,

(1)从中任取一个,取到红球的概率. A1 (2)从中任取两个,恰好一红一白. A2 (3)从中任取三个,恰好一红两白. A3

1 2

6 5 7 3 4

8

推广1.
一般的,盒中有 M个黄球N ? M个白球,

从中任取n个球, 恰好取出m个黄球n ? m个

m n? m CMCN ?M 白球的概率: (无放回且不计序) P? n CN ( m ? M , n ? N , M ? N , m ? n)

推广2.

一般的,盒中有 M个黄球N ? M个白球,

从中任取n个球, 每次只取一个, 看过颜色后 放回, 恰好取出m个黄球n ? m个白球的概率:
m m Cn M ( N

P?

? M)
n

n? m

N

(有放回且计序)

( M ? N , m ? n)

例 3:设有 n 个球,每个球都以概率 1∕N 落入
N 个盒子中, N

? n,求下列事件的概率:
n! P ( A1 ) ? n Nn C N n! P ( A2 ) ? Nn

1) A1:指定 n 个盒子各放一球;
2) A2:任意 n 个盒子各放一球。

例 4: 每人的生日在 365 天每一天都是等可能的,求
全班 30 人中至少两个人生日相同的概率。

小结
解概率应用题一般包括三个步骤: (1)用字母表示事件; (2)依题建立事件间的关系; (3)利用概率的定义、性质或有关公式进行计算。

5.几何概率
Geometric Probability

若随机试验满足下面的 条件:
10 .试验的基本结果无限 ,即基本事件的个数无限 .
20 .试验的基本结果具有同 等机会出现 .
我们便称此试验模型为 几何概型 .

设?为样本空间 , 其基本事件数无限 , 且每一基本
事件的出现具有同等机 会, A为任一随机事件 ,
A所含基本事件的测度 则A的概率为P ( A) ? . ?所包含的基本事件的测 度

例 勘探石油 800km2的海域有一块面积达 30km2的大陆架储藏石油,在此海域任一点 勘探,探到石油的概率是多少?
解: G: 800km2的平面区域 g:30km2的平面区域 事件A:任一点勘探到石油

30 则 P ( A) ? . 800

例 有一个均匀的陀螺,它的圆周上均匀地刻有区间[0,3)
各数字,旋转陀螺,求它停下时接触桌面的刻度在[1∕2,2)

的概率 .


1 1 区间 [ , 2)的长度 2 ? 1 2 2 ?P ? ? ? . 区间 [0, 3)的长度 3 2

甲、乙二人约定在 0 到 T 之间会面,先到者 等候时间 t(<T)即可离去,设两人在 0 到 T 内到达是等可能的,

会面问题

求两人能会面的概率.
解 以 x,y 分别表示两人到达的时刻,则

0 ? x ? T ,0 ? y ? T ,

若以(x,y)表示平面上点的坐标,则所有基本事件可以用平面上 边长为 T 的一个正方形 0≤x ≤T,0 ≤y ≤T 内的各个点表示.

设 A={ 两人能会面}

y-x=t

则两人能会面? x ? y ? t ,
T 2 ? (T ? t )2 ? P ( A) ? . 2 T
x-y=t

6.概率的公理化定义
若函数P ( A)的定义域是样本空间?的全部子集
且P ( A)满足: 所组成的集合, (1)对任一事件A,有1 ? P(A) ? 0
(2)P (?) ? 0, P(? ) ? 1
(3)A1 , A2 ,... An ...互不相容,
非负性

规范性

P ( A1 ? ..... ? An ? ...) ? P ( A1 ) ? ..... ? P ( An ) ? ....
则称函数P( A)为事件A的概率。
可列可加性

内容小结:
概率:用来度量事件发生的可能性大小的数.

内容小结:
1.经验概率:
随着重复试验次数增多 ,事件A出现

的频率W(A)呈现稳定性,接近 [0, 1]上的某个数p, 则定义

事件A出现的概率P( A) ? p, 称为经验概率 .

2.古典概率:

使事件A出现的基本事件数 r r P( A) ? ? . 所有可能出现的基本事 件总数n n

3.几何概率.

g的测度 P? . G的测度

g

G

概率的公理化定义
若A是任一随机事件,P ( A)满足: (1)对任一事件A,有1 ? P(A) ? 0
(2)P (?) ? 0, P(? ) ? 1
(3)A1 , A2 ,... An ...互不相容,
规范性 非负性

P ( A1 ? ..... ? An ? ...) ? P ( A1 ) ? ..... ? P ( An ) ? ....
则称函数P( A)为事件A的概率。
可列可加性

作业:P16,3,8,10


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