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高三数学第七章不等式及线性规划复习学案(学生版)


第七章不等式及线性规划

第七章 不等式及线性规划
【高考考情解读】 1.本章在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划 问题. 基本不等式主要考查求最值问题, 线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参 数的值或取值范围. 2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 【知识梳理】 1. 四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0), 再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根, 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f?x? ①变形? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x? f?x? ②变形? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g?x? (3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x); ②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0. 2. 五个重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R). (2)a2+b2≥2ab(a、b∈R). a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 a+b 2 (4)ab≤( ) (a,b∈R). 2 (5) a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b

3. 二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数 的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.

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4. 两个常用结论
? ?a>0, (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ? ? ?a<0, (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ?Δ<0. ?

【典型题型解析】 考点一 一元二次不等式的解法 例1 (2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

2 (1)已知 p:?x0∈R,mx2 0+1≤0,q:?x∈R,x +mx+1>0.若 p∧q 为真命

题,则实数 m 的取值范围是 A.(-∞,-2) C.(-2,0) B.[-2,0) D.[0,2]

(

)

(2)设命题 p:{x|0≤2x-1≤1},命题 q:{x|x2-(2k+1)x+k(k+1)≤0},若 p 是 q 的充 分不必要条件,则实数 k 的取值范围是__________.

考点二 利用基本不等式求最值问题 例2 (1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 24 A. 5 28 B. 5 C.5 D.6 ( )

(2)设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________.

2 (1)已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a x-a 的最小值为 A.1 3 B. 2 C.2 5 D. 2 ( )

z (2)(2013· 山东)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最小值时,x+2y xy -z 的最大值为 A.0 9 B. 8 ( )

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第七章不等式及线性规划

C.2

9 D. 4

考点三 简单的线性规划问题 例3 (2013· 湖北)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A、B 两种车辆 的载客量分别为 36 人和 60 人, 租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆, 旅行社要求租车 总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为 A.31 200 元 C.36 800 元 B.36 000 元 D.38 400 元 ( )

2x-y-2≥0, ? ? (1)(2013· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 所表示的区域上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为 A.2 B.1 1 C.- 3 1 D.- 2 ( )

2x-y+1>0, ? ? (2)(2013· 北京)设关于 x、y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是 4? A.? ?-∞,3? 2? C.? ?-∞,-3? 1? B.? ?-∞,3? 5? D.? ?-∞,-3?

表示的平面区域内存在点 P(x0,

(

)

1. 三个“二次”的关系 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根,也是相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标,即二次函数的零点. 2. 基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩 功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问 题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用 基本不等式的切入点, 并创设基本不等式的应用背景, 如通过“代换”、 “拆项”、 “凑 项”等技巧, 改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件. 利用基本不等式求最值
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时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可. 3. 二元一次不等式表示平面区域的快速判断法: 区域 不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C<0 B>0 直线 Ax+By+C=0 上方 直线 Ax+By+C=0 下方 区域 B<0 直线 Ax+By+C=0 下方 直线 Ax+By+C=0 上方

主要看不等号与 B 的符号是否相向,若同向则在直线上方,若异向则在直线下方,简 记为“同上异下”,这叫 B 的值判断法. 解决线性规划问题首先要找到可行域, 再注意目标函数表示的几何意义, 数形结合找到 目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问 题要验证解决.

【当堂达标】
1. 若实数 x、y 满足 4x+4y=2x 1+2y 1,则 t=2x+2y 的取值范围是
+ +

(

)

A.0<t≤2 C.2<t≤4

B.0<t≤4 D.t≥4 → → 所表示的平面区域内,则OP在OA方

x-y+1≥0, ? ? 2. 已知点 A(2,-2),点 P(x,y)在?x+y+1≥0, ? ?2x-y-1≤0 向上投影的取值范围是 A.[- C.(- 2 2 , ) 2 2 2 2 , ] 2 2 B.(- D.[- 2 2 , ) 2 2 2 2 , ] 2 2

(

)

【点击高考】 一、选择题 1. (2012· 福建)下列不等式一定成立的是 1? 2 A.lg? ?x +4?>lg x(x>0) 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 2. 设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ( )

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第七章不等式及线性规划

c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是 A.① C.②③ B.①② D.①②③ ( )

3. 设 A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 a+b 等 于 A.7 B.-1 C .1 D.-7 ( )

4. (2012· 陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v, 则 A.a<v< ab B.v= ab ( )

a+b a+b C. ab<v< D.v= 2 2 x≥1, ? ? 5. (2013· 课标全国Ⅱ)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, ? ?y≥a?x-3?, 为 1,则 a 等于 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D.2

若 z=2x+y 的最小值

(

)

x-2y+3≥0, ? ? 6. 已知变量 x,y 满足约束条件?x-3y+3≤0, ? ?y-1≤0, 到最大值,则实数 a 的取值范围为 A.(3,5) C.(-1,2) 二、填空题 1 ? B.? ?2,+∞? 1 ? D.? ?3,1?

若目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取

(

)

x-1 7.已知 p: ≤0, q: 4x+2x-m≤0, 若 p 是 q 的充分条件, 则实数 m 的取值范围是________. x 8. 函数 y=a1
-x

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-1=0 (mn>0)上,

1 1 则 + 的最小值为________. m n y≥0, ? ? 9. 已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, ? ?y-2x+4≥0, 个,则 a 的值为________.
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若 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数

x+y-2≥0, ? ? 10.(2013· 浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. 实数 k=________. 三、解答题 11.求解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.

若 z 的最大值为 12,则

12.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行 防辐射处理, 建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关. 若建造宿舍的所有费用 p(万 元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系式为 p= k (0≤x≤8),若距离为 1 km 时,测算 3x+5

宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置 修路设备需 5 万元, 铺设路面每公里成本为 6 万元. 设 f(x)为建造宿舍与修路费用之和. (1)求 f(x)的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f(x)最小,并求最小值.

1 13.已知函数 f(x)= ax3-bx2+(2-b)x+1 在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值, 3 且 0<x1<1<x2<2. (1)证明:a>0; (2)若 z=a+2b,求 z 的取值范围.

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