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《优化探究》2015年高三数学(理科)二轮复习课件:专题七 概率与统计 1-7-1


专题七 概率与统计
第一讲 排列组合、二项式定理(客观题题型)

热点一 两个原理

[命题方向]
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用.2.与排列组 合的综合应用问题.

1.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼

-15飞机准备着舰.如果甲、乙两

机必须相邻着舰,而甲、丁两机不能
相邻着舰,那么不同的着舰方法有( A.12种 C.24种 ) B.16种 D.36种

解析:当甲排在边上时,有 2A3 3=12 种方法;当甲不排在边上时, 有 12A2 2=24 种方法,这样一共有 12+24=36 种不同的着舰方法.
答案:D

2.(2014年四川高考)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲 或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( A.192种 C.240种 B.216种 D.288种 )

解析:当最左端排甲时,不同的排法共有 A5 5种;当最左端排乙时,
4 甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有 C1 4A4种.故不同的排 1 4 法共有 A5 5+C4A4=9×24=216 种.

答案:B

3.一个五位自然数a1a2a3a4a5,ai∈{0,1,2,3,4,5},i=1,2,3,4,5,当 且仅当a1>a2>a3,a3<a4<a5时称为“凹数”(如32 014,53 134等), 则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为( )

A.110
C.145

B.137
D.146

解析:分四种情况进行讨论:
2 (1)a3 是 0,a1 和 a2 有 C2 5种排法,a4 和 a5 有 C5种排法,则五位自然 2 2 2 数中“凹数”有 C2 5 C 5=100 个; (2)a3 是 1,有 C4C4 =36 个;(3)a3 是 2, 2 2 2 有 C2 3C 3=9 个;(4)a3 是 3,有 C2 C 2=1 个.由分类加法计数原理知五位

自然数中“凹数”共有 100+ 36+9+1=146 个.
答案:D

用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要分类还是分 步. (1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数, 最后用分类加法计数原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤,才完成任务, 根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数. (3)对于复杂问题,可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的 方法来帮助分析.

热点二 排列组合
[命题方向] 1.排列组合的简单应用.2.排列组合的综合应用.

1.(2014年重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品

类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是
( ) A.72 B.120

C.144

D.168

解析:依题意,先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A3 3 A3 其中 3 个歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种 4=144,
2 3 数为 A2 2A2A3=24,因此满足题意的排法种数为 144-24=120,选 B.

答案:B

2.(2014年洛阳模拟)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习, 每班至少1名,则不同的分配方案有( A.30种 B.60种 C.90种 ) D.150种

解析:5 名教师分成三组有:2,2,1;3,1,1 两种分法,其中第一种分
2 2 3 C C 3A3 5 2 3 3 法含有平均分组,所以要除以 A2,所以不同的分配方案有 2 +C5A3 A2

=150 种.
答案:D

3.(2014年安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一

对,其中所成的角为60°的共有(
A.24对 C.48对 B.30对 D.60对

)

解析:解法一 直接法:如图,在上底面中选 B1D1,四个侧面中的 面对角线都与它成 60° ,共 8 对,同样 A1C1 对应的 也有 8 对,下底面也有 16 对,这共有 32 对;左右 侧面与前后侧面中共有 16 对. 所以全部共有 48 对. 解法二 间接法:正方体的 12 条面对角线中, 任意两条垂直、平行或成角为 60° ,所以成角为 60° 的共有 C2 12-12-6=48.
答案:C

对于有限制条件的排列问题,往往从其中的特殊元素(或特殊位置) 入手,先安排特殊元素(位置)再安排其他元素(位置),要求元素相邻可 用捆绑法,要求元素不相邻,可用插空法;对于有限制条件的组合问 题,要从限制条件入手,对选法进行分类,结合分类加法计数原理求 解.

热点三 二项式定理

[命题方向]
1.求展开式中某项的系数.2.求展开式中某特定项.3.求展开式中系 数和.

?2 ? 1. (2014 年昆明模拟)? +x?(1- x)4 的展开式中 x 的系数是________. ?x ?

解析:(1- x) 展开式的通项公式

4

Tr+ 1= Cr 4 (-

x) = (- 1)

r

r

r r C4 x ,

2

?2 ? 2 2 2 2 0 0 0 ? + x?(1- x)4 的展开式中含 x 的项为 · (- 1)4C4 x + x · ( - 1) C x = · x+ 4 4 x 2 x ?x ?

x· 1=3x,故系数是 3.
答案:3

2 .如果 (2x-1)6 = a0 +a1x+ a2x2 +?+a6x6 ,那么a1+a2 +?+a6
的值等于________. 解析:令x=0,有1=a0;令x=1,有1=a0+a1+…+a6,∴a1+

a2+?+a6=0.
答案:0

? 1? 3.若?x2+ ?n 的二项展开式中,所有项的二项式系数和为 64,则该 x? ?

展开式中的常数项为________.
? 1? 解析: ∵所有项的二项式系数和为 64, ∴2n=64, ∴n=6, ∴?x2+ ? x? ?
n

? 2 1?6 r 2 6- r ?1? r 12-3r ? ? ? ? = Cr = x + ,∴ Tr+ 1=C6(x ) · ,令 12-3r=0,即 r=4,∴ 6x x? ? ? x?

常数项为 C4 6=15.
答案:15

解答关于二项式定理问题的“五种”方法
(1)特定项或其系数等常规问题通项分析法. (2)系数和差型赋值法.

(3)近似问题截项法.
(4)整除(或余数)问题展开法. (5)最值问题不等式法.

分类讨论思想——解决排列、组合应用题 1.应用类型

(1)利用分类加法计数原理将较复杂的计数问题分类去计.
(2)含有特殊元素(位置)的可进行分类讨论. (3)解答有限制条件的计数问题按限制条件进行分类讨论.

(4)与几何图形有关的计数,可根据图形的形状,位置的变化分类
讨论. 2.解题方法

常常根据特殊元素(位置)当选(由谁来占)的情况进行分类.

[典例]

(2014 年广东高考 ) 设集合A={(x1 ,x2,x3 ,x4 ,x5)|xi∈{-1 ,0,1},
i = 1,2,3,4,5} ,那么集合 A 中满足条件“ 1≤|x1| + |x2| + |x3| + |x4| + |x5|≤3” 的元素个数为( )

A.130
C.90

B.120
D.60

[解析] 易知 |x1|+ |x2|+ |x3|+ |x4|+ |x5|=1 或 2 或 3,下面分三种情况 讨论.其一: |x1|+ |x2|+ |x3|+ |x4|+ |x5|= 1,此时,从 x1, x2, x3, x4, x5
1 中任取一个让其等于 1 或-1,其余等于 0,于是有 C1 5C2=10 种情况;

其二:|x1|+ |x2|+ |x3|+ |x4|+ |x5|=2,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取两 个让其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1,其余等于
2 1 0,于是有 2C2 5+C5C2=40 种情况;其三:|x1|+ |x2 |+ |x3 |+ |x4 |+ |x5 |=3,

此时,从 x1, x2, x3,x4,x5 中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两 个等于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1,其余等于 0,
3 1 3 2 于是有 2C3 5+ C5C3+ C5C3=80 种情况.由于 10+40+80=130,故答案

为 A.

[答案] A [注意事项] 解决排列、组合分类问题时要注意分类标准唯一.

(2014 年西城区模拟 ) 甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为 实习单位,则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是 ________.(用数字作答)

解析:设 4 个公司分别为 A、B、C、D,当甲、乙都在 A 公司时,
1 则选择另一公司不同的选法为 A1 3A2,当甲、乙都在 B 公司时,则选择另 1 一公司不同的选法为 A1 3 A2,当甲、乙都在 C 公司时,则选择另一公司不 1 同的选法为 A1 3A2 ,当甲、乙都在 D 公司时,则选择另一公司不同的选法 1 为 A1 3A2,所以总数为 24.

答案:24

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