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2015高考复习(圆锥曲线 双曲线篇)学生版


2015 高考复习(圆锥曲线 双曲线篇)
第一部分 知识系统巩固
1. 双曲线的定义

P 的轨迹为双曲线; (1)第一定义:当 || PF 1 | ? | PF 2 ||? 2a ?| F 1F 2 | 时, P 的轨迹不存在; 当 || PF 1 | ? | PF 2 ||? 2a ?| F 1F 2 | 时,
当 | PF1

? PF 2 |? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线 (2)双曲线的第二义 平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( e ? 1 )的点的轨 迹为双曲线 2. 双曲线的标准方程与几何性质
标准方程

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(c,0), (?c,0) ,

y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(0, c), (0,?c)

焦点 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率 准线

2c

| x |? a, y ? R
(a,0), (?a,0)
关于 x 轴、y 轴和原点对称

| y |? a, x ? R
(0,?a), (0, a)
c ? (1, ?? ) a

e?

渐近线

a2 c b y?? x a x??

a2 c a y?? x b y??

与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0) ? ? 1 共渐近线的双曲线系方程为: a2 b2 a2 b2 y 2 x2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 共轭的双曲线为 a2 b2 b2 a 2

与双曲线

等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 的渐近线方程为 y ? ? x ,离心率为 e ? 2 .;

基础训练(第一卷)
一、选择题
1. 如果双曲线 ( (A) )
4 6 3

x2 y2 ? =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离是 4 2

(B)

2 6 3

(C) 2 6

(D) 2 3

2.

x2 y 2 已知双曲线 C∶ 2 ? 2 ? 1(a >0,b>0),以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的 a b
圆的半径是

(A)a 3. 以双曲线

(B)b

(C) ab

2 2 (D) a ? b

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16
B. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 D. x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0



A. x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 4.

以双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点为圆心,且与其右准线相切的圆的方程是(
2 2



A. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 C. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2

D. x ? y ? 4 x ? 5 ? 0
2 2

3a x2 y 2 5. 若双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准 2 a b
线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) 6. 若双曲线 率是( (A)3 7. B.(2,+ ? ) C.(1,5) ) D. (5,+ ? )

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2 那么则双曲线的离心 a2 b2
) (B)5 (C) 3 (D) 5

x2 y 2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线, 该直线与双曲线的 a b

两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 B. 3

1 BC ,则双曲线的离心率是 ( 2
C. 5

)

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

D. 10

8.

已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2
) 0 D. 4

y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF1 ? PF2 =(
A. -12 B. -2 C.

二、填空题 9. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A,右焦点为 F。过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直 9 16

线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为_______ 10. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲 a 2 b2

线上存在一点 P 使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c



11. 过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 a 2 b2

M , N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为______
12. 已知点 P 在双曲线

x2 y2 ? ? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到双 16 9

曲线两个焦点的距离的等差中项,那么 P 点的横坐标是_________ 13. 已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, PQ 是过点 F1 的弦,且 PQ 的倾斜角 16 9

为 ? ,那么 | PF2 | ? | QF2 | ? | PQ | 的值是__________ 14. 已知 B(?6,0), C (6,0) 是 ABC 的两个顶点,内角 A, B, C 满足

sin B ? sin C ?
2

1 sin A ,则顶点 A 的轨迹方程是________________ 2
2
0

15. 过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线,交双曲线于 PQ 两点,则

|FP||FQ|的值为__________. 16. 已知 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上除顶点外任意一点, F1 , F2 为左右焦点, C 为半焦距, a 2 b2

PF1F2 内切圆与 F1F2 切于点 M ,则 | F1M | ? | F2 M | 的值为__________
三、解答题 17. 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧上 一点, ?POB ? 30? ,曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线

C 过点 P .
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程;

F. (Ⅱ) 设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、
若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围.

18. 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直

AB 、 OB 成等差数列, 于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点. 已知 OA 、 且 BF 与 FA
同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

19. 已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交 于 A,B 两点.

O 为坐标原点) (I)若动点 M 满足 F ,求点 M 的轨迹方程; 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (其中
(II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA ? CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由.

20. 已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的距 2 a b 2

离为

2 5 。 5

(1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的 两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若

1 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围 3

基础训练(第二卷)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.θ 是第三象限角,方程 x2+y 2sinθ =cosθ 表示的曲线是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 B.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 ( ) ( )

2. “ab<0”是“方程 ax2+by 2 =c 表示双曲线”的 A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.非充分非必要条件 ( )

3.一动圆与两圆:x2+y 2=1 和 x2+y 2-8x+12=0 都外切,则动圆心的轨迹为 A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆 ( )

4.双曲线虚半轴长为 5 ,焦距为 6,则双曲线离心率是 A.

5 3

B.

3 5

C.

3 2

D.

2 3
( )

5.过点 P(2,-2)且与

x2 2 -y =1 有相同渐近线的双曲线方程是 2
B.

A.

y2 x2 ? ?1 2 4

x2 y2 ? ?1 4 2

y2 x2 ? ?1 C. 4 2
6.双曲线

x2 y2 ? ?1 D. 2 4


x2 y2 ? ? 1 右支上一点 P 到右准线距离为 18,则点 P 到右焦点距离为( 16 9
B.

A.

45 2

58 5

C.

29 2

D.

32 5

7.过双曲线 x2有 ( )

y2 =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线 2
B.2 条 C.3 条 ( ) D.4 条

A.1 条

8.双曲线 3x2-y 2=3 的渐近线方程是

A.y =±3x

B.y =±

1 x 3

C.y =± 3 x

D.y =±

3 x 3

9.双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2,∠F1MF2=120°,则双曲线的离心率 为 ( ) A. 3 B.

6 2

C.

6 3

D.

3 3

2 2 10.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 (0<a<b)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0) , (0,b)两点,已知 a b

原点到直线 l 的距离为

3 c,则双曲线的离心率为 4
C. 2





A.2

B. 3

D.

2 3 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 t 的取值范围是 11. 4 ? t t ?1
12.双曲线



x2 y2 ? ? ?1 的准线方程是 16 9

. .

13.焦点为 F1(-4,0)和 F2(4,0) ,离心率为 2 的双曲线的方程是 14.设圆过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲 9 16


线中心的距离是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知双曲线与椭圆

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程.(12 分) 3 49 24

16.双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,两准线间距离为 交所得弦的中点的横坐标是 ?

9 1 ,并且与直线 y ? ( x ? 4) 相 2 3

2 ,求这个双曲线方程.(12 分) 3

17.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成 的曲面,其中 A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′ 是下底直径的两个端点,已知 AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高 20m.建立 坐标系并写出该双曲线方程.(12 分)

C' A'

18m 14m

C A 20m

B'
18.F1、F2 是 双曲线

22m

B

y2 x2 ? ? 1的两个焦点,M 是双曲线上一点,且 MF 1 ? MF 2 ? 32 , 9 16

求三角形△F1MF2 的面积. (12 分)

19. 一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸, 在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒, 已知 A 在 B 的正东方、相距 6 千米, P 为爆炸地点, (该信号的传播速度为每秒 1 千 米)求 A、P 两地的距离.(14 分)

20.如图,已知梯形 ABCD 中|AB|=2|CD|,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点.求双曲线的离心率.(14 分)

? ??

8 ,双曲线过 11

D E A

C B

基础训练(第三卷)
1、 设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1上的一点, 若 | PF1 |:| PF2 |? 3: 2 , F1,F2 是该双曲线的两个焦点, 12


则 △PF1F2 的面积为

2、已知过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1 的直线,交双曲线的左支于 M ,N 两点, F2 为其 4 3


右焦点,则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为 3、设 P 是双曲线
2

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5) 9 16


+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为

4、 以知 F 是双曲线 的最小值为

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点, 则 PF ? PA 4 12

2 2
0

5、已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1 P F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为 6、 已知双曲线 。

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,若顶点到渐近线 2 a b 3


的距离为 1,则双曲线方程为
2 2

7、已知圆 C : x ? y ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦 点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 8、已知双曲线
2



x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物 a 2 b2


线 y ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为

9、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两条渐近线均和圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切, a 2 b2
。 。

且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m= 10、设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 m 9
11、双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
2 2



12、若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 2 a


支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为

13、已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。 (1)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且 过点 P? 的双曲线的标准方程。

14、 已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 , 满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E ,

?

直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点,如果 AB ? 6 3 ,且曲线 E 上存在点 C ,使

OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和 ?ABC 的面积 S? 。

15、已知双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 是双曲线 C 上的 a2 b2

一点, PF 1 ? 2 PF2 . 1 ? PF 2 ? 0 ,且 PF (1)求双曲线的离心率 e ; ( 2 )过点 P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 P 1 ? OP 2 ? ? 1 , P2 两点,若 OP

27 , 4

2PP 1 ? PP 2 ? 0 ,求双曲线 C 的方程.

16、双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同 于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
向. (1)求双曲线中

c 的值; a

(2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

17、已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ?? 3,0? ,一条渐近线的方程是

5x ? 2 y ? 0 .
(1)求双曲线 C 的方程; (2)若以 k ?k ? 0? 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

18、设动点 P 到点 A(?1 , 0) 和 B(1, 0) 的距离分别为 d1 和 d2 , ?APB ? 2? ,且存在常数

? (0 ? ? ? 1) ,使得 d1d2 sin2 ? ? ? .
(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线双曲线 C 的右支于 M ,N 两点,试确定 ? 的范围,使 OM ON ? 0 , 其中点 O 为坐标原点. (3)如图,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点.问:是否存在 ? 使 △F 1 AB 是以点 B 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

y

y

d1

P

A P
y

2?

d2
A

O

F1

O
B

F2 x

B

19、矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, 0) , AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 点 T (?11) , 在 AD 边所在直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (3)若动圆 P 过点 N (?2, 0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方 程.

20、已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交
2 2

于 A,B 两点.

O 为坐标原点) (1)若动点 M 满足 F ,求点 M 的轨迹方程; 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (其中

CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在, (2)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA ·
请说明理由.

能力提升训练(1)综合知识
【1】若椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1?m ? n ? 0? 与双曲线 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有相同的焦点 m n a b

2 2

F1,F2,P 是两条曲线的一个交点,则|PF1|?|PF2|的值是 A. m ? a B.

) D.

1 ?m ? a ? 2

C. m ? a

m? a

2 2 【2】已知双曲线 x ? y ? 1 与点 M(5,3) ,F 为右焦点,若双曲线上有一点 P, 9 27

使 PM ? 1 PF 最小,则 P 点的坐标为
2

【例 3】过点(1,3)且渐近线为 y ? ?

1 x 的双曲线方程是 2

【4】两共轭双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,证明:

1 1 ? 2 =1. e12 e2

【5】 设 CD 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦, 求证它的两端点与实轴任一顶点的连 线成直角.

【6】如图, F1 和 F2 分别是双曲线 以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是 a2 b2

双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为( (A) 3 (B) 5 ) (C)

5 2

(D) 1 ? 3

x2 y2 【7】 直线 l 过双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点, 斜率 k=2.若 l 与双曲线 a b
的两个交点分别在左右两支上, 则双曲线的离心率 e 的范围是 A.e> 2 B.1<e< 3 C.1<e< 5 D.e> 5 ( )

Y

O

F

X

l

2 【8】设 P 为双曲线 x ?

y2 ? 1 上 的 一 点 , F1,F2 是 该 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , 若 12
) C. 12 3 D. 24 ( )

| PF1 |:| PF2 |? 3: 2 ,则 △PF1F2 的面积为(
A. 6 3 B. 12

【9】 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的一弦中点为 (2, 1) , 则此弦所在的直线方程为 A. y ? 2 x ? 1 【10】在双曲线 x ?
2

B. y ? 2 x ? 2

C. y ? 2 x ? 3

D. y ? 2 x ? 3

y2 ? 1 上,是否存在被点 M(1,1)平分的弦?如果存在,求弦 2

所在的直线方程;如不存在,请说明理由.

21 的双曲线过点 P(6,6) (1) 3 求双曲线方程 (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G, 与双曲线交于不同的两点 M、 N, 问 是 否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论
【11】已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=
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y
N G

P

A1 M

o

A2

x

【12】已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与 2

双曲线交于 P、Q 两点,并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在, 说明理由

【 14 】 已知点 N ( 1 , 2 ) ,过 点 N 的直线交双曲线 x 2 ?
ON ?

y2 ? 1 于 A 、 B 两点,且 2

1 (OA ? OB) (1)求直线 AB 的方程; (2)若过 N 的直线 l 交双曲线于 C、D 两 2

点,且 CD ? AB ? 0 ,那么 A、B、C、D 四点是否共圆?为什么?

能力提升训练(2)分类突破
考点 1 双曲线的定义及标准方程 题型 1:运用双曲线的定义 【新题导练】 1.设 P 为双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2, 12
( B.12
2 2

则△ PF1F2 的面积为 A. 6 3

) C. 12 3 D.24

2.如图 2 所示, F 为双曲线 C :

x y ? ? 1 的左 9 16 焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称,
则P 1F ? P 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6 F 的值是( ) A.9 B.16 C.18 D.27

3. P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距 a 2 b2

为 2c,则 ?PF 1 F2 的内切圆的圆心的横坐标为( ) (A) ? a (B) ? b (C) ? c (D) a ? b ? c

题型 2 求双曲线的标准方程 [例 2 ] 已知双曲线 C 与双曲线 的方程.

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 16 4

【新题导练】 4.已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程 为 ;
x 2

5.以抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为 ___________________. 6.已知点 M (?3,0) , N (3, 0) ,B(1, 0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B ,过 M 、N 与圆 C 相 切的两直线相交于点 P ,则 P 点的轨迹方程为 A. x ?
2

y2 ? 1 ( x ? ?1) 8

B. x ?
2

y2 ? 1 ( x ? 1) 8

y2 ? 1 (x > 0) C. x ? 8
2

y2 ? 1 ( x ? 1) D. x ? 10
2

考点 2 双曲线的几何性质 题型 1 求离心率或离心率的范围

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲 a 2 b2 线的右支上,且 | PF . 1 |? 4 | PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
[例 3] 已知双曲线 【新题导练】

7. 已 知 双 曲 线 为 8. 已知双曲线

4 x2 y 2 ? ?1 的 一 条渐 近 线方 程为 y ? x , 则 该双 曲 线的 离心 率 e 3 m n


x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 E,双曲线的左准线与该双曲线的两 a2 b2

渐近线的交点分别为 A、B 两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率 e 是( ) A. 5 ? 1 B.2 C. 5 ? 1 或 2 D.不存在

2

2

题型 2 与渐近线有关的问题 [例 4]若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的 a2 b2
B. 3 C. 5 D. 2

离心率为 ( ) A. 2 【新题导练】 9. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9

(

)

2 A. y ? ? x 3

4 B. y ? ? x 9

3 C. y ? ? x 2

9 D. y ? ? x 4

10.焦点为(0,6) ,且与双曲线 A.
x2 y2 ? ?1 12 24

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2

( )

B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D.

x2 y2 ? ?1 24 12

基础巩固训练 1. 以椭圆 程是 (A) x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0 (C) x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0 (B) x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与双曲线 ? ? 1 的渐近线相切的圆的方 169 144 9 16

(D) x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0

2.已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 10 , 0) 、 F2 ( 10 , 0) , M 是此双曲线上的一点,且满足

MF1 ? MF2 ? 0 , | MF1 | ? | MF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是
A.


2



x ? y2 ? 1 9

2

B. x 2 ?

y ?1 9

2

C.

x y ? ?1 3 7

2

2

D.

x y2 ? ?1 7 3

3.两个正数 a、b 的等差中项是 离心率为( A. ) B.

9 x2 y2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的 a b 2
C.

5 3

41 4

5 4

D.

41 5
)

4.设 e1 ,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共 点,且满足 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 A.
2 e12 ? e2 的值为( (e1e2 ) 2

1 2

B.1

C.2

D.不确定

[解析] C. 设 | PF ? | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ,| PF 1 | ? | PF 2 |? 2m , 1 |? a ? m ,| PF 2 |? a ? m ,

(a ? m)2 ? (a ? m)2 ? 4c2 ? a 2 ? m2 ? 2c 2 ?
5.已知 F1,F2 分别是双曲线

1 1 ? 2 ?2 e12 e2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的 a2 b2

直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 ( ) (A). (1 ? 2 ,??) 6.曲线 (B). (1,1 ? 2 ) (C). (1, 3) (D). ( 3,2 2 ) ( )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
B.焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对

A.焦距相等 综合提高训练

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 有公共的焦点, 和双曲线 (1)求双曲线的渐近 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2 线方程(2)直线 l 过焦点且垂直于 x 轴,若直线 l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为 3 ,求双曲线的方程 4
7. 已知椭圆 8.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左,右焦点,点 P?x, y ? 是双曲线右支上的一个动点, a2 b2
4 x . 求双曲线的方程; 3

且 PF 1 的最小值为 8 ,双曲线的一条渐近线方程为 y ?

9.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ? 2, 0 ? ,右顶点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程

?

3, 0 .

?

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围 参考例题:

双曲线专题练习一
一、填空题 1.椭圆
y2 y2 x2 x2 ? ? 1 的焦点相同,则 k= ? 2 ? 1 与双曲线 k 3 9 k



y2 x2 ? ? 1 的渐近线为 两渐近线夹角为 。 9 4 3.已知 F1、F2 为椭圆的两个焦点, A 为它的短轴的一个端点,若该椭圆的长轴长为 4 ,则

2.双曲线

△ AF1 F2 面积的最大值为 . 2 2 4.过点(-6,3)且和双曲线 x -2y =2 有相同的渐近线的双曲线方程为 5.过原点与双曲线



x y ? ? ?1 交于两点的直线斜率的取值范围是 4 3
。 。
2 2

2

2

6、若双曲线 8kx 2 ? ky 2 ? 8 的一个焦点是(0,3) ,则 k 的值是 7. 已知直线 y=kx-1 与双曲线 x ? y ? 1 ,试列出实数 k 需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点,
2 2

y x o ? ? 1 上一点,F1、F2 是双曲线焦点,若?F1PF2=120 , 4 3 则?F1PF2 的面积 。 2 2 9.过点M(-2,0)的直线 L 与椭圆 x +2y =2 交于P1、P2两点,线段P1P2的中 点为P,设直线 l 的斜率为 k1(k1≠0) ,直线OP的斜率为 k2,则 k1k2 的值为______.

8.点 P 是双曲线

10.若对任意 k?R,直线 y ? k ( x ? 2) ? b 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 总有公共点,则 b 范围 11.若方程 x+k- 1 ? x 2 =0 只有一个解,则实数 k 的取值范围是______________。 12.给出问题:F1、F2 是双曲线



x2 y2 ? =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的 16 20

距离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由 ||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,

将正确的结果填在下面空格内. 。 二、选择题 13.平面内有定点 A、B 及动点 P,设命题甲是“|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是 “点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ,那么甲是乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14. 经过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点 F2 作直线 l 交双曲线与 A 、 B 两点,若|AB|=4, 2

则这样的直线存在的条数为 ( ) (A)4; (B)3; (C)2; (D)1 15.双曲线与其共轭双曲线有 ( ) A.相同的焦点 B. 相同的渐近线 C.相等的实轴长 D. 相等的虚轴长

x2 y2 ? ? 1 只有一个交点的直线的条数为 16.过点 P(3,4)与双曲线 c : 9 16
A.4 B. 3 C.2 D. 1 三、解答题 2 2 2 2 17.已知动圆与圆 C1:(x+5) +y =49 和圆 C2:(x-5) +y =1 都外切, (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程。 (2)若动圆 P 与圆 C2 内切,与圆 C1 外切,则动圆圆心 P 的轨迹是 若动圆 P 与圆 C1 内切,与圆 C2 外切,则动圆圆心 P 的轨迹是 若把圆 C1 的半径改为 1,那么动圆 P 的轨迹是 (只需写出图形形状)





。 。 。

18.已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围; (2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; (3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? 请求出 a 的值;若不存在,说明理由。

1 x 对称?若存在, 2

x 19.(1)椭圆 C: a 2 ?
2

y2 b2

? 1 (a>b>0)上的点 A(1, 3 2 )到两焦点的距离之和为 4,

求椭圆的方程; (2)设 K 是(1)中椭圆上的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、kPN 时,那么 k PM ? k PN 是与点 P 位置无关的 定值。试对双曲线
x2 a2

?

y2 b2

? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明。

20. 已知双曲线方程为 2x 2 ? y 2 ? 2 , (1)求过点 P(1,2)的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使直线与双曲线 有一个交点,两个交点,没有交点。 (2) 过点 P(1,2)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 P 为弦 AB 的中点, 求直线 AB 的方程; (3)是否存在直线 l ,使 Q(1,1)为 l 被双曲线所截弦的中点?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。

21 的双曲线过点 P(6,6) (1)求 3 双曲线方程 (2)动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问 是 否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论
21、已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e=
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22.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点, 2

并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。

双曲线专题练习二
1. 过点 (2,?2) 且与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有公共渐近线的双曲线方程是( 2
B.



A.

y2 x2 ? ?1 2 4 y2 x2 ? ?1 4 2
1 2 3 2

x2 y2 ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 2 4


C.

D.

2. 已知定点 A、B,且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( A. B. C.

7 2

D. 5

3. 设双曲线以椭圆 的渐近线的斜率为( A. ? 2

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点, 其准线过椭圆的焦点, 则双曲线 25 9
) C. ?

4 B. ? 3

1 2

D. ?

3 4

4. 设 A 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上一动点,F 为该双曲线的右焦点,连结 AF 交双曲线 16 9


于 B,过 B 作直线 BC 垂直于双曲线的右准线,垂足为 C,则直线 AC 必过定点( A. (

41 ,0 ) 10

B. (

18 ,0 ) 5

C. (4,0)

D. (

22 ,0 ) 5

x2 y2 ? ? 1 按向量 a ? (1,2) 平移后得曲线 C 2 ,曲线 C 2 有一条准线方程 5. 把曲线 C1: 4 k
为 x ? 5 ,则 k 的值为( A. ? 3 B. ? 2 ) C. 3 D. ? 3 )

2 2 6. 在 ?ABC 中, 若 cos A cos B ? sin A sin B , 则方程 x cos A ? y cosC ? 1表示 (

A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 x 轴上的双曲线 7. 已知椭圆

B. 焦点在 y 轴上的椭圆 D. 焦点在 y 轴上的双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 与双曲线 a2 b2 m2 n2

(?c,0) 和 (c,0) (c ? 0) ,若 c 是 a, m 的等比中项, n 2 是 2m 2 与 c 2 的等差中项,则椭圆的
离心率是( )

A.

3 3

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

8. 设 e1 , e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公
2 e12 ? e2 共点,且满足 PF 的值为( 1 ? PF 2 ? 0 ,则 (e1e2 ) 2



A. 1 二. 解答题

B.

1 2

C. 2

D. 不确定

9. 已知双曲线 M 过点 P(4,

6 ) ,且它的渐近线方程是 x ? 2 y ? 0 。 2

(1)求双曲线 M 的方程; (2)设椭圆 N 的中心在原点,它的短轴是双曲线 M 的实轴,且 N 中斜率为 ? 4 的弦 的中点轨迹恰好是 M 的一条渐近线在 N 内的部分,试求椭圆 N 的方程。

10. 已知双曲线 C 的中心在原点, 抛物线 y ? 8x 的焦点是双曲线 C 的一个焦点, 且双曲
2

线 C 过点 ( 2 , 3 ) 。 (1)求双曲线 C 的方程; (2)设双曲线 C 的实轴左顶点为 A,右焦点为 F,在第一象限内任取双曲线 C 上一点 P,试问是否存在常数 ? (? ? 0) ,使得 ?PFA ? ??PAF 恒成立?并证明你的结论。

11. 双曲线的中心是原点 O, 它的虚轴长为 2 6 , 相应于焦点 F (c,0)(c ? 0) 的准线 l 与 x 轴相交于点 A,且 | OF |? 3 | OA | ,过点 F 的直线与双曲线交于 P、Q 两点。 (1)求双曲线的方程及离心率; (2)若 AP ? AQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程。

12、 已知点 N (1, 2) , 过点 N 的直线交双曲线 x 2 ?

1 y2 ? 1 于 A、 B 两点, 且 ON ? (OA ? OB) 2 2

(1)求直线 AB 的方程; (2)若过 N 的直线 l 交双曲线于 C、D 两点,且 CD ? AB ? 0 ,那 么 A、B、C、D 四点是否共圆?为什么? 13、如图,点 F 为双曲线 C 的左焦点,左准线 l 交 x 轴于点 Q ,点 P 是 l 上的一点,已知 | PQ |?| FQ |? 1 ,且线段 PF 的中点 M 在双曲线 C 的左支上. (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点 F 的直线 m 与双曲线 C 的左右 两支分别交于 A 、 B 两点,设 FB ? ? FA ,当
M

l
P
Q

y

? ? [6,??) 时,求直线 m 的斜率 k 的取值范围.

F

A

O

x

B
m


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