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解析几何中范围问题的解题策略Ⅰ


解析几何中范围问题的解题策略Ⅰ
视频文件名:00gao2shuz131 学习提示 归纳释疑
00:00~02:10

学生姓名: 学 习 内 容 要点记录 好题收藏 H 错题收藏 C

途径 1:利用判别式确定范围 途径 2:数形结合确定范围 途径 3:由三角形中三条边的关系来确定范围 途径 4:根据曲线中各几何元素自身的范围来确定

典例剖析
02:10~13:50

例 1 如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y
2

2

? 4 的右支有两个公共点, k 的 求

取值范围

(1< k <

5 2



----------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------即时反馈 1. 双曲线 C:
x a
2 2

? y

2

? 1 (a>0)与直线 l: x ? y ? 1 相交于两个不同

的点 A、B.则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围____________

---------13:50~28:17

--------------------------------------------------------------------------------------------------------例 2 已知抛物线方程 y ? 4 x ,长度为 5 的线段 AB 的两个端点在抛物线上滑
2

动,求线段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值

即时反馈 2. 若椭圆

x

2

?

y

2

? 1 内一点 P(1, ? 1 ) ,F 为右焦点,椭圆上有一

4

3
1

点 M,分别求 MP + MF 的取值范围.

---------25:17~34:01

--------------------------------------------------------------------------------------------------------例 3 若椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F 2 ,点 P

在椭圆上,且 PF 1 ? 4 PF 2 ,求此椭圆离心率的取值范围

----------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------即时反馈 3. 已知双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1 、 F 2 ,

点 P 在双曲线的右支上,且 PF 1 ? 4 PF 2 ,则此双曲线离心率的最大值是 __________

---------34:01~42:41

--------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 例 4 若满足 ( x ? 1) + ( y ? 2 ) = m 3 x ? 4 y -12 ( m ? 0 ) 的动点 P x , y ) (

的轨迹是双曲线,求 m 的取值范围

----------

--------------------------------------------------------------------------------------------------------即时反馈 4. 若椭圆 则离心率的范围是
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a>0,b>0) 上存在点 P 使得∠ F1 P F 2 是是直角,

解析几何中范围问题的解题策略Ⅰ练习
2

视频文件名: 学习提示 课堂练习
00:00~:

学生姓名: 学 习 内 容 一、巩固提高 1. P 是双曲线
( x ? 5) ? y
2 2

要点记录 好题收藏 H 错题收藏 C

x

2



y

2

=1 的右支上一点, M 、 N 分别是圆 ( x ? 5 ) ? y
2

2

? 4和

9

16

? 1 上的点,则 PM

? PN 的最大值(

) D. 9
0

A. 6 2. 已知双曲线
x a
2 2

B. 7
? y b
2 2

C. 8

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的右焦点 F 且倾斜角为 60 的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.( 1,2) B. (1,2 ]
x a
2 2

)

C. [2,+∞)

D. (2,+∞)

3. 设 F1, F 2 分别是椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线

上存在 P , 使线段 P F1 的中垂线过点 F 2 ,则椭圆离心率的取值范围是(
? ? ? 2? ? 2 ?
? ? ? 3? ? 3 ? ? ? ,? 1 ? ? 2 ? 2



A. ? 0, ----------00:00~:

B. ? 0,

C. ?

D. ?

?

? ,? 1 ? ? 3 ? 3

--------------------------------------------------------------------二、能力提升
2 2 4. 已知实数 x , y 满足 2 y ? 2 ? x ,试求 x ? 2 y ? 4 的最小值.

5. 已知实数 x , y 满足 y ?
?

x ? 1 ,试求

y ?1 x? 2

的最小值.
2

6. 已知 a ? R , b ? [ ? 2 , 2 ] ,求 u ? ?b ? a ?

? ?? ?

2?b

2

9? ? ? 的最小值. a?

2

0 0 7.设动点 P 到点 A ( ? 1,) 和 B (1,) 的距离分别为 d 1 和 d 2 ,? A P B ? 2? ,且存在

常数 ? (0 ? ? ? 1) ,使得 d 1 d 2 sin ? ? ? .
2

(1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M , N 两点,试确定 ? 的范围,使
???? ???? ? O M ?O N ? 0 ,其中点 O 为坐标原点.
x
2

8. 设 F1 、 F 2 分别是椭圆

? y

2

? 1 的左、右焦点.

4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 P F1 ? P F 2 的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M ( 0 , 2 ) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐
3

???? ???? ?

角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

答案 即时反馈 1. 0 ? k ?
2 ,且 k ? 1 ;解析:联立判别式大于 0,解得 0 ? k ? 2 ,且 k ? 1

即时反馈 2. [ 4 ?

5 ,4 ?

2 5 , 1) ; 5 ] ;即时反馈 3. (1, ] ;即时反馈 4. [ 2 3

课堂练习 巩固提高:1. B;解析:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆心, 当且仅当点 P 与 M 、 F1 三点共线以及 P 与 N 、 F 2 三点共线时所求的值最大, 此时 PM ? PN ? ( PF 1 ? 2 ) ? ( PF 2 ? 1) ? 10 ? 1 ? 9 ,故选 B
x a
2 2

2.C;解析:双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 6 0 的直线与双曲线的右支有且只
o

有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ∴ e ≥2,选 C. 3. D;解析 1:由已知 P (
a
2

b a

,∴

b a

2 ≥ 3 ,离心率 e =

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a

2

≥ 4,

c
cy b
2

, y ) ,所以 F1 P 的中点 Q 的坐标为 (

b

2

,

y

),

2c 2 b c
4 2



kF P ?
1

, kQF ?
2

cy b ? 2c
2 2

, k F P ? k Q F ? ? 1, ? y ? 2 b ?
2 2
1 2

.

? y ? ( a ? c )(3 ?
2 2 2

1 e
2

) ? 0 ? (3 ?

1 e
2

) ? 0 ,1 ? e ?

3 3

.

当 k F P ? 0 时, k Q F 不存在,此时 F 2 为中点,
1 2

a

2

? c ? 2c ? e ?

3 3

.

c

综上得

3 3

? e ? 1 . 选 D.

解析 2:根据题意及中垂线性质知,P 点满足 | F1 F 2 |? | F 2 P |, 只 需 | F1 F 2 |? | F 2 Q |,
a
2

其中 Q 为右准线与 x 轴的交点,? 能力提升 4. 4 ?
6 ;解析 1:由 2 y
2

? c ? 2 c ? a ? 3c ? e ?
2 2

3 3

.

c

? 2 ? x 得x
2

2

? 2y

2

? 2 ,即

x

2

? y

2

? 1 ,故点 P ( x , y ) 的轨迹为椭圆

x

2

? y

2

? 1. ①

2

2

x ? 2 y ? 4 可看作椭圆上的点 P ( x , y ) 到直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离的 5 倍.
4

如图,设与 l 平行且与椭圆相切的直线为 l ? : x ? 2 y ? m ? 0 .② 由相切令 ? ? 0 得 m ?
6 (m ? ? 6 舍去).

联立①②得 ( m ? 2 y ) ? 2 y ? 2 ? 0 ,
2 2

易知点 P 到直线 l 的最小距离即是两直线 l , l ? 间的距离 解析 2: 由 2 y ? 2 ? x 得 x ? 2 y
2 2
2 2

4? 5

6

?

4? 5

6

,? x ? 2 y ? 4 的最小值为 4 ?

6 .

? 2 ,即

x

2

? y

2

? 1 .令 x ?

2 cos ? , y ? sin ? ,

2

则 x ? 2y ? 4 ?

2 cos ? ? 2 sin ? ? 4 ?
6 .
x ?1得y
2

6 cos( ? ? ? ) ? 4 .显然,当 cos( ? ? ? ) ? ? 1 时,

y A P O B x

x ? 2 y ? 4 有最小值 4 ?

5. ?

1 3

;解析 1:由 y ?

? x ? 1( y ? 0 ) ,对应的曲线为抛物

线的上半部分(如图).
B (1, 0 ) 重合时,

y ?1 x? 2

可看作曲线上的动点 P ( x , y ) 与定点 A ( ? 2 ,1) 的连线的斜率.结合图形可知,当点 P 与
0 ?1 1? 2 ? ? 1 3
2

y ?1 x? 2

取得最小值,最小值为

.

6. 8;解析: u 可以看成点 P b , 2 ? b

?

2

? 和点 Q ?? a , 9 ?? 间距离的平方.如图, P 是圆 x a
? ?
2

? y

2

? 2 上的点, Q 是双曲线

xy ? 9 ? x ? 0 ? 上的点.结合图易知:距离最小时, P 、 Q 是直线 y ? x 与圆 x

? y

2

? 2 、双曲线 xy ? 9 在第一象限

的交点.此时 P ?1,1 ?, Q ?3 , 3 ? , PQ
x
2

min

? 2 2 ,? u min ? 8 .

7.

1? ?

?

y

2

?

? 1;

5 ?1 2

≤ ? ?

2 3

解析 1:
2 2 2 (1)在 △ P A B 中, A B ? 2 ,即 2 ? d 1 ? d 2 ? 2 d 1 d 2 co s 2? ,

4 ? ( d 1 ? d 2 ) ? 4 d 1 d 2 sin ? ,即 d 1 ? d 2 ?
2 2

4 ? 4 d 1 d 2 sin ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数) ,
2

点 P 的轨迹 C 是以 A, B 为焦点,实轴长 2 a ? 2 1 ? ? 的双曲线.方程为:

x

2

1? ?

?

y

2

?

? 1.

(2)设 M ( x1, y1 ) , N ( x 2, y 2 )
1) ? ①当 M N 垂直于 x 轴时, M N 的方程为 x ? 1 , M (1, , N (1, 1) 在双曲线上.



1 1? ?

?

1

?

? 1? ? ? ? ?1 ? 0 ? ? ?
2

?1 ? 2

5

,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?

5 ?1 2



②当 M N 不垂直于 x 轴时,设 M N 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
? x y ? ?1 ? 2 2 2 2 由 ?1 ? ? 得: ? ? ? (1 ? ? ) k ? x ? 2 (1 ? ? ) k x ? (1 ? ? )( k ? ? ) ? 0 , ? ? ? ? y ? k ( x ? 1) ?
2 2

5

2 由题意知: ? ? ? (1 ? ? ) k ? ? 0 , ? ?

所以 x1 ? x 2 ?

? 2 k (1 ? ? )
2

? ? (1 ? ? ) k

2

, x1 x 2 ?

? (1 ? ? )( k ? ? )
2

? ? (1 ? ? ) k
k ?
2 2 2

2



于是: y 1 y 2 ? k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ?
2

? ? (1 ? ? ) k



因为 O M ?O N ? 0 ,且 M , N 在双曲线右支上,所以
? (1 ? ? ) ? 2 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ? ? ? (1 ? ? ) k ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ?? ? ? ?1 1? ? ? ? x1 ? x 2 ? 0 ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? 1 2 ? 1? ? ?
5 ?1 2 2 3

???? ???? ?

5 ?1 2

? ? ?

2 3



由①②知, 解析 2: (1)同解法一

≤ ? ?



(2)设 M ( x1, y1 ) , N ( x 2, y 2 ) , M N 的中点为 E ( x 0, y 0 ) . ①当 x1 ? x 2 ? 1 时, M B 因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?
2
2

?

?
1? ?

? ? ? 1? ? ? ? ?1 ? 0 ,
2

5 ?1 2



? x1 y ? 1 ?1 ? x ? ?1 ? ? ? ②当 x1 ? x 2 时, ? ? k MN ? ? 0 . 2 2 1 ? ? y0 ? x2 ? y2 ? 1 ?1 ? ? ? ?
2

又 k M N ? k BE ?

y0 x0 ? 1

.所以 (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? ? x 0 ;
2 2

? MN ? ? MN ? ? e ( x1 ? x 2 ) ? 2 a ? 由∠ M O N ? 得 x 0 ? y 0 ? ? ? ,由第二定义得 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ?
?
2 2

2

2

2

? ?? ?

1 1? ?

x0 ?

1 ? 2 1? ? ? ? x 0 ? (1 ? ? ) ? 2 x 0 . 1? ? ?
2 2

2

所以 (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? 2 (1 ? ? ) x 0 ? (1 ? ? ) .
2

2 ? (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? ? x 0 (1 ? ? ) ? 于是由 ? 得 x0 ? 2 2 2 2 ? 3? ? (1 ? ? ) y 0 ? ? x 0 ? 2 (1 ? ? ) x 0 ? (1 ? ? ) ?
2 2

6

因为 x 0 ? 1 ,所以
5 ?1 2

(1 ? ? ) 2 ? 3?
2 3

2

? 1 ,又 0 ? ? ? 1 ,

解得:

? ? ?

.由①②知

5 ?1 2

≤ ? ?

2 3


y

???? ???? ? ???? ???? ? 8.(1) P F1 ? P F 2 有最小值 ? 2 , P F1 ? P F 2 有最大值 1 ;
3 2 3 2
3

P

d1

2?

(2) ? 2 ? k ? ?



? k ? 2
A
O

d2
B

y

解析 1: (Ⅰ)解析一: 易知 a ? 2, b ? 1, c ? 所以 F1 ? 3 , 0 , F 2
???? ???? ? P F1 ? P F 2 ? ? 3 ? x , ? y ,

?

?

?

3 , 0 ,设 P ? x , y ? ,则
x
2

?

?

??

3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2
2

?

?3?

1 4

4

?3x

2

? 8?

因为 x ? ? ? 2 , 2 ? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, P F1 ? P F 2 有最小值 ? 2 当 x ? ? 2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, P F1 ? P F 2 有最大值 1 解析 2:易知 a ? 2, b ? 1, c ?
3 ,所以 F1 ? 3 , 0 , F 2

???? ???? ?

???? ???? ?

?

?

?
2

3 , 0 ,设 P ? x , y ? ,则
???? 2 ? ????? ? P F 2 ? F1 F 2 ???? ???? ? 2 P F1 ? P F 2
2

?

???? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? P F1 ? P F1 ? P F 2 ? P F1 ? P F 2 ? c o s ? F1 P F 2 ? P F1 ? P F 2 ?

?

1 ? x? ? 2 ?

?

3

?

2

? y ? x?
2

?

3

?

2

2 2 2 ? ? y ? 1 2 ? x ? y ? 3 (以下同解法一) ? ?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A ? x1 , y 2 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,
? y ? kx ? 2 ? ? 2 1? 2 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k ? ? x ? 4 k x ? 3 ? 0 2 4? ? y ?1 ? ? ? 4

∴ x1 ? x 2 ? ?

4k k ?
2

1 4

, x1 ? x 2 ?
2

3 k ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

? ?

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4 k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?

又 0 ? ? A 0 B ? 9 0 ? co s ? A 0 B ? 0 ? O A ? O B ? 0
0 0

??? ??? ? ?

∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0
7

??? ??? ? ?

又 y1 y 2 ? ? kx1 ? 2 ? ? kx 2 ? 2 ? ? k x1 x 2 ? 2 k ? x1 ? x 2 ? ? 4 ?
2

3k k ?
2

2

1 4

?

?8k k ?
2

2

1 4

?4 ?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4


2

3 k ? 1 4

?

?k ? 1
2

k ?
2

1 4

? 0 ,即 k

2

? 4

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ? 2 ? k ? ?

3 2



3 2

? k ? 2。

8


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