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2015 概率统计2.1


第二章

随机变量的分布

(Distributi on of RandomVariables )

第二章

随机变量的分布

重点: 一维随机变量的概率分布; 二维随机变量 的联合概率分布; 边缘概率分布

难点: 随机变量的概率分布

§2.1一维离散型随机变量的分布律
1. 随机变量 2. 一维离散型随机变量的分布律 3. 一维离散型随机变量常用的分布 4. 一维随机变量的分布函数

一、随机变量( Random Variable )

在前面的学习中,我们用字母A、B、C...表示 事件,并视之为样本空间Ω的子集;针对等可能概 型,主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。 本章,将用随机变量表示随机事件,以便采用 高等数学的方法描述、研究随机现象。

试验结果的数量化
例 设箱中有10个球,其中有2个红球,8个白 球;从中任意抽取2个,观察抽球结果。

取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白 如果用X表示取得的红球数,则X的取值可为0,1,2。
此时, “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2}

“一红一白”记为 {X=1},
“两只白球”记为 {X=0}

特点:试验结果数量化了,试验结果与数建立了
对应关系

随机变量
?基本思想

( Random Variable )

将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果
?

有些随机试验的结果可直接用数值来表示.
例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示

?

有些随机试验的结果不是用数量来表示,

但可数量化
例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表 示的 可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝 上”

随机变量的定义
? 随机变量 设随机试验的样本空间为Ω ,如果对于每一 个样本点 ? ? ? ,均有唯一的实数 X (? ) 与 之对应,称 X ? X (? ) 为样本空间Ω 上

的随机变量。
? 随机变量的两个特征: 1) 它是一个变量 它的取值随试验结果而改变

2) 随机变量在某一范围内取值,表示一个
随机事件

一维随机变量的例子
( 1)抛硬币试验。若为正面,令X ? 1;
若为反面,令X ? 0

(2)一盒中有5黄3 白共8个球,有放回地每次 取一个,取到黄球后不 再取,取的次数X为

?1,2,3,4,5,6,?n??

(3) 一均匀陀螺上一半均匀 刻[0, 1 ) , 另一半是1, 旋转后停下时,接触桌 面的刻度 X为 ?0, 1?

随机 变 量本 质 上 为实值 函数 X ? X (? ) : ? ? R

多维随机变量的例子
二维R.V. (两个一维 R.V.构成的有序数组) ( X ,Y ) 例如 某班同学的身高,体重 .

三维R.V. (三个一维 R.V.构成的有序数组) 例如 某班同学的身高,体重 ,血压. ( X , Y , Z )

随机变量的分类:
按维数分类: 一维、高维(二维、三 维、 ?)

?离散型 ? ?非离散型 ?连续型 ? ? ?非离散非连续型 ?

二、一维离散型随机变 量的分布律
可数多个数值 定义2 可以取有限多个或无限 的一维r .v .,称为一维离散型随机变量。
定义3 P{ X ? xi } ? pi (i ? 1,2,3,?) 或
X P

x1 p1

x2 ? xi ? p2 ? pi ?

(概率分布、概率函数 ) . 称为X的 分布律

1) 0 ? pi ? 1

2) ? pi ? 1

设r .v . X的分布律为

P?X ? k? ? ka,k ? 1, 2, 3,4,5
求常数a.

1 a? . 15

求分布律举例
例 设有一批产品20件,其中有3件次品,从中任意抽
取2件,如果用X表示取得的次品数,求随机变量X的分布律及 事件“至少抽得一件次品”的概率。 解:X的可能取值为 0,1,2 2 C17 136 P{X=0} ? 2 ? =P(抽得的两件全为正品) C 20 190 1 1 C3 C17 51 P{X=1} ? ? =P(只有一件为次品) 2 C20 190 2 C3 3 P{X=2} ? 2 ? =P(抽得的两件全为次品) C 20 190 故 X的分布律为
X
pk

0
136 190

1
51 190

2
3 190

注意: {X=1}与{X=2}是互不相容的!

而“至少抽得一件次品”={X≥1} = {X=1}?{X=2} 故 P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} ? 51 ? 3 ? 54 ? 27
190 190 190 95

三、一维随机变量的几个重要分布
? 0-1分布(两点分布 ) △定义: 若随机变量X的分布律为:
X P 0 1-p 1 p

则称X服从参数为p

的二点分布或(0-1)分布,

△背景:样本空间只有两个样本点的情况
都可以用两点分布来描述。 如:上抛一枚硬币。



设一个袋中装有3个红球和7个白球,现在从中随机 抽取一球,如果每个球抽取的机会相等,并且用 数“1”代表取得红球,“0”代表取得白球,则 随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量

?1 X ?? ?0
其概率分布为

(取得红球) (取得白球)

3 P ( X ? 1) ? 10
即X服从两点分布。

7 P( X ? 0) ? 10

二项分布
Binomial distribution
? 在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,

则X可能的取值为0,1,2,3,?,n.
? 随机变量X的分布律

P{ X ? k} ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

k ? 0,1, 2..., n;
其中0< p <1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布 (也称Bernoulli 分布),记为

X~B( n, p)

例1

从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回 地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.
有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验
A=“一次实验中抽到次品”,P(A)=3/12, 1 X ~ B ( 5 , ) 记X为共抽到的次品数,则 4 n=5 p=1/4



1? 2? 1? ? P{ X ? 2} ? C5 1 ? ? ? ? ? 4? ?4? ?

2

5? 2

??

例2 一大批种子发芽率为90%,今从中任取10粒.求播种后, 求
(1)恰有8粒发芽的概率;(2)不小于8粒发芽的概率。
解 X~B(10, 0.9) 8 (1) P(X=8)= C10 0.98 ? 0.12

? 0.1937

( 2) P(x ? 8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
8 9 10 ? C10 0.98 ? 0.12 ? C10 0.99 ? 0.1 ? C10 0.910 ? 0.9298

泊松分布
Poisson distribution ? 定义 若随机变量 X 的分布律为:

P( X ? k ) ?

?k
k!

e ?? , k ? 0,1,2...

其中? >0, 则称X服从参数为?的泊松分布

X~P(?)

? 实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的

–服务台在某时间段内接待的服务次数X; –交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y; –矿井在某段时间发生事故的次数; –显微镜下相同大小的方格内微生物的数目; –单位体积空气中含有某种微粒的数目
体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布,都可以 看作泊松分布,其参数 ? 可以由观测值的平均值求出。



已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从

? ? 4 的泊松分布,分别 求(1)每分钟内恰好接到3
次呼唤的概率;(2)每分钟不超过4次的概率

解 P( X ? k ) ?

?k
k!
3

e??

? ? 4, k ? 3

4 ?4 P( X ? 3) ? e ? 0.19563 3!
P( X ? 4) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? 0.628838

(4)几何分布 X ~ G( p)

P{ X ? k } ? p(1 ? p)

k ?1

( k ? 1,? n?)

意义:伯努利试验中事件首次发生时所需 试验的次数. 例 醉鬼开门

(5)超几何分布 X ~ H (n, M , N )
C C P{ X ? m } ? C
m M n? m N ?M n N

性质 当 N 较大,n 较小时,
C C C
m M n? m N ?M n N

M? ?M? ? ?C ? ? ?1 ? ? N? ?N? ?
m n

m

n? m

四、一维r.v.的分布函数
定义4 设X为一维随机变量,x是任意实数,则 函数F ( x ) ? P{ X ? x},称为一维r.v.X的
(或累计概率分布函数 ) . 分布函数
P (a<X ? b) ? F(b)-F(a)

例5 已知随机变量X的分布律: X ?1 0 2

3 0.4

P

0.1

0.2

0.3

求X的分布函数, 并画图.

x ? ?1 ?0 解:F ( x ) ? 0.1 ?1 ? x ? 0 ? ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 0? x?2 ? P { X ? x }? ? 0 . 1 ? 0 . 2 ? 0 . 3 ? 0 . 6 2 ? x ? 3 ? 3? x ? 1 ? ?

F ( x)

-1
例6

1

2 3

x

已知随机变量X的分布律: ?1 1 X ?2

P 0.1

0.3

0.6

求X的分布函数.

特别地,对于离散型 r.v.,其分布函数为

? ? F ( x ) ?P{ X ? x } ? P ? ? ?X ? x k ?? ? ? x ?x ? ? k ?
0 p1

xk ? x

? P?X ? x ?
k

F ( x) ?

p1 ? p2

x ? x1 x1 ? x ? x2 x2 ? x ? x3
?

p1 ? p2 ? ?? pn?1 p1 ? p2 ? ?? pn ? 1

?

xn?1 ? x ? xn
xn ? x.

F ( x)
1
pn?1
p4

pn

?

p3
p2 p1

x1 x2 x3 x4 0 x5

?x

n?1

xn

x

性质 (1) ? ? ? x ? ??是任意实数, 0 ? F ( x ) ? 1; (2) 当x1 ? x2时,F ( x1 ) ? F ( x2 ),
即F ( x )为x的单调非减函数; ( 3) F ( ?? ) ? lim F ( x ) ? 0;
F ( ?? ) ? lim F ( x ) ? 1;
x?? ? x?? ?

( 4)

x ? x0 ?

lim F ( x ) ? F ( x0 ),即F ( x )处处右连续。

作业:P46,4,9,14,17


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