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解析几何中的最值问题


解析几何中的最值问题(2012.3)
一、基础练习
2 1.若动点 M 在抛物线 y ? 2 x 上, F 是其焦点,定点 A ( 3 , ? 1) ,则 MF ? MA

最小

值为__________ 2.设点 P ( x , y ) 在圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1 上,(1) 点 P ( x , y ) 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的
2 2

最小距离为 3.点 P 在椭圆 为
x
2

(2) 3 x ? 4 y 的最大值为
?
?

y

2

3

2

? 1 上, F1, F 2 是椭圆的左右焦点,则(1) PF 1 ? PF 2 最小值
?

(2) PF 1 ? PF 2 的最小值为
2 2

4.过定点 P (3,0)作圆 x ? y ? 25 两条相互垂直的弦与圆相交于 A , B , C , D 四点,则四边形
A B C D 面积的最大值为

二、例题 例 1.设定点 A (4,0)及双曲线 x ? y ? a
2 2 2

( a ? 0 ),动点 P 在双曲线上,

(1)若 a ?

5 ,求 PA 的最小值,

(2)若 PA 最小值为 5 ,求双曲线的方程,

例 2.已知动圆过定点 F (1, 0 ) ,且与定直线 x ? ? 1 相切, (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程, (2)设动直线 l 过点 F 且与 M 的轨迹相交于 A , B ,直线 l 的倾斜角为 ? ,试用 ? 表示
S ? AOB ,并求其最小值。

1

课堂练习: 已知动点 P 在抛物线 y ?
1 2 x 上,圆 o 1 的方程为 x ? ( y ? 2 ) ? 1
2
2 2

(1)过点 P 作圆 O 1 的两条切线 PA , PB ,求四边形 APBO (2)若 MN 是圆 O 1 的一条动直径,求 PM ? PN 的最小值.

1

面积的最大值,

三、作业 1.函数 y ?
x ? 4x ? 5 ?
2

x ? 2 x ? 5 的最小值为
2

2.点 A ( 3 , 4 ) 直线 l : ( a ? 1) x ? y ? a ? 1 ? 0 的距离最大值为 3.过点 M ( 2 ,1) 的直线 l 分别与 x 轴, y 轴的正方向交于 A , B 两点,则 ? AOB 的面积最小 时为 4.椭圆
x
2

? y
2

2

? 1 的内接矩形面积的最大值是

4

5.在抛物线 y ? 2 x 上有点 P 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离最短,则点 P 坐标为
x
2

6.设点 P ( x , y ) 在椭圆

?

y

2

? 1 上,则 xy 的取值范围是

, x ? 2 y 的最小值为

9

4

2 7.设点 M 是抛物线 y ? 2 x 上一动点, A ( m , 0 ), ( m ? 0 ) ,若 MA ? 3 恒成立,则实数 m

的范围是 8.已知在 ? ABC 中, a ? 2 , b ? 2 c ,则 ? ABC 面积的最大值为
| | 9. 已知圆 x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点为 A 、B , 若圆内的动点 P 使 | PA | 、 PO | 、 PB |
2 2

成等比数列,则 PA ? PB 的取值范围为--------------( (A) ? 0 , ? 2
? ? ? 1?

) (D) [ ? 1, 0 )

(B) ? ?
?

?

1

? ,0 ? 2 ?

(C) ( ?

1 2

, 0)

10.已知长度为 3 的线段 AB 的两个短点在抛物线 y 距离的最小值。

2

? x 上运动,求 AB 的中点 M 到 y 轴

2

11.点 M 在椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上, A ( t , 0 ), ( t ? 0 ) ,求 MA 的最小值

8

4

12.已知椭圆 C :

x m

2 2

? y

2

? 1, (常数 m ? 1 ), P 是曲线 C 上的动点, M 是曲线 C 的右顶点,定

点 A (2, 0) (1)若 m ? 3 ,求 PA 的最大值与最小值, (2)若 PA 的最小值是 MA ,求 m 的取值范围.

13.已知点 M ( ? 2 2 , 0 ), N ( 2 2 , 0 ) ,动点 P 满足条件 PM ? PN ? 4 ,记动点 P 的轨 迹为 W. (1)求 W 的方程; (2)若 A , B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 O A · O B 的最小值.
??? ?
??? ?

3

14.如图已知点 F(1,0) ,直线 l : x ? ? 1, P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂 足为 Q,且 QP ? QF ? FP ? FQ , (1)求动点 P 轨迹 C 的方 程, (2)过点 F 作直线交曲线 C 于 A,B 两点,交直线 l 于 M, ① 已 知 MA ? ? 1 AF , MB ? ? 2 BF , 求 ? 1 ? ? 2 的 值 , ② 求
MA ? MB 的最小值。

4


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