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【成才之路】高中数学 2-2-2第2课时 椭圆的简单几何性质同步检测 新人教版选修2-1


2.2 第 2 课时
一、选择题

椭圆的简单几何性质

1.将椭圆 C1∶2x +y =4 上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一 新椭圆 C2,则 C2 与 C1 有( A.相等的短轴长 C.相等的离心率 [答案] C [解析] 把 C1 的方程化为标准方程,即 ) B.相等的焦距 D.相等的长轴长
<

br />2

2

C1: + =1,从而得 C2: +y2=1.
2 4 2 因此 C1 的长轴在 y 轴上,C2 的长轴在 x 轴上.

x2 y2

x2

e1=

2 =e2,故离心率相等,选 C. 2

2.若椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足△ABF1 为等边三角形的椭圆的离心 率是( A. 1 4 ) 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2

[答案] D [解析] △ABF1 为等边三角形, ∴2b=a,∴c =a -b =3b ∴e= =
2 2 2 2

c a

c2 = a2

3b 3 . 2= 4b 2

2

3.(2010?广东文,7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭 圆的离心率是( A. 4 5 3 B. 5 ) 2 C. 5 1 D. 5

[答案] B [解析] 本题考查了离心率的求法,这种题目主要是设法把条件转化为含 a,b,c 的方 程式,消去 b 得到关于 e 的方程,由题意得:4b=2(a+c)? 4b =(a+c) ? 3a -2ac-5c 3 2 2 =0? 5e +2e-3=0(两边都除以 a )? e= 或 e=-1(舍),故选 B. 5 4.已知椭圆 2x +y =2 的两个焦点为 F1,F2,且 B 为短轴的一个端点,则△F1BF2 的外 接圆方程为(
2 2 2 2 2 2 2 2

) B.(x-1) +y =4
2 2

A.x +y =1

1

C.x +y =4 [答案] A [解析]

2

2

D.x +(y-1) =4

2

2

椭圆的焦点为 F1(0,1),F2(0,-1),短轴的一个端点为(1,0),于是△F1BF2
2 2

的外接圆是以原点为圆心,以 1 为半径的圆,其方程为 x +y =1. 5.已知椭圆的长轴长为 20,短轴长为 16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是 ( ) A.[6,10] C.[8,10] [答案] C [解析] 由题意知 a=10,b=8,设椭圆上的点 M(x0,y0), 由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,点 M 到椭圆中心的距离 d= x0+y0. 又因为
2 2

B.[6,8] D.[16,20]

x2 0
100



y2 0
64

=1,所以 y 0 =64(1-

2

x2 0
100

)=64-

16 2 x 0 ,则 d = 24

x2+64- x2 = 0 0

16 25

9 2 9 x0+64,因为 0≤x2≤100,所以 64≤ x2+64≤100,所以 8≤d≤10. 0 0 25 25 6.椭圆 C1: + =1 和椭圆 C2: + =1 (0<k<9)有( 25 9 9-k 25-k A.等长的长轴 C.相等的离心率 [答案] B [解析] 依题意知椭圆 C2 的焦点在 y 轴上,对于椭圆 C1:焦距=2 25-9=8,对于椭 圆 C2:焦距=2 (25-k)-(9-k)=8,故答案为 B. 7.椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆离心率为 ( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 5 3 D. 6 3 B.相等的焦距 D.等长的短轴

x2

y2

x2

y2

)

[答案] A [解析] 由题意知 b=c,∴a= 2c,∴e= =

c a

2 . 2 )

1 8.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为 12,则椭圆方程为( 3 A. + =1 4 6 B. + =1 6 4

x2 y2 x2 y2

2

C. D.

+ =1 或 + =1 36 32 32 36 + =1 36 32

x2 x2

y2 y2

x2

y2

[答案] C 1 [解析] ∵长轴长 2a=12,∴a=6,又 e= ∴c=2, 3 ∴b =a -c =32,∵焦点不定, ∴方程为 + =1 或 + =1. 36 32 32 36 9.已知点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,则( A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上 C.点(-3,2)在椭圆上 D.无法判断点(-3,-2)、(3,-2)、(-3,2)是否在椭圆上 [答案] C
2 2 2

x2

y2

x2

y2

x2 y2 a b

)

x2 y2 [解析] ∵点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,∴由椭圆的对称性知,点(-3,2)、(3,-2)、 a b
(-3,-2)都在椭圆上,故选 C. 10.椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0)具有( A.相同的长轴 C.相同的顶点 [答案] D

x2 y2 a b

x2 y2 a b

)

B.相同的焦点 D.相同的离心率

x2 y2 x2 y2 x2 y2 [解析] 椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0)中,不妨设 a>b,椭圆 2+ 2=1 的离心率 e1 a b a b a b a2-b2 x2 y2 k a2-b2 a2-b2 = ,椭圆 2 + 2 =1(k>0)的离心率 e2= = . a ak bk a ka
二、填空题 11.(2009?广东理)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. [答案] + =1 36 9 3 ,且 G 2

x2

y2

[解析] 设椭圆 G 的标准方程为 2+ 2=1

x2 y2 a b

(a>b>0),半焦距为 c,则

3

?2a=12 ? ?c 3 ?a= 2 ?
2 2 2

,∴?

?a=6 ?c=3 3



∴b =a -c =36-27=9, ∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9 12.椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________, 9 2 ∠F1PF2 的大小为________. [答案] 2 120° [解析] 依题知 a=3,b= 2,c= 7,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=6,∵|PF1|=4, ∴|PF2|=2. 又|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|=2 7. 1 在△F1PF2 中,由余弦定理可得 cos∠F1PF2=- ,∴∠F1PF2=120°. 2 13.椭圆 2+ 2=1 上一点到两焦点的距离分别为 d1、d2,焦距为 2c,若 d1、2c、d2 成 等差数列,则椭圆的离心率为________. [答案] 1 2

x2

y2

x2 y2

x2 y2 a b

c 1 [解析] 由题意得 4c=d1+d2=2a,∴e= = . a 2 x2 y2 14.经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________. a b
[答案] 2b
2

a

[解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为 x=±c,

?x=±c ? 由?x2 y2 ?a2+b2=1 ?
2

,得 y = 2,

2

b4 a

b 2b ∴|y|= ,故弦长为 . a a
三、解答题 15.已知椭圆 x +(m+3)y =m(m>0)的离心率 e= 长、焦点坐标、顶点坐标.
2 2

2

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的 2

4

[解析] 椭圆方程可化为 +

x2 m

y2 =1, m m+3

∵m- ∴m>

m m(m+2) = >0, m+3 m+3 m
.
2

m+3

即 a =m,b = 由 e= 3 得, 2

2

m 2 2 ,c= a -b = m+3 m+2 3 = ,∴m=1. m+3 2
2

m(m+2) . m+3

∴椭圆的标准方程为 x + =1, 1 4 1 3 ∴a=1,b= ,c= . 2 2 ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1;两焦点坐标分别为 F1(- 1 1 顶点分别为 A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,- ),B2(0, ). 2 2 16.已知椭圆的中心在原点,它在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴的两个端点 B1,B2 的连线 互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为 10- 5,求这个椭圆的方程. 3 3 ,0),F2( ,0);四个 2 2

y2

x2 y2 [解析] 由于椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,可设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b
由椭圆的对称性知,|B1F|=|B2F|,又 B1F⊥B2F,因此△B1FB2 为等腰直角三角形,于是 |OB2|=|OF|,即 b=c. 又|FA|= 10- 5即 a-c= 10- 5,且 a +b =c . 将以上三式联立,得方程组,
2 2 2

?b=c ?a-c= 10- ?a =b +c
2 2 2

5

解得?

?a= 10 ?b= 5

所求椭圆方程是 + =1. 10 5 17.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= 面积为 4.求椭圆的方程.

x2

y2

x2 y2 a b

3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 2

5

[解析] 由 e= =

c a

3 2 2 2 2 2 ,得 3a =4c ,再由 c =a -b ,得 a=2b. 2

1 由题意可知 ?2a?2b=4,即 ab=2. 2 解方程组?
? ?a=2b, ? ?ab=2,

得 a=2,b=1,

所以椭圆的方程为 +y =1. 4

x2

2

6


【成才之路】2015-2016高二数学北师大版选修1-1习题:2. 1.2《椭圆的简单几何性质》

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