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2015年全国高考文科数学试题及答案(word版)


2015 年全国高考文科数学试题及答案 ( word 版)

新课标 1 一、选择题:本大题共 12 道小题,每小题 5 分 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A A. ? ?1,3? 【答案】A B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3?

B?

考点:集合运算. 【名师点睛】本题属基础题,主要考查数列的交集运算。 2. 若为 a 实数,且 A. ?4 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可得 2 ? ai ? ?1 ? i ?? 3 ? i ? ? 2 ? 4i ? a ? 4 ,故选 D. 考点:复数运算. 【名师点睛】本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等,难度不大,但要注意运算的准确 性。 B. ?3

2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? 1? i
C. 3 D. 4

3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D

考点:柱形图 【名师点睛】本题考查学生对柱形图的理解,要求学生能从图中读出有用信息,背景比较新 颖。 4. 已知 a ? ? 0, ?1? , b ? ? ?1, 2? ,则 (2a ? b) ? a ? A. ?1 【答案】B 【解析】
2 试题分析:由题意可得 a ? 1 , a ? b ? ?2, 所以 ? 2a ? b? ? a ? 2a ? a ? b ? 2 ? 2 ? 0 .

B. 0

C. 1

D. 2

2

考点:向量数量积。 【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,属于基础题。 5. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? A. 5 B. 7 C. 9 D.11

【答案】A 【解析】 试题解析: a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 3 ? a3 ? 1, S5 ? 考点:等差数列 【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及前 n 项和公式,具有小、巧、活的特点。 6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为

5 ? a1 ? a5 ? ? 5a3 ? 5 . 2

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】C 【解析】 试题分析:截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 考点:三视图 7. 已知三点 A(1,0), B(0, 3), C (2, 3) , 则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为

1 6

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

【答案】B

考点:直线与圆的方程 8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行 该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18, 则输出的 a 为( )

A.0

B.2

C.4

D. 1 4

【答案】B 【解析】 试题分析:输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2 考点:1. 更相减损术;2. 程序框图. 9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

1 , a3a5 ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? 4

A.2

B.1

C.

1 2

D.

1 8

【答案】C

考点:等比数列 10. 已 知 A, B 是 球 O 的 球 面 上 两点 , ?AOB ? 90? , C 为 该 球 面 上的 动 点 . 若三 棱 锥

O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为

A、 36? 【答案】C 【解析】

B、 64?

C、 144 ?

D、 256?

试题分析:设球的半径为 R ,则△AOB 面积为 平 面 AOB 距 离 最 大 且 为 R , 此 时 V ?

1 2 R ,三棱锥 O ? ABC 体积最大时,C 到 2

1 3 R ?3 6 ? R ?6 , 所 以 球 O 的 表 面 积 6

S ? 4? R 2 ? 1 4 4 ?.
考点:球与几何体的切接. 11. 如图,长方形的边 AB =2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记 ?BOP ? x ,将动点 P 到 A ,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? ,则的图像大致为

A. 【答案】B

B.

C.

D.

考点:函数图像 12. 设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2
C. ? ? , ?

A. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

?1, ?? ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? ?1 ? ? , ?? ? 3? ? 3 ?

【答案】A 【解析】 试题分析: f ? x ? 是偶函数,且在 0, ??? 是增函数,所以

?

f ? x ? ? f ? 2 x ? 1? ? f ? x ? ? f ? 2 x ? 1 ? ? x ? 2 x ? 1 ?
考点:函数性质

1 ? x ?1 . 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x 的图像过点(-1,4), 则 a=
3



【答案】-2 【解析】 试题分析:由 f ? ?1? ? ?a ? 2 ? 4 ? a ? ?2 . 考点:函数解析式

? x? y ?5? 0 ? 14. .若 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
【答案】8



考点:线性规划 15. 已 知 双 曲 线 过 点 4, 3 , 且 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 为 【答案】 【解析】 .

?

?

1 x ,则 该 双曲 线 的标 准 方 程 2

x2 ? y2 ? 1 4

x2 1 y ? ? x ? y 2 ? m ,把 试题分析:根据双曲线渐近线方程为 ,可设双曲线的方程为 2 4

? 4, 3 ? 代入得
m ? 1.
考点:双曲线几何性质 16. 已 知 曲 线 y ? x ? ln x 在 点 ?1, 1 ? 处 的 切 线 与 曲 线 y ? ax ? ? a ? 2? x ?1 相 切 , 则
2

a= 【答案】8 【解析】



试题分析:曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线斜率为 2,故切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,与

y ? ax2 ? ? a ? 2? x ? 1
? ? a2 ? 8a ? 0 ? a ? 8
考点:导数的几何意义.

联 立 得 ax ? ax ? 2 ? 0 , 显 然 a ? 0 , 所 以 由
2

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文科)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。

?1 ? j ? 1.已知
z

2

=1+i(i 为虚数单位) ,则复数 z=

2.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 1 所示

若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是 A.3 B.4 C.5 D.6

3.设 x ? R,则”x>1”是” x3 >1”的

A.充分不必要条件 C.充要条件 4.若变量 x,y 满足约束条件 A.-1 B.0 C.1 D.2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 则 z=2x-y 的最小值为

5.执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 n=3,则输出的 S= A. B. C. D.

6.若双曲线
7 3

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,则此双曲线的离心率为 a 2 b2

A.

B.

5 4

C.

4 3

D.

5 3

7.若实数 a,b 满足 A. 2

1 2 ? ? a b ,则 ab 的最小值为 a b

B.2

C.2 2

D.4

8.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

9.已知点 A,B,C 在圆 ? 2 ? y 2 ? 1 上运动,且 AB⊥BC ,若点 P 的坐标为(2,0) ,

则 | PA ? PB ? PC | 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9

10.某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能 大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的利 用率为(材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积)

A.

8 9?

B.

8 27?

24
C.

?

2 ?1

?

3

8
D.

?

2 ?1

?

3

?

?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.已知集合 U={1,2,3,4},A={1, 3},B={1,3,4},则 A ? ( C ? B )=________ 12.在直角坐标系 xOyz 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系,若 曲线 C 的极坐标方程为ρ =3sin? ,则曲线 C 的直角坐标方程为______ 13.若直线 3x-4y+5=0 与圆 x?+y?=r?(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°(O 为坐标原点) ,则 r=___________. 14.若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是___________ 15.已知 w>0,在函数 y=2sin mx 余 y=2 cos wx 的图像的交点,距离最短的两个交 点的距离为 2 3 ,则 w=________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。接答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是: 从袋有 2 个红球 A1 、A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 、a2 和 2 个白球 b1、b2 的乙箱中,各随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不 中奖。

(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果 (II)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概 率,你认为正确吗?请说明理由。 17. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b tanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA 3 (Ⅱ)若 sinC—sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 4 18.(本小题满分 12 分) 如图 4,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC, CC1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1 (Ⅱ)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°,求三棱锥 F—AEC 的体积.

19(本小题满分 13 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 =1,a2=2, 且 an+2 =3Sn- Sn+1 , n (Ⅰ) 证明:an+2 =3 an (Ⅱ) 求 Sn .

20. (本小题满分 13 分)
2

y2

已知抛物线 C1 :X =4y 的焦点 F 也会椭圆 C1 : a 2 + =1(a>b>0)的一个焦点。C1 与 C2 b2

X2

的公共弦的长为 2 6 . 过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点, 与 C1 相交于 C, D 两点, 且 BD 与 AC 同向。
(1) (2) 求 C2 的方程; 若︱AC︱=︱BD︱,求直线 l 的斜率。

21. (本小题满分 13 分) 已知 a>0,函数 f(x)=a (x [0,+ ) ) 。记 xe 为 f(x)的从小到大的第 n( n )个极

值点。 (Ⅰ)证明:数列{f(xn)}是等比数列; (Ⅱ)若对一切 n ,xn | f(xn)|恒成立,求 a 的取值范围。

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(文科)
一、选择题 1. 设 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ??1 ? 2i ? ? (A)3+3i (B)-1+3i (3)3+i (D)-1+i

,,,,, 2 3 4 5 6? , A ? ?1, 2? , B ? ?2,, 3 4? ,则 A 2. 设全集 U ? ?1 ,,, 2 5 6? (A) ?1
(B) ?1? (C) ?2?

?CR B ? =

,,, 2 3 4? (D)?1

3. 设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 成立的 (A)充分必要条件 (C)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

4. 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 (A) y=lnx (B) y ? x ? 1
2

(C)y=sinx

(D)y=cosx

? x? y ?0 ? 5. 已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z=-2x+y 的最大值是 ? y ?1 ?
(A) -1 (B)-2 (C)-5 (D)1

6. 下列双曲线中,渐近线方程为 y ? ?2 x 的是

(A) x ?
2

y2 ?1 4 y2 ?1 2

(B)

x2 ? y2 ? 1 4 x2 ? y2 ? 1 2

(C) x ?
2

(D)

7. 执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的 n 为

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

8. 直线 3x+4y=b 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b= (A) -2 或 12 (B)2 或-12 (C)-2 或-12 (D)2 或 12

9. 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是

(A) 1 ? 3

(B) 1 ? 2 2
3 2

(C) 2 ? 3

(D) 2 2

10. 函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d 的图像如图所示,则下列结论成立的是

(A) a>0,b<0,c>0,d>0 (B) a>0,b<0,c<0,d>0 (C)a<0,b<0,c<0,d>0 (D)a>0,b>0,c>0,d<0

二;填空题 (11) lg

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2

。 。

? ? (12)在 ?ABC 中, AB ? 6 , ?A ? 75 , ?B ? 45 ,则 AC ?

( 13 )已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 于 。

1 (n?2) ,则数列 {an } 的前 9 项和等 2

(14) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 y ? 2a 与函数 y ?| x ? a | ?1 的图像只有一个交点, 则 a 的值为 。

(15) ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a 、b 满足 AB ? 2 a , AC ? 2 a ? b , 则下列结论中正确的是 。 (写出所有正确结论得序号)

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 。

三. 解答题 16. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x (1)求 f ( x ) 最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名 职工对该部门的 评分,绘制 频率分布直 方图(如图所 示) ,其中 样本数据分 组区间为

[40,50],[50,60], ,[80,90],[90,100]
(1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40,60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50] 的概率.

18. 已知数列 ?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, bn ?

an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和Tn 。 Sn Sn ?1
o

19. 如图,三棱锥 P-ABC 中,PA ? 平面 ABC, PA ? 1, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60 . (1)求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)证明:在线段 PC 上存在点 M,使得 AC ? BM,并求

PM 的值。 MC

20. 设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a , 0) , 点 B a 2 b2
5 。 10

的坐标为(0,b), 点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜率为 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB。

21. 已知函数 f ( x) ?

ax (a ? 0, r ? 0) ( x ? r )2

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值。 r

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)



学(文史类)

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a、b∈R,i 是虚数单位),则 a,b 的值分别等于 A.3,-2 B.3,2 C. 3,-3 D.-1,4

2.若集合 M={x︱-2≤x<2},N={0,1,2},则 M∩N 等于 A.{0} B. {1} C. {0,1,2} D. {0,1}

3.下列函数为奇函数的是 A. y ? x B. y ? e x C. y ? cos x D. y ? e x ? e ? x

4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为

A.2

B.7

C.8

D.128

5.若直线 A.2

x y ,则 a+b 的最小值等于 ? ? 1(a>0,b>0)过点(1,1) a b
C.4 D.5

B.3

6.若 sin? ? ? A.

12 5 3 2

5 ,且α 为第四象限角,则 tanα 的值等于 13 12 5 5 B. ? C. D. ? 5 12 12 5 3 5 3 3 2

7.设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于 A. ? B. ? C. D.

8.如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0) ,且点 C 与点 D 在函数

? x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率 ? x ? 1, x<0 ? ? 2
等于

A.

1 6

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于

A. 8 ? 2 2

B. 11 ? 2 2

C. 14 ? 2 2

D.15

? x ? y ? 0, ? 10.变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 若 z=2x-y 的最大值为 2,则实数 m 等于 ?mx ? y ? 0. ?
A.-2 B.-1 C.1 D.2

11.已知椭圆 E:

x2 y2 ? ?1 (a>b>0) 的右焦点为 F, 短轴的一个端点为 M, 直线 l:3x-4y=0 a2 b2

交椭圆 E 于 A,B 两点.若 AF ? BF ? 4 , 点 M 到直线 l 的距离不小于 , 则椭圆 E 的离心率 的取值范围是 A. ? 0, ? ?

4 5

? ?

3? 2 ? ?

? 3? B. ? 0, ? ? 4?

C. ?

? 3 ? , 1? ? 2 ? ? ?

?3 ? D. ? ,1? ?4 ?

? ?? 12.“对任意 x ? ? 0, ?, k sin x cos x<x ”是“k<1”的 ? 2?

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.某校高一年级有 900 名学生, 其中女生 400 名.按男女比例用分层抽样的方法, 从该年级 学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数是 14.若△ABC 中,AC= 3 ,A=45°,C=75°,则 BC= . .

15.若函数 f ( x) ? 2 x?a (a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实 数 m 的最小值等于 .

16.若 a,b 是函数 f(x)=x2 -px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当 排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列{an }中,a2 =4,a4 +a7 =15. (Ⅰ)求数列{an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2 an ?2 ? n ,求 b1 +b2 +b3 +?+b10 的值. 18.(本小题满分 12 分) 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标. 根据相关报道提供的 全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.

(I)现从融合指数在 4,5? 和 7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研,求 至少有 1 家的融合指数在 7,8 内的概率; (Ⅱ)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 19.(本小题满分 12 分)

?

? ?

? ?

已知点 F 为抛物线 E: y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,点 ? ? 2, m? 在抛物线 E 上,且 ?F ? 3 . (I)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. 20.(本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, 点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点, PO 垂直于圆 O 所在的平面, 且 PO=OB=1. (I)若 D 为线段 AC 的中点,求证:AC⊥平面 PDO; (Ⅱ)求三棱锥 P-ABC 体积的最大值; (Ⅲ)若 ?C ? 2 ,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 10 3 sin

x x x cos ? 10 cos2 . 2 2 2

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位长度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后 6

得到函数 g ? x ? 的图象,且函数 g ? x ? 的最大值为 2. (ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得 g ? x0 ? ? 0 . 22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ?

? x ? 1? ? ln x ?
2

2



(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ?1; (Ⅲ) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ? ?1, x0 ? 时, 恒有 f ? x ? ? k ? x ?1? .

绝密★启用前

试卷类型:B

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 若集合 ? ? ??1,1? , ? ? ??2,1, 0? ,则 ? A.?0, ?1? 【答案】C 【解析】 试题分析: ? B.?0?

? ?(

) C. ?1? D. ??1,1?

? ? ?1? ,故选 C.

考点:集合的交集运算. 2. 已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2

) C. ?2i D. 2i

A. ?2 【答案】D

B. 2

考点:复数的乘法运算. 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )

A . y ? x 2 ? sin x D. y ? x ? sin 2 x 【答案】A 【解析】

B . y ? x 2 ? cos x

C . y ? 2x ?

1 2x

试题分析:函数 f ? x ? ? x ? sin x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ?1? ? 1 ? sin1 ,
2

f ? ? x ? ? 1 ? sin1 ,所以函数 f ? x ? ? x 2 ? sin x 既不是奇函数,也不是偶函数;函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为
f ? ? x ? ? ? ? x ? ? cos ? ? x ? ? x 2 ? cos x ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x 是偶函数;
2

函数 f ? x ? ? 2 x ?

1 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 2x 1 1 1 f ? ? x ? ? 2? x ? ? x ? x ? 2 x ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? 2 x ? x 是偶函数;函数 2 2 2

f ? x ? ? x ? sin 2 x 的定义域为 R ,关于原点对称,因为 f ? ? x ? ? ? x ? sin ? ?2 x ? ? ? x ? sin 2 x ? ? f ? x ? , 所以函数 f ? x ? ? x ? sin 2 x 是奇函数. 故
选 A. 考点:函数的奇偶性.

?x ? 2 y ? 2 ? 4. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?
A. 10 【答案】C B. 8 C. 5



D. 2

考点:线性规划.

b ,c . 5. 设 ???C 的内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a , 若 a ? 2 ,c ? 2 3 , cos ? ?
且 b ? c ,则 b ? ( A. D. 3 【答案】B 【解析】 试题分析:由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos ? ,所以
2 2 2

3 , 2

) B.2 C. 2 2

3

22 ? b 2 ? 2 3

?

?

2

? 2?b? 2 3 ?

3 2 b ? 2 或b ? 4 , , 即 b ? 6b ? 8 ? 0 , 解得: 因为 b ? c , 2

所以 b ? 2 ,故选 B. 考点:余弦定理.

6. 若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 ? 内, l2 在平面 ? 内, l 是平面 ? 与平面 ? 的交线, 则下列命题正确的是( ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 【答案】A

考点:空间点、线、面的位置关系. 7. 已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次 品的概率为( A. 0.4 【答案】B 【解析】 试题分析: 5 件产品中有 2 件次品,记为 a , b ,有 3 件合格品,记为 c , d , e ,从这 5 件 产品中任取 2 件, 有 10 种, 分别是 ? a, b ? ,? a, c ? ,? a, d ? ,? a, e ? ,? b, c ? ,? b, d ? ,? b, e ? , ) B. 0.6 C. 0.8 D .1

? c, d ? , ? c, e ? , ? d , e ? ,恰有一件次品,有 6 种,分别是 ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e ? ,? b, c ? ,
,则 ? ? ? ? ? ? b, d ? , ? b, e ? ,设事件 ? ? “恰有一件次品” 考点:古典概型. 8.已知椭圆 A. 9 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得: m ? 25 ? 4 ? 9 ,因为 m ? 0 ,所以 m ? 3 ,故选 C.
2 2

6 ? 0.6 ,故选 B. 10

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? ( 25 m 2
B. 4 C. 3

) D. 2

考点:椭圆的简单几何性质. 9. 在 平 面 直 角坐 标 系 x?y 中 , 已 知 四 边形 ??CD 是 平 行 四 边 形 , ?? ? ?1, ?2 ? ,

?D ? ? 2,1? ,则 ?D ? ?C ? (
A.2 【答案】D 【解析】

) C.4 D. 5

B. 3

试题分析:因为四边形 ??CD 是平行四边形,所以

?C ? ?? ? ?D ? ?1, ?2 ? ? ? 2,1? ? ? 3, ?1? ,所以 ?D ? ?C ? 2 ? 3 ? 1? ? ?1? ? 5 ,故选 D.
考点:1、平面向量的加法运算;2、平面向量数量积的坐标运算. 10. 若集合 ? ?

?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4且p, q, r , s ? ?? ,

F ? ?? t , u , v, w ? 0 ? t ? u ? 4, 0 ? v ? w ? 4且t , u , v, w ? ?? ,用 card ? ? ? 表示集合 ? 中的
元素个数,则

card ? ? ? ? card ? F ? ? (
A . 50 D. 200 【答案】D

) B . 100 C . 150

考点:推理与证明.

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题( 11~13 题)
11. 不等式 ? x ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为
2

. (用区间表示)

【答案】 ? ?4,1?

【解析】 试题分析:由 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 得: ?4 ? x ? 1 ,所以不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为

? ?4,1? ,所以答案应填: ? ?4,1? .
考点:一元二次不等式. 12. 已知样本数据 x1 ,x2 ,??? ,xn 的均值 x ? 5 , 则样本数据 2 x1 ? 1 ,2 x2 ? 1 ,??? , 2 xn ? 1 的均值为 【答案】 11 .

考点:均值的性质. 13. 若三个正数 a ,b ,c 成等比数列,其中 a ? 5 ? 2 6 ,c ? 5 ? 2 6 ,则 b ? 【答案】 1 【解析】 试题分析:因为三个正数 a , b , c 成等比数列,所以 b ? ac ? 5 ? 2 6
2



?

??5 ? 2 6 ? ? 1 ,

因为 b ? 0 ,所以 b ? 1 ,所以答案应填: 1 . 考点:等比中项.

(二)选做题( 14、 15 题,考生只能从中选作一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C 2 的参数
2 ? ?x ? t 方程为 ? ( t 为参数) ,则 C1 与 C 2 交点的直角坐标为 ? ? y ? 2 2t



【答案】 ? 2, ?4 ? 【解析】 试题分析:曲线 C1 的直角坐标方程为 x ? y ? ?2 ,曲线 C 2 的普通方程为 y ? 8 x ,由
2

? x ? y ? ?2 ?x ? 2 得: ? ,所以 C1 与 C 2 交点的直角坐标为 ? 2, ?4 ? ,所以答案应填: ? 2 ? y ? ?4 ? y ? 8x

? 2, ?4 ? .
考点:1、极坐标方程化为直角坐标方程;2、参数方程化为普通方程;3、两曲线的交点. 15. (几何证明选讲选做题)如图1 , ?? 为圆 ? 的直径, ? 为 ?? 的延长线上一点,过 ? 作圆 ? 的切线,切点为 C ,过 ? 作直线 ?C 的垂线,垂足为 D .若 ?? ? 4 , C? ? 2 3 , 则 ?D ? .

【答案】 3

考点:1、切线的性质;2、平行线分线段成比例定理;3、切割线定理.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. )
16、 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 .

?? ?1? 求 tan ? ? ? ? ? 的值;
?
2

? 2? 求

sin 2? 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1

4?

【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 .

考点:1、两角和的正切公式;2、特殊角的三角函数值;3、二倍角的正、余弦公式;4、同 角三角函数的基本关系. 17、 (本小题满分 12 分)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180 ? ,

?180, 200 ? , ? 200, 220 ? , ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 分组的频率
分布直方图如图 2 .

?1? 求直方图中 x 的值; ? 2 ? 求月平均用电量的众数和中位数; ? 3? 在月平均用电量为 ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 的四组用户中, 用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多少户?
【答案】 (1) 0.0075 ; (2) 230 , 224 ; (3) 5 . 【解析】 试 题 解析 : ( 1 )由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025? ? 20 ? 1 得 :

x ? 0.0075 ,所以直方图中 x 的值是 0.0075

考点:1、频率分布直方图;2、样本的数字特征(众数、中位数) ;3、分层抽样. 18、 (本小题满分 14 分) 如图 3 , 三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 , ?C ? 3 .

?1? 证明: ?C// 平面 ?D? ; ? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 【解析】

3 7 . 2

试题解析: (1) 因为四边形 ??CD 是长方形, 所以 ?C//?D , 因为 ?C ? 平面 ?D? ,?D ? 平面 ?D? ,所以 ?C// 平面 ?D? (2)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C ? CD ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面

?DC 平面 ??CD ? CD , ?C ? 平面 ??CD ,所以 ?C ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面

?DC ,所以 ?C ? ?D

(3)取 CD 的中点 ? ,连结 ?? 和 ?? ,因为 ?D ? ?C ,所以 ?? ? CD ,在 Rt???D 中,

?? ? ?D 2 ? D? 2

? 42 ? 32 ? 7 , 因为平面 ?DC ? 平面 ??CD , 平面 ?DC 平面 ??CD ? CD ,?? ?
平面 ?DC ,所以 ?? ? 平面 ??CD ,由(2)知:?C ? 平面 ?DC ,由(1)知:?C//?D , 所以 ?D ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?D ? ?D ,设点 C 到平面 ?D? 的距 离 为 h , 因 为 V三棱锥C ??D? ? V三棱锥???CD , 所 以

1 1 S ??D? ? h ? S ??CD ? ?? , 即 3 3

1 S ??CD ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 3 7 ,所以点 C 到平面 ?D? 的距离是 h? ? ? 1 S ??D? 2 2 ? 3? 4 2
考点:1、线面平行;2、线线垂直;3、点到平面的距离. 19、 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1 , n ? ?? . a2 ? 且当 n ? 2 时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 .

3 5 , a3 ? , 2 4

?1? 求 a4 的值;

1 ? ? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ? an ? 为等比数列; 2 ? ? ? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

7 ?1? 【答案】 (1) ; (2)证明见解析; (3) an ? ? 2n ? 1? ? ? ? 8 ?2?

n ?1



考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. i 为虚数单位, i 607 ? A. ?i 【答案】 A . 【解析】 试题分析:因为 i 607 ? (i 2 )303 ? i ? ?i ,所以应选 A . 考点:1、复数的四则运算; 2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1534 石, 验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为( A.134 石 【答案】 B . B.169 石 C.338 石 D.1365 石 ) B. i C. ?1 D.1

考点:1、简单的随机抽样; 3.命题“ ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是 A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 【答案】 C . 【解析】 试题分析: 由特称命题的否定为全称命题可知, 所求命题的否定为 ? x ? (0, ??) ,ln x ? x ? 1 , 故应选 C . 考点:1、特称命题;2、全称命题; 4.已知变量 x 和 y 满足关系 y ? ? 0.1x ? 1 ,变量 y 与 z 正相关. 下列结论中正确的是 A. x 与 y 负相关, x 与 z 负相关 C. x 与 y 正相关, x 与 z 负相关 【答案】 A . 【解析】 试题分析:因为变量 x 和 y 满足关系 y ? ? 0.1x ? 1 ,其中 ? 0.1 ? 0 ,所以 x 与 y 成负相关;又 因为变量 y 与 z 正相关,不妨设 z ? ky ? b (k ? 0) ,则将 y ? ? 0.1x ? 1 代入即可得到:
z ? k (? 0.1x ? 1) ? b ? ? 0.1kx ? (k ? b) , 所以 ? 0.1k ? 0 , 所以 x 与 z 负相关, 综上可知, 应选 A .

B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

B. x 与 y 正相关, x 与 z 正相关 D. x 与 y 负相关, x 与 z 正相关

考点:1、线性回归方程; 5. l1 , l2 表示空间中的两条直线,若 p: l1 , l2 是异面直线;q: l1 , l2 不相交,则 A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】 A .

考点:1、充分条件;2、必要条件; 6.函数 f ( x) ? 4? | x | ? lg A. (2, 3) C. (2, 3) 【答案】 C . 【解析】 试题分析:由函数 y ? f ( x) 的表达式可知,函数 f ( x) 的定义域应满足条件:
(3, 4]

x 2 ? 5x ? 6 的定义域为 x ?3
B. (2, 4] D. (?1, 3)
(3, 6]

4? | x |? 0,
(2, 3)

x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,解之得 ?2 ? x ? 2, x ? 2, x ? 3 ,即函数 f ( x) 的定义域为 x ?3

(3, 4] ,故应选 C .

考点:1、函数的定义域求法;
? 1, ? 7.设 x ? R ,定义符号函数 sgn x ? ? 0, ? ?1, ? x ? 0, x ? 0, 则 x ? 0.

A. | x | ? x | sgn x | C. | x | ? | x | sgn x 【答案】 D .

B. | x | ? x sgn | x | D. | x | ? x sgn x

考点:1、新定义;2、函数及其函数表示;

8.在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x, y , 记 p1 为事件 “x ? y ? 的概率,则 A. p1 ? p2 ? C. p2 ? 【答案】 B . 【解析】

1 1 ” 的概率,p2 为事件 “ xy ? ” 2 2

1 2

B. p1 ? D.

1 ? p2 2

1 ? p1 2

1 ? p2 ? p1 2

1 1 1 ? ? 1 1 1 试题分析:由题意知,事件“ x ? y ? ”的概率为 p1 ? 2 2 2 ? ,事件“ xy ? ”的 1?1 8 2 2

概 率

p2 ?

S0 S

, 其 中 S0 ?

1 1 ? 2

?

1 1 2

?

1 1 d x (? 1 x2 2

l? )? 1 ? 1 ,n S2? 1

, 所 以

1 1 S0 2 ( ? p2 ? ? S 1?1

l n 2 ) 1 1 ? (1 ? ln 2) ? ,故应选 B . 2 2

考点:1、几何概型;2、微积分基本定理; 9.将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增加 m (m ? 0) 个单位 长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则 A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 【答案】 D . B. 当 a ? b 时,e1 ? e2 ; 当 a ? b 时, e1 ? e2 D. 当 a ? b 时, 当 a ? b 时, e1 ? e2 ; e1 ? e2

考点:1、双曲线的定义;2、双曲线的简单几何性质; 10.已知集合 A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} , B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z} ,定义集合

A ? B ?{ ( 1x ? 2 x , 1y ? 2 y) ( 1x, 1y? )
A.77 【答案】 C . 【解析】 B.49

A ? B 中元素的个数为 ,则 A , (2x , 2y ?) B}

C.45

D.30

试 题 分 析 : 由 题 意 知 , A ? {( x, y) x2 ? y2 ? 1, x, y ? Z} ? {(1,0),(?1,0),(0,1),(0, ?1)} ,

B ? {( x, y) | x |? 2 , | y |? 2, x, y ? Z},所以由新定义集合 A ? B 可知, x1 ? ?1, y1 ? 0 或 x1 ? 0, y1 ? ?1 .
当 x1 ? ?1, y1 ? 0 时, x1 ? x2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 , y1 ? y2 ? ?2, ?1,0,1, 2 ,所以此时 A ? B 中元
? 素 的 个 数 有 : 7? 5 3个 5 ; 当 x1 ? 0, y1 ? ?1 时 , x1 ? x2 ? ?2, ?1,0,1, 2 ,

y1 ? y2 ? ?3, ?2, ?1,0,1, 2,3 ,这种情形下和第一种情况下除 y1 ? y2 的值取 ?3 或 3 外均相同,

即此时有 5 ? 2 ? 10 ,由分类计数原理知, A ? B 中元素的个数为 35 ? 10 ? 45 个,故应选 C . 考点:1、分类计数原理;2、新定义;

第Ⅱ卷(共 110 分) (非选择题共 110 分) 二、填空题(每题 7 分,满分 36 分,将答案填在答题纸上)
11. 已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? _________. 【答案】 9 .

考点:1、平面向量的数量积的应用;
? x ? y ? 4, ? 12.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 3x ? y 的最大值是_________. ?3 x ? y ? 0, ?

【答案】 10 . 【解析】 试题分析: 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示, 然后根据图像 可得: 目标函数 z ? 3x ? y 过点 B(3,1) 取得最大值,即 zmax ? 3 ? 3 ? 1 ? 10 ,故应填10 .

考点:1、简单的线性规划问题;

π 13. 函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x2 的零点个数为_________. 2
【答案】 2 . 【解析】

π π 试题分析: 函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x2 的零点个数等价于方程 2sin x sin( x ? ) ? x2 ? 0 的 2 2 π 根的个数,即函数 g ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? 2sinxcosx ? sin 2 x 与 h(x) ? x2 的图像交点个数. 于 2
是,分别画出其函数图像如下图所示,由图可知,函数 g ( x) 与 h(x) 的图像有 2 个交点.

考点:1、函数与方程;2、函数图像; 14.某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计,发现消费金额 (单位:万元)都在区间[0.3, 0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ )直方图中的 a ? _________; (Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为_________.

【答案】 (Ⅰ)3; (Ⅱ)6000.

考点:1、频率分布直方图; 15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30 ,则此 山的高度
CD ? _________m.

【答案】 100 6 .

考点:1、正弦定理;2、解三角形的实际应用举例; 16.如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A ,B(B 在 A 的上方) , 且 AB ? 2 . (Ⅰ )圆 C 的标准 方程为_________; .. (Ⅱ )圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_________.

【答案】(Ⅰ) ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ;(Ⅱ) ?1 ? 2 . 【解析】 试题分析: 设点 C 的坐标为 ( x0 , y0 ) , 则由圆 C 与 x 轴相切于点 T (1, 0) 知, 点 C 的横坐标为 1 , 即 x0 ? 1 ,半 径 r ? y0 . 又 因 为 AB ? 2 , 所 以 12 ? 1 2 ? y0 2 , 即 y0 ? 2 ? r , 所 以 圆 C 的 标 准 方 程 为

( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,

令 x ? 0 得:B(0, 2 ? 1) . 设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y ? ( 2 ? 1) ? kx , 则圆心 C 到其距离 为:
d? k ? 2 ? 2 ?1 k2 ?1

解之得 k ? 1 . 即圆 C 在点 B 处的切线方程为 y ? x ? ( 2 ? 1) , 于是 ? 2, 令 y ? 0 可得

x ? ? 2 ? 1 , 即 圆 C 在 点 B 处 的 切 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 ?1 ? 2 , 故 应 填

( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 和 ?1 ? 2 .
考点:1、直线与圆的位置关系;2、直线的方程; 17.a 为实数,函数 f ( x) ? | x2 ? ax | 在区间 [0, 1] 上的最大值记为 g (a) . 当 a ? _________时,
g (a) 的值最小.

【答案】 2 2 ? 2 .

? a a2 ? f ( ) ? (2 2 ? 2 ? a ? 1) 4 ②: 0 ? a ? 1 : g ( a ) ? ? 2 , ? f (1) ? 1 ? a (0 ? a ? 2 2 ? 2) ?
③: 1 ? a ? 2 : g (a) ? f ( ) ?

a 2

a2 4

④: a ? 2 : g (a) ? f (1) ? a ? 1 , 综上,当 a ? 2 2 ? 2 时, g (a ) 取到最小值 3 ? 2 2

考点:1、分段函数的最值问题;2、函数在区间上的最值问题;

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
18.(本小题满分 12 分)

π 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的图象 2
时,列表并填入了部分数据,如下表:
?x ? ?

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6
?5



x
A sin(? x ? ? )

0

5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解 ........... 析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动

π 个单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 6

y ? g ( x) 的图象离原点 O 最近的对称中心.

π 【答案】 (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6
?x ? ?
0

π 2 π 3
5

π

3π 2 5π 6
?5



x
A sin(? x ? ? )

π 12
0

7π 12
0

13 π 12
0

π π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ; (Ⅱ )离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . 6 12
【解析】
? ?A ? 5 ? ? ?? 试题分析: (Ⅰ)根据已知表格中的数据可得方程组 ? ? ? ? ? ,解之可得函数 f ( x) 的 2 ?3 ? 5? 3? ? ?? ? ? 2 ? 6

表达式,进而可补全其表格即可; (Ⅱ )由(Ⅰ)并结合函数图像平移的性质可得,函数 g ( x) 的表达式,进而求出其图像的对称中心坐标,取出其距离原点 O 最近的对称中心即可.

试题解析: (Ⅰ)根据表中已知数据可得: A ? 5 ,

?
3

? ?? ?

?
2



5? 3? ,解得 ? ?? ? 6 2

? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表:

π 6

?x ? ?

0

π 2 π 3
5

π

3π 2 5π 6
?5



x
A sin(? x ? ? )

π 12
0

7π 12
0

13 π 12
0

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π π π π (Ⅱ )由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) . 因 6 6 6 6 π kπ π k ? Z . 即 y ? g ( x) 解得 x ? ? kπ , ? , 6 2 12 kπ π π 图象的对称中心为 , k ? Z ,其中离原点 O 最近的对称中心为 (? , 0) . ( ? , 0 ) 2 12 12
为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) ,k ? Z . 令 2 x ? 考点:1、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图像及其性质;2、三角函数的图像及其性质; 19.(本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的公比为 q.已知 b1 ? a1 ,
b2 ? 2 , q ? d , S10 ? 100 .

(Ⅰ )求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ )当 d ? 1 时,记 cn ?
an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

1 ? a ? (2n ? 79), ? ?an ? 2n ? 1, ? 2n ? 3 ? n 9 【答案】 (Ⅰ )? 或? ; (Ⅱ ) Tn ? 6 ? n?1 . n ?1 2 ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . n ? 9 ?

【解析】
?10a1 ? 45d ? 100, 试题分析: (Ⅰ )由已知可列出方程组 ? ,解之得即可得出所求的结果; (Ⅱ ) ?a1d ? 2,

由(Ⅰ )可得 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 ,于是 cn ?

2n ? 1 ,易发现: c n 的通项是一个等差数列和 2n?1

一个等比数列相乘而得的,直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.

? a1 ? 9, ?10a1 ? 45d ? 100, ?2a1 ? 9d ? 20, ? a1 ? 1, ? 试题解析: (Ⅰ )由题意有, ? 即? ,解得 ? 或? 2 d? . ? d ? 2, ?a1d ? 2, ?a1d ? 2, ? 9 ?
1 ? an ? (2n ? 79), ? a ? 2 n ? 1, ? ? n ? 9 故? 或? . n ?1 ? ?bn ? 2 . ?b ? 9 ? ( 2 ) n ?1 . n ? 9 ?

(Ⅱ )由 d ? 1 ,知 an ? 2n ? 1 , bn ? 2n?1 ,故 cn ?

2n ? 1 ,于是 2n?1
① ②

Tn ? 1 ?

3 5 7 9 ? ? ? ? 2 22 23 24

?

2n ? 1 , 2n?1 ? 2n ? 1 . 2n

1 1 3 5 7 9 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 2 2 2 2 2 2
①-②可得

1 1 1 Tn ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2
故 Tn ? 6 ?

?

1 2n ? 1 2n ? 3 , ? n ? 3? 2n?2 2 2n

2n ? 3 . 2n ?1

考点:1、等差数列;2、等比数列;3、错位相减法; 20.(本小题满分 13 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,点 E 是 PC 的 中点,连接 DE , BD, BE .

(Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC . 试判断四面体 EBCD 是 否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需 写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P ? ABCD 的体积为 V1 ,四面体 EBCD 的

体积为 V 2 ,求

V1 的值. V2

【答案】 (Ⅰ) 因为 PD ? 底面 ABCD , 所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形, 有 BC ? CD , 而 PD
CD ? D , 所 以 BC ? 平 面 P C D . DE ? 平 面 P C D , 所 以 B C ? D E . 又 因 为 BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC . 四

P D ? C D,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC

面体 EBCD 是一个鳖臑; (Ⅱ) 【解析】

V1 ? 4. V2

试题分析: (Ⅰ)由侧棱 PD ? 底面 ABCD 易知, PD ? BC ;而底面 ABCD 为长方形,有
BC ? CD ,由线面垂直的判定定理知 BC ? 平面 PC D ,进而由线面垂直的性质定理可得 BC ? DE ; C D 中, 在 ?P 易得 DE ? PC , 再由线面垂直的判定定理即可得出结论. 由 BC ? 平

面 PCD , DE ? 平面 PBC ,进一步可得四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即可得出 结论; (Ⅱ)结合(Ⅰ)证明结论,并根据棱锥的体积公式分别求出V1 ,V2 ,即可得出所求结 果. 试题解析: (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形,有
BC ? C D,而 PD

CD ? D ,所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE . 又 BC ? C , 所以 DE ? 平面 PBC .

因为 PD ? CD , 点 E 是 PC 的中点, 所以 DE ? PC . 而 PC

由 BC ? 平面 PCD , DE ? 平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即四面 体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是 ?BCD, ?BCE , ?DEC , ?DEB.

1 1 (Ⅱ) 由已知,PD 是阳马 P ? ABCD 的高, 所以 V1 ? S ABCD ? PD ? BC ? CD ? PD ; 由 (Ⅰ) 3 3 1 1 知, DE 是鳖臑 D ? BCE 的高, BC ? CE ,所以 V2 ? S?BCE ? DE ? BC ? CE ? DE . 在 Rt △ 3 6
PDC 中 , 因 为 P D? C D ? , 点 E 是 PC 的 中 点 , 所 以 D E? C E

2 2

C, D 于是

1 BC ? CD ? PD V1 3 2CD ? PD ? ? ? 4. 1 V2 CE ? DE BC ? CE ? DE 6
考点:1、直线与平面垂直的判定定理;2、直线与平面垂直的性质定理;3、简单几何体的 体积; 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,

f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数.
(Ⅰ)求 f ( x) , g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? 1 ;

(Ⅱ)设 a ? 0 , b ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, ag ( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

1 1 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? (e x ? e? x ) , g ( x) ? (ex ? e? x ) . 证明:当 x ? 0 时, e x ? 1 , 0 ? e ? x ? 1 , 2 2
故 f ( x) ? 0.

1 又由基本不等式,有 g ( x) ? (ex ? e? x ) ? ex e? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 2

1 1 1 ex 1 f ?( x) ? (ex ? x )? ? (ex ? 2 x ) ? (ex ? e? x ) ? g ( x) 2 e 2 e 2 1 1 1 ex 1 g ?( x) ? (ex ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? f ( x) ⑥ 2 e 2 e 2
当 x ? 0 时, 价于 于是设函数 h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,由⑤⑥,有 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. ⑧



f ( x) f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x ⑦ ? bg ( x) ? (1 ? b) 等 x x

(1) 若c ? 0 , 由③④, h?( x) ? g ( x) ? cg ( x) ? cxf ( x) ? (1 ? c) ? (1 ? c)[ g ( x) ? 1] ? cxf ( x). 当 x ? 0 时, 得 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为增函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x , 故⑦ 成立 ( . 2) 若 c ?1, 由③④, 得 h?( x) ? 0 , 故 h( x) 在 [0, ??) 上为减函数, 从而 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑧ 成立. 综合⑦ ⑧ ,得 ag ( x) ? (1 ? a) ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将等式 f ( x) ? g ( x) ? ex 中 x 用 ?x 来替换,并结合已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数可得 当 x ? 0 时, 由指数与指数 ? f ( x) ? g ( x) ? e? x . 于是联立方程组即可求出 f ( x), g ( x) 的表达式; 函数的性 质知 e x ? 1 , 0 ? e ? x ? 1 ,进而可 得到 f ( x) ? 0. 然后再由 基本不等 式即可 得出
g ( x) ? 1. ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 f ?( x? )

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

g( , x) g ?( x) ? f ( x) . 于 是 要 证 明
a x ( g?) x ? ( 1 ,a) x就 是 证 明 也

ag ( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? ? bg ( x) ? (1 ? b) , 即 证 f ( x) x
, 即 证
f( ? x) b

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) x
h( ? x) f (? x)

( x ? g) ? x 于 ( 1 是 b构 ) x. 造





c? ( x ,利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立 g ? ) x( 1 c) x .

试题解析: (Ⅰ)由 f ( x) , g ( x) 的奇偶性及 f ( x) ? g ( x) ? ex , ①得:? f ( x) ? g ( x) ? e? x .



1 1 联立①②解得 f ( x) ? (ex ? e? x ) , g ( x) ? (ex ? e? x ) . 2 2
当 x ? 0 时, e x ? 1 , 0 ? e ? x ? 1 ,故 f ( x) ? 0. ③

1 又由基本不等式,有 g ( x) ? (ex ? e? x ) ? ex e? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. 2

④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

1 1 1 ex 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? (e x ? x )? ? (e x ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? g ( x) , 2 e 2 e 2 g ?( x )?
当 x ? 0 时,
x 1 x 1 1 x e 1 ? x ( e? x ? ? ) (?e 2 x ? ) x?( e ? ef x) , ( ) 2 e 2 e 2

f ( x) ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x , x f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价于 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. x


h?(


? x)


g ?( x)

h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x





⑤⑥


(


) .

? c ( ?g ? x ( ? fc () x x 1 1f ( ) c 1 ?x g ? ) (c x[? )

] )x c

当 x ? 0 时, ( 1 )若 c ? 0 ,由③④, 得 h?( x ) ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 上为 增函 数, 从而 成立. (2)若 c ? 1 ,由③④,得 h?( x) ? 0 , h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑦ 故 h( x) 在 [0, ??) 上为减函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故⑧ 成立. 综 合⑦ ⑧ ,得 ag ( x) ? (1 ? a) ?

f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

考点:1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用;2、函数的基本性质; 22.(本小题满分 14 分) 一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链 与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑 槽 AB 内作往复运动时, 带动 M 处的笔尖画出的椭圆记为 C. 以 O 为原点,AB ..N 绕 O 转动, 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点. 若直线 l 总 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 试探究:?OPQ 的面积是否存在最小值?若存在, 求出该最小值;若不存在,说明理由.

【答案】 (Ⅰ) 得最小值 8. 【解析】

x2 y 2 ? ? 1.(Ⅱ)当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, ?OPQ 的面积取 16 4

试题分析: (Ⅰ)由题意并结合三角形三边关系(两边之和大于第三边,两边之差小于第三 边)知, | MN | ? | NO |?| OM | ? | MN | ? | NO | ,即 2 ?| OM | ?4 ,这表明椭圆 C 的长半轴长为

4 ,短半轴长为 2 ,即可求出椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)首先讨论直线 l 的斜率存在与不存在两种情况,当直线 l 的斜率不存在时,易知直线 l 的方程为 x ? 4 或 x ? ?4 ,即可求出 ?OPQ 的面积的值;当直线 l 的斜率存在时,设出直线 l

1 的方程 l : y ? kx ? m ( k ? ? ) ,然后联立直线 l 与椭圆的方程并整 理得到一元 二次方程 2
2 ,然后根据题意直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点知, (1? 4k 2 )x2 ? 8kmx ? 4m ? 16? 0

? ? 0 即可得到 m2 ? 16k 2 ? 4 . 再分别联立直线 l 与直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 可解得点

P 和点 Q 的坐标,并根据原点 O 到直线 PQ 的距离公式可求得 d ?

|m| 1? k2

,于是 ?OPQ 的

面积可表示为 S?OPQ

4k 2 ? 1 2m 2 1 ?8 2 ,于是分两种情 ? | PQ | ?d 消去参数 m 可得 S ?OPQ ? 1 ? 4k 2 4k ? 1 2

况进行讨论:①当 k 2 ?

1 1 时;②当 0 ? k 2 ? 时,分别求出 ?OPQ 的面积的最小值,并比较 4 4

即可求出 ?OPQ 的面积取得最小值. 试题解析: (Ⅰ)因为 | OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 4 ,当 M , N 在 x 轴上时,等号成立;同 理
| OM | ? | MN | ? | NO |? 3 ? 1 ? 2 ,当 D, O 重合,即 MN ? x 轴时,等号成立. 所以椭圆 C 的

中心为原点 O ,长半轴长为 4 ,短半轴长为 2 ,其方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

1 (Ⅱ) (1)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x ? 4 或 x ? ?4 ,都有 S?OPQ ? ? 4 ? 4 ? 8 . 2
? y ? kx ? m, 1 (2) 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l : y ? kx ? m (k ? ? ) , 由 ? 2 2 2 ? x ? 4 y ? 16,



去 y ,可得

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 . 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,所以 ? ? 64k 2 m2 ? 4(1 ? 4k 2 )(4m2 ? 16) ? 0 ,即 m2 ? 16k 2 ? 4 .


? y ? kx ? m, 2m m ?2m m 又由 ? 可得 P( , ) ;同理可得 Q( , ) . 由原点 O 到直线 PQ 的 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k ? x ? 2 y ? 0,

距离为 d ?

|m| 1? k
2

和 | PQ |? 1 ? k 2 | xP ? xQ | ,可得
1 1 1 2m 2m 2m 2 . | PQ | ?d ? | m || xP ? xQ |? ? | m | ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 4k 2

S?OPQ ?

















S ?OPQ ?

4k 2 ? 1 2m 2 ? 8 1 ? 4k 2 4k 2 ? 1

.



k2 ?

1 4





S?OPQ ? 8(
0 ? k2 ?

4k 2 ? 1 2 4k 2 ? 1 2 1 2 ;当 时, ) ? 8(1 ? ) ? 8 S ? 8( ) ? 8(?1 ? ) .因 0 ? k ? ? OPQ 2 2 2 4 4k ? 1 4k ? 1 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 2 ,则 0 ? 1 ? 4k 2 ? 1 , ? 2 ,所以 4 1 ? 4k 2 2 ) ? 8 ,当且仅当 k ? 0 时取等号. 所以当 k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8. 1 ? 4k 2

S?OPQ ? 8(?1 ?

综合(1) (2)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, ?OPQ 的面积取 得最小值 8. 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与椭圆相交综合问题;

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科) 第 I 卷(共 50 分)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分, 共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、已知集合 A ? x 2 ? x ? 4 (A) ?1,3?

?

?

, B ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 (C) ? 2,3?

?

?

,则 A

B?
(D) ? 2, 4 ?

(B) ?1, 4 ?

2、若复数 z 满足 (A) 1 ? i

z ? i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 1? i
(B) 1 ? i (C) ?1 ? i (D) ?1 ? i

3、设 a ? 0.60.6 , b ? 0.61.5 , c ? 1.50.6 ,则 a, b, c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) b ? a ? c (D) b ? c ? a

4、要得到函数 y ? sin ? 4 x ?

? ?

?? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象
3?
(B)向右

? 个单位 12 ? (C)向左平移 个单位 3
(A)向左平移
2

? 平移个单位 12 ? (D)向右平移 个单位 3

5、设 m ? R ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是 (A)若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

(B) 若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

(C) 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

(D) 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

6、为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的 气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论: ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气 温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气

温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 7、在区间 0, 2 上随机地取一个数 x ,则事件“ ?1 ? log 1 ? x ? (A)

?

?

? 2 ?

1? ? ? 1 ”发生的概率为 2?
(D)

3 4

(B)

2 3

(C)

1 3

1 4

8、若函数 f ? x ? ? (A) ? ??, ?1?

2x ? 1 是奇函数,则使 f ? x ? ? 3 成立的 x 的取值范围为 2x ? a
(B) ? ?1,0? (C) ? 0,1? (D) ?1, ?? ?

9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2, 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为 (A)

2 2? 3

(B)

4 2? 3

(C) 2 2?

(D) 4 2?

10. 设函数 f ? x ? ? ? (A)1

?3 x ? b, x ? 1, ?2 ,
x

x ? 1,
(B)

若 f ? f ? ? ? ? 4 ,则 b ? (C)

? ? 5 ?? ? ? 6 ??

7 8

3 4

(D)

1 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)执行右边的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 y 的值是

.

? y ? x ? 1, ? (12) 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 则 z ? x ? 3 y 的最 ? y ? 1, ?
大值为 (13)过点 P 1, 3 .

?

?

作圆 x ? y ? 1 的两条切线,切点分
2 2

别为 A, B,则 PA ? PB ? (14)定义运算“ ? ” :x ? y ? 当 x ? 0, y ? 0

.

x2 ? y 2 ? x, y ? R, xy ? 0? . xy

时 , x? y? ?2

?y

?的 x 最 小 值



.

(15)过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 a 2 b2
.

C 于点 P,若点 P 的横坐标为 2 a 则 C 的离心率为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.(本小题满分 12 分)

某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的请况,数据如下表: 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (I)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (II) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中, 有 5 名男同学 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 3 名女同学 B1 , B2 , B3 , 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人, 求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率。 17. (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 cos B ?

3 , 3

sin( A ? B) ?

6 , ac ? 2 3 ,求 sin A 和 c 的值. 9

18. (本小题满分 12 分)

A B C 如 图 , 三 棱 台 D E -F 中 ,
A B ?2 D , E , 分别为 G H AC, BC 的中点,

(I)求证: BD // 平面 FGH ; ( II )若 CF ? BC, AB ? BC ,求证:平 面 BCD ? 平面 FGH .

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是首项为正数的等差数列,数列 { (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 b n ? (an ? 1) ? 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 20. (本小题满分 13 分)

n 1 。 } 的前 n 项和为 2n ? 1 a n a n ?1

x2 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x, g ( x) ? x ,已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 e
2 x ? y ? 0 平行,
(I)求 a 的值; (II)是否存在自然数 k ,使的方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在, 求出 k ;如果不存在,请说明理由; (III)设函数 m( x) ? min{f ( x), g ( x)}(min(p, q) 表示 p, q 中的较小值) ,求 m( x) 的最大 值. 21. (本小题满分 14 分)

x2 y2 3 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且点 2 a b
1 ( 3 , ) 在椭圆 C 上, 2 (I)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 ? ? 1, P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭 (II)设椭圆 E : 4a 2 4b 2
圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ,

(i)求

OQ OP

的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值。

1C 2A 3C 4B 5D 6B 7A 8C 9B 10D

11.13

12.7

13.

3 2

14. 2

15.2+ 3

16. (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,故至少参加上 述一个社团的共有 45 ? 30 ? 15 人,所以从该班级随机选1 名同学,该同学至少参加上述一 个社团的概率为 P ?

15 1 ? . 45 3

(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,其一切可能的结果组成的基本事件有:

{A1 , B1},{A1 , B2 },{A1 , B3},{A2 , B1},{A2 , B2 },{A2 , B3},{A3 , B1},{A3 , B2 },{A3 , B3}, {A4 , B1},{A4 , B2},{A4 , B3},{A5 , B1},{A5 , B2},{A5 , B3} ,共 15 个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的. 事件“ A 1 , B2 },{ A 1 , B3 },共 2 个. 1 被选中且 B 1 未被选中”所包含的基本事件有: { A 因此 A 1 被选中且 B 1 未被选中的概率为 P ? 17. 在 ?ABC 中,由 cos B ?

2 . 15

3 6 ,得 sin B ? . 3 3 6 , 9 5 3 , 9 6 5 3 3 6 2 2 ? ? ? ? . 3 9 3 9 3

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ?

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B , C 为锐角, cos C ?

因此 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

c sin A a c ? ? , 可得 a ? 由 sin A sin C sin C

2 2 c 3 ? 2 3c ,又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 6 9

18(I)证法一:连接 DG, CD. 设 CD ? GF ? M , 连接 MH ,在三棱台 DEF ? ABC 中,

AB ? 2 DE,G 分别为 AC 的中点,可得 DF / /GC, DF ? GC ,所以四边形 DFCG 是平
行四边形,则 M 为 CD 的中点,又 H 是 BC 的中点,所以 HM / / BD , 又 HM ? 平面 FGH , BD ? 平面 FGH ,所以 BD / / 平面 FGH .

证法二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2 EF , H 为 BC 的中点, 可得 BH / / EF , BH ? EF , 所以 HBEF 为平行四边形,可得 BE / / HF . 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 所以平面 FGH / / 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD / / 平面 FGH .

(II)证明:连接 HE . 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点,所以 GH / / AB, 由 AB ? BC , 得

GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,所以 EF / / HC, EF ? HC, 因此四边形 EFCH 是平行四
边形,所以 CF / / HE. 又 CF ? BC ,所以 HE ? BC . 又 HE, GH ? 平面 EGH , HE ? GH ? H ,所以 BC ? 平面 EGH , 又 BC ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 EGH . 19(I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,得到 a1a2 ? 3 . a1a2 3

令 n ? 2, 得

1 1 2 ? ? ,得到 a2a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

解得 a1 ? 1, d ? 2 即得解. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22n?4 ? n ? 4n , 得到 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n , 从而 4Tn ? 1? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? (n ? 1) ? 4n ? n ? 4n?1 , 利用“错位相减法”求和. 试题解析: (I)设数列 ?an ? 的公差为 d , 令 n ? 1, 得

1 1 ? ,所以 a1a2 ? 3 . a1a2 3 1 1 2 ? ? ,所以 a2a3 ? 15 . a1a2 a2 a3 5

令 n ? 2, 得

解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ?1. (II)由(I)知 bn ? 2n ? 22n?4 ? n ? 4n , 所以 Tn ? 1? 41 ? 2 ? 42 ? ...... ? n ? 4n , 所以 4Tn ? 1? 42 ? 2 ? 43 ? ...... ? (n ? 1) ? 4n ? n ? 4n?1 , 两式相减,得 ?3Tn ? 41 ? 42 ? ...... ? 4n ? n ? 4n?1

?

4(1 ? 4n ) 1 ? 3n n?1 4 ? n ? 4n?1 ? ?4 ? , 1? 4 3 3

3n ? 1 n?1 4 4 ? (3n ? 1) ? 4n?1 ?4 ? ? . 所以 Tn ? 9 9 9
20(I)由题意知,曲线 又 f '( x ) ? ln x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 2 ,所以 f '(1) ? 2 ,

a ? 1, 所以 a ? 1 . x

(II) k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根. 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 当 x ? (0,1] 时, h( x) ? 0 . 又 h(2) ? 3ln 2 ?

x2 , ex

4 4 ? ln 8 ? 2 ? 1 ? 1 ? 0, 2 e e

所以存在 x0 ? (1, 2) ,使 h( x0 ) ? 0 . 因为 h '( x ) ? ln x ? 时, h '( x) ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 所以 k ? 1 时,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根. (III)由(II)知,方程 f ( x) ? g ( x) 在 (1, 2) 内存在唯一的根 x0 ,且 x ? (0, x0 ) 时,

1 x( x ? 2) 1 ? 1? , 所以当 x ? (1, 2) 时, h '( x ) ? 1 ? ? 0 ,当 x ? (2, ??) x x e e

?( x ? 1) ln x, x ? (0, x0 ] ? . f ( x) ? g ( x) , x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) ? g ( x) ,所以 m( x) ? ? x 2 , x ? ( x , ?? ) 0 ? ? ex
当 x ? (0, x0 ) 时,若 x ? (0,1], m( x) ? 0;

1 ? 1 ? 0, 可知 0 ? m( x) ? m( x0 ); 故 m( x) ? m( x0 ). x x(2 ? x) , 可得 x ? ( x0 , 2) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递增; 当 x ? ( x0 , ??) 时,由 m '( x) ? ex
若 x ? (1, x0 ), 由 m '( x) ? ln x ?

x ? (2, ??) 时, m '( x) ? 0, m( x) 单调递减;

4 , 且 m( x0 ) ? m(2) . e2 4 综上可得函数 m( x) 的最大值为 2 . e
可知 m( x) ? m(2) ? 21. (I)由题意知

a 2 ? b2 3 3 1 ? ? 1, ? 又 ,解得 a2 ? 4, b2 ? 1 , 2 2 a 4b a 2

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 4
(II)由(I)知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 4

(i)

设 P( x0 , y0 ),

| OQ | ? ? , 由题意知 Q(?? x0 , ?? y0 ) . | OP |

x0 2 (?? x0 ) 2 (?? y0 ) 2 ? 2 x0 2 2 ? y0 ? 1. 又 ? ? 1 ,即 ( ? y0 2 ) ? 1. 因为 4 16 4 4 4

所以 ? ? 2 ,即

| OQ | ? 2. | OP |

(ii)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 将 y ? kx ? m 代入椭圆 E 的方程,可得

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 16 ? 0 ,由 ? ? 0, 可得 m2 ? 4 ? 16k 2 ????????①
则有 x1 ? x2 ? ?

4 16k 2 ? 4 ? m2 8km 4m2 ? 16 所以 , x x ? . | x ? x | ? . 因为直线 1 2 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y ? kx ? m 与 y 轴交点的坐标为 (0, m) ,所以 ?OAB 的面积

1 2 | m | 16k 2 ? 4 ? m2 2 (16k 2 ? 4 ? m2 )m2 S ? | m || x1 ? x2 |? ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 2 (4 ? m2 m2 ) . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

m2 ? t.将直线 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程,可得 设 1 ? 4k 2

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,由 ? ? 0, 可得 m2 ? 1 ? 4k 2 ????????②
2 由①②可知 0 ? t ? 1, S ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t ? 4t . 故 S ? 2 3 .

2 2 当且仅当 t ? 1 ,即 m ? 1 ? 4k 时取得最大值 2 3.

由(i)知, ?ABQ 的面积为 3S ,所以 ?ABQ 面积的最大值为 6 3.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1、设集合 M={x|x2 =x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=

(A )[0,1]

(B )(0,1]

( C)[0,1)

( D)(-∞,1]

2、某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示,则该校 女教师的人数是 (A )98 (B )123 ( C)137 ( D)167

3、已知抛物线 y =2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为 (A )(-1,0) 4、设 f (x)= ? ( A ) -1 (B )(1,0) ,则 f (f (-2))= ( C)(0,-1) ( D)(0,1)

2

? ?1 ? x , x ? 0
x ? ?2 ,

x?0

(B )

1 4

(C)

1 2

(D)

3 2

5、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A )3π (B )4π (C)2π+4 ( D)3π+4

6、 “sinα=cos α”是“cos2 α=0”的 (A )充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B )必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7、根据右边的框图,当输入 x 为 6 时,输出的 y= (A )1 (C)5 (B )2 ( D)10

8、对任意的平面向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是 (A )|a·b|≤|a||b| (C)(a+b)2 =|a+b|2 (B )|a-b|≤||a|-|b|| (D)(a+b)·(a-b)=a2 -b2

9、设 f (x)=x-sinx,则 f (x) (A )既是奇函数又是减函数 (B )既是奇函数又是增函数 (C)是有零点的减函数 (D)是没有零点的奇函数 10、设 f (x)=lnx,0<a<b,若 p=f ( ab ),q=f ( 中正确的是 (A )q=r<p (B)q=r>p (C)p=r<q (D)p=r>q

1 a?b ),r= (f (a)+f(b)),则下列关系式 2 2

11、某企业生产甲、乙两种产品均需用 A ,B 两种原料. 已知生产 1 吨每种产品所需原料及每 天原料的可用限额如表所示. 如生产 1 吨甲、乙产品可获利分别为 3 万元、 4 万元,则该企业 每天可获得最大利润为 (A )12 万元 (B)16 万元 甲 A ( 吨) B ( 吨) 3 1 乙 2 2 (C)17 万元 原料限额 12 8 (D)18 万元

12、设复数 z=(x-1)+yi(x,y∈R ),若|z|≤1,则 y≥x 的概率为 (A )

3 1 ? 4 2?

(B )

1 1 ? 2 ?

(C)

1 1 ? 4 2?

(D)

1 1 ? 2 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填写在答题卡相应题号后的横

线上. ) 13、中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为________ 14、如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin( 此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为____________.

? x+Φ)+k ,据 6

15、函数 y=xex 在其极值点处的切线方程为____________. 16、观察下列等式:

1 1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6 4 5 6
1- ???? 据此规律,第 n 个等式可为______________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17、 (本小题满分

12 分)

△ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ,向量 m=(a, 3 b)与 n=(cosA,sinB) 平行. (I) (II) 求 A; 若 a= 7 ,b=2,求△ABC 的面积.

18、 (本小题满分

12 分)
1 ? ,AB=BC= AD=a,E 是 AD 的中点, 2 2

如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AD//BC, ? BAD=

O 是 AC 与 BE 的交点,将△ ABE 沿 BE 折起到图 2 中△ A 1 BE 的位置,得到四棱锥

A1 ? BCDE 。

(Ⅰ) 证明 CD ? 平面 AOC ; 1 (Ⅱ) 当平面 A 1BE ? 平面 BCDE 时,四棱锥 A 1 ? BCDE 的体积为 36 2 ,求 a 的值.

19、 (本小题满分
日 期 天 气 日 期 天 气 1 晴 2 雨 3 阴

12 分)
4 阴 5 阴 6 雨 7 阴 8 晴 9 晴 10 晴 11 阴 12 晴 13 晴 14 晴 15 晴

随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计,结果如下:

16 晴

17 阴

18 雨

19 阴

20 阴

21 晴

22 阴

23 晴

24 晴

25 晴

26 阴

27 晴

28 晴

29 晴

30 雨

(I) (II)

在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; 西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会,估计运动会 期间不下雨的概率.

20、 (本小题满分

12 分)

如图,椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)经过点 A(0,-1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(I)
(II)

求椭圆 E 的方程; 经过点(1,1)且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P , Q(均异于点 A) ,证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

21、 (本小题满分 12 分) 设 fn ( x) ? x ? x2 ???? ? xn ?1, x ? 0, n ? N , n ? 2. (I)
(II)

求 f n' (2) ; 证明: f n ( x) 在(0 , )内有且仅有一个零点(记为 an ) ,且
? . 0< an - < ? ? 2 3 ?3? ?
1 1 2 3

2

n

考生注意:请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所 做的第一题计分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的 方框涂黑. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 切于 ? O 于点 B,直线 AO 交 ? O 于 D,E 两点,BC ? DE,垂足 为 C.

(I) (II)

证明: ?CBD ? ?DBA ; 若 AD=3DC,BC= 2 ,求 ? O 的直径.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-1,坐标系与参数方程
1 ? x ? 3 ? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数).以原 ? y? 3t ? ? 2

点为极 点, x 轴 正半 轴为 极轴 建立 极坐 标系 , ? O 的极坐 标方 程为
? ? 2 3 sin ? .

(I) (II)

写出 ? O 的直角坐标方程; P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直 角坐标.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解集为 ?x | 2 ? x ? 4? . (I) (II) 求实数 a,b 的值. 求 at ? 12 + bt 的最大值.

参考答案 一:选择题 1、A 2、C 3、B 4、C 5、D

6、A 7、D 8、B 9、B 10、C 11、D 12、C 二:填空题 13、5 14、8 15、

16、

17、

18、

19、

20、

21、

22、

23、

24、

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的。 1、设集合 A={x|-1<x<2},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B = (A){x|-1<x<3} (B){x|-1<x< 1} (C){x|1<x<2} (D){x|2<x<3}

2、设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x= (A)2 (B)3 (C)4 (D)6

3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 (A)抽签法 (B)系统抽样法 (C)分层抽样法 (D)随机数法

4、设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log 2 a>log2 b>0”的 (A)充要条件 件 (C) 必要不充分条件 必要条件 5、下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是 (A)y=sin(2x+ (D)既不充分也不 (B)充分不必要条

? ) 2

(B)y=cos(2x+

? ) 2

(C)y= sin2x+cos2x 6、执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 (A)- (C)-

(D)y=sinx+cosx

3 2
1 2

(B)

3 2
1 2

(D)

7、过双曲线 x ?
2

y2 ? 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两 3

点,则|AB|= (A)

4 3 3

(B)2 3

(C)6

(D)4 3

8、某视频保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 y=etx (e=2.718…为

自然对数的底数,t,b 为常数)。若该食品在 6℃的保鲜时间是???小时,在 72℃的保鲜时 间是 41 小时 , 则该食品在 33℃的保鲜时间是 (A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)21 小时

? 2 x ? y ? 10 ? 9、设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?
(A)

25 2

(B)

49 2

(C)12

(D)14

10、设直线 l 与抛物线 y2 =4x 相较于 A,B 两点,与圆(x-5)2 +y2 =r2 (r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 (A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、设 i 是虚数单位,则复数 i ? =_____________. 12、lg0.01÷log 2 16=_____________. 13、已知 sinα+2cosα= 0,则 2sin.a.cosα-cos2 α 的值是______________. 14、在三棱住 ABC-A1 B1 C1 中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B 1 C1 的中点,则三棱锥 P-A1 MN 的体积是______. 15 、 已 知 函 数 f(x) = 2 ,g(x) = x + ax( 其 中 a ∈ R). 对 于 不 相 等 的 实 数 x1 ,x2 , 设 m =
x 2

1 i

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n= ,现有如下命题: x1 ? x2 x1 ? x2
(1)对于任意不相等的实数 x1 ,x2 ,都有 m>0; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2 ,都有 n>0; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 ,x2 ,使得 m=n; (4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 ,x2 ,使得 m=-n。 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? (n=1,2,3… )的前 n 项和 Sn 满足 Sn =2 an - a3 ,且 a1 , a2 +1, a3 成等差数列。 1. 求数列的通项公式;

2. 设数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为Tn ,求 Tn . ? an ?

17、(本小题满分 12 分) 为 1,2,3,4,5,他们按照座位号顺序先后上车,乘客 P 1 因身体原因没有坐自己号座位,这时司 机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位。如果自己 的座位已有乘客就坐,就在这 5 个座位的剩余空位中选择座位. (I )若乘客 P 1 坐到了 3 号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有 4 种坐法。下表给出其 中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)

(II )若乘客 P 1 坐到了 2 号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客 P 1 坐到 5 号座位的概率。

18、(本小题满分 12 分) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。 A. 请按字母 F,G,H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) B.判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系。并说明你的结论。 C. 证明:直线 DF ? 平面 BEG

19、(本小题满分 12 分) 已知 A、B、C 为 ABC 的内角,tanB 是关于方程 x2 ? 3 px ? p ? 1 ? 0 (p? R )两个实根. (1) (2) 求 C 的大小 若 AB=1,AC= 6 ,求 p 的值

20、(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E:

x2 y 2 2 ,点(0,1)在短轴 CD ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率是 2 a b 2

上,且 PC PD ? ?1 (I)
(II)

求椭圆 E 的方程; 设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A、B 两点。是否 存在常数 ? ,使得 OA OB ? ? PA PB 为定值?若存在,求 ? 的值;若 不存在,请说明理由。

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)= ?2 x ln x ? x ? 2ax ? a ,其中 a>0.
2 2

(I) (II)

设 g(x)为 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; 证明:存在 a? (0,1) ,使得 f(x) ? g(x).

2015 年天津卷高考数学试卷(文科)
一、选择题

1. 已知全集 U = {1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 A = {2,3, 4} ,集合 B = {1,3, 4,6} ,则集合 A CU B = (A) {3} (B) {2,5} (C) {1, 4, 6} (D) {2,3,5}

ì x- 2 0 ? ? 2. 设变量 x, y 满足约束条件 í x - 2 y 0 ,则目标函数的最大值为 z = 3x + y ? ? ? x +2y - 8 0
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5 4. 设 x ? R ,则“ 1 < x < 2 ”是“ | x - 2 |< 1”的 (A) 充分而不必要条件 (C)充要条件 5. 已知双曲线 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的一个焦点为 F(2, 0) , a 2 b2

且双曲线的渐近线与圆 x - 2

(

)

2

+ y 2 = 3 相切,则双曲线的方程为

(A)

x2 y 2 =1 9 13

(B)

x2 y 2 =1 13 9

(C)

x2 - y2 =1 3

(D)

y2 x =1 3
2

6. 如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2, MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为 (A)

8 3

(B) 3 R

(C)

10 3

(D)

5 2

7. 已 知 定 义 在

上 的 函 数

f ( x) = 2|x- m| - 1(m 为实数) 为 偶 函 数 , 记

a= f( l o =) f ,( l 2 o g = 5 f) , c m 2 , 的大小关系为 ) ,则 a( , b,c 0 .g5 b 3
(A) a < b < c 8. 已知函数 f ( x) = í 零点的个数为 (A) 2 (B) c < a < b (C) a < c < b (D) c < b < a

ì 2- | x |, x 2 ? ,函数 g ( x) = 3 - f (2 - x) ,则函数 y = f ( x) - g ( x) 的 2 ? ( x - 2) , x > 2 ?
(C)4 (D)5

(B) 3

二:填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.i 是虚数单位,计算

1 ? 2i 的结果为 2?i

. .

10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为

11. 已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? ,其中 a 为实数, f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,若

f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为

. 时 log2 a ? log2 ? 2b? 取得最大值。

12. 已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值为

13. 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , AB ? 2, Bc ? 1, ?ABC ? 60 , 点 E 和点 F 分别 在线段 BC 和 CD 上,且 BE ?

2 1 BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6



14. 已知函数

f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x ?? ? 0 ? , x ? R,

若函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单调

递增,且函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15.(13 分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的 方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛。 (I )求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II )将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中 随机抽取 2 名参加双打比赛。 (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率。 16. (13 分)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 15 ,

1 b ? c ? 2, cos A ? ? , 4
(I )求 a 和 sinC 的值; (II )求 cos ? 2 A ? 17. (13 分) 如图,已知 AA1 ? 平面 ABC, BB1

? ?

??

? 的值。 6?

AA1 , AB=AC=3, BC ? 2 5, AA1 ? 7 , , BB1 ? 2 7,

点 E,F 分别是 BC, AC 的中点, 1 (I )求证:EF 平面 A ; 1B 1BA

(II )求证:平面 AEA 1 ? 平面 BCB1 。 (III )求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小。

{an }是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 =1, b2 +b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 . (1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; * (2)设 cn = anbn , n N ,求数列 {cn } 的前 n 项和.
18.已知

x2 y 2 5 19. 已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F , 离心率为 , a b 5
(1)求直线 BF 的斜率; (2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B) ,故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异于点 B )直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM|=l |MQ| . 1)求 l 的值; 2)若 |PM|sin?BQP=

7 5 ,求椭圆的方程. 9
4

20. 已知函数 f ( x) = 4 x - x , x (1)求 f ( x ) 的单调性;

R, 其中 n ? N * ,且 n ? 2 .

(2)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证: 对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(3)若方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实数根 x1,x2, 且 x1 < x2 ,求证: x2 -x1 < -

a 1 + 43 . 3

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. )

1、已知集合 ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 , Q ? x 2 ? x ? 4 ,则 ? A . ?3, 4 ? D. ? ?1,3? 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得, P ? ?x | x ? 3或x ? 1 ? ,所以 P 考点:1. 一元二次不等式的解法;2. 集合的交集运算. B . ? 2,3?

?

?

?

?

Q?(

) C . ? ?1, 2?

Q ? [3, 4) ,故选 A.

2、某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是(



3 A. 8 cm

3 B. 12 cm

C.

32 cm3 3

D.

40 cm3 3

【答案】C

考点:1. 三视图;2. 空间几何体的体积.

3、设 a , b 是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】D B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



考点:1. 充分条件、必要条件;2. 不等式的性质. 4、设 ? , ? 是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? ( A.若 l ? ? ,则 ? ? ? C.若 l //? ,则 ? //? 【答案】A 【解析】 试题分析:采用排除法,选项 A 中,平面与平面垂直的判定,故正确;选项 B 中,当? ? ? 时, l , m 可以垂直,也可以平行,也可以异面;选项 C 中, l // ? 时, ? , ? 可以相交;选项 D 中, ? // ? 时, l , m 也可以异面. 故选 A. 考点:直线、平面的位置关系. 5、函数 f ? x ? ? ? x ? B .若 ? ? ? ,则 l ? m D .若 ? //? ,则 l //m )

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能为( x?



A. 【答案】D 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:因为 f (? x) ? (? x ? ) cos x ? ?( x ? ) cos x ? ? f ( x) ,故函数是奇函数,所以 排除 A, B ;取 x ? ? ,则 f (? ) ? (? ?

1 x

1 x

1

?

1 ) cos ? ? ?(? ? ) ? 0 ,故选 D.

?

考点:1. 函数的基本性质;2. 函数的图象. 6、有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相

同.已知三个房间的粉刷面积(单位: m 2 )分别为 x , y , z ,且 x ? y ? z ,三种颜色涂 料的粉刷费用(单位:元 / m 2 )分别为 a , b , c ,且 a ? b ? c .在不同的方案中,最低 的总费用(单位:元)是( A. ax ? by ? cz 【答案】B ) C.ay ? bz ? cx D.ay ? bx ? cz

B.az ? by ? cx

考点:1. 不等式性质;2. 不等式比较大小. 7 、如图,斜 线段

?? 与平面 ? 所成的角为 60 , ? 为斜足,平面 ? 上的动点 ? 满足


???? ? 30 ,则点 ? 的轨迹是(

A.直线 C.椭圆 【答案】C 【解析】

B .抛物线 D .双曲线的一支

试题分析:由题可知,当 P 点运动时,在空间中,满足条件的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥, 用一个与圆锥高成 60 角的平面截圆锥,所得图形为椭圆. 故选 C. 考点:1. 圆锥曲线的定义;2. 线面位置关系. 8、设实数 a , b , t 满足 a ?1 ? sin b ? t ( A.若 t 确定,则 b 唯一确定
2


2 B.若 t 确定,则 a ? 2a 唯一确定

C.若 t 确定,则 sin 【答案】B 【解析】

b 唯一确定 2

D.若 t 确定,则 a 2 ? a 唯一确定

试题解析:因为 a ?1 ? sin b ? t ,所以 (a ? 1)2 ? sin 2 b ? t 2 ,所以 a 2 ? 2a ? t 2 ? 1 ,故当

t 确定时, t 2 ? 1 确定,所以 a 2 ? 2a 唯一确定.故选 B.
考点:函数概念 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9、计算: log 2 【答案】 ?

2 ? 2

, 2log2 3?log4 3 ?



1 ,3 3 2

考点:对数运算 10、已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比数列,且 2a1 ? a2 ? 1 , 则 a1 ? 【答案】 【解析】 ,d ? .

2 , ?1 3

a a d, ) 故 有 3a1 ? 2d ? 0, 又 因 为 试 题 分 析 : 由 题 可 得 , (a1 ? 2d ) ? ( 1 ? d )( 1 ? 6
2

2a1 ? a2 ? 1 ,即 3a1 ? d ? 1,所以 d ? ?1, a1 ?

2 . 3

考点:1. 等差数列的定义和通项公式;2. 等比中项. 11、函数 f ? x ? ? sin x ? sin x cos x ?1 的最小正周期是
2

,最小值是



【答案】 ? , 【解析】 试

3? 2 2









1 1 ? cos 2 x 1 1 3 f ? x ? ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

?

2? 2 ? 3 3 2 . ? ? ; f ( x) min ? ? sin(2 x ? ) ? ,所以 T ? 2 2 4 2 2 2

考点:1. 三角函数的图象与性质;2. 三角恒等变换.

? x2 , x ? 1 ? 12 、已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? 6 ? f ? ?2 ? ? ?? x ? ? 6, x ? 1 ? x ?
是 【答案】 ? .

, f ? x ? 的最小值

1 ;2 6 ? 6 2

考点:1. 分段函数求值;2. 分段函数求最值. 13、已知 e1 , e2 是平面单位向量,且 e1 ? e2 ?

1 .若平面向量 b 满足 b ? e1 ? b ? e2 ? 1 ,则 2

b ?



【答案】 【解析】

2 3 3

试题分析:由题可知,不妨 e1 ? (1,0) , e2 ? ( ,

1 3 ) ,设 b ? ( x, y) ,则 b ? e1 ? x ?1 , 2 2

b ? e2 ?

1 2 3 1 3 3 x? y ? 1 ,所以 b ? (1, ) ,所以 b ? 1 ? ? . 3 3 2 2 3

考点:1. 平面向量数量积运算;2. 向量的模.
2 2 14、已知实数 x , y 满足 x ? y ? 1,则 2x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3 y 的最大值是



【答案】15 【解析】

试题分析: z ? 2 x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3 y ? ? 由图可知当 y ? 2 ? 2 x 时,满足的是如图的 最大值 5;当

? 2 ? x ? 2 y, y ? 2 ? 2 x ?10 ? 3x ? 4 y, y ? 2 ? 2 x

AB 劣弧,则 z ? 2 ? x ? 2 y 在点 A(1, 0) 处取得

y ? 2 ? 2 x 时,满足的是如图的 AB 优弧,则 z ? 10 ? 3x ? 4 y 与该优弧相切时取得最大值,


d?

z ? 10 ? 1 ,所以 z ? 15 ,故该目标函数的最大值为15 . 5

考点:1. 简单的线性规划; 15、 椭圆

x2 y 2 b ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点 F ? c,0 ? 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在椭圆上, 2 c a b


则椭圆的离心率是 【答案】

2 2

考点:1. 点关于直线对称;2. 椭圆的离心率. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

16. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 tan( (1)求

?
4

? A) ? 2 .

sin 2 A 的值; sin 2 A + cos 2 A

(2)若 B ?

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 4 2 【答案】(1) ;(2) 9 5

?

考点:1. 同角三角函数基本关系式;2. 正弦定理;3. 三角形面积公式. 17. (本题满分 15 分)已知数列{an } 和 {bn } 满足, a1 ? 2, b1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ),
*

1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3
(1)求 an 与 bn ;

1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n

(2)记数列 {anbn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . 【答案】(1) an ? 2 ; bn ? n ;(2) Tn ? (n ?1)2
n n?1

? 2(n ? N * )

【解析】 试题分析:(1)根据数列递推关系式,确定数列的特点,得到数列的通项公式; (2)根据 (1)问 得到新的数列的通项公式,利用错位相减法进行数列求和.

考点:1. 等差等比数列的通项公式;2. 数列的递推关系式;3. 错位相减法求和. 18. ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥

ABC - A1B1C1 中 ,

? ABC=900,AB=AC 2,AA1 = 4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 为 B1C1 的中点.

(1)证明: A1D ? 平面A1BC ; (2)求直线 A1B 和平面 BB1CC1 所成的角的正弦值.

【答案】(1)略;(2)

7 8

(2)作 A1F ? DE ,垂足为 F,连结 BF.

因为 AE ? 平面 A1 BC ,所以 BC ? A 1E . 因为 BC ? AE ,所以 BC ? 平面 AA1 DE . 所以 BC ? A1F , A1F ? 平面 BB1C1C . 所以 ?A1 BF 为直线 A 1B 与平面 BB 1C1C 所成角的平面角. 由 AB ? AC ? 2, ?CAB ? 90 ,得 EA ? EB ? 2 . 由 AE ? 平面 A1 BC ,得 A 1A ? A 1B ? 4, A 1E ? 14 . 由 DE ? BB1 ? 4, DA 1F ? 1 ? EA ? 2, ?DA 1E ? 90 ,得 A

7 . 2

所以 sin ?A1 BF ?

7 8

考点:1. 空间直线、平面垂直关系的证明;2. 直线与平面所成的角. 19. (本题满分 15 分)如图,已知抛物线 C1:y=

1 2 x ,圆 C2:x2 + (y- 1)2 = 1 ,过点 4

作不过原点 O 的直线 PA,PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切,A,B 为切点. P(t,0)(t>0)

(1)求点 A,B 的坐标; (2)求 ?PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行,则该直线 与抛物线相切,称该公共点为切点. 【答案】(1) A(2t , t ), B(
2

t3 2t 2t 2 , ) ; (2) 2 1? t2 1? t2

2 因为直线 PA 与抛物线相切,所以 ? ? 16k ? 16kt ? 0 ,解得 k ? t .

所以 x ? 2t ,即点 A(2t , t ) .
2

设圆 C2 的圆心为 D(0,1) ,点 B 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意知,点 B,O 关于直线 PD 对称,故

x0 ? y0 ? ? ? ?1 有? 2 2t , ? ? x0t ? y0 ? 0

解得 x0 ?

2t 2t 2 2t 2t 2 . 即点 , y0 ? B( , ). 1? t2 1? t2 1? t2 1? t2

(2)由(1)知, AP ? t 1 ? t 2 , 直线 AP 的方程为 tx ? y ? t 2 ? 0 , 所以点 B 到直线 PA 的距离为 d ?

t2 1? t
2

.

所以 ?PAB 的面积为 S ?

1 t3 AP ? d ? . 2 2

考点:1. 抛物线的几何性质;2. 直线与圆的位置关系;3. 直线与抛物线的位置关系. 20. (本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b,(a, b ? R) . (1)当 b =

a2 +1 时,求函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上的最小值 g (a) 的表达式; 4

(2)已知函数 f ( x) 在 [- 1,1] 上存在零点, 0 ? b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.

? a2 ? 4 ? a ? 2, a ? ?2, ? ? 【答案】(1) g (a ) ? ? 1, ?2 ? a ? 2, ;(2) [?3,9 ? 4 5] ? a2 ? ? a ? 2, a ? 2 ? ? 4

考点:1. 函数的单调性与最值;2. 分段函数;3. 不等式性质;4. 分类讨论思想.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)



学(文史类)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

1. 已知集合 A = {1, 2,3}, B = {1,3},则 A B ? (A) {2} (B) {1, 2} (C) {1,3} (D)

{1, 2,3}

2. “ x = 1 ”是“ x 2 - 2 x +1 = 0 ”的 (A) 充要条件 (C)必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

3. 函数 f (x) = log2 (x2 + 2 x- 3) 的定义域是 (A) [- 3,1] (C) (??, ?3] [1, ??) (B) (- 3,1) (D) (??, ?3)

(1, ??)

4. 重庆市 2013 年各月的平均气温(°C)数据的茎叶图如下

则这组数据中的中位数是
(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23

5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

(A)

1 ? 2? 3 1 3

(B)

13? 6 1 , 则 tan b = 2
(C)

(C)

7? 3

(D)

5? 2

6. 若 tan a = , tan(a + b ) = (A)

1 7

(B)

1 6

5 7

(D)

5 6

7. 已知非零向量 a, b 满足 |b|=4|a|,且a ? (2a +b ) 则 a与b 的夹角为 (A)

p 3

(B)

p 2

(C)

2p 3

(D)

5p 6

8. 执行如图(8)所示的程序框图,则输出 s 的值为 (A)

3 4

(B)

5 6

(C)

11 12

(D)

25 24

9. 设双曲线

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F, 左、 右顶点分别是 A1 , A2 , 过 F 做 A1A 2 a 2 b2

的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B ? A2 C , 则双曲线的渐近线的斜率为 (A) ±

1 2

(B) ±

2 2

(C) ± 1

(D) ± 2

? x? y?2?0 4 ? 10. 若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 表示的平面区域为三角形,且其面积等于 ,则 m 的值 3 ? x ? y ? 2m ? 0 ?
为 (A)-3 (B) 1 (C)

4 3

(D)3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11.复数 (1 + 2i)i 的实部为________. 12. 若点 P ( 1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上, 则该圆在点 P 处的切线方程为___________. 13. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 a = 2, cos C = 则 c=________. 14. 设 a, b > 0, a + b = 5 , 则 a +1+ b+3 的最大值为 ________.

1 , 3sin A = 2sin B , 4

15. 在区间[0,5] 上随机地选择一个数 p,则方程 x2 + 2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的概率 为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 =2,前 3 项和 S3 = (I) (II) 求 ?an ? 的通项公式; 设等比数列 ?bn ? 满足 b1 = a1 , b4 = a15 ,求 ?bn ? 前 n 项和Tn .

9 . 2

17、(本小题满分 13 分, (I)小问 10 分, (II)小问 3 分) 随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民币储蓄存款 (年 底余额)如下表: 年份 时间代号 t 储蓄存款 y(千亿元) (I) (II) 附:回归方程 2010 1 5 2011 2 6 2012 3 7 2013 4 8 2014 5 10

求 y 关于 t 的回归方程 用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款. 中

18、(本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) 已知函数 f(x)= (I) (II)

1 2 sin2x- 3 cos x . 2

求 f(x)的最小周期和最小值; 将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到 函数 g(x)的图像. 当 x? ?

?? ? , ? 时,求 g(x)的值域. ?2 ? ?

19、(本小题满分 12 分, (I)小问 4 分, (II)小问 8 分) 已知函数 f(x)=a x3 + x 2 (a ? R)在 x= ? (I) (II) 确定 a 的值; 若 g(x)= f(x) e x ,讨论的单调性.

4 处取得极值. 3

20、(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 如题(20)图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ? ABC=

? ,点 D、E 在线段 2

AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF//BC. (I) 证明:AB ? 平面 PFE. (II) 若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

21、(本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 如题(21)图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a > b >0)的左右焦点分别为 F1 , F2 , 且过 F2 的 a 2 b2

直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ ? PF1 . (I)
(II)

若| PF1 |=2+ 2 ,| PF2 |=2- 2 ,求椭圆的标准方程. 若|PQ|= ? | PF1 |,且
3 4 ? ? ? ,试确定椭圆离心率的取值范围. 4 3

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