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新高一数学函数单调性教案.36856748


新高一
教学目标:

第六讲

函数的单调性

1、理解函数单调性,能判断和证明函数在给定区间上的单调性;了解函数单调区间的概念,并能根据图象说出函 数的单调区间; 2、体会从特殊到一般,从具体到抽象,从感性到理性的数学思维方法. 教学重点难点:函数单调性的概念和判断;利用函数单调性的定义判断函数的单调性。 教学过程: (一)创设情境: 例如:某市某天的气温变化曲线图:

问题:随着时间的变化,温度的变化趋势是?(上升?下降?) 事实上,在生活中,有很多数据的变化是有规律的,了解这些数据的变化 规律,对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看:随着自变量的变化,函数值是如何变化 的,这就是我们今天要研究的函数的单调性。

(二)建构定义: 1、直观感知定义: 观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题(几何画板动态展示)

(1) f ( x ) ? x ?1
y 1 -1 o 1

(2) f ( x ) ? x

2

y
4

x
1 -1 0 1 2

x

-2

问题 1:这两个函数图象有怎样的变化趋势?(上升?下降?) 问题 2:函数 f ( x) ? x 错误!未找到引用源。在区间
2

内 y 随 x 的增大而增大,在区间



y 随 x 的增大而减小;

总结到一般情况下: 在区间 D 内 在区间 D 内

图象

图象特征 数量特征 直观性定义

从左到右,图象上升 y 随 x 的增大而增大 单调递增函数

从左到右,图象下降 y 随 x 的增大而减小 单调递减函数

说明直观性定义: 称左边的函数在区间 D 上单调递增函数,右边的函数则称为区间 I 上单调递减函数。 由表知:图象在区间 D 内呈上升趋势

当 x 的值增大时,函数值 y 也增大

区间内有两个点 x1 、 x2 ,当 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 问题:若区间内有两点 x1 ? x 2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,能否推出 构造反例: f ( x) ? x , D ? [?2,2] , x1 ? ?2, x2 ? 1 。
2

f ( x) 是单调递:增函数?

构造反例,动画演示,引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。

2、归纳定义 定义:一般地,设函数 f (x) 的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 函数 f (x) 在区间 D 上是单调递增函数。 由学生类比得到减函数的定义: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 1 函数 f (x) 在区间 D 上是单调递减函数。 注: (1) x1 , x 2 三大特征:①属于同一区间;②任意性;③有大小:通常规定 x1 ? x2 ; (2)相对于定义域,函数的单调性可以是函数的局部性质。 举例: y ? x 2 在 (0,??) 上是单调增函数,但在整个定义域上不是增(减)函数。

(三)定义应用: 例 1、下图是定义在[-5,5]上的函数 y ? f (x) 的图象,根据图象说出函数 y ? f (x) 的单调区间,以及在每一单调区 间上, y ? f (x) 是增函数还是减函数。
3 2 1 -3 -5 -4 -2 -1 -1 -2

y ? f ? x?

x
1 2 3 4 5

o

解: y ? f (x) 的单调区间有[-5,-2) ,[-2,1) ,[1,3) ,[3,5]。 其中 y ? f (x) 在[-5,-2),[1,3)上是减函数; 在[-2,1) [3,5)上是增函数。 , 强调单调区间的写法: 问题 1:减区间可否写成[-5,-2)U[1,3)? 问题 2:写成[-5,-2)还是写成[-5,-2]? 构造反例说明,进行验证.

(1)单调区间一般不能求并集; (2)当端点满足单调性定义时,可开可闭。

函数单调性的证明,必须从定义出发去证明 例 2、试判断函数 f ( x) ? x 2 ? x 在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?并给予证明。 分析:问 1:除了图象法判定函数单调性还有什么方法? 2:如何用定义法判定函数单调性? 3:用定义判定函数单调性的关键是什么? (作差比较法)

例如:证明:函数 f ( x) ? x ? x 在(0,+∞)上是增函数
2

证明 设 x、x2 是(0,+∞)上的任意两个值,且 x1 ? x2 , 1 则 f ( x1) ? f ( x2 ) ? ( x ? x1 ) ? ( x2 ? x2 )
2 1 2

取值

? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2) (
2 2

? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? x1 ? x2) (
? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ? 1)
又 0 ? x1 ? x2 ,故 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 ? 0 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即: f ( x1 ) ? f ( x2 ) 因此,函数 f ( x) ? x ? x 在(0,+∞)上是增函数。
2

作差变形

定号 下结论

总结定义法证明函数单调性的步骤: 1、取值:设任意 x1、x2 属于给定区间,且 x1 ? x2 ; 2、作差变形: f ( x1 ) ? f ( x2 ) 变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等; 3、定号:确定 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的正负号; 4、下结论:由定义得出函数的单调性。
思考题: 在上面证明中,你能理解 RGEFORMAT x1 、x2 的任意性的意义吗? 解答:有了“任意性”在区间内不管取哪两个值,其证明过程都是一样的。

四、课堂练习: 一. 1、下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是____ ① y=3-2x ② 2-1 y=x ③ y=函数 y=4x2-mx+5 在区间 MBED Equation.3

?? ?,? 上是减函数,则 m 的值为________; 2

2、 函数 y=4x2-mx+5 在区间 MBED Equation.3

?? ?,? 上是减函数,则 m 的值为________; 2
;减区间:

3、 根据图象写出函数 y=f(x)的单调区间:增区间 y

-3

0

-1

3

x

4、函数 f(x)=ax2-(5a-2)x-4 在范围是______________ 5、根据函数 f(x)=-x2+|x|的图象得出单调区间为________ 6、判断函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上的单调性;

7、判断函数 uation.3

?0,2? 、 、函数 ED Equation.3

t 的范围。

8、函数 ED Equation.3

t 的范围。

二.

1、设 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是______ 2、已知______ 3、已知 f(x)=x2+2x+3,x∈ [-1,0],则 f(x)的最大值和最小值分别是_____和_____ 4、设函数 f(x)在 R 上为减函数,则下列正确的是_____ ① Equation.3 ED ③ Equation.3

f ( a 2 ) ? f ( a) f (a 2 ? 1) ? f (a)

5、函数 y=x∣ 的单调递增区间为___________; x-2∣ 6、函数 f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,且 f(a-2)-f(3-a)<0, 那么 a 的取值范围为____________; 7、设二次函数 f(x)=x2-(2a+1)x+3 (1) 若函数 f(x)的单调增区间为 f(x)在区间 (2) 若函数 f(x)在区间

8、设函数 BED Equation.DSMT4 (1)求 Equation.DSMT4

x, y ? R, 都有 Equation.DSMT4

x ? 0 时 Equation.DSMT4

f (1) ? ?2 。

f ( x) 是否有最大、最小值?如果有,请求出来,如果没有,说明理由; f ( x) 是否有最大、最小值?如果有,请求出来,如果没有,说明理由;

(2)试问在 Equation.DSMT4

(一)答案 6、解:设 x1,x2 是 R 上任意两个值,且 x1<x2

则 f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13 =(x2-x1)(x22+x1x2+x12) =(x2-x1)[(x22+x1/2)2+3/4x12)] ∵1,x2 是 R 上任意两个值,且 x1<x2 x ∴ 2-x1)>0,[(x22+x1/2)2+3/4x12)]>0 (x ∴ 1)>f(x2) f(x ∴ y=f(x)是 R 上的减函数

7、设 0<x1<x2 y1-y2 =(x1+4/x1)-(x2+4/x2) =(x1-x2)+(4/x1-4/x2) =(x1-x2)+[4(x2-x1)/(x1x2)] =(x1-x2)[1-(4/(x1x2))] 1、假如 0<x1<x2<2,则 0<x1x2<4,4/(x1x2)>1,1-4/(x1x2)<0 x1-x2<0 所以 y1-y2>0,y1>y2,函数单调递减 2、假如 2<x1<x2,则 x1x2>4,4/(x1x2)<1,1-4/(x1x2)>0 又 x1-x2<0 所以 y1-y2<0,y1<y2,函数单调递增 所以函数在(0,2)内单调递减;在[2,+∞)内单调递增 (二) 8 、



: (

1





x=y=0



x)









,





EMBED

Equation.3

f ?x? max ? f ?? 3? ? f ?? 1? ? f ?? 1? ? f ?? 1? ? 6, f ?x?min ? f ?3? ? ?6
( 2 ) 可 证 , y=f(x) 是 减 函 数 , 从 而 EMBED Equation.3

f ?x? max ? f ?? 3? ? f ?? 1? ? f ?? 1? ? f ?? 1? ? 6, f ?x?min ? f ?3? ? ?6
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