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广东省深圳高级中学2012届高三第三次月考试卷数学理


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高级中学 2011─2012 学年第一学期第三次考试

高三数学(理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ?

R} , N ? {x | y ? 3 ? x 2 } ,则 M ? N ? A. [?1,??) B. [?1, 3] C.

[ 3, ??)

D. ?

2.若复数 z ? (a2 ? 5) ? (a ? 5)i 为纯虚数,则 A. 1 B. ? 1

a ? i 2011 的值为 1 ? 5i
C. i D. ? i

3.已知命题“ ?x ? R, x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A. (??,?1) B. (1,??) C. (??,?1) ? (1,??) D. (—1,1)

4. 一质点受到平面上的三个力 F , F2 , F3(单位: 牛顿) 的作用而处于平衡状态. 已知 F , F2 1 1 成 60 角,且 F , F2 的大小分别为2和4,则 F3 的大小为 1 A.6 B.2 C. 2 5 D. 2 7
0

?? ?? ?? ? ? ?

?? ?? ? ?

?? ?? ? ?

?? ?

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5.已知随机变量 X 服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,且 P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ,

P(? ? ? ? X ? ? ? ? )? 0 . 6 8,若 ? ? 4 , ? ? 1 , 则 P(5 ? X ? 6) ? 26
A.0.1358
12

B.0.1359
6

C.0.2716

D.0.2718

6.在 (2 ? x ) 的展开式中不含 x 项的系数的和为 .. A.-1 B.0 C.1 D.2 7.如图,正方体 ABCD ? A' B' C ' D' 的棱长为 1,线段 B ' D ' 上有
C'

3 两个动点 E, F 且 EF ? ,则下列结论中错误的是 2
A. AC ? BE B. 三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 C. EF / /平面ABCD D. 异面直线 AE, BF 所成的角为定值
D C D'

B' E A' F

B

A

8. 已知整数以按如下规律排成一列: 1 , 1? 、 1 , 2 ? 、 2 , 1? 、 1 , 3? 、 2 , 2? ,? 3 , 1? , 1 , 4 ? , ? ? ? ? ? ?

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? 2 , 3? , ?3 , 2? , ? 4 , 1? ,……,则第 60 个数对是 A. ?10 , 1? B. ? 2 , 10 ? C. ? 5 , 7 ?

D. ? 7 , 5?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查, 选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样 本,已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 人. 开始 10.曲线 y ? 3 ? 3x 与 x 轴所围成的封闭图形面积为
2

.

输入 x

11. 按如图所示的程序框图运算. 若输入 x ? 8 ,则输出 k ? ;

k ?0
x ? 10 x ? 8

k ? k ?1
12.将直线 x ? y ? 1 绕点(1,0)顺时针旋转 90°, 再向上平移 1 个单位后,与圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? r 2 相切, 则半径 r 的值是 13.若方程 为 .

x ? 2011
是 输出 x,k 结束



1 3 x ? x 2 ? 3 x ? b 有 3 个不同实数解,则 b 的取值范围 3 。

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题 的得分。

2m ? ? x ? 1 ? m2 ? 14. (坐标系与参数方程选做题) 参数方程 ? ( m 是参数)表示的曲线的普通方程是 2 ? y ? 1? m ? 1 ? m2 ?
______________.

15. (几何证明选讲选做题)在圆内接△ABC 中,AB=AC= 5 Q 为圆上一点,AQ 和 BC 的延长线交于点 P, 且 AQ:QP=1:2,则 AP=__________.
A

3,
Q

B

C

P

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 a ? (2, cos x), b ? (sin( x ?

?

6

), ?2), 函数 f ( x) ? a ? b .

(1)求函数 f (x) 的单调增区间; (2)若 f ( x) ?

6 ? , 求 cos( 2 x ? ) 的值. 5 3

17. (本小题满分 12 分) 在一次语文测试中,有一道把我国近期新书:《声涯》《关于上班这件事》《长尾理论》 、 、 、 《游园惊梦:昆曲艺术审美之旅》与它们的作者连线题,已知连对一个得 3 分,连错一 个不得分,一位同学该题得 ? 分. (1)求该同学得分不少于 6 分的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都等于 2,D 在 AC1 上,F 为 BB1 中点,且 FD⊥ AC1. 2 , AD (1)试求 的值; 4 DC1 , (2)求二面角 F-AC1-C 的大小; 6 (3)求点 C1 到平面 AFC 的距离.

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19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an )(n ? N ? ) x?3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 a n a n ?1 ? 3 n , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 S n 。 2

20. (本小题满分 14 分) 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点. a2 b2

(1)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3 1 2 ] 2 2

(2) 若向量 OA 与向量 OB 互相垂直 (其中 O 为坐标原点) 当椭圆的离心率 e ? [ , , 时,求椭圆的长轴长的最大值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x在(1,2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x (0,1) 为减函数.
2

(1)求 a 的值;

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(2)设函数 ? ( x) ? 2bx ?

1 是区间 (0,1] 上的增函数,且对于 (0,1] 内的任意两个变量 x2

s、t, f ( s) ? ? (t ) 恒成立,求实数 b 的取值范围; (3)设 h( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? 2 x ?

3 ,求证: [h( x)]n ? 2 ? h( x n ) ? 2 n (n ? N ? ) x

高级中学 2011─2012 学年第一学期第三次考试

高三数学(理)(答卷)
命题人:程正科 荣 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

审题人:卞新

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、 11、 12、 14、 。 。 。 。 13、 15、 。 。 10 、 。

三、解答题(12+12+14+14+14+14 16 解:

共计 80 分)

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17 解:

18 解:

19 解:

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20 解:

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21 解:

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高级中学 2011─2012 学年第一学期第三次考试

高三数学(理) (参考答案)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1~8: BDCDB,BDC; 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.760. 10.4;11. 3 ; 12.

5 2 2 2 ; 13. ( ?9, ) 。14. x ? y ? 1,( y ? ?1 ); 15. 15. 3 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16 解: f ( x) ? a ? b ? 2 sin( x ?

?
6

) ? 2 cos x ? 2 sin x cos ? ? 2 cos x sin ? ? 2 cos x ……2 分

? 3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?
(1)由 ?

?
6

6

6

). ? 2k? 得?

…………5 分

?
2

6 2 3 2? x ? [? ? 2k? , ? 2k? ], k ? Z时f ( x) 是增函数 3 3

? 2k? ? x ?

?

?

?

?

? 2k? ? x ?

?

2? ? 2k? ………7 分 3

…………8 分 …………10 分

(2)由(1)知 f ( x) ? 2 sin( x ?

?

6

), 即sin( x ?

?

3 )? , 6 5

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? cos( 2 x ?

?
3

) ? 1 ? 2 sin 2 ( x ?

?
6

)?

7 25

…………12 分

17.解: (1) ? 的可能取值为 0,3,6,12
2 1 1 C4 6 , P(? ? 6) ? 4 ? P(? ? 12) ? 4 ? A4 24 A4 24

…………… 2 ? ……… 6 ?

该同学得分不少于 6 分的概率为 P ? P(? ? 6) ? P(? ? 12) ? (2) P(? ? 3) ?

7 24
…… 8 ?

1 1 6 8 9 C4 ? 2 8 ? ? ? , P(? ? 0) ? 1 ? ? 4 24 24 24 24 A4 24

?
ξ P

? 得分布列为
0 3 6 12 …10′

9 8 6 1 24 24 24 24 9 8 6 1 E? ? 0 ? ? 3? ? 6? ? 12 ? ? 3 ………………12′ 24 24 24 24

18.本小题考查空间线线、线面关系及二面角的求法. 解(解法一) (1)连 AF,FC1,因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱且各棱长都等于 2, 又 F 为 BB1 中点,∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F, ∴AF=FC1. 又在△AFC1 中,FD⊥AC1, 所以 D 为 AC1 的中点,即

AD ? 1 .(4 分) DC1

(2)取 AC 的中点 E,连接 BE 及 DE, 则得 DE 与 FB 平行且相等,所以四边形 DEBF 是平行四边形,所以 FD 与 BE 平行. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱, 所以△ABC 是正三角形,∴BE⊥AC,∴FD⊥AC,又∵FD⊥AC1,∴FD⊥平面 ACC1, ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1 所以二面角 F-AC1-C 的大小为 90 ? . (9 分) (3)运用等积法求解:AC=2,AF=CF= 5 ,可求 S ?ACF ? 2 ,

1 2 3 VF ? ACC1 ? VB ? ACC1 ? ? 3 ? 2 ? , 3 3
VF ? ACC1 ? VC1 ? ACF ? 1 S ?ACF ? h ,得 h ? 3 . 3
(12 分)

(解法二)取 BC 的中点 O,建立如图所示的空间直欠坐标系.
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由已知得 A 0,0, 3 , B?1,0,0?, C?? 1,0,0?, B1 ?1,2,0?, C1 ?? 1,2,0?, F ?1,1,0? (1)设

?

?

???? ???? ? AD ? ? ,则 AD ? ? DC1 , DC1

得 D? ? ?

?

2? 3 ? ?, , 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ?

?

,

? ? 1 ? 2? ? ? 1 3 ? ? FD ? ? , , ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?, AC1 ? ? 1,2,? 3 ? ?

?

?

? FD ? AC1 ? FD ? AC1 ? 0
即 ? 1?

? 1 ? 2? ? ?1 3 ? 2? ? ? 3? ?0 1? ? 1? ? 1? ? AD ? 1. DC1
(4 分)

?

?

解得 ? ? 1 ,即

(2)设平面 FAC1 的一个法向量为 n1 ? ?x1 , y1 ,1?

? AF ? 1,1, 3 ,由 n1 ? AF 得 x1 ? y1 ? 3 ? 0 ,
? ? x1 ? ? 又由 n1 ? AC1 ,得 ? x1 ? 2 y1 ? 3 ? 0 , ? ? ?y ? ? 1 ?
仿上可得平面 ACC1 的一个法向量为 n2 ? ? 3,0,1 .

?

?

3 , ? 3 2 3 ? 3 ?     n1 ? ? ? ? 3 , 3 ,1? 2 3 ? ? . 3
(6 分)

?

?

? n1 ? n2 ? ? 3 ?
90 ? . (8 分)

3 2 3 ? 0? ? 1 ? 1 ? 0,? n1 ? n2 .故二面角 F-AC1-C 的大小为 3 3

(3)设平面 AFC 的一个法向量为 n ? ? x, y,1? , 由 n ? AF 得 x ? y ? 3 ? 0; 又AC ? ? 1,0,? 3 , 由 n ? AC 得 ? x ? 3 ? 0 . 解得 ?

?

?

??? ?

?

?

?

??? ?

? x ? ? 3, ? ? y ? 2 3. ?

?    n ? ? 3, 2 3,1 ?

?

?
? ? ? ? ? ?

? ???? ? ? 1? ? 3 ? 2 ? 2 3 ? 3 ? 1 n ? AC1 ? ? 3. 所以 C1 到平面 AFC 的距离为 d ? ? 2 2 2 n ? 3 ? 2 3 ?1
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19 解: (1)由已知: an?1 ?

an 1 3 ? ? ? 1. an ? 3 an?1 an

?

1 a n ?1

?

1 1 1 1 1 3 ? 3( ? ),并且 ? ? 2 an 2 a1 2 2

? 1 1? 3 ? 数列? ? ?为以 为首项,为公比的等比数列, 3 2 ? an 2 ? 1 1 3 2 ? ? ? ? 3 n ?1 ,? a n ? n an 2 2 3 ?1

(2)bn ?

2 ? 3n (3 ? 1)(3 ? 1)
n
n?1

?

1 1 ? n ?1 3 ?1 3 ?1
n

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?
20 解: (1)? e ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? n ? n ?1 ? ? n ?1 . 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1

3 c 3 ,2c ? 2,即 ? 3 2 3

? a ? 3, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2

x2 y2 ? ?1 ∴椭圆的方程为 3 2

…………2 分

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 3 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 1 ?
6 3 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 5 5
?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
6 12 8 3 …5 分 ? 2 ( )2 ? ? 5 5 5
(II) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ? 0,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x2 y 2 ?1 ? ? 由? a 2 b2 消去y得(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 3 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? y ? ?x ?1 ?

由? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 整理得 a 2 ? b 2 ? 1 …………7 分

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2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x1 x2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2 ? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 又x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0得 : 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ?
整理得: a ? b ? 2a b ? 0
2 2 2 2

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 2 ?1 ? 0 a 2 ? b2 a ? b2
…………9 分

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 代入上式得
2a 2 ? 1 ? 1 1 ? e2 ?a2 ? 1 1 (1 ? ) 2 1 ? e2
…………10 分

1 2 ? ?e? 2 2 4 1 ? ? ?2 3 1 ? e2
由此得

1 1 1 3 ? ? e2 ? ? ? 1 ? e2 ? 4 2 2 4 7 1 7 3 ? ? 1? ? 3? ? a 2 ? 适合条件a 2 ? b 2 ? 1 2 3 1? e 6 2

42 6 ?a? 6 2

?

42 ? 2a ? 6 3

故长轴长的最大值为

6 .…………12 分
21. (1) f ?( x ) ? 2 x ? 解: ? 2分

a , 依题意 f ?( x) ? 0 , x

x ? (1,2],? a ? 2 x 2 ,? a ? 2 ………

又 ? g ?( x) ? 1 ?
依题意 g ?( x) ? 0

a 2 x



x ? (0,1),? a ? 2 x ,? a ? 2
2 2( x ? 1)( x ? 1) ? x x

…………3 分 ……4 分

?a ? 2
(2)? f ?( x) ? 2 x ?

当x ? (0,1)时, f ?( x) ? 0
? f (x) 为减函数,其最小值为 1
…………6 分

1 2 , 则在(0,1)上? ?( x) ? 2b ? 3 , 2 x x 1 ? 函数? ( x) ? 2bx ? 2 在x ? (0,1]为增函数, x ? ?( x) ? 0在(0,1]恒成立. 令? ( x) ? 2bx ? ? b ? ?1, 又在(0,1]上? ( x)的最大值为 b ? 1, 2

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依题意 ?

?b ? ?1 , 解得 ? 1 ? b ? 1为所求范围. ?2b ? 1 ? 1
3 x

…………8 分

(3)? h( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? 2 x ?

? ( x 2 ? 2 ln x)? ? x ? 2 x ? 2 x ?
? 2x ?

3 x
…………10 分

2 3 1 ?x?2 x ?2 x ? ? x? x x x

1 1 ? 2, h( x n ) ? 2 n ? x ? ? 2等式成立. x x 1 1 当n ? 2时[h( x)]n ? h( x n ) ? ( x ? ) n ? ( x n ? n ) x x 1 1 2 1 1 0 1 2 n ? C n x n ? C n x n ?1 ? ? C n x n ? 2 ( ) ? ? ? C n ? ( ) n ? ( x n ? n ) x x x x 当n ? 1时[h( x)]n ? 2 ? x ?
1 1 1 1 2 n ? Cn x n ?1 ? ? Cn x n ? 2 ( ) 2 ? ? ? Cn ?1 ? x ? ( ) n ?1 x x x 1 1 2 3 n ? C n x n ? 2 ? C n x n ? 4 ? C n x n ?6 ? ?? ? C n ?1 n ? 2 x

…………12 分

1 1 1 1 1 2 n ? [Cn ( x n ?2 ? n ?2 ) ? Cn ( x n ?4 ? n ?4 ) ? ?? ? Cn ?1 ( x n ?2 ? n ?2 )], ( x ? 0), 2 x x x 由均值不等式得
1 2 3 n [h( x)]n ? h( x n ) ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ?1 ? 2n ? 2

?[h( x)]n ? 2 ? h( xn ) ? 2n

…………14 分

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