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南京市2010-2011学年第一学期高二数学期末试卷


2010~2011 学年度第一学期期末学情调研 高二数学
说明:本试卷共 160 分,考试时间 120 分钟.请在答卷纸上作答.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分
1.已知复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 1 ? i ,那么

z2 = z1


<

br />.

2.函数 f ( x) ? x2 在区间 ?1, 4? 上的平均变化率为 3.已知函数 f ( x) ? cos x ,则 f ( ) ?
/

▲ .



?

4



2 4.命题 p : x ? x ? 0 ;命题 q : ?2 ? x ? 2 ,则 p 是 q 的



条件.

5.复数 z ? ?

1 3 ? i ,则 z = 2 2





6.函数 f ( x) ? e x ? ex 的单调减区间为 7.已知函数 f ( x) ?



. ▲ .

x ?1 , x ? ?0, 2? ,则函数 f ( x ) 的最小值为 x?2
▲ .

8.若椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m 的值为 2 m 4

9.曲线 y ? 2 x ? ln x 在点(1,2)处的切线方程是





10. (文)已知抛物线顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,抛物线上一点 M(4, b )到焦点的距离等于 5, 则抛物线的方程为 ▲ . (理)已知向量 a =(1, -1,0)和 b =(1,0, -1)是平面 ? 内的两个向量,则平面 ? 的一个法向量为 ▲ . (写出一个就行)

?

?

11.若方程

x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 3 ? t t ?1

①若 C 为椭圆,则 1 ? t ? 3 ; ②若 C 为双曲线,则 t ? 3 或 t ? 1 ; ③曲线 C 不可能是圆; ④若 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上,则 1 ? t ? 2 . 其中真命题的序号为 ▲ (把所有正确命题的序号都填在横线上) . 12.函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 在区间 (??, ??) 上是减函数,则 a 的取值范围是 ▲ .
3 2

13.已知⊙A: x ? y ? 1,⊙B: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 16 ,P 是平面内一动点,过 P 作⊙A、⊙B 的切线,
2 2 2 2

切点分别为 D、E,若 PE ? PD ,则 P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ . 14.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个 封闭的图形所截得线段的比都为 k,那么甲的面积是乙的面积的 k 倍.你可以从给出的简单图形①、②中

体会这个原理.现在图③中的曲线分别是 图③中椭圆的面积为 ▲. l (将 l 向右平移)


x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 x2 ? y 2 ? a2 ,运用上面的原理,可求得 2 a b
y x

甲 乙 乙

O

x







二、解答题:本大题有 6 大题,满分 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
2 2 15. (本题满分 14 分)已知复数 z ? (m ? 4) ? m ? 3m ? 2 i ,求分别满足下列条件的实数 m 的值或范

?

?

围: (1) z 为纯虚数; (2) z 在复平面上对应的点在第三象限.

16. (本题满分 14 分)已知 m ? R ,设命题 p: ?x ??1, 2? , x2 ? m ? 0 ;命题 q:

?x ? R, x2 ? 2mx ? 2 ? m ? 0 .求使“p 且 q”为真命题的 m 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)如图,用长为 36m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2 :1 . (1)设长方体的宽为 x ,试把体积表示成 x 的函数,并求其定义域; (2)问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

x

18. (本题满分 15 分) (文)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 ,直线 l : y ? ? x ? c ,若当 x ??0, 2? 时,函数 y ? f ( x) 的图像 3

在直线 l 的下方,求实数 c 的取值范围.

19. (本题满分 16 分)若椭圆

3 x2 y2 ,⊙O 的圆心为原点,直 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (?3, 2) ,离心率为 2 3 a b

径为椭圆的短轴,⊙M 的方程为 ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 ,过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA,切点为 A. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 的长最大时,求直线 PA 的直线方程. y P Q M

O A

x

20. (本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ?R .
2

(1)若函数 f ( x ) 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围; (1)若 a=-3,求函数 f ( x ) 的单调区间; (分数 9 分容易题多点分)
2 ] (2)令 g (x) ? x ? 2ax ?f ( ) ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e x

(e ? 2.71828?) 时,函数 g ( x) 的最小

值是 3.若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.